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UNIDAD l
1.1 INTRODUCCIÓN A LA DINÁMICA.
Alguna vez te habrás hecho preguntas como: ¿Por qué cuando un autobús frena los pasajeros salen disparados hacia delante? ¿Por qué cuando un avión acelera nosotros salimos hacia atrás? , pues ese tipo de preguntas se encargan de responder que la dinámica estudia las causas de los movimientos de los cuerpos , ya sean sólidos , líquidos ,gaseosos. Es una labor de estudios bastante extensa ya que se ha ido ampliando a través la historia. El estudio de la dinámica ha tenido una gran trascendencia a lo largo del surgimiento del hombre , fue iniciada por el griego Aristóteles aproximadamente , en el año 384 ac , cuando desarrollo una teoría tratando de explicar el movimiento de los cuerpos , hoy en día es considerado precursor de Galileo Galilei quien demostró experimentalmente que la velocidad de caída de los cuerpos era independiente de su peso , de manera que dos cuerpos de misma forma y de distintos pesos dejados caer de la misma altura tardaban el mismo tiempo en tocar el suelo. La dinámica en el ámbito de la física está regulada por las Leyes de Newton lo cual obedece a 3 leyes: la primera ley, indica que un cuerpo se mantendrá en reposo o movimiento uniforme excepto que sobre el cuerpo actúe una fuerza; la segunda ley, establece que la variación del movimiento de los cuerpos es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre él; la tercera ley, expresa que el impulso de una fuerza constante es el producto de la misma por el tiempo que actúa y produce una alteración en la cantidad de movimiento sobre el cuerpo afectado.
1.2 MOVIMIENTO RECTILINIO DE PARTICULAS
En la recta situamos un origen O, donde estará un observador que medirá la posición del móvil x en el instante t. Las posiciones serán positivas si el móvil está a la derecha del origen y negativas si está a la izquierda del origen.
1.3 POSICION , VELOCIDAD Y ACELERACION
Posición
La posición x del móvil se puede relacionar con el tiempo t mediante
una función x=f(t).
Desplazamiento Supongamos ahora que en el tiempo t, el móvil se encuentra en posición x, más tarde, en el instante t' el móvil se encontrará en la posición x'. Decimos que móvil se ha desplazado Dx=x'-x en el intervalo de tiempo Dt=t'-t, medido desde el instante t al instante t'.
1.4 DETERMINACION DEL MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA
Si conocemos un registro
de la velocidad podemos
calcular el
desplazamiento x1-x 0 del
móvil entre los instantes t 0 y t , mediante la
integral definida.
El producto v dt representa el
desplazamiento del móvil entre los
instantes t y t+dt , o en el intervalo dt. El
desplazamiento total es la suma de los
infinitos desplazamientos infinitesimales entre los instantes t 0 y t.
1.5 MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME
Un movimiento rectilíneo uniforme es aquél cuya velocidad es constante, por tanto, la aceleración es cero. La posición x del móvil en el instante t lo podemos calcular integrando o gráficamente, en la representación de v en función de t.
Habitualmente, el instante inicial t 0 se toma como cero, por lo que las ecuaciones del movimiento uniforme resultan
1.6 MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORMENETE ACELERADO
Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración podemos obtener el cambio de velocidad v-v 0 entre los instantes t 0 y t , mediante integración, o gráficamente. Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x 0 del móvil entre los instantes t 0 y t , gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando Habitualmente, el instante inicial t 0 se toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, las siguientes.
1.8 COMPONENTES RECTANGULARES DE
LA
VELOCIDAD Y
LA
ACELERACIÓN
Cuando la posición de una partícula P se define en cualquier instante mediante sus coordenadas rectangulares x, y y z, resulta conveniente descomponer la velocidad v y la aceleración a de la partícula en componentes rectangulares. Al descomponer el vector de posición r de la partícula en componentes rectangulares, se escribe donde las coordenadas x, y, z son funciones de t. Al diferenciar dos veces, se obtiene donde x˙, y˙, z˙ y x¨, ÿ, z¨ representan, respectivamente, la primera y la segunda derivadas de x, y y z con respecto a t. Se tiene de que las componentes escalares de la velocidad y la aceleración son Un valor positivo de vx indica que el componente vectorial vx está dirigido hacia la derecha, y un valor negativo, que se dirige
hacia la izquierda. El sentido de cada uno de los otros componentes vectoriales puede determinarse de manera similar a partir del signo de la componente escalar correspondiente. 1.9 COMPONENTES TANGENCIAL Y NORMAL la velocidad de una partícula es un vector tangente a la trayectoria de la misma, pero que, en general, la aceleración no es tangente a la trayectoria. En ocasiones resulta conveniente descomponer la aceleración en componentes dirigidas, respectivamente, a lo largo de la tangente y la normal de la trayectoria de la partícula Movimiento plano de una partícula. Primero considérese una partícula que se mueve a lo largo de una curva contenida en el plano de la figura. Sea P la posición de la partícula en un instante dado. Se une en P a un vector unitario et tangente a la trayectoria de la partícula y que apunta en la dirección de movimiento Sea et el vector unitario correspondiente a la posición P de la partícula en un instante posterior. Si se dibujan ambos vectores desde el mismo origen O, se define el vector Puesto que et y et son de longitud unitaria, sus puntas se encuentran sobre un círculo de radio 1. Si se denota por el ángulo formado por et y et , se encuentra que la magnitud de Al considerar ahora que el vector se advierte que a medida que se aproxima a cero, este vector se vuelve tangente al círculo unitario de esto es, perpendicular a et, y que su magnitud tiende a 1.10 COMPONENTES RADIAL Y TRANSVERSAL En ciertos problemas de movimiento plano, la posición de la partícula P se define mediante sus coordenadas polares r y (figura 11.25a). En ese caso es
5.- Una piedra de 3 kg, atada a una cuerda de 2 m, oscila describiendo un círculo horizontal, de manera que completa una revolución en 0.3 s. ¿Cuál es la fuerza centrípeta sobre la piedra? Fc=4π^2 f^2 (m)(R) Fc=4(3.1416)^2 (3.33333)^2 (3)(2)=2630N 6.- Dos masas de 8 kg están unidas en el extremo de una varilla de aluminio de 400 mm de longitud. La varilla está sostenida en su parte media, gira en círculos y sólo puede soportar una tensión máxima de 800 N. ¿Cuál es la frecuencia máxima de revolución? Respuesta. 3.56 rev/s 7.- Un corredor de 70 kg recorre una pista de 25 m de radio con una rapidez de 8.8 m/s. ¿Cuál es la fuerza central que hace al corredor describir la curva? Respuesta. 217 N 8.- En un día lluvioso, el coeficiente de fricción estática entre los neumáticos y la carretera es de sólo 0.4. ¿Cuál es la rapidez máxima a la que puede transitar un automóvil en una curva de 80 m de radio? Respuesta. 63.8 km/h 9.- Una piedra yace en el fondo de un cubo que se mueve describiendo un círculo vertical de 70 cm de radio. ¿Cuál es la menor rapidez a la que debe moverse el cubo en la parte superior del círculo para que la piedra no se salga de él? Respuesta. 2.62 m/s 10.- Un cable está enrollado en tomo de un carrete de 80 cm de diámetro. ¿Cuántas revoluciones de este carrete se requieren para que un objeto atado al cable recorra una distancia rectilínea de 2 m? Respuesta. 0.796 rev Un punto localizado en el borde de una gran rueda cuyo radio es 3 m se mueve en un angulo de 31°. Halle la longitud del arco descrito por ese punto.
Respuesta .1.94 m 11.- Un motor eléctrico gira a 600 rpm. ¿Cuál es su velocidad angular? Respuesta. 62.8 rad/s 12.- Una correa pasa por la ranura de una polea cuyo diámetro es de 40 cm. La polea gira con una aceleración angular constante de 3. rad/s2. La rapidez rotacional es de 2 rad/s en el t = 0. ¿Cuáles son el desplazamiento angular? Respuesta. 11.0 rad 13.- Una rueda gira inicialmente a 6 rev/s y después se somete a una aceleración angular constante de 4 rad/s2. ¿Cuál es su velocidad angular después de 5 s? Respuesta. 57.7 rad/s 14.- Una cuerda que está enrollada en un carrete circular de 5 kg permite arrastrar objetos con una tensión de 400 N. Si el radio del carrete es de 20 cm y puede girar libremente sobre su eje central, ¿cuál es la aceleración angular? Respuesta. 800 rad/s 15.- Una varilla delgada de 3 kg tiene 40 cm de longitud y oscila sobre su punto medio. ¿Qué momento de torsión se requiere para que la varilla describa 20 revoluciones al tiempo que su rapidez de rotación se incrementa de 200 a 600 rev/min? Respuesta. 0.558 N • m
actividad colaborativa
