Rutas Metabólicas en los procesos básicos Bioquímicos, Apuntes de Bioquímica

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MECÁNICA

VECTORIAL

V i v e t u p r o p ó s i t o

GUÍA DE TRABAJO

2 ucontinental.edu.pe

VISIÓN

Ser una de las 10 mejores universidades

privadas del Perú al año 2020, reconocidos

por nuestra excelencia académica y

vocación de servicio, líderes en formación

integral, con perspectiva global;

promoviendo la competitividad del país.

Universidad Continental Material publicado con fines de estudio Código: A 2016

MISIÓN

Somos una universidad privada innovadora y

comprometida con el desarrollo del Perú, que se

dedica a formar personas competentes, integras y

emprendedoras, con visión internacional, para que

se conviertan en ciudadanos responsables e

impulsen el desarrollo de sus comunidades,

impartiendo experiencias de aprendizaje vivificantes

e inspiradores; y generando una alta valoración

mutua entre todos los grupos de interés

ÍNDICE

• PRESENTACIÓN Pág.
• ÍNDICE
• Tema Nº 1 : INTRODUCCION PRIMERA UNIDAD
• Guía de práctica N°
• Tema Nº 2 : EQUILIBRIO DE UNA PARTICULA
• Guía de práctica N°
• Tema Nº 3 : FUERZAS EN EL ESPACIO
• Guía de práctica N°
• Tema Nº 4 : CUERPOS RIGIDOS
• Guía de práctica N°
• Tema Nº 5: EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS EN 2D SEGUNDA UNIDAD
• Guía de práctica N°
• Tema Nº 6 : EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS EN 3D (1)
• Guía de práctica N°
• Tema Nº 7 : EQUILIBRIO DE CUERPOS RÍGIDOS EN 3D (2)
• Guía de práctica N°
• Tema Nº 8 : CENTROIDES Y CENTRO DE GRAVEDAD
• Guía de práctica N°
• Tema Nº 9 : FUERZAS DISTRIBUIDAS TERCERA UNIDAD
• Guía de práctica N°

Tema Nº 10 : ARMADURAS 70 Guía de práctica N° 10 74

Tema Nº 11 : ARMAZONES Y MÁQUINAS 78 Guía de práctica N° 11 80

Tema Nº 12 : FUERZAS EN VIGAS 83 Guía de práctica N° 12 87

.

CUARTA UNIDAD

Tema Nº 13: MOMENTO DE INERCIA 89 Guía de práctica N° 13 95

Tema Nº 14 : CINEMÁTICA DE PARTICULAS 98 Guía de práctica 14 101

Tema Nº 15 : MOVIMIENTO CURVILINEO DE PARTICULAS 103 Guía de práctica N° 15 107

Tema Nº 16 : CINETICA DE PARTICULAS 109 Guía de práctica N° 16 111

ANEXOS

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS Y ENLACES

Idealizaciones importantes:

- Partícula : Es el modelo matemático de un cuerpo y se representa como un punto, se considera la masa del cuerpo, pero no sus dimensiones. - Cuerpo Rígido : Es una combinación de un gran número de partículas que ocupan posiciones fijas entre sí, tal que las propiedades del material no tendrán que tomarse en cuenta al estudiar los efectos de las fuerzas que actúan sobre dicho cuerpo. - Fuerza concentrada : Una fuerza concentrada representa el efecto de una carga que se supone actúa en cierto punto de un cuerpo. Una carga puede representarse mediante una fuerza concentrada, siempre que el área sobre la que se aplique la carga sea muy pequeña en comparación con el tamaño total del cuerpo. Un ejemplo sería la fuerza de contacto entre una rueda y el suelo.

Principios fundamentales: Basados en la evidencia experimental permiten cimentar el estudio de la mecánica, estos son seis:

- Principio de Transmisibilidad : En toda la línea de acción de una fuerza su efecto externo ejercido, sobre un cuerpo rígido, es invariable. - Primera Ley de Newton : Una partícula originalmente en reposo, o que se mueve en línea recta con velocidad constante, tiende a permanecer en este estado siempre que la partícula no se someta a una fuerza no balanceada. - Segunda Ley de Newton. Una partícula sobre la que actúa una fuerza no balanceada F experimenta una aceleración a que tiene la misma dirección que la fuerza y una magnitud directamente proporcional a la fuerza_.

• Tercera Ley de Newton_ : Las fuerzas mutuas de acción y reacción entre dos partículas son iguales, opuestas y colineales. - Ley del paralelogramo para la adición de fuerzas : Establece que dos fuerzas que actúan sobre una partícula pueden sustituirse por una fuerza llamada resultante. - Ley de gravitación de Newton : Propone que dos partículas cualesquiera o cuerpos tienen una fuerza de atracción (gravitacional) que actúa entre ellos. Sin embargo, en el caso de una partícula localizada en la superficie de la Tierra, o cerca de ella, la única fuerza gravitacional que tiene alguna magnitud significativa es la que existe

entre la Tierra y la partícula. En consecuencia, esta fuerza, conocida como peso , será la única fuerza gravitacional que se considere en nuestro estudio de la mecánica.

1.2 UNIDADES DE MEDICIÓN

Conversión de unidades: En la siguiente tabla se muestran las unidades del SI y del sistema inglés de las cantidades básicas:

En la siguiente tabla vemos algunos factores de conversión:

Sistema Internacional de Unidades

El sistema SI de unidades se usa de manera extensa en mediciones en ingeniería puesto que está destinado a convertirse en el estándar mundial para realizar mediciones. Conocer las reglas del SI así como parte de su terminología resulta relevante para la ingeniería.

- Uso de prefijos : Si una cantidad numérica es muy grande o muy pequeña, las unidades usadas para definir su tamaño pueden modificarse mediante el uso de un prefijo, en la tabla siguiente se muestran algunos prefijos: - Reglas básicas :  Las cantidades definidas por varias unidades que son múltiplos de otras se separan mediante un punto para evitar la confusión con la notación de prefijos, como se observa en N = kg.m/s^2 = kg.m/s^2. Asimismo, m.s significa metro- segundo (metro por segundo) en tanto que ms representa mili-segundo.

1.5 PRODUCTO DE UN ESCALAR POR UN VECTOR

Si un vector se multiplica por un escalar positivo, su magnitud se incrementa en esa cantidad. Cuando se multiplica por un escalar negativo también cambiará el sentido de la dirección del vector. En la figura se muestran ejemplos gráficos de estas operaciones.

1.6 ADICION DE VECTORES

Todas las cantidades vectoriales obedecen la ley del paralelogramo para la suma. A manera de Ilustración, los dos vectores 𝑨⃗⃗ y 𝑩⃗⃗ de la figura adjunta aplicados en un punto se suman para formar un vector “ resultante ” 𝑹⃗⃗ aplicado en el mismo punto. Los vectores sumandos a manera de lados forman un paralelogramo sobre cuya diagonal se traza el vector resultante o suma.

Se cumple la suma vectorial: 𝑅⃗ = 𝐴 + 𝐵⃗

Para determinar el módulo del vector suma podemos usar la ley de cosenos:

2 2 R  A  B  2 A B cos 

Asimismo podemos sumar los vectores 𝑨⃗⃗ y 𝑩⃗⃗ con el método del triángulo, graficando un vector a continuación del otro y trazar la resultante uniendo el origen del trazo con el extremo libre del segundo vector.

Para relacionar las magnitudes de los vectores usamos la ley de senos:

1.7 SUMA DE VARIAS FUERZAS

Si deben sumarse más de dos fuerzas, pueden llevarse a cabo aplicaciones sucesivas de la ley del paralelogramo para obtener la fuerza resultante. Por ejemplo, si tres fuerzas F 1 , F 2 , F 3 actúan en un punto O , ver figura, se calcula la resultante de dos cualesquiera de las fuerzas, digamos F 1 + F 2 , y luego esta resultante se suma a la tercera fuerza, dando la resultante de las tres fuerzas; es decir: F R = ( F 1 + F 2 ) + F 3.

1.8 DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN SUS COMPONENTES

Una fuerza F que actúa sobre una partícula puede ser reemplazada por dos o más fuerzas que en conjunto produzcan el mismo efecto sobre la partícula. Estas fuerzas se denominan componentes de la fuerza original F , y al proceso de sustituirlas en lugar de F se le llama descomposición de la fuerza F en sus componentes.

1.9 COMPONENTES RECTANGULARES DE UN VECTOR

En muchos problemas será conveniente descomponer el vector 𝑭⃗⃗ en sus

componentes perpendiculares entre sí, luego el vector puede representarse como la suma de dos vectores que se encuentran sobre los ejes x y y respectivamente.

Estos vectores reciben el nombre de componentes rectangulares del vector 𝑭⃗⃗.

 Fx es la componente del vector F en el eje x.  Fx es la componente del vector F en el eje y.

PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 1 TEMA N° 1: Fuerzas en el plano

INSTRUCCIONES: Resuelva cada problema en forma ordenada y con procedimientos completos, diagramas y cálculos pertinentes.

1. Para los vectores A y B de 4 y 3 unidades respectivamente. a) Determine la magnitud del vector suma S. b) Calcule el ángulo entre el vector suma y el eje positivo x. c) Escriba el vector suma S en forma cartesiana, usando vectores unitarios, además de su vector unitario.
2. Dados los vectores F 1 y F 2 mostrados en la figura. a)Si la magnitud de la resultante es de 1 kN y dirigida verticalmente hacia abajo siendo 𝜃 = 30º, determine las magnitudes de F 1 y F 2. b)Si los vectores F 1 y F 2 son de magnitudes 3 y 5 kN respectivamente, y la magnitud de la resultante en este caso es de FR = 7 kN, determine la medida del ángulo 𝜃( que forma F 2 y la vertical) y la medida del ángulo que forma el vector resultante FR y la vertical.
3. La fuerza F expresada con sus componentes rectangulares está dada por la expresión: 𝐹 ⃗⃗⃗ = −40𝑖 +60𝑗 N. a) Determine la magnitud de 𝐹 ⃗⃗⃗ y su dirección respecto al eje y. b) Determine las magnitudes de las componentes no rectangulares de 𝐹 ⃗⃗⃗ en las direcciones y y h.

Apellidos : ……………………………..…………………………. Nombres : …………………………………..……………………. Fecha : …../..…/201 6 Duración: Indic. Tiempo Tipo de Práctica: Individual ( ) Grupal ( )

Sección : …………………………..……………………. Docente : Escribir el nombre del docente Unidad: Indicar Unidad Semana: Indicar Semana

4. Determine la magnitud y la dirección 𝜃 de F 1 de tal modo que la fuerza resultante esté dirigida a lo largo del eje x´ positivo y tenga una magnitud de FR = 600N.
5. Si R⃗⃗ es la resultante de los vectores P⃗⃗ y Q⃗⃗ en cada caso determine las magnitudes de P y Q.
6. Las cuatro fuerzas concurrentes mostradas tiene una suma vectorial igual a cero. Se sabe que los módulos de las fuerzas FB, FC y FD son 800lb, 1000lb y 900lb respectivamente. Determine la magnitud de FA y la medida del ángulo α.

TEMA Nº 2: EQUILIBRIO DE UNA PARTÍCULA

2.1 Primera Ley de Newton o Ley de la Inercia A finales del siglo XVIII Sir Isaac Newton formuló tres leyes fundamentales en las que se basa la ciencia de la mecánica. La primera de estas leyes puede enunciarse como sigue: “ Si la fuerza resultante que actúa sobre una partícula es cero, la partícula permanecerá en reposo (si originalmente estaba en reposo) o se moverá con velocidad constante en línea recta (si originalmente estaba en movimiento)”.

2.2 Condición para el equilibrio de una partícula en el plano Una partícula está en equilibrio si permanece en reposo y en un principio estaba en reposo, o si tiene una velocidad constante y originalmente estaba en movimiento. No obstante, más a menudo, el término “equilibrio” o, de manera más específica, “equilibrio estático” se usa para describir un objeto en reposo. Para mantener el equilibrio, es necesario satisfacer la primera ley del movimiento de Newton, la cual requiere que la fuerza resultante que actúa sobre una partícula sea igual a cero. Esta condición puede ser establecida matemáticamente como: ∑ 𝐹 = 0

Para un cuerpo en equilibrio en dos dimensiones:

 F^ ^ ^  Fx^ ^ i^ ˆ^^ ^ ^  Fy^ ˆ j ^0 Ecuación que se cumple si se verifica que:  Fx^ ^0  Fy^ ^0

2.3 Diagrama de cuerpo libre Para aplicar la ecuación de equilibrio debemos tomar en cuenta todas las fuerzas conocidas y desconocidas que actúan sobre la partícula. La mejor manera de hacer esto es pensar en la partícula como aislada y “libre” de su entorno. Un dibujo que muestra la partícula junto con todas las fuerzas que actúan sobre ella se denomina diagrama de cuerpo libre (DCL).

Entre las fuerzas más comunes para analizar el equilibrio de partículas tenemos:

a) Fuerza gravitacional : Debida a la interacción con el planeta, se representa por un vector dirigido hacia abajo. A su magnitud se le denomina comúnmente peso (W). La magnitud del peso de un cuerpo se relaciona con su masa así: W = mg Unidades en el SI: W = Peso (en newton) m = Masa (en kilogramos) g = Aceleración de la gravedad = 9.81 m/s^2

b) Fuerzas en cables y poleas : Para partículas supondremos que todos los cables (o cuerdas) tienen un peso insignificante y que no se pueden deformar. Además, un cable puede soportar sólo una tensión o fuerza de “jalón” que actúa en la dirección del cable. La fuerza de tensión desarrollada en un cable continuo que pasa sobre una polea sin fricción, debe tener una magnitud constante para mantener al cable en equilibrio. En la figura el cable se somete a una tensión T en toda su longitud.

c) Fuerzas en resortes : Si un resorte elástico lineal (o cuerda) de longitud no deformada lo se usa como soporte de una partícula, su longitud cambiará en proporción directa a la fuerza F que actúe sobre él, figura adjunta. Una característica que define la “elasticidad” de un resorte es la constante de resorte o rigidez , k. La magnitud de la fuerza ejercida en un resorte elástico lineal que tiene una rigidez k y está deformado (alargado o acortado) una distancia igual a s = l - lo, medida desde su posición sin carga , es: F = k s

PRÁCTICA DE MECÁNICA VECTORIAL N° 2 Tema: Equilibrio de una partícula en el plano

INSTRUCCIONES: Resuelva cada problema en forma ordenada con procedimientos completos, diagramas y cálculos pertinentes.

1. La viga tiene un peso de 700 lb. Determine el cable ABC más corto que puede usarse para levantarla, si la fuerza máxima que puede soportar el cable es de 1500 lb.
2. La carga tiene una masa de 15 kg y es levantada por el sistema de poleas mostrado. Determine la fuerza F en la cuerda como función del ángulo θ. Grafique la función de fuerza F versus el ángulo θ para 0 ≤ 𝜃 ≤ 90º.
3. El resorte tiene una rigidez k = 800 N/m y longitud no alargada de 200 mm. Determine la fuerza en los cables BC y CD cuando el resorte se mantiene en la posición mostrada.

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4. El cajón de 500 lb va a ser levantado usando las cuerdas AB y AC. Cada cuerda puede resistir una tensión máxima de 2500 lb antes de romperse. Si AB siempre permanece horizontal, determine el ángulo θ más pequeño con que el cajón puede ser levantado.
5. Determinar las fuerzas que ejercen los apoyos sobre las tuberías, de 100 lb de peso cada una, en los contactos A, B y C. Supóngase lisas todas las superficies.
6. Una esfera de 4 kg descansa sobre la superficie parabólica lisa mostrada. Determine la fuerza normal que ejerce la esfera sobre la superficie y la masa mB del bloque B necesaria para mantenerla en la posición de equilibrio que aparece en la figura.