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Universidad San Francisco de Quito Métodos computaciones de procesos químicos. Daniel Vivas 00135828 Fecha: 23/01/ Deber 1
1. Para un proceso, su asistente ha preparado cuatro balances de materia: 0 , 25 𝑁𝑎𝐶𝑙 + 0 , 35 𝐾𝐶𝑙 + 0 , 55 𝐻 2 𝑂 = 0 , 30 0 , 35 𝑁𝑎𝐶𝑙 + 0 , 20 𝐾𝐶𝑙 + 0 , 40 𝐻 2 𝑂 = 0 , 30 0 , 40 𝑁𝑎𝐶𝑙 + 0 , 45 𝐾𝐶𝑙 + 0 , 05 𝐻 2 𝑂 = 0 , 40 1 , 00 𝑁𝑎𝐶𝑙 + 1 , 00 𝐾𝐶𝑙 + 1 , 00 𝐻 2 𝑂 = 1 , 00 El dice que como las cuatro ecuaciones exceden el número de incógnitas, tres, no hay solución. ¿Está en lo correcto? Explique si es posible o no obtener una solución única. Solución: Realmente el sistema si tiene solución, inicialmente el problema se presenta sobre determinado, es decir hay más ecuaciones que variables con valor desconocido, sin embargo, tal como podemos comprobar la ultima ecuación es la suma de las anteriores por lo que podríamos decir que está ecuación está repetida y puede ser despreciada; esto dejaría nuestro sistema con 3 ecuaciones y 3 incógnitas. Si procedemos a hacer un análisis de grados de libertad a nuestro nuevo sistema, el
resultado sería 0, lo que inmediatamente significaría que el balance de materia está especificado de manera adecuada y por lo tanto la solución del sistema es única. (Himmielblau, sección 3)
3. En la figura se muestra un proceso de destilación. Se le pide obtener todos los valores de velocidad de flujo y composición. ¿Cuántas incógnitas hay en el sistema? ¿Cuántas ecuaciones independientes de balance de materia puede escribir? Explique cada respuesta y muestre todos los detalles del razonamiento que siguió para tomar su decisión. Para cada flujo, los únicos componentes son los que se indican debajo de cada flujo. Obtenga todos los valores. (Himmielblau, 245). Solución: A continuación, se procede a presentar un nuevo gráfico, en el que se especifica los nombres de las incógnitas a utilizarse en la resolución del ejercicio planteado. Gráfica 1. Muestra el diagrama de flujo del sistema a resolver con sus incógnitas.
Esto deja nuestro sistema con 9 incógnitas sin resolver que corresponden a las velocidades de flujo y a las composiciones del flujo denominado F.
- ¿Cuántas ecuaciones independientes de balance de materia puede escribir? Realmente se puede escribir un sin número de balances de materia, para este caso se ha decido escribir 16 balances de materia para resolver el sistema inicial que contiene 16 incógnitas. Los balances se detallan a continuación: Balances de flujo: 1. Total 𝐺 + 𝐻 + 𝐸 = 2000 ( 1 ) 2. Balance alrededor de la columna 1 𝐶 + 𝐹 − 𝐷 = 2000 ( 2 ) 3. Balance alrededor de la columna 2 −𝐷 + 𝐶 − 𝐸 = 0 ( 3 ) 4. Balance alrededor de la columna 3 𝐺 + 𝐻 − 𝐹 = 0 ( 4 ) Balances del componente C 2 5. Balance alrededor de la columna 1
- 8 𝐶 − 0. 6 𝐷 + 𝑋𝐹 = 0 ( 5 ) 6. Balance alrededor de la columna 2
- 8 𝐶 − 0. 6 𝐷 − 0. 9 𝐸 = 0 ( 6 ) 7. Balance alrededor de la columna 1
- 2 𝐺 − 𝑋𝐹 = 0 ( 7 ) 8. Balance total
Balances del componente C 3
9. Balance alrededor de la columna 1 0. 2 𝐶 − 0. 4 𝐷 + 𝑌𝐹 = 500 ( 9 ) 10. Balance alrededor de la columna 2 0. 2 𝐶 − 0. 4 𝐷 − 0. 1 𝐸 = 0 ( 10 ) 11. Balance alrededor de la columna 3 − 0. 8 𝐺 − 0. 3 𝐻 + 𝑌𝐹 = 0 ( 11 ) 12. Balance total 0. 8 𝐺 + 0. 3 𝐻 + 0. 1 𝐸 = 500 ( 12 ) Balances del componente C 4 13. Balance alrededor de la columna 1 𝑍𝐹 = 700 ( 13 ) 14. Balance alrededor de la columna 3 − 0. 7 𝐻 + 𝑍𝐹 = 0 ( 14 ) 15. Balance total
- 8 𝐶 − 0. 6 𝐷 + 𝑋𝐹 = 0 ( 15 ) Balances combinados: 16. Balance alrededor de las columnas 1 y 2 𝐸 + 𝐹 = 2000 ( 16 )
Grafica 4. Muestra la matriz beta o matriz coeficiente. Grafica 5. Muestra la matriz inversa de la matriz Alpha. Sabiendo que la ecuación matricial es: ∝ 𝑥 = 𝛽 La solución del problema viene dada por: 𝑥 =∝−^1 ∗ 𝛽 Siendo x, la que nos de el valor de los flujos, la respuesta se muestra a continuación: 𝐶 = 1285 , 71 [𝐾𝑔/ℎ] 𝐷 = 428 , 57 [𝐾𝑔/ℎ] 𝐸 = 857 , 14 [𝐾𝑔/ℎ] 𝐹 = 1142 , 86 [𝐾𝑔/ℎ] 𝐺 = 142 , 86 [𝐾𝑔/ℎ] 𝐻 = 1000 , 00 [𝐾𝑔/ℎ] Hasta esta parte del ejercicio se han resuelto 13 de las 16 incógnitas iniciales para finalizar con el ejercicio se procederá a utilizar las ecuaciones (7), (11) y (13), para obtener los valores de las composiciones de F, reemplazando los resultados obtenidos. 𝑋𝐹 = 0. 2 𝐺 ( 7 )
𝑋𝐹 = 28 , 57 [𝐾𝑔/ℎ]
𝑌𝐹 = 414 , 28 [𝐾𝑔/ℎ]
𝑍𝐹 = 700 [𝐾𝑔/ℎ] ( 13 )
Sabiendo que el valor total de 𝐹 = 1142 , 86 , se puede comprobar que los valores son consistentes y además se pueden hallar las composiciones de F que son las siguientes: 𝐶 2 = 0 , 025 𝐶 3 = 0 , 3625 𝐶 4 = 0 , 6125 Si sumamos los valores obtenidos podemos comprobar que los resultados son consistentes, puesto que el valor es 1 y por lo tanto se puede concluir que el problema fue resuelto adecuadamente. Referencias: Himmelblau, D. (1997). Principios básicos y cálculos en ingeniería química. Pearson Educación.
