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RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO E
INSTANTANEO
"Dado que la textura del Universo es la más perfecta y la obra de un Creador sapientísimo, nada sucede en el Universo sin obedecer alguna regla de máximo o mínimo" LEONHARD EULER
LOGRO DE LA SESIÓN:
Al nalizar la sesión de aprendizaje el alumno interpreta la razón de cambio promedio como tasa de cambio y aplica derivada para conocer la Marginilidad como interpretación de razón de cambio instantanea
3.9. Razón de cambio
Dos variables relacionadas entre si, se ex- presan como una fracción.(también se le llama razón). El hecho de estar relacionadas hace que al variar o cambiar una variable necesariamente varía la otra. La variación puede llamarse Ra- zón de Cambio Promedio o Razón de Cambio Instantáneo.
3.10. Razón de Cambio Prome-
dio
La razón o tasa de cambio promedio de y respecto a t en un intervalo [t, t + 4 t] se de ne por:
4 y 4 t
f (t + 4 t) − f (t) 4 t
3.11. Razón de Cambio Instan-
taneo
La razón de cambio instantaneo de y res- pecto a t en t 0 se de ne por:
f ´(t) = lim 4 t→ 0
f (t 0 + 4 t) − f (t 0 ) 4 t
si el límite existe
MATEMÁTICA PARA LOS NEGOCIOS 2
Semana 6 Sesión 1
EJERCICIOS EXPLICATIVOS
- Hallar la razón de cambio promedio de la función F (x) = 3x + 5 desde el punto A(2, 11) al punto B(5, 20)
RPTA: 3
- Hallar la razón de cambio instantánea de la función F (x) = 2x^2 − 2 x− 5 en el punto (3, 7)
RPTA: 10
- Si la ecuacion oferta de la carne de gallina es Q =10 + 2P. donde Q es la cantidad ofrecida en libras por los comerciantes a un precio P de S/ 3.00 soles ¾Calcule la razón de cambio promedio de la carne al elevarse el precio a S/ 5.00 soles?
RPTA: 2
- Se ahorra un capital de $ 10,000 dólares durante 20 años, de modo que el interés reporta ganancias. Tiene la opción de re- tirar su dinero antes de los 10 años. Si el capital paga $ 2000 en los primeros 5 y si no se retira paga $ 4000 dólares por los primeros 8 años.¾Cuál es la razón de cambio promedio entre los 5 y 8 años?
RPTA: 666 , 67
- El producto Interno Bruto (PIB) de un pais R(t) = t^2 + 5t + 106 mil millones de dólares t años despues de 1999. a) Hallar el PIB en el año 2012 b)¾Qué razón cambió el PIB en el año 2012?
RPTA: a)340 b)
- La venta (en millones de dólares) de un artículo de moda t años después de su lanzamiento al mercado está dado por la siguiente función: V (t) = (^) t^102 +1t a) Hallar la razón con que cambia las ven- tas en el instante t. b) Hallar la razón con de cambio al mo- meto su lanzamiento. c) Hallar la razon de cambio despues de 4 años. e interprete.
RPTA: a)v´(t)= −10(t (^2) −1) (t^2 +1)^2 , b) aumenta a razón de $ 10 millones por año c
MATEMÁTICA PARA LOS NEGOCIOS 2
EJERCICIOS ADICIONALES
- Hallar la razón de cambio promedio de la función F (x) = 3x^2 − 10 , entre los valores de x = 3 y x = 6
Solución. :
- Dada la función F (x) = 3x^2 − 5 x − 6 Ha- lle la razón de cambio instantánea en el punto ( 2,-4)
Solución. :
Respuesta: 27 Respuesta: 7.
- Se compra un terreno por $ 30,000 dóla- res, si es una buena inversión la compra de terrenos, resulta que al segundo año se incrementó el valor del terreno en $ 3000 dólares y al octavo año el terreno ya valía $70 000 dólares. Calcular la razón de cam- bio promedio entre los 2 y 8 años trans- curridos. Solución. :
Respuesta: 6166.
- El costo total de producir camisetas es- tá representado por la función C(q) = 200+5q; donde q representa la cantidad de camisetas a producir y 5 es lo que cues- ta producir una camiseta. Halle el costo Marginal (razón de cambio instantanea) al producir la camiseta número 25.
Solución. :
Respuesta: 5
- La asistencia anual a los juegos de béisbol profesional se ha ido elevando en los últimos años. Las cifras correspondientes a los años de 1987 a 1991 se dan en la tabla. Calcule la razón de cambio promedio en la asistencia anual entre 1987 y 1991, 1987 y 1990, y 1989 y
AÑO 1987 1988 1989 1990 1991
Asistencia anual (millones) 63.1 64.8 66.0 67.8 69.
RPTA:a) 1.48 b) 1.57 c) 1.
- Una pieza única de arte ha sido valuada hace unos años. La función V = 1, 5 e^0 ,^06 t^ estima el valor V de la obra de arte (medido en millones de dólares) como una función del tiempo t, medido en años desde 1986. a) ¾Cuál es el valor estimado para el año 1996? ¾Y para el año 2000? b) Determine la expresión general para la razón de cambio instantánea en el valor de la obra de arte. c) ¾A qué razón se espera que se incremente el valor de la obra de arte en el año 2000?
RPTA: a) 2.733 ; 3.975 b) v´(t) = 0, 09 e^0 ,^06 tc) 0.
