Ejercicio 14 de las notas. Una persona puede elaborar dos productos, A y B. El volumen de ventas
de A es al menos el 80% de las ventas conjuntas de A y B. Sin embargo, no se pueden vender más
de 7 unidades de A al día. Ambos productos utilizan una materia prima, y se dispone a lo más de 2
unidades de la misma por día. Se usan 0.25 y 0.08 unidades de dicha materia para elaborar una
unidad de A y B respectivamente. Las ganancias unitarias por la venta de A y B son de 13 y 23
pesos, respectivamente. Encuentre los niveles de producción de A y B que maximizan la ganancia
de la persona utilizando el método gráfico.
Dicha persona desea aumentar sus ganancias todo lo posible.
1. ¿Qué puedo elegir? El volumen de ventas del producto A (𝑥1) y del producto B (𝑥2) diariamente.
2. ¿Qué restricciones hay?
a) Acerca de la diferencia de ventas, menciona que 𝑥1es al menos el 80% de (𝑥1+𝑥2), la
cual se expresa como 𝑥1≥0.8(𝑥1+𝑥2) o visto de otra forma, el ochenta por ciento de las
ventas conjuntas es menor o igual a las ventas del producto A, 0.8(𝑥1+𝑥2)≤ 𝑥1.
b) No se pueden vender más de 7 unidades del producto, 𝑥1≤7.
c) Ahora se define la restricción que delimita la disposición de la materia prima. El enunciado
indica que ambos productos ocupan la misma materia prima, y se dispone a lo más de 2
unidades por día. Usando 0.25 y 0.08 unidades de ella para A y B. Es así como se define la
última restricción, 0.25 𝑥1+0.08𝑥2≤2.
d) Una restricción implícita es que las variables 𝑥1 y 𝑥2, no pueden asumir valores negativos.
Se establecen restricciones de no negatividad para ambas variables, 𝑥1≥ 0 𝑦 𝑥2≥0.
3. ¿Cuál es el criterio objetivo para comparar? Los niveles de producción en base al volumen de
ventas diaria que generen mayor ganancia (en pesos) a dicha persona. Se tiene que las ganancias
unitarias por la venta del producto A son $13 y B de $23, entonces lo que se tiene que comparar es
la cantidad de ambos productos vendidos junto con la ganancia que generan. Es decir, hay que
maximizar 13 𝑥1+23𝑥2.
El programa queda
𝑚á𝑥 13𝑥1+23𝑥2
s. a.
0.8(𝑥1+𝑥2)≤𝑥1,
𝑥1≤7,
0.25 𝑥1+0.08𝑥2≤2,
𝑥1 ,𝑥2≥0.
Para resolver este programa se debe graficar las restricciones, si una restricciones es lineal,
entonces corresponde a un semiplano cuya frontera está dada por la igualdad 𝑥
𝑎+𝑦
𝑏=1.
Para 0.25 𝑥1+0.08𝑥2≤2 tenemos 𝑥
2
0.25 +𝑦
2
0.08 =1 dando como resultado (8,25).
Por otro lado, para que se pueda apreciar en el plano coordenado y se facilite graficar las
restricciones ponemos los valores de 𝑥2 sobre el eje de las abscisas y a los de 𝑥1 sobre el de las
ordenadas.
