Ejercicios resueltos Capitulo VIII
Libro: Geometría, G. Calvache y C. León
Edición 2019
Autor,
The Seeker
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Matemática, Educación e Internet
(http://www.tec-digital.itcr.ac.cr/revistamatematica/).
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Solucionario Calvache, Ejercicios de Geometría
Solucionario calvache edición 2017 Triangulos
Tipo: Ejercicios
2021/2022
1 / 106
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- 1 GEOMETRÍA PLANA: ÁREA DE TRIÁNGULOS PÁGINA
- Ejercicio
- Ejercicio
- Ejercicio
- Ejercicio
- Ejercicio
- Ejercicio
- Ejercicio
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- Ejercicio IV
- Ejercicio
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- Ejercicio
- Ejercicio
Ejercicio 1
Ejercicio. Sea,
Solución: Se sigue,
- Ya que BD es bisectriz del triángulo B AH , AB AD
B H
D H
= B H
D H
B H = 7 D H
- Obtener una relación para los segmentos de la ecua- ción (1), mediante el teorema de pitágoras en el trián- gulo B AH , AB^2 = B H^2 + AH^2
(14)^2 =
7 D H
4 + D H
53 D H^2 + 32 D H − 720 = 0
por tanto, D H = 3,
- Los triángulos B AE y B H D comparten sus ángulos,
4 B AE ≈ 4 B H D , ( A , A )
entonces B A B H
= AE
H D
= BE
B H
descartando la tercera proporción,
AB B H
= AE
H D
7 D H
AE
H D
AE = 4
es un resultado esperado (observar bien el gráfico)
- Obtener el ángulo B ˆ mediante razones trigonométri- cas, (por ejemplo)
sin( ˆ B ) = AH AB B^ ˆ = arc cos
- Ya que É B AH es el complemento de ˆ B y É B AH es el com- plemento de α , implica,
α = B ˆ = 58,110◦
- Obtener el área sombreada dado dos lados y un ángulo comprendido,
A 4 AE D = AD^ ×^ AE^ sin( α ) 2 =
(4)(4) sin(31,89◦) 2 = 4,226[ u ]^2 ‰
Ejercicio 2
Ejercicio. Sea,
Solución: Se sigue,
- Ya que BD es una mediana del triángulo ABC enton- ces, por propiedad de áreas,
A 4 B AD = A 4 B DC
de igual forma, E D es mediana del triángulo AEC por tanto, A 4 AE D = A 4 E DC
- Del siguiente razonamiento,
A 4 B EC = A 4 B DC − A 4 E DC = A 4 AB D − A 4 AE D = A 4 AB E , (∗)
- Obtener el segmento E D mediante teorema de pitágo- ras en el triángulo AE D
AD^2 = AE^2 + E D^2
E D =
AD^2 − AE^2
(6)^2 − (4)^2
p 20 = 2
p 5
- Ya que B AD es un triángulo rectángulo y AE es la al- tura relativa al ángulo recto, por teorema de relaciones métricas,
AE^2 = BE × E D
BE =
AE^2
E D
p 5
= (^) p^8 5
- Obtener el área del triángulo B AE dado una base y una altura
A 4 B AE =
BE × AE
p 5
p 5
Ejercicio 3
Ejercicio. Sea,
Solución: Del gráfico se sigue,
- Hallar el ángulo ˆ3 mediante suma de ángulos internos en el triángulo B D M
ˆ 1 + ˆ 2 + ˆ 3 = 180 ◦ ˆ 3 = 49,254◦
- Hallar el segmento B D mediante ley de senos en el triángulo BD M
B D sin(ˆ2)
= B M
sin(ˆ3)
B D =
B M sin(ˆ2) sin(ˆ3) =
(5) sin(115,746◦) sin(49,254◦) = 5,
- Hallar el área del región pedida dados dos lados adya- centes y el ángulo comprendido,
A 4 AB D = AB^ ×^ B D^ sin(ˆ1) 2 =
(8)(5,945) sin(15◦) 2 = 6,154[ u ]^2 ‰
Ejercicio 5
Ejercicio. Sea,
Solución: Se pide justificar los ángulos del gráfico.
- Hallar el segmento P D mediante ley de senos en el triángulo AP D
AP sin(45◦)
= P D
sin(20◦) P D =
(10) sin(20◦) sin(45◦) = 4,
- Hallar el segmento C D mediante ley de senos en el triángulo P DC
DC sin( ˆ P )
P D
sin( ˆ C )
DC = P D^ sin( ˆ P^ ) sin( ˆ C ) =
(4,84) sin(65◦) sin(45◦) = 6,
- Hallar el área dado dos lados y ángulo comprendido,
Sx =
P D × C D sin( ˆ D ) 2 =
(4,84)(6,2) sin(70◦) 2 = 14,1[ u^2 ] ‰
Ejercicio 6
Ejercicio. Sea,
Solución: Se sigue,
A 4 ABC =
AB × BC sin( α ) 2 40 =
(8)(11) sin( α ) 2 α = 65,38◦
por tanto,
A 4 BDE = DB^ ×^ B E^ sin( α ) 2 =
(5)(4) sin(65,38◦) 2 = 9,091[ u^2 ] ‰
Ejercicio 7
Ejercicio. Sea,
Solución: Se sigue,
- Mediante la construcción de las alturas B H y P L se ve- rifica,
A 4 AB M =
B H × AM
A 4 AP M =
AM × P L
así,
S 1 = A 4 AB M − A 4 AP M
B H × AM
AM × P L
= ( B H − P L )
AM
2 S 1
AM
= B H − P L , (3)
de forma análoga,
A 4 M BC = MC^ ×^ B H
A 4 M PC =
MC × P L
así,
S 2 = A 4 M BC − A 4 M PC
MC × B H
MC × P L
= ( B H − P L ) MC
2 S 2
MC
= B H − P L , (4)
igualando los resultados (4) y (3)
2 S 1
AM
2 S 2
MC
AM = MC
S 1 = S 2 ‰
Ejercicio 8
Ejercicio. Sea,
Ejercicio 10
Ejercicio. Sea,
Solución: Se sigue,
- Ya que C F es bisectrzi del triángulo ABC se sigue,
BC B F
C A
AF
B F
C A
AF
C A
B F
AF
- Ya que FG || AH por el teorema de tales,
F B FG
AB
AH
F B
= AF^ +^ F B
AH
restando los numeradore y denominadores (propiedad de proporciones)
F B 6
= AF
AH − 6
AH − 6
= AF
F B
inviertiendo,
6 AH − 6
= F B
AF
- Igualando las ecuaciones (2) y (1)
20 C A
AH − 6
acomodando,
AC = 10 AH^ −^60
- De los teoremas de relaciones métricas,
BC^2 = AC × HC
400 =
10 AH − 60
· HC
120 = AH × HC − 6 HC
pero, de las relaciones métricas se verifica
H B^2 = AH × HC
y también, del teorema de pitágoras
BC^2 − HC^2 = AH × HC 400 − HC^2 = AH × HC
por tanto,
120 = (400 − HC^2 ) − 6 HC HC^2 + 6 HC − 280 = 0
por tanto, HC = 14[ u ].
- Del teorema de pitágoras en el triángulo BC H
BC^2 = B H^2 + HC^2
B H =
BC^2 − HC^2
p 204
- Por teorema de relaciones métricas,
B H
2 = AH × HC
AH =
B H^2
HC
- El área del triángulo ABC dado base y altura,
A 4 ABC =
AC × B H
p
2 = 204,041[ u^2 ] ‰
Ejercicio 11
Ejercicio. Calcular una de las alturas iguales de un
triángulo isósceles de 16[ u^2 ] de área, si los ángulos igua- les miden 40◦^ cada uno.
Solución: Se ilustra,
Del gráfico, se sigue
A 4 ABC =
AB × BC sin( ˆ B ) 2 16 =
m^2 sin(100◦) 2 m = 5,
así,
sin(É H B A ) =
AH
AB
AH = AB sin(80◦) = 5,7 sin(80◦) = 5,613[ u ] ‰
Ejercicio 12
Ejercicio. Los catetos de un triángulo rectángulo mi-
den 6[ u ] y 8[ u ]. La bisectriz del mayor ángulo agudo di- vide la triángulo en dos triángulos, calcular la relación de sus áreas.
Solución: Se ilustra,
Del gráfico se sigue,
A 4 ABD =
BD × AB
= 3 BD , (1)
A 4 ADC =
DC × AB
= 3 DC , (2)
por otra parte AD es bisectriz interna del triángulo ABC
AB BD
AC
DC
BD
DC
DC =
5 BD
3 ,^ (3)
reemplazando (3) en (2)
A 4 ABD = 3 DC
= 3
5 BD
= 5 BD , (4)
se arma la proporción requerida, de (4) y (1)
A 4 ABD A 4 ADC
= 3 BD
5 BD
- Obtener la región sombreada mediante resta de áreas, A /// = A 4 F BC − A 4 DB E
=
F B × BC sin(ˆ1) 2
DB × B E sin(ˆ1) 2 = ( F B × BC − DB × B E )
sin(ˆ1) 2 =
) (^) sin(42,651◦) 2 = 18,39[ u^2 ] ‰
Ejercicio 15
Ejercicio. Sea,
Solución: Se sigue,
- Por ángulo externo al triángulo DFC ˆ 2 + 28 ◦^ = δ ,
- Por ángulo externo al triángulo AF D 2ˆ 1 + δ = 2ˆ 2 2ˆ 1 + (ˆ 2 + 28 ◦) = 2ˆ 2 2ˆ 1 + 28 ◦^ = ˆ2, (1)
- Por ángulo externo al triángulo AE F ˆ 1 + 126 ◦^ = 2ˆ2, (2)
- Resolviendo el sistema de ecuaciones, { 2ˆ 1 + 28 ◦^ = 2 ˆ 1 ˆ + 126 ◦^ = 2ˆ 2 sugerencia: reemplazar la primera en la segunda, se verifica 1 ˆ = 23,333◦, 2 ˆ = 74,667◦
- Los ángulos: α , θ y δ se obtienen de inmediato al for- mar ángulos llanos o suma de ángulos internos en los triángulos; se verifica
α = 30,667◦, θ = 51,333◦, δ = 102,667◦
- Hallar el segmento AB mediante ley de senos en el triángulo AF B
AF sin( θ )
AB
sin( α + 2)ˆ
AB =
AF sin( α + 2)ˆ sin( θ ) = 12 sin(105,
sin(51,333◦) = 14,
- Hallar el segmento AE mediante ley de senos en el triángulo AF E
AF sin( AE F Å )
AE
sin( α )
AE = AB^ sin( α ) sin( Å AE F ) = 12 sin(30,
sin(126◦) = 7,
- Obtener el segmento AC mediante ley de senos en el triángulo AFC
AF sin( ˆ C )
AC
sin( α + 2)ˆ
AC =
AF sin( α + 2)ˆ sin( ˆ C ) = 12 sin(105,
sin(28◦) = 24,
- Hallar el segmento AD mediante ley de senos en el triángulo AF D
AF sin( δ )
AD
sin( α )
AD =
AF sin( α ) sin( δ ) = 12 sin(30,
sin(102,667◦) = 6,
- Obtener el área sombreada mediante resta de áreas,
A /// = A 4 ABC − A 4 AE D
=
AB × AC sin(ˆ1) 2
AE × AD sin(ˆ1) 2 = ( AB × AC − AE × AD )
sin(ˆ1) 2 =
) (^) sin(23,333◦) 2 = 62,960[ u^2 ] ‰
Ejercicio 16
Ejercicio. Sea,
Solución: De ejercicio previos DB A Å = 70 ◦, así
AB sin(70◦)
B D
sin(40◦)
Ley de senos 4 ABD
BD =
AB sin(40◦) sin(70◦) = 8,
ahora,
A 4 ABD =
AB × B D sin( AB D Å) 2 =
(12)(8,208) sin(70◦) 2 = 46,281[ u^2 ] ‰
Ejercicio 17
Ejercicio. Dos lados de un triángulo tienen una dife-
rencia de 8[ u ], si el menor de estos lado se prolonga 3[ u ] y el mayor se prologan 2[ u ], el área del triángulo aumen- ta en 25 %. Calcular estos dos lados.
Solución: Se ilustra la situación,
supongamos que, y > x así, y − x = 8 por otra parte, la nueva área,
A 4 AE F = Sx +
Sx 4 =
5 Sx 4 así, A 4 AE F Sx
( x + 3)( y + 2) x y f r ac
5 Sx 4
Sx =
( x + 3)( y + 2) x y 5 4
= ( x^ +^ 3)( y^ +^ 2) x y resolver el sistema de ecuaciones
y − x = 8 5 4
( x + 3)( y + 2) x y de donde,
x = 17,2[ u ], y = 24,2[ u ] ‰
- Hallar el área sombreada mediante resta de áreas,
A /// = A 4 B F D − A 4 C F E
=
BF × DF sin(ˆ1) 2 −^
C F × E F sin(ˆ1) 2 = ( BF × DF − C F × E F ) sin(ˆ1) 2 =
) (^) sin(20,536◦) 2 = 32,257[ u^2 ] ‰
Ejercicio 20
Ejercicio. Sea,
Solución: Se sigue,
- Obtener el valor de m , mediante teorema de Stewart,
B M^2 × AC = BC^2 × AM + AB^2 × MC − AM × MC × AC (9)^2 (2 m ) = (12)^2 ( m ) + (8)^2 ( m ) − ( m )( m )(2 m )
simplificando "m" de cada término
162 = 144 + 64 − 2 m^2 m = 4,
- En la figura C BT A (en ese orden) por el teorema de Me- nelao se sigue,
C L × BT × AM = LB × T M × AC (6) · BT · ( m ) = (6) · T M · (2 m ) BT = 2 T M (1)
- Se establece,
B M = BT + T M 9 = 2 T M + T M de (1) BT = 3
- Obtener el ángulo ˆ1 mediante ley de cosenos en el triángulo AB M
AM
2 = AB
2
- B M
2 − 2 AB × B M cos(ˆ1)
cos(ˆ1) =
AM^2 − AB^2 − B M^2
− 2 AB × B M
1 ˆ = arc cos
(4,796)^2 − (8)^2 − (9)^2
- Obtener el área sombreada, dado lados adyacentes y el ángulo comprendido
S /// =
AB × BT sin(ˆ1) 2 =
(8)(3) sin(32,089◦) 2 =
2 =^ 6,375[ u
2 ] ‰
Ejercicio 21
Ejercicio. Sea,
Solución: Del ejercicio 73 de la sección de semejanza se de- mostró un resultado parecido, ahora,
- Ya que AD || PE entonces, por el teorema de tales, AF P F
DF
E F
10 + x 4 + x
DF
E F
- Ya que DP || EC entonces, por el teorema de tales, DF E F
P F
FC
4 + x x
igualando los resultados de (2) y (1) 10 + x 4 + x
4 + x x x (10 + x ) = (4 + x )^2 x = 8[ u ] ‰
Ejercicio 22
Ejercicio. Sea,
Solución: Se sigue,
- Obtener el segmento AF del triángulo AF D
F D^2 = AF^2 + AD^2
AF =
F D^2 − AD^2
(11)^2 − (10)^2
por tanto, C F = 4,
- En la figura ADEC (en ese orden) mediante el teorema de Menelao
AB × E D × FC = BD × E F × AC
(6) · E D · (4,417) = (4) · E F · (9)
E D = 1,358 E F , (1)
- Se establece,
F D = F E + E D
9 = F E + (1,358 E F )
E F = 2,
y
E D = 6,
- Obtener el ángulo ˆ1 del triángulo F AD mediante razo- nes trigonométricas,
sen(ˆ1) =
AF
F D
1 ˆ = arcsin
- Obtener el área sombreada mediante la resta de áreas,
Sx = A 4 F D A − A 4 E DB
=
F D × AD sin(ˆ1) 2
E D × BD sin(ˆ1) 2 = ( F D × AD − E D × BD )
sin(ˆ1) 2 =
) (^) sin(24,622◦) 2 = 17,648[ u^2 ] ‰
Ejercicio 23