INSTITUTO TECNOLOGICO
DE REYNOSA
CAPITULO 1 DEL
LIBRO
VIBRACIONES
FUNDAMENTOS DE VIBRACION
NOMBRE: DANIEL MADRIGAL
NUM. CONTROL:20580040
CARRERA: MECATRONICA
PROFESOR: RAFAEL MEDRANO CASTILLO
MATERIA: VIBRACIONES MECANICAS
13 DE NOVIEMBRE DEL 2022
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RESUMEN DE VIBRACIONES MECANICAS, Resúmenes de Mecánica Aplicada
Unn breve resumen del libro de vibraciones mecanicas 5ta edicion
Tipo: Resúmenes
2020/2021
1 / 47
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DE REYNOSA
CAPITULO 1 DEL
LIBRO
VIBRACIONES
FUNDAMENTOS DE VIBRACION
NOMBRE: DANIEL MADRIGAL
NUM. CONTROL :
CARRERA: MECATRONICA
PROFESOR: RAFAEL MEDRANO CASTILLO
MATERIA: VIBRACIONES MECANICAS
13 DE NOVIEMBRE DEL 2022
1.1. Introducción El tema de la vibración se presenta de una forma relativamente sencilla. Se empieza con una breve historia de la vibración y continúa con un examen de su importancia. Se perfilan los diversos pasos que intervienen en el análisis de la vibración de un sistema de ingeniería y se presentan las definiciones y conceptos esenciales de la vibración. Se estudiará que todos los sistemas mecánicos y estructurales se pueden modelar como sistemas de masa-resorte-amortiguador. En algunos sistemas, como en un automóvil, la masa, el resorte y el amortiguador se pueden identificar como componentes separados (la masa en la forma del cuerpo, el resorte en la suspensión y el amortiguador en la forma de los amortiguadores). En algunos casos, la masa, el resorte y el amortiguador no aparecen como componentes distintos, pues son inherentes e integrales al sistema. Por ejemplo, en el ala de un avión, la masa está distribuida en toda el ala. Incluso, debido a su elasticidad, el ala experimenta una notable deformación durante el vuelo, de modo que puede modelarse como un resorte. Además, la deflexión del ala introduce un efecto de amortiguamiento producido por el movimiento relativo entre componentes como juntas, conexiones y soportes, al igual que la fricción interna producida por defectos microestructurales del material. Se describe el modelado de elementos de resorte, masa y amortiguamiento, sus características y la combinación de varios resortes, masas o elementos de amortiguamiento que aparecen en un sistema. Por último, se tiene una presentación del concepto de análisis armónico, el cual puede utilizarse para el análisis de movimientos periódicos generales. 1.2 Orígenes del estudio de la vibración El interés acerca de las vibraciones surgió´ al crearse los primeros instrumentos musicales como los silbatos o tambores. Desde entonces músicos como filósofos han buscado reglas o leyes que describan la producción del sonido. En el año 4000 ac., la música había alcanzado un alto nivel de desarrollo y era apreciado por chinos, hindúes, japoneses entre otros pueblos. Se cree que los instrumentos musicales de cuerda se originaron en el arco del cazador; uno de los instrumentos de cuerda más primitivo que se conoce es la nanga. El sistema musical actual tiene sus bases en la civilización griega antigua. Se considera que el filósofo y matemático griego Pitágoras (582-507 a.C) fue la primera persona que investigo el sonido musical con una base científica, realizo experimentos con una sola cuerda por medio de un aparato sencillo llamado monocordio (figura 1.1), sin embargo, no hay registro de su trabajo. En los tiempos de Pitágoras se desarrolló´ el concepto de tono, la relación entre el tono y frecuencia no se entendió´ sino hasta el tiempo de Galileo en el siglo XVI. Figura 1.1: Monocordio.
mismo tiempo. Además, observo´ el fenómeno del pulso cuando dos tubos de órgano de tonos levemente diferentes se hacen sonar juntos. Isaac Newton (1642-1727) público en 1686 su obra monumental “Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”, que describe la ley de la gravitación universal, así como las tres leyes del movimiento y otros descubrimientos. Brook Taylor (1685-1731), matemático inglés, hall ‘o en 1713 la solución teórica (dinámica) del problema de la cuerda vibratoria, y a su vez presento´ el famoso teorema de Taylor sobre una serie infinita. La frecuencia natural de la vibración obtenida con la ecuación de movimiento derivada por Taylor concuerda con los valores experimentales observados por Galileo y Mersenne. El procedimiento adoptado por Taylor fue perfeccionado con la introducción de derivadas parciales en las ecuaciones de movimiento por Daniel Bernoulli (17001782), Jean D’Alembert (1717-1783) y Leonard Euler (1707-1783). La posibilidad de que una cuerda vibre con varios de sus armónicas presentes al mismo tiempo se comprobó con las ecuaciones dinámicas de Daniel Bernoulli en sus memorias, publicadas por la Academia Berlinesa en 1755. Esta característica se conoce como el principio de la coexistencia de pequeñas oscilaciones lo cual, en terminología actual, es el principio de superposición. Joseph Lagrange (1736-1813) presento la solución analítica de la cuerda vibratoria en
- En su estudio, supuso que la cuerda se componía de una infinidad de partículas de masa idéntica equidistantes, y estableció´ la existencia de varias frecuencias independientes iguales a la cantidad de partículas de masa. El método de establecer la ecuación diferencial del movimiento de una cuerda (llamada ecuación de onda), lo desarrollo´ D’Alembert en 1750. La vibración de vigas delgadas apoyadas y sujetas de diferentes maneras fue un estudio hecho por Euler en 1744 y Daniel Bernoulli en 1751. En 1802, el científico alemán E. F. F. Chladni (1756-1824) desarrollo´ el método de colocar arena sobre una placa vibratoria para hallar sus formas de modo y observo´ la belleza y complejidad de los patrones modales de las placas vibratorias. El problema de vibración de una membrana flexible rectangular fue resuelto por Simeon Poisson (1781-1840). La vibración de una membrana circular fue estudiada en 1862 por R. F. A. Clebsch (1833-1872). En 1877 Lord Baron Rayleigh público´ su libro sobre la teoría del sonido, obra considerada un clásico en materia de sonido y vibración. 1.2.2. Contribuciones Recientes En 1902, Frahm investigo´ la importancia del estudio de la vibración torsional en el diseño de flechas de hélice de buques de vapor. Aurel Stodola (1859-1943) contribuyó al estudio de vibración de vigas, placas y membranas. Desarrollo un método para analizar vigas vibratorias que también es aplicable a aspas de turbina. C. G. P. De Laval (18451913) presento una solución práctica al problema de la vibración de un disco rotatorio desbalanceado. Después de observar las fallas de las flechas de acero en turbinas de alta velocidad utilizo´ una caña de pescar de bambú´ como flecha para montar el rotor. Observó que este sistema no solo eliminaba la vibración del rotor desbalanceado, sino que también soportaba velocidades de 100 000 rpm. Los problemas básicos de mecánica, entre ellos los de las vibraciones, son no lineales. Aun cuando los métodos para linealizar adoptados son bastante satisfactorios en la mayoría de los casos, no son adecuados en todos. La teoría matemática de vibraciones no lineales comenzó´ a desarrollarse en los trabajos de Poincaré y Lyapunov a fines del siglo xix. Poincaré desarrollo el método de
perturbación en 1892 en relación con la solución aproximada de problemas de meca ´nica no lineales. En diversos fenómenos como sismos, vientos, transporte de mercancías sobre vehículos de ruedas y el ruido producido por cohetes y motores de reacción, se presentan características aleatorias. Se hizo necesario idear conceptos y métodos de análisis de vibración de estos efectos aleatorios. Aunque en 1905 Einstein considero el movimiento browniano, un tipo particular de vibración aleatoria. Las monografías de Crandall y Mark, así como de Robson, sistematizaron el conocimiento existente de la teoría de vibraciones aleatorias. El desarrollo simultaneo del método del elemento finito permitió´ a los ingenieros utilizar computadoras digitales para realizar el análisis de vibración numéricamente detallado de sistemas mecánicos, vehiculares y estructurales que despliegan miles de grados de libertad. El método del elemento finito fue presentado por Turner, Clough, Martin y Topp en conexión con el análisis de estructuras de avión [1]. 1.3. Importancia del estudio de la vibración La mayoría de las actividades humanas implican vibración en una u otra forma. Por ejemplo, al oír, los tímpanos vibran; al ver, las ondas luminosas vibran, la respiración está asociada con la vibración de los pulmones y el caminar implica el movimiento oscilatorio (periódico) de piernas y manos. En años recientes, investigadores han sido motivados por aplicaciones de la vibración en el área de ingeniería. La mayoría de los propulsores principales experimentan problemas vibratorios debido al desequilibrio inherente en los motores, este desequilibrio puede deberse al diseño defectuoso o a una fabricación deficiente. En turbinas, las vibraciones provocan fallas mecas ´nicas en aspas y discos. En todas estas situaciones, el componente de la estructura o máquina sometido a vibración puede fallar debido a fatiga del material producida por la variación cíclica del esfuerzo inducido. En máquinas, la vibración puede aflojar los sujetadores, como las tuercas. En procesos de corte de metal, la vibración puede provocar rechinidos, lo cual conduce a un acabado deficiente de la superficie. Siempre que la frecuencia natural de la vibración de una máquina o de una estructura coincide con la frecuencia de la excitación externa se presenta un fenómeno conocido como resonancia, el cual conduce a deflexiones y fallas excesivas (figura 1.3). Figura 1.3: Falla a causa de la resonancia.
gradualmente y por fin el péndulo se detiene debido a la resistencia (amortiguamiento) ofrecida por el medio circundante (aire). Esto quiere decir que una parte de la energía se disipa en cada ciclo de vibración debido a la acción de amortiguamiento del aire [2]. Figura 1.4: Péndulo simple. 1.4.3. Cantidad de grados de libertad El mínimo de coordenadas independientes requerido para determinar por completo todas las partes de un sistema en cualquier instante de tiempo define la cantidad de grados de libertad del sistema. El péndulo simple que se muestra en la figura 1.4, así como cada uno de los sistemas de la figura 1.5, representa un sistema de un solo grado de libertad. Por ejemplo, el movimiento del péndulo simple (figura 1.4) se puede formular o en función del ´Angulo θ o en función de las coordenadas cartesianas x y. Si se utilizan las coordenadas x y y para describir el movimiento, debe reconocerse que estas coordenadas no son independientes. Están relacionadas entre sí mediante la relación x^2 + y^2 = l^2 , donde l es la longitud constante del péndulo. Por lo tanto, cualquier coordenada puede describir el movimiento del péndulo. En este caso vemos que la selección de u como coordenada independiente sera más conveniente que la selección de x o de y. Para la corredera que se muestra en la figura 1.5(a) puede usarse tanto la coordenada angular u como la coordenada x para describir el movimiento. En la figura 1.5(b) se puede usar la coordenada lineal x para especificar el movimiento. Para el sistema torsional (barra larga con un pesado disco en el extremo) que se muestra en la figura 1.5(c), se puede utilizar la coordenada u para describir el movimiento. Algunos ejemplos de sistemas de dos y tres grados de libertad se muestran en las figuras 1.6 y 1.7, respectivamente. La figura 1.6(a) muestra un sistema de dos masas y dos resortes descrito por las dos coordenadas lineales x 1 y x 2. La figura 1.6(b) indica un sistema de dos rotores cuyo movimiento puede especificarse en función de θ 1 y θ 2. El movimiento del sistema que se muestra en la figura 1.6(c) puede describirse por completo con X o θ , o con x, y y X. En el segundo caso, x y y están restringidas como x^2 + y^2 = l^2 donde l es una constante. Para los sistemas que se muestran en las figuras 1.7(a) y 1.7(c), se pueden utilizar las coordenadas xi ( i = 1 , 2 , 3) y θi ( i = 1 , 2 , 3), respectivamente, para describir el movimiento. En
el caso del sistema que se muestra en la figura 1.7(b), θi ( i = 1 , 2 , 3) especifica las posiciones de las masas mi ( i = 1 , 2 , 3). Un método alterno de describir este sistema es en función de xi y yo ( i = 1 , 2 , 3); pero en este caso se tienen que considerar las restricciones x^2 i
- yi^2 = li^2 ( i = 1 , 2 , 3). Las coordenadas necesarias para describir el movimiento de un sistema constituyen un conjunto de coordenadas generalizadas. Estas se suelen indicar como ´ q 1 , q 2 , y pueden representarse como coordenadas cartesianas y/o no cartesianas. Figura 1.5: Sistema de un grado de libertad. Figura 1.6: Sistema de dos grados de libertad.
peligrosamente grandes. Las fallas de estructuras como edificios, puentes, turbinas y alas de avión se han asociado a la ocurrencia de resonancia. 1.5.2. Vibración no amortiguada y amortiguada Si no se pierde o disipa energía por fricción u otra resistencia durante la oscilación, la vibración se conoce como vibración no amortiguada. Sin embargo, si se pierde energía se llama vibración amortiguada. La consideración del amortiguamiento se vuelve extremadamente importante al analizar sistemas vibratorios próximos a la resonancia. 1.5.3. Vibración lineal y no lineal Si todos los componentes básicos de un sistema vibratorio; resorte, masa y amortiguador, se comportan linealmente, la vibración resultante se conoce como vibración lineal. Pero si cualquiera de los componentes básicos se comporta de manera no lineal, la vibración se conoce como vibración no lineal. 1.5.4. Vibraciones determinística y aleatoria Si el valor o magnitud de la excitación (fuerza o movimiento) que actúa en un sistema vibratorio se conoce en cualquier tiempo dado, la excitación se llama determinística. La vibración resultante se conoce como vibración determinística. Si la excitación es aleatoria, la vibración resultante se llama vibración aleatoria. En este caso la respuesta vibratoria del sistema también es aleatoria; se puede describir solo en función de cantidades estadísticas. La figura 1.9 muestra ejemplos de excitaciones determinísticas y aleatorias. Figura 1.9: Viga en voladizo (Excitaciones determinística y aleatoria. 1.6. Procedimiento del análisis de la vibración Un sistema vibratorio es dinámico si variables como las excitaciones (entradas) y respuestas (salidas) dependen del tiempo. La respuesta de un sistema vibratorio suele depender tanto de las condiciones iniciales como de las excitaciones externas. Se puede determinar el comportamiento total del sistema por medio de un modelo simple del sistema físico complejo. Por lo que el análisis de un sistema vibratorio suele implicar el modelado matemático, la derivación de las ecuaciones rectoras, la solución de las ecuaciones y la interpretación de los resultados.
Paso 1: Modelado matemático. El propósito del modelado matemático es representar todos los detalles importantes del sistema con el objeto de derivar las ecuaciones matemáticas (o analíticas) que rigen el comportamiento del sistema. El modelo matemático puede ser lineal o no lineal, según el comportamiento de los componentes del sistema. Los modelos lineales permiten soluciones rápidas y son sencillos de manejar, sin embargo, los modelos no lineales a veces revelan ciertas características del sistema que no pueden ser pronosticadas siguiendo modelos lineales. Paso 2: Derivación de las ecuaciones rectoras. Una vez que el modelo matemático esta´ disponible, utilizamos el principio de dinámica y obtenemos las ecuaciones que describen la vibración del sistema. Las ecuaciones de movimiento se pueden derivar de una forma adecuada trazando los diagramas de cuerpo libre de todas las masas que intervienen. El diagrama de cuerpo libre de una masa se obtiene aislándola e indicando todas las fuerzas externamente aplicadas, las fuerzas reactivas y las fuerzas de inercia. Las ecuaciones de movimiento de un sistema vibratorio suelen ser un conjunto de ecuaciones diferenciales comunes para un sistema discreto y de ecuaciones diferenciales parciales para un sistema continuo. Las ecuaciones pueden ser lineales o no lineales según el comportamiento de los componentes del sistema. Paso 3: Solución de las ecuaciones rectoras. Las ecuaciones de movimiento deben resolverse para hallar la respuesta del sistema vibratorio. Dependiendo de la naturaleza del problema, podemos utilizar una de las siguientes técnicas para determinar la solución: métodos estándar de solución de ecuaciones diferenciales, métodos de transformada de Laplace, métodos matriciales1 y métodos numéricos. Si las ecuaciones rectoras son no lineales, rara vez pueden resolverse en forma cerrada. Paso 4: Interpretación de los resultados. La solución de las ecuaciones rectoras proporciona los desplazamientos, velocidades y aceleraciones de las diversas masas del sistema. 1.7. Elementos del resorte Un resorte es un tipo de eslabón mecánico, el cual en la mayoría de las aplicaciones se supone que tiene masa y amortiguamiento insignificantes. El tipo de resorte más común es el resorte helicoidal utilizado en lapiceros, engrapadoras, suspensiones de camiones de carga, entre otras cosas. Cualquier cuerpo o miembro deformable, cable, barra, viga, flecha o placa, puede considerarse como un resorte. Un resorte se suele representar como se muestra en la figura 1.10(a). La longitud del resorte se indica con la letra l , en la figura 1.10(b) el resorte experimenta un alargamiento x debido a una fuerza de tensión F , en la figura 1.10(c) el resorte experimenta una reducción en la longitud x debido a una fuerza de compresión F. Se dice que un resorte es lineal si el alargamiento o acortamiento de longitud x esta´ relacionado con la fuerza aplicada como: F = kg (1.1) donde k es una constante, conocida como la constante de resorte, rigidez de resorte o tasa de resorte. La constante de resorte k siempre es positiva e indica la fuerza (positiva o
Figura 1.11: Resortes no lineales y lineales. Algunos sistemas, con dos o más resortes, pueden presentar una relación fuerza- desplazamiento no lineal, aunque los resortes individuales sean lineales. Algunos ejemplos de dichos sistemas se muestran en las figuras 1.12 y 1.13. Figura 1.12: Relación fuerza-desplazamiento de un resorte no lineal.
Figura 1.13: Relación fuerza-desplazamiento de un resorte no lineal. 1.7.2. Linealización de un resorte no lineal Los resortes reales son no lineales y obedecen la ecuación (1.1) solo hasta determinada deformación. En muchas aplicaciones prácticas suponemos que las deflexiones son pequeñas y utilizamos la relación lineal de la ecuación (1.1). Inclusive, si la relación de fuerza-deflexión de un resorte es no lineal, como se muestra en la figura 1.14, se aproxima como lineal por medio de un método de linealización. Para ilustrar el proceso de linealización, sea F la carga esta ‘tica que actúa en el resorte y que provoca una deflexión de x ∗. Si se agrega una fuerza incremental ∆ F a F , el resorte se deforma en una cantidad adicional ∆ x. La nueva fuerza de resorte F + ∆ F se expresa mediante la expansión de la serie de Taylor con respecto a la posición de equilibrio esta ‘tico x ∗^ como: (1.4)
Figura 1.15: Masas equivalentes. Figura 1.16: Resortes equivalentes.
Figura 1.17: Amortiguadores viscosos equivalentes. 1.7.4. Combinación de resortes En algunas aplicaciones prácticas se utilizan combinaciones de resortes lineales. Estos resortes pueden combinarse en un resorte equivalente como se indica a continuación: Caso 1: Resortes en paralelo. La constante equivalente de los resortes conectados en paralelo, es considerada a partir de dos resortes figura 1.18(a). Cuando se aplica una carga W , el sistema experimenta una deflexión esta ‘tica δst como se muestra en la figura 1.18(b). Entonces el diagrama de cuerpo libre, mostrado en la figura 1.18(c), proporciona la ecuación de equilibrio como: W = k 1 δst + k 2 δst (1.8) Figura 1.18: Resortes en paralelo.
Figura 1.19: Resortes en serie. Las ecuaciones (1.13) y (1.14) dan por resultado: (1.15) Sustituyendo estos valores de δ 1 y δ 2 en la ecuación (1.12), obtenemos: (1.16) La ecuación (1.16) se puede generalizar al caso de n resortes en serie: (1.17) 1.7.5. Constante de resorte asociada con la fuerza de restauración producida por la gravedad En algunas aplicaciones se desarrolla una fuerza o momento de restauración producido por la gravedad cuando una masa experimenta un desplazamiento. En esos casos se puede asociar una constante de resorte equivalente con la fuerza o momento de restauración de la gravedad. El siguiente ejemplo ilustra el procedimiento. Ejemplo: Constante del resorte asociada con una fuerza de restauración producida por la gravedad La figura 1.20 muestra un péndulo simple de longitud l con una masa m. Considerando un desplazamiento angular θ , determine la constante de resorte asociada con la fuerza (o momento) de restauración [3]. Solución: Cuando el péndulo se somete a un desplazamiento angular θ , la masa m se mueve a una distancia s in θ a lo largo de la dirección horizontal ( x ). El momento o par de restauración ( T ) creado por el peso de la masa ( mg ) con respecto al pivote O , está dado por: T = ml ( l sin θ ) (1.18) Para desplazamientos angulares pequeños θ , sin θ se puede aproximar como sin θ ≈ θ y la ecuación (1.18) se escribe como: T = mglθ Si expresamos la ecuación (1.19) como:
T = ktθ El constante torsional equivalente del resorte kt se puede definir como:
kt = mgl
Figura 1.20: Péndulo simple. 1.8. Elementos de masa o inercia el elemento de masa o inercia es un cuerpo rígido que puede ganar o perder energía cinética siempre que cambie su velocidad. De acuerdo con la segunda ley del movimiento de Newton, el producto de la masa y su aceleración son iguales a la fuerza aplicada a la masa. El trabajo es igual a la fuerza multiplicada por el desplazamiento en la dirección de la fuerza, y el trabajo realizado en una masa se almacena como energía cinética. En la mayoría de los casos se tiene que utilizar un modelo matemático para representar el sistema vibratorio real, y a menudo hay varios modelos posibles. El propósito del análisis suele determinar cuál modelo matemático es el adecuado. Una vez seleccionado el modelo, los elementos de masa o inercia del sistema son fáciles de identificar [4]. 1.8.1. Combinación de masas La combinación de varias masas puede ser remplazadas por una sola masa equivalente, como se indica a continuación. Caso 1. Masas traslacionales conectadas por una barra rígida. Consideremos las masas fijas en una barra rígida pivotada en un extremo, como se muestra en la figura 1.21(a). Se puede suponer que la masa equivalente esta´ localizada en cualquier punto a lo largo de la barra. Para ser específicos, supongamos que la ubicación de la masa equivalente es la de la masa m 1. Las velocidades de las masas m 2 ( x ˙ 2 ) y m 3 ( x ˙ 3 ) se pueden expresar en función de la velocidad de la masa m 1 ( x ˙ 1 , suponiendo pequeños desplazamientos angulares de la barra, como: (1.22) y x ˙ eq = x ˙ 1 (1.23)