Teoría de colas: conceptos básicos y modelos M/M/1, M/M/S y redes abiertas de colas, Apuntes de Modelación Matemática y Simulación

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Repaso de teoría de

colas.

Supuestos fuertes de los modelos de colas

1. Los tiempos entre arribos son independientes e idénticamente distribuidos.
2. Todos los servidores son idénticos y los tiempos de servicio son independientes e idénticamente distribuidos.

Notación Kendall-Lee

A/B/C/D/E/F

Parámetros importantes

𝒆

Algunas medidas de desempeño…

Ley de litle

𝒔

𝒆

𝒔

𝒒

𝒆

𝒒

1) Modelo M/M/1/ ∞ /GD/ ∞

𝝆 =??? 𝝅 𝟎 = 𝟏 − 𝝆 𝝅 𝒋 = 𝝆 𝒋 ∗ 𝝅 𝟎 𝑳 = 𝝆 𝟏 − 𝝆 𝑳 𝒒 = 𝝆 𝟐 𝟏 − 𝝆 𝑾 𝒒 = 𝝀 𝝁 ∗ (𝝁 − 𝝀)

1) Modelo M/M/1/ ∞ /GD/ ∞

Ejemplo: Drive – thru

• La llegada de carros sigue una distribución Poisson con media de 10 carros/hora.
• Hay solo 1 servidor cuyo tiempo de servicio se distribuye exponencial con tasa de 0,2 min^-1.
• El lavadero de carros es muy grande, se puede considerar de capacidad infinita a) ¿Utilización del sistema? Interpretación !!! b) Probabilidad de que el sistema esté desocupado en estado estable. c) % de tiempo en que hay 1 solo carro en cola. d) En promedio un carro gasta $15000 comprando. ¿Cuánto dinero en promedio recibe el lavadero en 1 hora? e) ¿Cuantos carros hay en promedio en el sistema en estado estable? f) ¿En promedio cuanto se demora un carro en la cola?

2) Modelo M/M/S/ ∞ /GD/ ∞

Ejemplo: Banco con tres cajeros

• Llegan en promedio 60 personas por hora.
• Los cajeros atienden a una personas en 2 minutos en promedio.
• Hay capacidad infinita.
• Todos los tiempos son exponenciales e independientes.
• La probabilidad de que los tres cajeros estén ocupados es de 0.42. Resuelva a) ¿Cuantas personas (clientes) en promedio hay en el banco? b) ¿Cuánto tiempo en promedio se demora una persona en el banco?

3) Modelo M/M/ ∞ / ∞ /GD/ ∞

𝒔

Redes abiertas de colas

cálculo de la tasa de entrada

𝒊

𝒊

𝒊

𝒊

𝒋=𝟏 𝑵

𝒋𝒊

𝒋

(𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊𝒐𝒏𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝒕𝒓á𝒇𝒊𝒄𝒐)

Redes abiertas de colas

Red de Jackson (Supuestos)

Una red abierta es una red de Jackson si: ❖Los arribos externos siguen un proceso Poisson con tasa 𝒓𝒊. ❖En cada nodo hay 𝑺𝒊 servidores que se demoran un tiempo exponencial (𝝁𝒊 ) atendiendo a una entidad. ❖Todos los tiempos son independientes. ❖Todos los nodos tienen capacidad infinita. ❖Todos los nodos son estables.

Redes abiertas de colas

Red de Jackson (Procedimiento general)

1. Hallar 𝝀𝒊 con las ecuaciones de tráfico
2. Verificar supuesto de estabilidad de todos los nodos
3. Calcular medidas de desempeño de los nodos ( M/M/S/ ∞ / GD / ∞)
4. Calcular medidas de desempeño de las red completa

Redes abiertas de colas

Red de Jackson (Medidas de desempeño de la red)

𝒊=𝟏 𝑵

𝒊