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Respuestas a ejercicios seleccionados
Conjunto de ejercicios 1.
1. Para cada parte, f ∈ C [ a , b ] en el intervalo determinado. Puesto que f ( a ) y f ( b ) son de signo opuesto, por el teorema de valor intermedio implica que existe un número c con f ( c ) = 0. 3. a. [0, 1] contiene una solución de x − 2 − x^ = 0 b. [− 1 , 0] contiene una solución de 2 x cos ( 2 x ) − ( x + 1 )^2 = 0 c. [0, 1] contiene una solución de 3 x − e x^ = 0 d. [− 32 , − 12 ] contiene una solución de x + 1 − 2 sen (π x ) = 0 5. El valor máximo para | f ( x )| es: a. 0.4620981 b. 0.8 c. 5.164000 d. 1. 7. Para cada parte, f ∈ C [ a , b ], f existe en ( a , b ) y f ( a ) = f ( b ) = 0. El teorema de Rolle implica que existe un número c en ( a , b ) con f ( c ) = 0. Para la parte (d), podemos utilizar [ a , b ] = [− 1 , 0] o [ a , b ] = [0, 2]. 9. a. P 2 ( x ) = 0 b. R 2 ( 0. 5 ) = 0 .125; error real = 0. 125 c. P 2 ( x ) = 1 + 3 ( x − 1 ) + 3 ( x − 1 )^2 d. R 2 ( 0. 5 ) = − 0 .125; error real = − 0. 125 11. Puesto que
P 2 ( x ) = 1 + x y R 2 ( x ) =
− 2 e ξ^ (sen ξ + cos ξ ) 6
x^3
para algunas ξ entre x y 0, tenemos lo siguiente a. P 2 ( 0. 5 ) = 1 .5 y | f ( 0. 5 ) − P 2 ( 0. 5 )| ≤ 0 .0932; b. | f ( x ) − P 2 ( x )| ≤ 1 .252; c. (^) 01 f ( x ) dx ≈ 1 .5; d. | 01 f ( x ) dx − 01 P 2 ( x ) dx | ≤ 01 | R 2 ( x )| dx ≤ 0 .313, y el error real es 0.122.
13. P 3 ( x ) = ( x − 1 )^2 − 12 ( x − 1 )^3
a. P 3 ( 0. 5 ) = 0. 312500 , f ( 0. 5 ) = 0 .346574. Una cota del error es 0.2916, y el error real es 0.034074. b. | f ( x ) − P 3 ( x )| ≤ 0 .2916 en [0. 5 , 1 .5] c. (^) 01 .. 55 P 3 ( x ) dx = 0. 083 , (^01) .. 55 ( x − 1 ) ln x dx = 0. 088020 d. Una cota del error es 0.0583, y el error real es 4. 687 × 10 −^3.
15. P 4 ( x ) = x + x^3
a. | f ( x ) − P 4 ( x )| ≤ 0. 012405 b. (^) 00.^4 P 4 ( x ) dx = 0. 0864 , 00.^4 xe x
2 dx = 0. 086755 c. 8. 27 × 10 −^4 d. P 4 ( 0. 2 ) = 1. 12 , f ( 0. 2 ) = 1 .124076. El error real es 4. 076 × 10 −^3.
17. Puesto que 42◦^ = 7 π/30 radianes, use x 0 = π/4. Entonces
R (^) n
7 π 30
π 4 −^
7 π 30
n + 1
( n + 1 )!
( 0. 053 ) n +^1 ( n + 1 )!
Para | R (^) n ( 730 π )| < 10 −^6 , es suficiente tomar n = 3. Para 7 dígitos, cos 42◦^ = 0 .7431448 y P 3 ( 42 ◦) = P 3 ( 730 π ) = 0 .7431446, por lo que el error real es 2 × 10 −^7.
19. Pn ( x ) =
n
k = 0
k!
x k^ , n ≥ 7
21. Una cota para el error máximo es 0.0026. 23. Puesto que R 2 ( 1 ) = 16 e ξ^ , para algunas ξ en ( 0 , 1 ), tenemos | E − R 2 ( 1 )| = 16 | 1 − e ξ^ | ≤ 16 ( e − 1 ).
R 2 Respuestas a ejercicios seleccionados
Conjunto de ejercicios 1.
25. a. P n ( k )( x 0 ) = f ( k )^ ( x 0 ) para k = 0 , 1 ,... , n. Las formas de Pn y f son iguales en x 0.
b. P 2 ( x ) = 3 + 4 ( x − 1 ) + 3 ( x − 1 )^2.
27. Primero, observe que para f ( x ) = x − sen x , tenemos f ( x ) = 1 − cos x ≥ 0 porque − 1 ≤ cos x ≤ 1 para todos los valores de x.
a. La observación implica que f ( x ) no disminuye para todos los valores de x , y en especial que f ( x ) > f ( 0 ) = 0 cuando Por tanto, para
x > 0. x ≥ 0, tenemos x ≥ sen x , y | sen x | = sen x ≤ x = | x |. b. Cuando x < 0, tenemos − x > 0. Puesto que sen x es una función impar, el hecho de que (por la parte a)) sen (− x ) ≤ (− x ) implica que | sen x | = − sen x ≤ − x = | x |. Como consecuencia, para todos los números reales x , tenemos | sen x | ≤ | x |.
29. a. El número 12 ( f ( x 1 ) + f ( x 2 )) es el promedio de f ( x 1 ) y f ( x 2 ), por lo que se encuentra entre estos dos valores de f. Mediante el teorema de valor intermedio 1.11, existe un número ξ entre x 1 y x 2 con
f (ξ ) =
( f ( x 1 ) + f ( x 2 )) =
f ( x 1 ) +
f ( x 2 ).
b. Si m = mín{ f ( x 1 ), f ( x 2 )} y M = máx{ f ( x 1 ), f ( x 2 )}. Entonces m ≤ f ( x 1 ) ≤ M y m ≤ f ( x 2 ) ≤ M , por lo que
c 1 m ≤ c 1 f ( x 1 ) ≤ c 1 M y c 2 m ≤ c 2 f ( x 2 ) ≤ c 2 M.
Por lo tanto,
( c 1 + c 2 ) m ≤ c 1 f ( x 1 ) + c 2 f ( x 2 ) ≤ ( c 1 + c 2 ) M
y
m ≤
c 1 f ( x 1 ) + c 2 f ( x 2 ) c 1 + c 2
≤ M.
Por el teorema de valor intermedio 1.11 aplicado al intervalo con extremos x 1 y x 2 , existe un número ξ entre x 1 y x 2 para el que
f (ξ ) =
c 1 f ( x 1 ) + c 2 f ( x 2 ) c 1 + c 2
c. Si f ( x ) = x^2 + 1, x 1 = 0, x 2 = 1, c 1 = 2, y c 2 = −1. Entonces para todos los valores de x ,
f ( x ) > 0 pero
c 1 f ( x 1 ) + c 2 f ( x 2 ) c 1 + c 2
1. (^) Error absoluto Error relativo
a. 0.001264 4. 025 × 10 −^4 b. 7. 346 × 10 −^6 2. 338 × 10 −^6 c. 2. 818 × 10 −^4 1. 037 × 10 −^4 d. 2. 136 × 10 −^4 1. 510 × 10 −^4
3. Los intervalos más grandes son a. (149.85,150.15) b. (899.1, 900.9) c. (1498.5, 1501.5) d. (89.91,90.09) 5. Los cálculos y sus errores son: a. (i) 17/15 (ii) 1.13 (iii) 1.13 (iv) ambos 3 × 10 −^3 b. (i) 4/15 (ii) 0.266 (iii) 0.266 (iv) ambos 2. 5 × 10 −^3 c. (i) 139/660 (ii) 0.211 (iii) 0.210 (iv) 2 × 10 −^3 , 3 × 10 −^3 d. (i) 301/660 (ii) 0.455 (iii) 0.456 (iv) 2 × 10 −^3 , 1 × 10 −^4
a. i) 17/15 ii) 1.13 iii) 1.13 iv) ambos 3 3 1023 b. i) 4/15 ii) 0.266 iii) 0.266 iv) ambos 2.5 3 1023 c. i) 139/660 ii) 0.211 iii) 0.210 iv) 2 3 10−3, 3 3 1023 d. i) 301/660 ii) 0.455 iii) 0.456 iv) 2 3 1023 , 1 3 1024
R 4 Respuestas a ejercicios seleccionados
Conjunto de ejercicios 1.
Conjunto de ejercicios 2.
29. a. El error real es | f |, y el error relativo es | f | · | f ( x 0 )| −^1 , donde el número ξ está entre x 0 y x 0 +.
b. i) 1. 4 × 10 −^5 ; 5. 1 × 10 −^6 ii) 2. 7 × 10 −^6 ; 3. 2 × 10 −^6 c. i) 1.2; 5. 1 × 10 −^5 ii) 4. 2 × 10 −^5 ; 7. 8 × 10 −^5
1. p 3 = 0. 625 3. El método de bisección da: a. p 7 = 0. 5859 b. p 8 = 3. 002 c. p 7 = 3. 419 1. a. Las sumas aproximadas son 1.53 y 1.54, respectivamente. El valor real es 1.549. El error de redondeo significativo se presenta antes con el primer método. 2. b. Las sumas aproximadas son 1.16 y 1.19, respectivamente. El valor real es 1.197. El error de redondeo significativo se presenta antes con el primer método. 3. a. 2000 términos b. 20 000 000 000 términos 5. 3 términos 7. Las velocidades de convergencia son: a. O ( h^2 ) b. O ( h ) c. O ( h^2 ) d. O ( h ) 9. a. Si F ( h ) = L + O ( h p^ ), existe una constante k > 0 tal que
| F ( h ) − L | ≤ kh p^ ,
Para h suficientemente pequeña h > 0. Si 0 < q < p y 0 < h < 1, entonces h q^ > h p^. Por lo tanto, kh p^ < kh q^ , por lo que
| F ( h ) − L | ≤ kh q^ y F ( h ) = L + O ( h q^ ).
b. Para varias potencias de h , tenemos las entradas en la siguiente tabla
h h^2 h^3 h^4
- 5 0. 25 0. 125 0. 0625
- 1 0. 01 0. 001 0. 0001
- 01 0. 0001 0. 00001 10 −^8
- 001 10 −^6 10 −^9 10 −^12
La velocidad de convergencia más rápida es O h^4.
11. Puesto que
n lím→∞ x^ n^ =^ n lím→∞ x^ n +^1 =^ x^ y^ x^ n +^1 =^1 +^
x (^) n
tenemos
x = 1 +
x
, por lo que x^2 − x − 1 = 0.
La fórmula cuadrática implica que
x =
Este número recibe el nombre de número áureo. Con frecuencia aparece en matemáticas y ciencias.
13. SU M = (^) iN = 1 x (^) i. Esto guarda un paso ya que la inicialización es SU M = x 1 en lugar de SU M = 0. Se pueden presentar problemas si N = 0. 15. a) n ( n + 1 )/2 multiplicaciones; ( n + 2 )( n − 1 )/2 sumas.
b)
n
i = 1
ai
i
j = 1
b (^) j requiere n multiplicaciones; ( n + 2 )( n − 1 )/2 sumas.
Respuestas a ejercicios seleccionados R 5
Conjunto de ejercicios 2.
5. El método de bisección da: a. p 17 = 0. 641182 b. p 17 = 0. 257530 c. Para el intervalo [− 3 , −2], tenemos p 17 = − 2 .191307, y para el intervalo [ − 1 , 0], tenemos p 17 = − 0 .798164. d. Para el intervalo [0. 2 , 0 .3], tenemos p 14 = 0 .297528, y para el intervalo [1. 2 , 1 .3], tenemos p 14 = 1 .256622. 7. a.
y = f ( x ) y = x
1 x
y
b. Al utilizar [1. 5 , 2] en la parte a) se obtiene p 16 = 1. 89550018.
9. a.
1^ x 1
y y = cos ( e x 2 )
y = e x 2
b. p 17 = 1. 00762177
11. a. 2 b. − 2 c. − 1 d. 1 13. La raíz cúbica de 25 es aproximadamente p 14 = 2 .92401, usando [2, 3]. 15. La profundidad del agua es 0.838 pies. 17. Una cota es n ≥ 14, y p 14 = 1 .32477. 19. Puesto que lím (^) n →∞( p (^) n − p (^) n − 1 ) = lím n →∞ 1 / n = 0, la diferencia en los términos se acerca a cero. Sin embargo, p (^) n es el enésimo término de la serie armónica divergente, por lo que lím (^) n →∞ p (^) n = ∞. 21. Puesto que − 1 < a < 0 y 2 < b < 3, tenemos 1 < a + b < 3 o 1/ 2 < 1 / 2 ( a + b ) < 3 /2 en todos los casos. Además,
f ( x ) < 0 , para − 1 < x < 0 y 1 < x < 2 ;
f ( x ) > 0 , para 0 < x < 1 y 2 < x < 3.
Por lo tanto, a 1 = a , f ( a 1 ) < 0, b 1 = b , y f ( b 1 ) > 0. a. Puesto que a + b < 2, tenemos p 1 = a + 2 b y 1/ 2 < p 1 < 1. Por lo tanto, f ( p 1 ) > 0. Por lo tanto, a 2 = a 1 = a y b 2 = p 1. El único cero de f en [ a 2 , b 2 ] es p = 0, por lo que la convergencia sería en 0. b. Puesto que a + b > 2, tenemos p 1 = a + 2 b y 1 < p 1 < 3 /2. Por lo tanto, f ( p 1 ) < 0. Por lo tanto, a 2 = p 1 y b 2 = b 1 = b. El único cero de f en [ a 2 , b 2 ] es p = 2, por lo que la convergencia sería en 2. c. Puesto que a + b = 2, tenemos p 1 = a + 2 b = 1 y f ( p 1 ) = 0. Por lo tanto, un cero de f se ha encontrado en la primera iteración. La convergencia sería en p = 1.
1. Para el valor de x bajo consideración, tenemos a. x = ( 3 + x − 2 x^2 )^1 /^4 ⇔ x^4 = 3 + x − 2 x^2 ⇔ f ( x ) = 0
b. x =
x + 3 − x^4 2
1 / 2 ⇔ 2 x^2 = x + 3 − x^4 ⇔ f ( x ) = 0
Respuestas a ejercicios seleccionados R 7
Conjunto de ejercicios 2.
Suponga que p = lím (^) m →∞ xm. Entonces
p = (^) m lím→∞
x (^) m − 1 2
x (^) m − 1
p 2
p
. Por lo tanto, p =
p 2
p
lo cual implica que p = ±
- Ya que x (^) m >
2 para todas las m , tenemos lím m →∞ x (^) m =
b. Tenemos 0 < ( x 0 −
2 )^2 = x^20 − 2 x 0
de tal forma que 2 x 0
2 < x 02 + 2 y
2 < x 20 + (^) x^10 = x 1. c. Caso 1: 0 < x 0 <
2, lo cual implica que
2 < x 1 mediante la parte b). Por lo tanto,
0 < x 0 <
2 < x (^) m + 1 < x (^) m <... < x 1 y (^) m lím→∞ x (^) m =
Caso 2: x 0 =
2, lo cual implica que x (^) m =
2 para todas las m y lím m →∞ x (^) m =
Caso 3: x 0 >
2, lo cual, mediante la parte a), implica que lím (^) m →∞ x (^) m =
25. Reemplace la segunda oración en la demostración con “Puesto que g satisface una condición de Lipschitz en [ a , b ] con una constante de Lipschitz L < 1, tenemos, para cada n ,
| p (^) n − p | = | g ( p (^) n − 1 ) − g ( p )| ≤ L | p (^) n − 1 − p |.”
El resto de la prueba es igual, con k reemplazada por L.
1. p 2 = 2. 60714 3. a. 2.45454 b. 2. 5. a. Para p 0 = 2, tenemos p 5 = 2 .69065. b. Para p 0 = −3, tenemos p 3 = − 2 .87939. c. Para p 0 = 0, tenemos p 4 = 0 .73909. d. Para p 0 = 0, tenemos p 3 = 0 .96434. 7. Usando los extremos de los intervalos como p 0 y p 1 , tenemos: a. p 11 = 2. 69065 b. p 7 = − 2. 87939 c. p 6 = 0. 73909 d. p 5 = 0. 96433 9. Usando los extremos de los intervalos como p 0 y p 1 , tenemos: a. p 16 = 2. 69060 b. p 6 = − 2. 87938 c. p 7 = 0. 73908 d. p 6 = 0. 96433 11. a. El método de Newton con p 0 = 1 .5 da p 3 = 1 .51213455. El método de la secante con p 0 = 1 y p 1 = 2 da p 10 = 1 .51213455. El método de posición falsa con p 0 = 1 y p 1 = 2 da p 17 = 1 .51212954. b. El método de Newton con p 0 = 0 .5 da p 5 = 0 .976773017. El método de la secante con p 0 = 0 y p 1 = 1 da p 5 = 10 .976773017. El método de posición falsa con p 0 = 0 y p 1 = 1 da p 5 = 0 .976772976. 13. a. Para p 0 = −1 y p 1 = 0, tenemos p 17 = − 0 .04065850, y para p 0 = 0 y p 1 = 1, tenemos p 9 = 0 .9623984. b. Para p 0 = −1 y p 1 = 0, tenemos p 5 = − 0 .04065929, y para p 0 = 0 y p 1 = 1, tenemos p 12 = − 0 .04065929. c. Para p 0 = − 0 .5, tenemos p 5 = − 0 .04065929, y para p 0 = 0 .5, tenemos p 21 = 0 .9623989. 15. a. p 0 = − 10 , p 11 = − 4. 30624527 b. p 0 = − 5 , p 5 = − 4. 30624527
c. p 0 = − 3 , p 5 = 0. 824498585 d. p 0 = − 1 , p 4 = − 0. 824498585 e. p 0 = 0 , p 1 no se puede calcular, ya que f ( 0 ) = 0 f. p 0 = 1 , p 4 = 0. 824498585 g. p 0 = 3 , p 5 = − 0. 824498585 h. p 0 = 5 , p 5 = 4. 30624527 i. p 0 = 10 , p 11 = 4. 30624527
17. Para f ( x ) = ln( x^2 + 1 ) − e^0.^4 x^ cos π x , tenemos las siguientes raíces. a. Para p 0 = − 0 .5, p 3 = − 0 .4341431. b. Para p 0 = 0 .5, p 3 = 0 .4506567. Para p 0 = 1 .5, p 3 = 1 .7447381. Para p 0 = 2 .5, p 5 = 2 .2383198. Para p 0 = 3 .5, p 4 = 3 .7090412. c. La aproximación inicial n − 0 .5 es bastante razonable. d. Para p 0 = 24 .5, p 2 = 24 .4998870.
R 8 Respuestas a ejercicios seleccionados
Conjunto de ejercicios 2.
Conjunto de ejercicios 2.
19. Para p 0 = 1, p 5 = 0 .589755. El punto tiene las coordenadas ( 0. 589755 , 0. 347811 ). 21. Los dos números son aproximadamente 6.512849 y 13.487151. 23. El deudor puede pagar máximo 8.10 %. 25. Tenemos PL = 265816 , c = − 0 .75658125, y k = 0 .045017502. La población de 1980 es P ( 30 ) = 222 248 320 y la población de 2010 es P ( 60 ) = 252 967030. 27. Por medio de p 0 = 0 .5 y p 1 = 0 .9, el método de la secante da p 5 = 0 .842. 29. a. Tenemos, aproximadamente,
A = 17. 74 , B = 87. 21 , C = 9. 66 , y E = 47. 47
Con estos valores, tenemos
A sen α cos α + B sen 2 α − C cos α − E sen α = 0. 02.
b. El método de Newton da α ≈ 33. 2 ◦.
31. La ecuación de la recta tangente es
y − f ( p (^) n − 1 ) = f ( p (^) n − 1 )( x − p (^) n − 1 ).
Para completar este problema, establezca y = 0 y resuelva para x = p (^) n.
1. a. Para p 0 = 0 .5, tenemos p 13 = 0 .567135. b. Para p 0 = − 1 .5, tenemos p 23 = − 1 .414325. c. Para p 0 = 0 .5, tenemos p 22 = 0 .641166. d. Para p 0 = − 0 .5, tenemos p 23 = − 0 .183274. 3. El método modificado de Newton en la ecuación (2.11) provee lo siguiente: a. Para p 0 = 0 .5, tenemos p 3 = 0. 567143. b. Para p 0 = − 1 .5, tenemos p 2 = − 1. 414158. c. Para p 0 = 0 .5, tenemos p 3 = 0. 641274. d. Para p 0 = − 0 .5, tenemos p 5 = − 0. 183319. 5. El método de Newton con p 0 = − 0 .5 da p 13 = − 0 .169607. El método de Newton modificado en la ecuación (2.11) con p 0 = − 0. 5 da p 11 = − 0 .169607. 7. a. Para k > 0,
lím n →∞
| p (^) n + 1 − 0 | | p (^) n − 0 |
= lím n →∞
1 ( n + 1 ) k 1 n k
= lím n →∞
n n + 1
k = 1 ,
por lo que la convergencia es lineal. b. Necesitamos tener N > 10 m / k^.
9. Los ejemplos comunes son a. p (^) n = 10 −^3 n b. p (^) n = 10 −α n 11. Esto sigue al hecho de que lím n →∞
b − a 2 n +^1 b − a 2 n
13. Si |^ | p p^ n n + −^1 − p |^ p 3 |= 0 .75 y | p 0 − p | = 0. 5 , entonces | p (^) n − p | = ( 0. 75 )(^3
n (^) − 1 )/ 2 | p 0 − p |^3
n . Para tener | p (^) n − p | ≤ 10 −^8 se requiere que n ≥ 3.
1. Los resultados se muestran en la siguiente tabla. a b c d
ˆ p 0 0.258684 0.907859 0.548101 0. ˆ p 1 0.257613 0.909568 0.547915 0. ˆ p 2 0.257536 0.909917 0.547847 0. ˆ p 3 0.257531 0.909989 0.547823 0. ˆ p 4 0.257530 0.910004 0.547814 0. ˆ p 5 0.257530 0.910007 0.547810 0.
R 10 Respuestas a ejercicios seleccionados
Conjunto de ejercicios 3.
3. La siguiente tabla lista la aproximación inicial y las raíces. p 0 p 1 p 2 Raíces aproximadas Raíces conjugadas complejas a − 1 0 1 p 7 = − 0. 34532 − 1. 31873 i − 0. 34532 + 1. 31873 i 0 1 2 p 6 = 2. 69065 b 0 1 2 p 6 = 0. 53209 1 2 3 p 9 = − 0. 65270 − 2 − 3 − 2. 5 p 4 = − 2. 87939 c 0 1 2 p 5 = 1. 32472 − 2 − 1 0 p 7 = − 0. 66236 − 0. 56228 i − 0. 66236 + 0. 56228 i d 0 1 2 p 5 = 1. 12412 2 3 4 p 12 = − 0. 12403 + 1. 74096 i − 0. 12403 − 1. 74096 i − 2 0 − 1 p 5 = − 0. 87605 e 0 1 2 p 10 = − 0. 88533 1 0 − 0. 5 p 5 = − 0. 47006 − 1 − 2 − 3 p 5 = − 2. 64561 f 0 1 2 p 6 = 1. 49819 − 1 − 2 − 3 p 10 = − 0. 51363 − 1. 09156 i − 0. 51363 + 1. 09156 i 1 0 − 1 p 8 = 0. 26454 − 1. 32837 i 0. 26454 + 1. 32837 i 5. a. Las raíces son 1. 244 , 8 .847 y − 1 .091, y los puntos críticos son 0 y 6. b. Las raíces son 0.5798, 1.521, 2.332, y − 2 .432 y los puntos críticos son 1, 2.001 y − 1 .5. 7. Todos los métodos encuentran la solución 0.23235. 9. El material mínimo es aproximadamente 573.64895 cm^2. 1. a. P 1 ( x ) = − 0. 148878 x + 1; P 2 ( x ) = − 0. 452592 x^2 − 0. 0131009 x + 1; P 1 ( 0. 45 ) = 0 .933005; | f ( 0. 45 ) − P 1 ( 0. 45 )| = 0 .032558; P 2 ( 0. 45 ) = 0 .902455; | f ( 0. 45 ) − P 2 ( 0. 45 )| = 0. 002008 b. P 1 ( x ) = 0. 467251 x + 1; P 2 ( x ) = − 0. 0780026 x^2 + 0. 490652 x + 1; P 1 ( 0. 45 ) = 1 .210263; | f ( 0. 45 ) − P 1 ( 0. 45 )| = 0 .006104; P 2 ( 0. 45 ) = 1 .204998; | f ( 0. 45 ) − P 2 ( 0. 45 )| = 0. 000839 c. P 1 ( x ) = 0. 874548 x ; P 2 ( x ) = − 0. 268961 x^2 + 0. 955236 x ; P 1 ( 0. 45 ) = 0 .393546; | f ( 0. 45 ) − P 1 ( 0. 45 )| = 0 .0212983; P 2 ( 0. 45 ) = 0 .375392; | f ( 0. 45 ) − P 2 ( 0. 45 )| = 0. 003828 d. P 1 ( x ) = 1. 031121 x ; P 2 ( x ) = 0. 615092 x^2 + 0. 846593 x ; P 1 ( 0. 45 ) = 0 .464004; | f ( 0. 45 ) − P 1 ( 0. 45 )| = 0 .019051; P 2 ( 0. 45 ) = 0 .505523; | f ( 0. 45 ) − P 2 ( 0. 45 )| = 0. 022468 3. a. f^ 2 (ξ ) ( 0. 45 − 0 )( 0. 45 − 0. 6 ) ≤ 0 .135; f^ 6 (ξ ) ( 0. 45 − 0 )( 0. 45 − 0. 6 )( 0. 45 − 0. 9 ) ≤ 0. 00397
b. f^ 2 (ξ ) ( 0. 45 − 0 )( 0. 45 − 0. 6 ) ≤ 0 .03375; f^ 6 (ξ ) ( 0. 45 − 0 )( 0. 45 − 0. 6 )( 0. 45 − 0. 9 ) ≤ 0. 001898
c. f^ 2 (ξ ) ( 0. 45 − 0 )( 0. 45 − 0. 6 ) ≤ 0 .135; f^ 6 (ξ ) ( 0. 45 − 0 )( 0. 45 − 0. 6 )( 0. 45 − 0. 9 ) ≤ 0. 010125
d. f^ 2 (ξ ) ( 0. 45 − 0 )( 0. 45 − 0. 6 ) ≤ 0 .06779; f^ 6 (ξ ) ( 0. 45 − 0 )( 0. 45 − 0. 6 )( 0. 45 − 0. 9 ) ≤ 0. 151
5. a. n x 0 , x 1 ,... , x (^) n Pn ( 8. 4 ) 1 8.3, 8.6 17. 2 8.3, 8.6, 8.7 17. 3 8.3, 8.6, 8.7, 8.1 17.
b. n x 0 , x 1 ,... , x (^) n Pn (− 1 / 3 ) 1 − 0 .5, − 0. 25 0. 2 − 0 .5, − 0 .25, 0.0 0. 3 − 0 .5, − 0 .25, 0.0, − 0. 75 0.
c. n x 0 , x 1 ,... , x (^) n Pn ( 0. 25 )
1 0.2, 0.3 − 0. 13869287 2 0.2, 0.3, 0.4 − 0. 13259734 3 0.2, 0.3, 0.4, 0.1 − 0. 13277477
d. n x 0 , x 1 ,... , x (^) n Pn ( 0. 9 )
1 0.8, 1.0 0. 2 0.8, 1.0, 0.7 0. 3 0.8, 1.0, 0.7, 0.6 0.
Respuestas a ejercicios seleccionados R 11
Conjunto de ejercicios 3.
7. a. n Error real Cota de error
1 1. 180 × 10 −^3 1. 200 × 10 −^3 2 1. 367 × 10 −^5 1. 452 × 10 −^5
b. n Error real Cota de error
1 4. 052 × 10 −^2 4. 515 × 10 −^2 2 4. 630 × 10 −^3 4. 630 × 10 −^3
c. n Error real Cota de error
1 5. 921 × 10 −^3 6. 097 × 10 −^3 2 1. 746 × 10 −^4 1. 813 × 10 −^4
d. n Error real Cota de error
1 2. 730 × 10 −^3 1. 408 × 10 −^2 2 5. 179 × 10 −^3 9. 222 × 10 −^3
9. y = 4. 25 11. Tenemos f ( 1. 09 ) ≈ 0 .2826. El error real es 4. 3 × 10 −^5 , y una cota de error es 7. 4 × 10 −^6. La discrepancia se debe al hecho de que los datos están determinados solamente para cuatro lugares decimales y sólo se utiliza aritmética de cuatro dígitos. 13. a. P 2 ( x ) = − 11. 22388889 x^2 + 3. 810500000 x + 1, y una cota de error es 0.11371294.
b. P 2 ( x ) = − 0. 1306344167 x^2 + 0. 8969979335 x − 0 .63249693, y una cota de error es 9. 45762 × 10 −^4. c. P 3 ( x ) = 0. 1970056667 x^3 − 1. 06259055 x^2 + 2. 532453189 x − 1 .666868305, y una cota de error es 10 −^4. d. P 3 ( x ) = − 0. 07932 x^3 − 0. 545506 x^2 + 1. 0065992 x + 1, y una cota de error es 1. 591376 × 10 −^3.
15. a. 1. 32436 b. 2. 18350
c. 1. 15277 , 2. 01191 d. Las partes a) y b) son mejores debido al espaciamiento de los nodos.
17. La longitud de paso más grande posible es 0.004291932, por lo que 0.004 sería una selección razonable. 19. a. El polinomio de interpolación es P 5 ( x ) = − 0. 00252225 x^5 + 0. 286629 x^4 − 10. 7938 x^3 + 157. 312 x^2 + 1642. 75 x + 179323. El año 1960 corresponde a x = 0, por lo que los resultados son:
AÑO 1950 1975 2014 2020
x − 10 15 54 60 P 5 ( x ) 192 539 215526 306 211 266 161 Censo de Estados Unidos 150 697 215 973 ( E ST .) 317 298( E ST .) 341 000( E ST .)
b. Con base en el valor de 1950, no pondremos mucha confianza en los valores para 1975, 2014 y 2020. Sin embargo, el valor de 1975 es cercano a la población calculada, pero el valor de 2014 no es muy bueno. El valor 2020 es poco realista.
21. Puesto que g j + 12 h = 0,
máx | g ( x )| = máx | g ( j h )|, g j +
h , | g (( j + 1 ) h )| = máx 0 ,
h^2 4
luego | g ( x )| ≤ h^2 /4.
23. a. (i) B 3 ( x ) = x (ii) B 3 ( x ) = 1 d. n ≥ 250 000 1. Las aproximaciones son iguales a las del ejercicio 5 en la sección 3.1. 3. a. Tenemos
3 ≈ P 4 ( 1 / 2 ) = 1 .7083. b. Tenemos
3 ≈ P 4 ( 3 ) = 1 .690607.
c. El error absoluto en la parte a) es aproximadamente 0.0237 y el error absoluto en la parte b) es 0.0414, por lo que la parte a) es más exacta.
5. P 2 = f ( 0. 5 ) = 4 7. P 0 , 1 , 2 , 3 ( 2. 5 ) = 2. 875 9. La aproximación incorrecta es − f ( 2 )/ 6 + 2 f ( 1 )/ 3 + 2 / 3 + 2 f (− 1 )/ 3 − f (− 2 )/6 y la aproximación correcta es − f ( 2 )/ 6 + 2 f ( 1 )/ 3 + 2 f (− 1 )/ 3 − f (− 2 )/6, por lo que la aproximación incorrecta es 2 /3 más grande. 11. Los primeros 10 términos de la sucesión son 0.038462, 0.333671, 0.116605, − 0 .371760, − 0 .0548919, 0.605935, 0.190249, − 0 .513353, − 0 .0668173, y 0.448335. Puesto que f ( 1 +
10 ) = 0 .0545716, la sucesión no parece converger.
Respuestas a ejercicios seleccionados R 13
Conjunto de ejercicios 3.
23. Sea ˜ P ( x ) = f [ xi 0 ] + n k = 1 f [ xi 0 ,... , xi (^) k ]( x − xi 0 ) · · · ( x − xi (^) k ) y ˆ P ( x ) = f [ x 0 ] + n k = 1 f [ x 0 ,... , xk ]( x − x 0 ) · · · ( x − xk ). El polinimio ˜ P ( x ) interpola f ( x ) en los nodos x (^) i 0 ,... , x (^) i (^) n , y los polinomios ˆ P ( x ) interpola f ( x ) en los nodos Puesto que ambos conjuntos de nodos son iguales y el polinomio de interpolación es único, tenemos
x 0 ,... , x (^) n. P ˜( x ) = P ˆ( x ). El coeficiente de x n^ en ˜ P ( x ) es f [ x (^) i 0 ,... , x (^) i (^) n ], y el coeficiente de x n^ en ˆ P ( x ) es f [ x 0 ,... , x (^) n ]. Por lo tanto, f [ x (^) i 0 ,... , x (^) i (^) n ] = f [ x 0 ,... , x (^) n ].
1. Los coeficientes de los polinomios en forma de diferencia dividida están dados en las siguientes tablas. Por ejemplo, el polinomio en la parte a) es
H 3 ( x ) = 17. 56492 + 3. 116256 ( x − 8. 3 ) + 0. 05948 ( x − 8. 3 )^2 − 0. 00202222 ( x − 8. 3 )^2 ( x − 8. 6 ).
a b c d
17.56492 0.22363362 − 0. 02475 − 0. 62049958 3.116256 2.1691753 0.751 3. 0.05948 0.01558225 2.751 − 2. 1989182 − 0. 00202222 − 3. 2177925 1 − 0. 490447 0 0. 0 0. − 0. 0025277777
3. La siguiente tabla muestra las aproximaciones. Aproximación Real x para f ( x ) f ( x ) Error
a 8. 4 17. 877144 17. 877146 2. 33 × 10 −^6
b 0. 9 0. 44392477 0. 44359244 3. 3323 × 10 −^4
c − 13 0. 1745185 0. 17451852 1. 85 × 10 −^8
d 0. 25 − 0. 1327719 − 0. 13277189 5. 42 × 10 −^9
5. a. Tenemos sen 0. 34 ≈ H 5 ( 0. 34 ) = 0 .33349. b. La fórmula proporciona una cota de error de 3. 05 × 10 −^14 , pero el error real es 2. 91 × 10 −^6. La discrepancia se debe al hecho de que los datos sólo están provistos por cinco lugares decimales. c. Tenemos sen 0. 34 ≈ H 7 ( 0. 34 ) = 0 .33350. A pesar de que la cota de error ahora es 5. 4 × 10 −^20 , la inexactitud de los datos provistos domina los cálculos. Este resultado es realmente menos exacto que la aproximación en la parte b), puesto que sen 0. 34 = 0 .333487. 7. H 3 ( 1. 25 ) = 1 .169080403 con una cota de error de 4. 81 × 10 −^5 , y H 5 ( 1. 25 ) = 1 .169016064 con una cota de error de 4. 43 × 10 −^4. 9. H 3 ( 1. 25 ) = 1 .169080403 con una cota de error de 4. 81 × 10 −^5 , y H 5 ( 1. 25 ) = 1 .169016064 con una cota de error de 4. 43 × 10 −^4. 11. a. Suponga que P ( x ) es otro polinomio con P ( x (^) k ) = f ( x (^) k ) y P ( x (^) k ) = f ( x (^) k ), para k = 0 ,... , n , y que el grado de P ( x ) es máximo 2 n + 1. Haga
D ( x ) = H 2 n + 1 ( x ) − P ( x ).
Entonces D ( x ) es un polinomio de grado máximo 2 n + 1 con D ( x (^) k ) = 0, y D ( x (^) k ) = 0, para cada k = 0 , 1 ,... , n. Por lo tanto, D tiene ceros de multiplicidad 2 en cada x (^) k y
D ( x ) = ( x − x 0 )^2... ( x − x (^) n )^2 Q ( x ).
Por lo tanto, D ( x ) debe ser de grado 2 n o más, lo cual sería una contradicción, o Q ( x ) ≡ 0 implica que D ( x ) ≡ 0. Por lo tanto, P ( x ) ≡ H 2 n + 1 ( x ).
R 14 Respuestas a ejercicios seleccionados
Conjunto de ejercicios 3.
b. Primero observe que la fórmula de error se mantiene si y defina
x = xk para cualquier selección de ξ. Sea x = xk , para k = 0 ,... , n ,
g ( t ) = f ( t ) − H 2 n + 1 ( t ) −
( t − x 0 )^2... ( t − x (^) n )^2 ( x − x 0 )^2... ( x − x (^) n )^2
[ f^ ( x )^ −^ H 2 n + 1 ( x )].
Observe que g ( x (^) k ) = 0, para k = 0 ,... , n , y g ( x ) = 0. Por lo tanto, g tiene n + 2 ceros distintos en [ a , b ]. Por el teorema de Rolle, (^) g tiene n + 1 ceros distintos ξ 0 ,... , ξ n , los cuales se encuentran entre los números x 0 ,... , x (^) n , x. Además, g ( x (^) k ) = 0, para k = 0 ,... , n , por lo que g tiene 2 n + 2 ceros distintos ξ 0 ,... , ξ n , x 0 ,... , x (^) n. Puesto que g es 2 n + 1 veces diferenciable, el teorema de Rolle generalizado implica que existe un número ξ en [ a , b ] con g (^2 n +^2 )^ (ξ ) = 0. Pero,
g (^2 n +^2 )^ ( t ) = f (^2 n +^2 )^ ( t ) −
d^2 n +^2 dt^2 n +^2
H 2 n + 1 ( t ) −
[ f ( x ) − H 2 n + 1 ( x )] · ( 2 n + 2 )! ( x − x 0 )^2 · · · ( x − x (^) n )^2
y
0 = g (^2 n +^2 )^ (ξ ) = f (^2 n +^2 )^ (ξ ) −
( 2 n + 2 )![ f ( x ) − H 2 n + 1 ( x )] ( x − x 0 )^2 · · · ( x − x (^) n )^2
La fórmula de error se sigue.
1. S ( x ) = x en [0, 2]. 3. Las ecuaciones de los splines cúbicos respectivos son
S ( x ) = Si ( x ) = ai + bi ( x − x (^) i ) + ci ( x − x (^) i )^2 + di ( x − x (^) i )^3 ,
para x en [ x (^) i , x (^) i + 1 ], donde los coeficientes están determinados en las siguientes tablas. a. i ai bi ci di
0 17.564920 3.13410000 0.00000000 0.
b. i ai bi ci di
0 0.22363362 2.17229175 0.00000000 0.
c. i ai bi ci di
0 − 0 .02475000 1.03237500 0.00000000 6. 1 0.33493750 2.25150000 4.87650000 − 6. 50200000
d. i ai bi ci di
0 − 0 .62049958 3.45508693 0.00000000 − 8. 9957933 1 − 0 .28398668 3.18521313 − 2. 69873800 − 0. 94630333 2 0.00660095 2.61707643 − 2. 98262900 9.
5. Las siguientes tablas muestran las aproximaciones.
Aproximación x para f ( x ) f ( x ) Error
a 8. 4 17. 87833 17. 877146 1. 1840 × 10 −^3
b 0. 9 0. 4408628 0. 44359244 2. 7296 × 10 −^3
c − 13 0. 1774144 0. 17451852 2. 8959 × 10 −^3
d 0. 25 − 0. 1315912 − 0 .13277189 1. 1807 × 10 −^3
Real Aproximación Real x para f ( x ) f ( x ) Error
a 8. 4 3. 134100 3 .128232 5. 86829 × 10 −^3
b 0. 9 2. 172292 2. 204367 0. 0320747
c − 13 1. 574208 1. 668000 0. 093792
d 0. 25 2. 908242 2 .907061 1. 18057 × 10 −^3
7. Las ecuaciones de los splines cúbicos condicionados respectivos son
s ( x ) = si ( x ) = ai + bi ( x − x (^) i ) + ci ( x − x (^) i )^2 + di ( x − x (^) i )^3 ,
para x en [ x (^) i , x (^) i + 1 ], donde los coeficientes están determinados en las siguientes tablas.
R 16 Respuestas a ejercicios seleccionados
xi ai bi ci di
0 1.0 0.0 − 5. 193321 2. 0.25 0.7071068 − 2. 216388 − 3. 672233 4. 0.5 0.0 − 3. 134447 0.0 4. 0.75 − 0. 7071068 − 2. 216388 3.672233 2.
1 0 s ( x )^ d x^ =^0.^000000 ,^ s^ (^0.^5 )^ = −^3 .13445, y^ s^ (^0.^5 )^ =^0.^0
21. a. En [0, 0 .05], tenemos s ( x ) = 1. 000000 + 1. 999999 x + 1. 998302 x^2 + 1. 401310 x^3 , y en ( 0. 05 , 0 .1], tenemos s ( x ) = 1. 105170 + 2. 210340 ( x − 0. 05 ) + 2. 208498 ( x − 0. 05 )^2 + 1. 548758 ( x − 0. 05 )^3. b. (^) 00.^1 s ( x ) dx = 0. 110701 c. 1. 6 × 10 −^7 d. En [0, 0 .05], tenemos S ( x ) = 1 + 2. 04811 x + 22. 12184 x^3 , y en ( 0. 05 , 0 .1], tenemos S ( x ) = 1. 105171 + 2. 214028 ( x − 0. 05 ) + 3. 318277 ( x − 0. 05 )^2 − 22. 12184 ( x − 0. 05 )^3. S ( 0. 02 ) = 1 .041139 y S ( 0. 02 ) = 1 .040811. 23. El spline tiene la ecuación
s ( x ) = si ( x ) = ai + bi ( x − x (^) i ) + ci ( x − x (^) i )^2 + di ( x − x (^) i )^3 ,
para x en [ x (^) i , x (^) i + 1 ], donde los coeficientes están dados en la siguiente tabla.
x (^) i ai bi ci di
0 0 75 − 0. 659292 0. 3 225 76.9779 1.31858 − 0. 153761 5 383 80.4071 0.396018 − 0. 177237 8 623 77.9978 − 1. 19912 0.
El spline predice una posición de s ( 10 ) = 774 .84 pies y una velocidad de s ( 10 ) = 74 .16 pies/seg. Para maximizar la velocidad, encontramos el único punto crítico de s ( x ), y comparamos los valores de s ( x ) en este punto y en los extremos. Encontramos que máx s ( x ) = s ( 5. 7448 ) = 80 .7 pies/seg = 55 .02 mi/h. La velocidad 55 mi/h se excedió primero en aproximadamente 5.5 s.
25. La ecuación del spline es
S ( x ) = Si ( x ) = ai + bi ( x − x (^) i ) + ci ( x − x (^) i )^2 + di ( x − x (^) i )^3 ,
para x en [ x (^) i , x (^) i + 1 ], donde los coeficientes están determinados en la siguiente tabla.
Muestra 1 Muestra 2
x (^) i ai bi ci di ai bi ci di
0 6.67 − 0. 44687 0 0.06176 6.67 1.6629 0 − 0. 00249 6 17.33 6.2237 1.1118 − 0. 27099 16.11 1.3943 − 0. 04477 − 0. 03251 10 42.67 2.1104 − 2. 1401 0.28109 18.89 − 0. 52442 − 0. 43490 0. 13 37.33 − 3. 1406 0.38974 − 0. 01411 15.00 − 1. 5365 0.09756 0. 17 30.10 − 0. 70021 0.22036 − 0. 02491 10.56 − 0. 64732 0.12473 − 0. 01113 20 29.31 − 0. 05069 − 0. 00386 0.00016 9.44 − 0. 19955 0.02453 − 0. 00102
27. Los tres splines condicionados tienen ecuaciones de la forma
si ( x ) = ai + bi ( x − x (^) i ) + ci ( x − x (^) i )^2 + di ( x − x (^) i )^3 ,
para x en [ x (^) i , x (^) i + 1 ], donde los valores de los coeficientes están determinados en las siguientes tablas.
Respuestas a ejercicios seleccionados R 17
Conjunto de ejercicios 3.
Spline 1 i xi ai = f ( x (^) i ) bi ci di f ( x (^) i )
0 1 3. 0 1. 0 − 0. 347 − 0. 049 1. 0 1 2 3. 7 0. 447 − 0. 206 0. 027 2 5 3. 9 − 0. 074 0. 033 0. 342 3 6 4. 2 1. 016 1. 058 − 0. 575 4 7 5. 7 1. 409 − 0. 665 0. 156 5 8 6. 6 0. 547 − 0. 196 0. 024 6 10 7. 1 0. 048 − 0. 053 − 0. 003 7 13 6. 7 − 0. 339 − 0. 076 0. 006 8 17 4. 5 − 0. 67
Spline 2 i x (^) i ai = f ( x (^) i ) bi ci di f ( x (^) i )
0 17 4. 5 3. 0 − 1. 101 − 0. 126 3. 0 1 20 7. 0 − 0. 198 0. 035 − 0. 023 2 23 6. 1 − 0. 609 − 0. 172 0. 280 3 24 5. 6 − 0. 111 0. 669 − 0. 357 4 25 5. 8 0. 154 − 0. 403 0. 088 5 27 5. 2 − 0. 401 0. 126 − 2. 568 6 27. 7 4. 1 − 4. 0
Spline 3 i x (^) i ai = f ( x (^) i ) bi ci di f ( x (^) i )
0 27. 7 4. 1 0. 330 2. 262 − 3. 800 0. 33 1 28 4. 3 0. 661 − 1. 157 0. 296 2 29 4. 1 − 0. 765 − 0. 269 − 0. 065 3 30 3. 0 − 1. 5
29. Sea f ( x ) = a + bx + cx^2 + dx^3. Claramente, f satisface las propiedades a), c), d) y e) de la definición 3.10 y f se interpola a sí misma para cualquier selección de x 0 ,... , x (^) n. Ya que ii) de la propiedad f) en la definición 3.10 se mantiene, f debe ser su propio spline cúbico condicionado. Sin embargo, f ( x ) = 2 c + 6 dx puede ser cero sólo en x = − c / 3 d. Por lo tanto, la parte i) de la propiedad f) en la definición 3.10 no se puede mantener en dos valores x 0 y x (^) n. Por lo que f no puede ser un spline cúbico natural. 31. Inserte lo siguiente antes del paso 7 en el algoritmo 3.4 y el paso 8 en el algoritmo 3.5: Para j = 0 , 1 ,... , n − 1 determine l 1 = b (^) j ; ( Observe que l 1 = s ( x (^) j ).) l 2 = 2 c (^) j ; ( Observe que l 2 = s ( x (^) j ).) SALIDA ( l 1 , l 2 ) Determine l 1 = bn − 1 + 2 c (^) n − 1 h (^) n − 1 + 3 d (^) n − 1 h^2 n − 1 ;( Observe que l 1 = s ( x (^) n ).) l 2 = 2 cn − 1 + 6 d (^) n − 1 h (^) n − 1 ;( Note that l 2 = s ( x (^) n ).) SALIDA ( l 1 , l 2 ). 33. Tenemos
| f ( x ) − F ( x )| ≤
M
máx 0 ≤ j ≤ n − 1
| x (^) j + 1 − x (^) j |^2 ,
donde M = máx a ≤ x ≤ b | f ( x )|. Las cotas de error para el ejercicio 15 están en [0, 0 .1], | f ( x ) − F ( x )| ≤ 1. 53 × 10 −^3 , y
- 1
0
F ( x ) dx −
- 1
0
e^2 x^ dx ≤ 1. 53 × 10 −^4.
35. S ( x ) =
2 x − x^2 , 0 ≤ x ≤ 1 1 + ( x − 1 )^2 , 1 ≤ x ≤ 2
1. a. x ( t ) = − 10 t^3 + 14 t^2 + t , y ( t ) = − 2 t^3 + 3 t^2 + t b. x ( t ) = − 10 t^3 + 14. 5 t^2 + 0. 5 t , y ( t ) = − 3 t^3 + 4. 5 t^2 + 0. 5 t c. x ( t ) = − 10 t^3 + 14 t^2 + t , y ( t ) = − 4 t^3 + 5 t^2 + t d. x ( t ) = − 10 t^3 + 13 t^2 + 2 t , y ( t ) = 2 t
Respuestas a ejercicios seleccionados R 19
5. Para los puntos extremos de las tablas, utilizamos la fórmula (4.4). Las otras aproximaciones provienen de la fórmula (4.5). a. f ( 1. 1 ) ≈ 17 .769705, f ( 1. 2 ) ≈ 22 .193635, f ( 1. 3 ) ≈ 27 .107350, f ( 1. 4 ) ≈ 32. 150850 b. f ( 8. 1 ) ≈ 3 .092050, f ( 8. 3 ) ≈ 3 .116150, f ( 8. 5 ) ≈ 3 .139975, f ( 8. 7 ) ≈ 3. 163525 c. f ( 2. 9 ) ≈ 5 .101375, f ( 3. 0 ) ≈ 6 .654785, f ( 3. 1 ) ≈ 8 .216330, f ( 3. 2 ) ≈ 9. 786010 d. f ( 2. 0 ) ≈ 0 .13533150, f ( 2. 1 ) ≈ − 0 .09989550, f ( 2. 2 ) ≈ − 0 .3298960, f ( 2. 3 ) ≈ − 0. 5546700 7. a. x Error real Cota de error
- 1 0. 280322 0. 359033
- 2 0. 147282 0. 179517
- 3 0. 179874 0. 219262
- 4 0. 378444 0. 438524
b. x Error real Cota de error
- 1 0. 00018594 0. 000020322
- 3 0. 00010551 0. 000010161
- 5 9. 116 × 10 −^5 0. 000009677
- 7 0. 00020197 0. 000019355
c. x Error real Cota de error
- 9 0. 011956 0. 0180988
- 0 0. 0049251 0. 00904938
- 1 0. 0004765 0. 00493920
- 2 0. 0013745 0. 00987840
d. x Error real Cota de error
- 0 0. 00252235 0. 00410304
- 1 0. 00142882 0. 00205152
- 2 0. 00204851 0. 00260034
- 3 0. 00437954 0. 00520068
9. Las aproximaciones y las fórmulas utilizadas son: a. f ( 2. 1 ) ≈ 3 .899344 a partir de (4.7), f ( 2. 2 ) ≈ 2 .876876 a partir de (4.7), f ( 2. 3 ) ≈ 2 .249704 a partir de (4.6), f ( 2. 4 ) ≈ 1 .837756 a partir de (4.6), f ( 2. 5 ) ≈ 1 .544210 a partir de (4.7), f ( 2. 6 ) ≈ 1 .355496 a partir de (4.7) b. f (− 3. 0 ) ≈ − 5 .877358 a partir de (4.7), f (− 2. 8 ) ≈ − 5 .468933 a partir de (4.7), f (− 2. 6 ) ≈ − 5 .059884 a partir de (4.6), f (− 2. 4 ) ≈ − 4 .650223 a partir de (4.6), f (− 2. 2 ) ≈ − 4 .239911 a partir de (4.7), f (− 2. 0 ) ≈ − 3 .828853 a partir de (4.7) 11. a. x Error real Cota de error
- 1 0. 0242312 0. 109271
- 2 0. 0105138 0. 0386885
- 3 0. 0029352 0. 0182120
- 4 0. 0013262 0. 00644808
- 5 0. 0138323 0. 109271
- 6 0. 0064225 0. 0386885
b. x Error real Cota de error
− 3. 0 1. 55 × 10 −^5 6. 33 × 10 −^7 − 2. 8 1. 32 × 10 −^5 6. 76 × 10 −^7 − 2. 6 7. 95 × 10 −^7 1. 05 × 10 −^7 − 2. 4 6. 79 × 10 −^7 1. 13 × 10 −^7 − 2. 2 1. 28 × 10 −^5 6. 76 × 10 −^7 − 2. 0 7. 96 × 10 −^6 6. 76 × 10 −^7
13. f ( 3 ) ≈ 121 [ f ( 1 ) − 8 f ( 2 ) + 8 f ( 4 ) − f ( 5 )] = 0 .21062, con una cota de error dada por
máx 1 ≤ x ≤ 5
| f (^5 )^ ( x )| h^4 30
15. A partir de la fórmula de diferencias hacia adelante–hacia atrás (4.1), tenemos las siguientes aproximaciones:
a. f ( 0. 5 ) ≈ 0 .852, f ( 0. 6 ) ≈ 0 .852, f ( 0. 7 ) ≈ 0. 7960 b. f ( 0. 0 ) ≈ 3 .707, f ( 0. 2 ) ≈ 3 .153, f ( 0. 4 ) ≈ 3. 153
17. Para los extremos de las tablas, usamos la fórmula (47). Las otras aproximaciones provienen de la fórmula (4.6).
a. f ( 2. 1 ) ≈ 3 .884, f ( 2. 2 ) ≈ 2 .896, f ( 2. 3 ) ≈ 2 .249, f ( 2. 4 ) ≈ 1 .836, f ( 2. 5 ) ≈ 1 .550, f ( 2. 6 ) ≈ 1. 348 b. f (− 3. 0 ) ≈ − 5 .883, f (− 2. 8 ) ≈ − 5 .467, f (− 2. 6 ) ≈ − 5 .059, f (− 2. 4 ) ≈ − 4 .650, f (− 2. 2 ) ≈ − 4 .208, f (− 2. 0 ) ≈ − 3. 875
19. La aproximación es − 4. 8 × 10 −^9. f ( 0. 5 ) = 0. La cota de error es 0.35874. El método es muy exacto ya que la función es simétrica alrededor de x = 0 .5. 21. a. f ( 0. 2 ) ≈ − 0. 1951027 b. f ( 1. 0 ) ≈ − 1. 541415 c. f ( 0. 6 ) ≈ − 0. 6824175
R 20 Respuestas a ejercicios seleccionados
Conjunto de ejercicios 4.
23. Las fórmulas de tres puntos da los resultados en la siguiente tabla.
Tiempo 0 3 5 8 10 13
Velocidad 79 82.4 74.2 76.8 69.4 71.
25. f ( 0. 4 ) ≈ − 0 .4249840 y f ( 0. 8 ) ≈ − 1 .032772. 27. Al final, las aproximaciones se convierten en cero porque el numerador se convierte en cero. 29. Puesto que e ( h ) = −ε/ h^2 + h M /3, tenemos e ( h ) = 0 si y sólo si h = 3
3 ε/ M. Además, e ( h ) < 0 si h < 3
3 ε/ M y e ( h ) > 0 si h > 3
3 ε/ M , por lo que el mínimo absoluto para e ( h ) se presenta en h = 3
3 ε/ M.
1. a. f ( 1 ) ≈ 1. 0000109 b. f ( 0 ) ≈ 2. 0000000 c. f ( 1. 05 ) ≈ 2. 2751459 d. f ( 2. 3 ) ≈ − 19. 646799 3. a. f ( 1 ) ≈ 1. 001 b. f ( 0 ) ≈ 1. 999 c. f ( 1. 05 ) ≈ 2. 283 d. f ( 2. 3 ) ≈ − 19. 61 5. (^) 0 π sen x dx ≈ 1. 999999 7. Con h = 0 .1, la fórmula (4.6) se convierte en
f ( 2 ) ≈
- 8 e^1.^8 − 8 1. 9 e^1.^9 + 8 ( 2. 1 ) e^2.^1 − 2. 2 e^2.^2 = 22. 166995.
Con h = 0 .05, la fórmula (4.6) se convierte en
f ( 2 ) ≈
- 9 e^1.^9 − 8 1. 95 e^1.^95 + 8 ( 2. 05 ) e^2.^05 − 2. 1 e^2.^1 = 22. 167157.
9. Sea N 2 ( h ) = N h 3 +
N (^) ( h 3 )− N ( h ) 2 y^ N^3 ( h )^ =^ N^2
h 3 +^
N 2 ( h 3 )− N 2 ( h )
- Entonces^ N^3 ( h )^ es una^ O ( h
(^3) ) aproximación a M.
11. Sea N ( h ) = ( 1 + h )^1 /^ h^ , N 2 ( h ) = 2 N h 2 − N ( h ), N 3 ( h ) = N 2 h 2 + 13 ( N 2 h 2 − N 2 ( h )).
a. N ( 0. 04 ) = 2 .665836331, N ( 0. 02 ) = 2 .691588029, N ( 0. 01 ) = 2. 704813829 b. N 2 ( 0. 04 ) = 2 .717339727, N 2 ( 0. 02 ) = 2 .718039629. The O ( h^3 ) la aproximación es N 3 ( 0. 04 ) = 2 .718272931. c. Sí, puesto que los errores parecen proporcionales para h para N ( h ), a h^2 para N 2 ( h ), y a h^3 para N 3 ( h ).
13. a. Tenemos
P 0 , 1 ( x ) =
x − h^2 N 1 h 2 h^2 4 −^ h
x − h
2 4 N^1 ( h ) h^2 − h 42
, por lo que P 0 , 1 ( 0 ) =
4 N 1 h 2 − N 1 ( h ) 3
De igual forma,
P 1 , 2 ( 0 ) =
4 N 1 h 4 − N 1 h 2 3
b. Tenemos
P 0 , 2 ( x ) =
x − h^4 N 2 h 2 h^4 16 −^ h^4
x − h
4 16 N^2 ( h ) h^4 − h 164
, por lo que P 0 , 2 ( 0 ) =
16 N 2 h 2 − N 2 ( h ) 15
15. c.
k 4 8 16 32 64 128 256 512
p (^) k 2
Pk 4 3.3137085 3.1825979 3.1517249 3.144184 3.1422236 3.1417504 3.
