Facultad de Ciencias
Departamento Académico de Matemática
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA
Curso: Análisis Matemático I
Ciclo 2022-I
UNALM –2022
Unidad 1: Números Reales
1.3 Inecuaciones polinomiales y racionales
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SEMANA 1 Análisis Matemático 22-1, Diapositivas de Análisis Matemático
Diapositivas de la semana 1 del curso general Análisis Matemático
Tipo: Diapositivas
2021/2022
1 / 27
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Facultad de Ciencias
Departamento Académico de Matemática
UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA LA MOLINA
Curso: Análisis Matemático I
Ciclo 2022-I
Unidad 1: Números Reales
1.3 Inecuaciones polinomiales y racionales
LOGRO DE LA SESIÓN DE CLASE
Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante
resuelva inecuaciones polinomiales y racionales
aplicando las propiedades y el método
correspondiente.
Ejemplo:
Resuelva en R:
Solución:
Inecuaciones de segundo orden o cuadráticas
Una inecuación cuadrática es aquella que se expresa de cualquiera de las
siguientes formas :
𝟐
- 𝒃𝒙 + 𝒄 < 𝟎 , 𝒂𝒙
𝟐
- 𝒃𝒙 + 𝒄 ≤ 𝟎 ,
𝟐
- 𝒃𝒙 + 𝒄 > 𝟎 , 𝒂𝒙
𝟐
- 𝒃𝒙 + 𝒄 ≥ 𝟎 ,
Donde 𝒂 ≠ 𝟎 , 𝒂, 𝒃, 𝒄 ∈ ℝ
Métodos de solución de una inecuación cuadrática
➢ Método de factorización
➢ Método de completar cuadrados
➢ Métodos de los puntos críticos
Definición : Al binomio ∆= 𝑏
2
− 4 𝑎𝑐, se llama discriminante del polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥
2
- 𝑏𝑥 + 𝑐 con
Proposición : Si el polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑎𝑥
2
- 𝑏𝑥 + 𝑐 con 𝑎 ≠ 0 , tiene su discriminante negativo, el
valor del polinomio será positivo para todo valor de 𝑥 si 𝑎 > 0 y será negativo si 𝑎 < 0.
Ejemplo: Determine su conjunto solución
2
Solución:
Operando:
2
2
2
2
- 17𝑥 + 2 < 0
2
Si 𝑥 − 2 = 0 ⟹ 𝑥 = 2
Si 9 𝑥 + 1 = 0 ⟹ 𝑥 = −
1
9
∪ ] 2 ; +∞[
Ejemplo:
Ejemplo: Sea el polinomio 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 1 ) (𝑥 − 1 )² (𝑥 − 4 )³. Entonces:
- 1 es un cero de multiplicidad simple
1 es un cero de multiplicidad 2
4 es un cero de multiplicidad 3
Resolución de inecuaciones polinómicas
Caso 1 : Cuando las raíces de la ecuación polinómica 𝑷 𝒙 = 𝟎 son reales y diferentes. Es decir
1
2
3
𝑛− 1
𝑛
a. En los intervalos consecutivos determinados por las raíces del polinomio 𝑷 𝒙 = 𝟎 , se alternan los signos “+”
y “-” empezando por asignar el signo de derecha a izquierda.
b. Si la inecuación es de la forma 𝑃 𝑥 = 𝒂 𝒏
𝒏
𝒏−𝟏
𝒏−𝟏
𝒏−𝟐
𝒏−𝟐
𝟎
0 , con 𝒂 𝒏
0, el conjunto
solución será la unión de los intervalos a los cuales se les ha asignado el “+”.
c. Si la inecuación es de la forma 𝑃 𝑥 = 𝒂 𝒏
𝒏
𝒏−𝟏
𝒏−𝟏
𝒏−𝟐
𝒏−𝟐
𝟎
< 0 , con 𝒂 𝒏
0, el conjunto
solución será la unión de los intervalos a los cuales se les ha asignado el “-”.
Ejemplo:
Determine el conjunto solución
Solución: Igualando cada factor a cero para hallar los puntos críticos:
B) Si 𝑚 es impar , el factor 𝒙 − 𝒓 𝒊
𝒎
tiene el mismo signo del factor 𝒙 − 𝒓 𝒊
en
consecuencia, la inecuación se resuelve como en el Caso 1. Esto es, si:
a) 𝒙 − 𝒓 𝒊
𝒎
𝒊
b) 𝒙 − 𝒓 𝒊
𝒎
𝒊
Ejemplo: Determine el conjunto solución de
4
− 9 𝑥
2
- 4𝑥 + 12 ≥ 0
Solución: Factorizando 𝑥 − 2
2
El factor 𝑥 − 2
2
es de multiplicidad par , la inecuación equivalente es:
Ejemplo:
Determine el conjunto solución 𝑥
5
3
2
Solución: Factorizando: 𝑥 − 1
3
La inecuación equivalente es:
Halle la Solución de la inecuación
2
11
2
3
2
2
5
𝑆olución
2
11
2
5
2
Luego tenemos
2
− 7 )
11
𝑥 − 4 𝑥 + 4 (𝑥 − 1 )
5
< 0
2
Ejercicio:
Ejercicio: Halle la solución de la inecuación
3
− 8 )
9
2 − 𝑥
4
(𝑥
2
+5𝑥 − 1 )
3
(𝑥
2
−4𝑥)
2
0
Solución
Cs=
− 5 −√ 29
2
− 5 +√ 29
2
2
4
2
3
2
2
5
2
3
2
2
0
2
- 2𝑥 + 4 es positivo ∀ 𝑥 ∈ ℛ, pues ∆ < 0
1.3 Inecuaciones racionales
Es de la forma:
𝒏
𝒏
- 𝒂 𝒏−𝟏
𝒏−𝟏
- 𝒂 𝒏−𝟐
𝒏−𝟐
- ⋯ + 𝒂 𝟎
𝒏
𝒏
- 𝒃 𝒏−𝟏
𝒏−𝟏
- 𝒃 𝒏−𝟐
𝒏−𝟐
- ⋯ + 𝒃 𝟎
𝒏
𝒏
- 𝒂 𝒏−𝟏
𝒏−𝟏
- 𝒂 𝒏−𝟐
𝒏−𝟐
- ⋯ + 𝒂 𝟎
𝒏
𝒏
- 𝒃 𝒏−𝟏
𝒏−𝟏
- 𝒃 𝒏−𝟐
𝒏−𝟐
- ⋯ + 𝒃 𝟎
𝒏
𝒏
𝒏−𝟏
𝒏−𝟏
𝒏−𝟐
𝒏−𝟐
𝟎
𝒏
𝒏
- 𝒃 𝒏−𝟏
𝒏−𝟏
- 𝒃 𝒏−𝟐
𝒏−𝟐
- ⋯ + 𝒃 𝟎
𝒏
𝒏
𝒏−𝟏
𝒏−𝟏
𝒏−𝟐
𝒏−𝟐
𝟎
𝒏
𝒏
- 𝒃 𝒏−𝟏
𝒏−𝟏
- 𝒃 𝒏−𝟐
𝒏−𝟐
- ⋯ + 𝒃 𝟎
Donde el numerador y denominador son polinomios, con grado del denominador mayor o igual a uno.
Para resolver inecuaciones racionales utilizaremos el método de los puntos críticos.
Pasos para resolver una inecuación racional:
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
𝑃(𝑥)
𝑄(𝑥)
➢ Se factoriza el numerador y denominador
➢ Identificar en el denominador las restricciones, es decir, 𝑄(𝑥) ≠ 0.
➢ Luego resolver la desigualdad: 𝑃(𝑥) · 𝑄(𝑥) > 0 , 𝑃(𝑥) · 𝑄(𝑥) < 0 , 𝑃(𝑥) · 𝑄(𝑥) ≥ 0 ó 𝑃(𝑥) · 𝑄(𝑥) ≤ 0 ; la
forma de resolver cualquiera de las desigualdades no es otra que la resolución de una inecuación polinómica ,
solamente que ahora debemos tener en cuenta la restricción en el denominador.
Ejemplo: Resuelva en R
𝟐
Solución
2
2