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TEMA 1: CARGA ELÉCTRICA - CAMPO ELÉCTRICO
Cargas y Masas de las partículas elementales:
Partícula Protón Neutrón Electrón
Masa^1 ,^67.^10 kg
− 27 m (^) p = 1 , 67. 10 kg
− 27 m (^) n = 9 , 11. 10 kg
− 31 me =
Carga^1 ,^60.^10 C
− 19 q (^) p = + qn = 0 C 1 , 60. 10 C
− 19 qe = −
Carga unitaria +1 0 -
Ley de Coulomb:
“La magnitud de la fuerza eléctrica entre dos cargas puntuales es directamente
proporcional al producto de las cargas e inversamente proporcional al cuadrado de la
distancia”
2
r
q q Fe = k
2
2 12 0 0
2
2 9
N.m
C
ε 8 , 84. 10 4 ε
C
N.m
- 10
− = = ⇒ =
k
Campo eléctrico:
El campo eléctrico E en un punto es la fuerza por unidad de carga experimentada por
una carga de prueba q (^) 0 en ese punto.
= = ⋅ ⋅ r ° r
q
q
F
E
2 0 4 .ε 0
Cálculos de campo eléctrico:
Campo de un anillo de cargas:
i
x a
Qx EP k ˆ 2 2 3
Donde Q es la carga total del anillo, a es el radio y x la distancia del punto al anillo
de cargas. / Estudiar la demostración /
x
r a
dQ
d E
Q
P
y
x
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Campo de una línea infinita de carga:
r
k
r
E
2 .ε 0.
Donde λ es la densidad de carga lineal y r la distancia de la línea al punto.
/ Estudiar la demostración /
Campo de un disco uniformemente cargado:
- ε 0.
E =
Donde σ es la densidad de carga superficial en el disco. Esto sólo se cumple para
cuando R >> x.
Campo de dos láminas infinitas con cargas opuestas:
- ε 0.
1 2
E = E = ⇒
ε 0.
E =
/ Estudiar la demostración /
Sólo si las dimensiones de las láminas son grandes en comparación con la distancia
entre ellas. El campo descrito es el correspondiente a cualquier punto situado entre las dos láminas. Fuera de ellas, el campo es distinto.
Líneas de campo eléctrico:
Una línea de campo eléctrico es una curva imaginaria dibujada a través de una región del espacio de manera que su tangente en cualquier punto tiene la dirección del vector de
campo eléctrico en ese punto.
Las líneas de campo nunca se intersecan.
Si el campo es uniforme, las líneas de campo son rectas, paralelas y uniformemente espaciadas.
¡CUIDADO!: Las líneas de campo no son trayectorias que puede seguir una partícula, ni
mucho menos líneas en cuya trayectoria el campo tiene el mismo valor.
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El flujo eléctrico neto debido a una carga ubicada dentro de una superficie gaussiana, es
independiente del área y depende sólo de la carga neta existente.
Superficie gaussiana: Superficie imaginaria cerrada.
Cálculo de flujo eléctrico:
Si el campo eléctrico es uniforme , el cálculo del flujo se reduce a la ecuación:
Φ E = E ⋅ A = E. A .cos θ= E ⊥. A
Pero cuando el campo eléctrico es más general, debemos tomar diferenciales e integrar.
Obtenemos así la ecuación:
∫ ∫
Φ E = E ⋅ dA = E cos θ. dA
Ley de Gauss:
ε 0
dentro E
Q
Φ = E ⋅ dA = ∫
Para una superficie cerrada, que no tenga carga, el flujo es cero:
∫ E E dA
Aplicaciones de la Ley de Gauss:
Campo de una esfera conductora cargada:
Campo interior: EI = 0
Campo superficial: 2
R
q ES = k
Campo exterior: 2
r
q EE = k
Campo de una línea de carga:
0 0 2 ..
ε
ε
. .cos 0 º. .( 2 .. )
Q l EdA E dA E dA E rl
A r l
E
π
=
∫ ∫ ∫
ε 0
l E rl
r
k
r
E
- ε
0
++
EI = 0
R
2
r
q E = k
2
R
q E = k
E
r O
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Campo de una lámina plana infinita de carga:
2 .ε 0
E =
/ Estudiar la demostración /
Campo entre placas conductoras paralelas con cargas opuestas:
ε 0
E =
/ Estudiar la demostración /
Campo de una esfera no conductora cargada uniformemente:
Campo interior: 3
R
Qr EI = k
Campo superficial: 2
R
Q
ES = k
Campo exterior: 2
r
Q
EE = k
Cargas en conductores:
El campo eléctrico en todo punto dentro de un conductor es cero, y cualquier exceso de carga en un conductor sólido se localiza por completo sobre su
superficie.
Si hay una carga q aislada en una cavidad dentro de un conductor sin carga neta, se
induce en la superficie interior una carga − q , por lo que en la superficie exterior
aparece la carga q
Q
R
2
r
Q
E = k
2
R
Q
E = k
E
r O
Superficie Gaussiana
3
R
Qr E = k
l
d A E
d A
Superficie Gaussiana
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r
qq U
0
0
- ε
π
/ Estudiar la demostración /
¡CUIDADO!: No confundir con la fórmula para la fuerza eléctrica, ésta lleva r en el
denominador, no
2 r
Energía potencial eléctrica de varias cargas puntuales:
Carga puntual y colección de cargas:
= (^) ∑ i i
i
r
q q U 0
0
4 π. ε
Colección de cargas y punto:
∑ <
i j ij
i j
r
q q U
- ε
π 0
¡CUIDADO!: Para no repetir pares de cargas, se toma en la sumatoria sólo los i < j.
Potencial eléctrico:
El potencial eléctrico es la energía potencial, por unidad de carga.
q 0
U
V =
U = q 0. V
Diferencia de potencial:
( )
0 q 0
U
q
W
V V V
a b ab a b
→
/ Estudiar la demostración /
Potencial debido a una carga puntal:
0
0
- ε
r q
qq
q
U
V
π r
q V = ⋅ 4 .ε 0
π
Potencial debido a una colección de cargas puntuales:
= (^) ∑ i (^) i
i
r
q V 4 .ε 0
π
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Potencial debido a una distribución continua de carga:
∫
r
dq V 4 .ε 0
π
Luego, reemplazo dq por la distribución de carga multiplicando a la dimensión,
dependiendo de la geometría del problema. dq = λ. dl , o dq = σ. dA , o dq = ρ. dV
Diferencia de potencial como integral del Campo:
∫
b
a
Vab E. d l o = −∫
a
b
Vab E. dl
/ Estudiar la demostración /
Cálculo del potencial:
Potencial de una esfera conductora cargada:
Potencial interior y superficial:
R
q VI = k. ( constante )
Potencial exterior: r
q V = k.
/ Estudiar la demostración /
Placas paralelas con cargas opuestas:
Vab = E. d
d
ε 0. Vab σ =
/ Estudiar la demostración /
¡CUIDADO!: Ésta fórmula sirve sólo para los casos de geometría plana. En cilindros o
esferas no funciona.
++
R
2
r
q E = k
E r O V r O
r
q V = k.
R
q V = k.
r
q V = k.
2
R
q E = k
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Cuando todas las cargas están en reposo, la superficie de un conductor es siempre una superficie equipotencial.
Gradiente de potencial:
z
V
k y
V
j x
V
E i
E =−∇ V
/ Estudiar la demostración /
r
V
Er ∂
= − (Campo eléctrico Radial)
TEMA 4: CAPACITANCIA Y DIELÉCTRICOS
Capacitores y Capacitancia:
Un Capacitor es un dispositivo que almacena Energía Potencial Eléctrica y Carga Eléctrica.
Se construye aislando dos conductores y se carga realizando un trabajo, el cual se almacena como Energía Potencial Eléctrica.
En un capacitor conectado a una fuente, la carga Q ( + Q en la placa positiva y − Q en la
negativa) es directamente proporcional a la diferencia de potencial V (^) ab aplicada. Entonces
Q ∝ Vab ⇒ Vab
Q
C = , donde C es una constante llamada Capacitancia y que es propia de
cada capacitor en especial. La unidad de la capacitancia es el farad ( V
C
F = )
La capacitancia es una medida de la habilidad del capacitor para almacenar energía y depende
solamente de la forma y el tamaño de los conductores y del aislante colocado entre ellos.
Cálculo de la Capacitancia: capacitores en el vacío
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Ahora m
F
ε 8 , 85. 10
12 0
−
Capacitor de placas paralelas:
d
A
C =ε 0
Capacitancia de un capacitor de placas paralelas en el vacío / Estudiar la demostración /
Capacitor Esférico:
b a
a b
r r
r r C −
4 π. ε 0
Capacitancia de un capacitor esférico en el vacío / Estudiar la demostración /
Capacitor Cilíndrico:
( ra rb )
L
C
ln
2 π .ε 0.
Capacitancia de un capacitor cilíndrico en el vacío / Estudiar la demostración /
Capacitores en Serie y en Paralelo:
Capacitores en Serie:
/ Estudiar la demostración /
Capacitores en Paralelo:
/ Estudiar la demostración /
C 1 C 2
Ceq = C 1 + C 2 +...
C 1
C 2
1 2
Ceq C C
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Capacitancia de un capacitor de placas paralelas con dieléctrico
2 ε. 2
u = E
Densidad de energía eléctrica en un dieléctrico
Ley de Gauss en dieléctricos:
0
dentro-libre
ε
Q
KE ⋅ dA = ∫
/ Estudiar la demostración /
TEMA 5: CORRIENTE Y RESISTENCIA - FUERZA
ELECTROMOTRIZ
Corriente eléctrica:
dt
dQ I =
Definición de Corriente Eléctrica
[ ] s
C
I =A =Ampere=
Corriente, velocidad de arrastre y densidad de corriente:
También podemos definir la corriente a través de n (concentración de partículas por unidad de
volumen en
m ), vd (velocidad de arrastre de las partículas), A (área de la sección de
conductor) y q (carga de cada partícula), de la siguiente manera:
nqv A dt
dQ I = =.. d.
/ Estudiar la demostración /
Definimos también densidad de corriente J como la corriente que pasa por una unidad de
área transversal:
nqv d A
I
J = =..
J = n. q. v d (vector)
Resistividad:
J
E
ρ = [ ρ] =Ω.m
Un material que obedece la Ley de Ohm razonablemente bien se conoce como conductor
ohmico o lineal. Para tales materiales, a una temperatura dada, ρ es constante y no depende del
valor de E.
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Resistividad y temperatura:
La resistividad de un material varía dependiendo de la temperatura. En un pequeño intervalo de
temperaturas (hasta unos 100 º C), la resistividad del metal puede representarse
aproximadamente por la ecuación:
ρ ( T ) =ρ 0 .[ 1 + α( T − T 0 )]
donde ρ 0 es la resistividad a una temperatura T 0 y α es el coeficiente de temperatura de la
resistividad.
Resistencia:
A
L
R = ρ [ ] A
V
R =Ω=Ohm =
En correspondencia con la resistividad, la temperatura también afecta a la resistencia en igual proporción:
R ( T ) = R 0 .[ 1 + α( T − T 0 )]
donde R 0 es la resistividad a una temperatura T 0 y α es el mismo coeficiente.
Ley de Ohm:
V = I. R
A ésta expresión se la suele llamar Ley de Ohm , pero el contenido real de ésta ley es
proporcionalidad directa entre V e I. Mas sólo es así si la resistencia es constante.
Fuerza electromotriz y circuitos:
Para que un conductor tenga una corriente estacionaria, debe formar parte de una trayectoria que
constituya un camino cerrado o circuito completo. Cuando en dos extremos de un conductor se establece una diferencia de potencial, las cargas “bajan” de un punto de mayor potencial a uno
de menor, generando un movimiento de cargas y por lo tanto una corriente eléctrica. Para poder
llevar las cargas nuevamente hacia el punto de un mayor potencial es necesaria una “fuerza” , a la que llamaremos Fuerza Electromotriz o fem , pero es importante tener en cuenta que la fem
no es una fuerza sino una cantidad de energía por unidad de carga representada por la misma
unidad que el potencial (Volt). Representaremos a la fem con el símbolo ε.
En cualquier circuito completo con una corriente estacionaria debe haber un dispositivo que proporcione fuerza electromotriz, al que llamaremos fuente de fem.
En una fuente ideal de fem ε= Vab = I. R
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ε. I es la razón a la cual hace trabajo sobre las cargas en movimiento cualquier agente
que esté ocasionando las fuerzas no electrostáticas en la fuente.
El término I. r
2 es la razón con que se disipa la energía eléctrica en la resistencia
interna de la fuente.
Potencia de entrada de una fuente:
P Vab. I. I I. r
2 = = ε +
Existe una conversión de energía eléctrica a no eléctrica en la fuente superior a una
razón ε. I.
Teoría de la conducción metálica:
En el modelo microscópico más sencillo de la conducción en un metal, cada átomo del
cristal metálico cede uno o más de sus electrones externos, que quedan libres para moverse por el cristal y chocan a intervalos con los iones positivos estacionarios.
Si no hay campo eléctrico, los electrones se desplazan en línea recta entre una colisión y
otra, la dirección de su velocidad es aleatoria y, en promedio, no llegan a ninguna parte. Pero si hay un campo eléctrico, las trayectorias se curvan ligeramente debido a la aceleración
ocasionada por las fuerzas del campo eléctrico.
El tiempo entre colisiones se conoce como tiempo libre medio y se representa con τ.
Deducimos la siguiente expresión para la resistividad:
2 n e
m
/ Estudiar la demostración /
donde n es el número de electrones libres por unidad de volumen, e es la carga del electrón,
m la masa del electrón y τ el tiempo libre medio entre colisiones.
Si n y τ son independientes de E , entonces también lo es la resistividad y el material
conductor obedece la Ley de Ohm.
Al aumentar la temperatura, las vibraciones atómicas aumentan, dejando menos espacio entre átomos y por ende produciendo mayor cantidad de colisiones, lo que aumenta la
resistividad.
Si el campo eléctrico en el material es lo bastante intenso, un electrón puede adquirir
suficiente energía entre colisiones para expulsar a ciertos electrones que normalmente están
ligados a los átomos del material. Éstos pueden a su vez expulsar más electrones y así sucesivamente, lo cual puede ocasionar una avalancha de corriente. Ésta es la base microscópica
de la ruptura dieléctrica en los aislantes.
E = 0 E ≠ 0
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TEMA 6: CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTÍNUA
Resistores en serie y en paralelo:
Resistores en serie:
Req = R 1 + R 2 + R 3 + ...
/ Estudiar la demostración /
La resistencia equivalente es mayor que cualquiera de las resistencias individuales.
Resistores en paralelo:
1 2 3
Req R R R
/ Estudiar la demostración /
La resistencia equivalente es menor que cualquiera de las resistencias individuales.
Caso de dos resistores en paralelo:
1 2
R R
R R
Req
Nodos, mallas y convenios de signos:
Nodo: Un nodo en un circuito es un punto en el que se encuentran tres o más conductores.
También se los conoce como uniones o puntos de rama.
Malla: Una malla es cualquier trayectoria cerrada del circuito.
Signos de la corriente: La corriente siempre se mueve desde el lado positivo hacia el negativo
en dispositivos de suministro de energía pero a través del circuito, en cambio en dispositivos de
consumo o almacenamiento de energía, se mueven en el mismo sentido pero por dentro del dispositivo.
Reglas de Kirchhoff:
Regla de los nodos:
“La suma algebraica de las corrientes que entran en un nodo es cero”
∑ I =^0
Regla de las mallas:
“La suma algebraica de las diferencias de potencial en cualquier trayectoria cerrada,
incluyendo las asociadas con fuentes de fem y elementos de resistencia, debe ser cero”
∑ V =^0
I
I
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I (^) fc. R b= ( I a− I fc). R der
Diseño de un Voltímetro:
Un voltímetro es un instrumento que mide la diferencia de potencial entre dos
puntos. Un voltímetro ideal tendría resistencia infinita, de modo tal que al conectarlo
entre dos puntos del circuito no alteraría ninguna de las corrientes. Los voltímetros reales tienen resistencias finitas, pero tan grandes que el error es despreciable.
Podemos ampliar la escala de medición agregando una resistencia en serie con
la bobina. Si V V es la lectura de escala de fondo, la fórmula correspondiente es:
V V (^) = I fc. ( R c+. R s)
Amperímetros y voltímetros en combinación:
V
R
A
V
R
A
I R
IA
V R
VA
a b c a b c I R
V (^) R = V ab
I A = IR + I V
V A
Vac = VR + V A
IV I V
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Ohmímetros:
Consiste en un Galvanómetro, un resistor variable y una fuente conectados en serie. La
resistencia R (^) s se ajusta de tal manera que haciendo cortocircuito en los terminales, el
valor se vaya a fondo de escala, donde marcará R = 0. Cuando no hay nada conectado
entre los terminales R →∞, no hay corriente ni desviación. Para valores intermedios
se calibra la escala, la que va a leerse al revés de la lectura para corrientes, por ser
I
R
El potenciómetro:
Es un instrumento que mide la fem de una fuente sin tomar corriente de ella. Lo que
hace es equilibrar una diferencia de potencial desconocida con respecto a un voltaje
ajustable y medible.
ε 2 = I. R cb
Circuitos Resistencia-Capacitancia:
Carga y descarga de un capacitor:
CARGA DEL CAPACITOR (Circuito cerrado con fuente de fem )
Al cerrarse el circuito, la corriente deja de ser nula y pasa de golpe a ser R
I
ε
0 =
Luego, la corriente disminuye con el tiempo en base a la fórmula:
i = 0
a b c
ε
q = 0
R C
Interruptor Abierto
a b c
ε
R C
Interruptor Cerrado
i
i
− q
I
a b c
G
I 2 = 0
I
ε 1
ε (^2)
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