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ELECTROMAGNETISMO
SOLUCIONARIO
TOMO I
Capítulo N° 1 al Capítulo N° 7 28 /10/
Contenido:
Capítulo Nº 1 Análisis vectorial (Todos los problemas resueltos) Capítulo Nº 2 Fuerzas de Coulomb e Intensidad del campo eléctrico (17 problemas resueltos) Capítulo Nº 3 Flujo eléctrico y Ley de Gauss (15 problemas resueltos) Capítulo Nº 4 Divergencia y Teorema de divergencia (23 problemas resueltos) Capítulo Nº 5 Energía y Potencial eléctrico de los sistemas de carga (11 problemas resueltos) Capítulo Nº 6 Corriente, Densidad de corriente y Conductores (14 problemas resueltos) Capitulo Nº 7 Capacitancia y Materiales dieléctricos (17 problemas resueltos)
(0) (^10 √2) + 3(0) + 3 (^10 √2)
√(^10
2
2
𝟏. 𝟐𝟎. Halle el ángulo entre 𝐀⃗⃗ = 10𝐚⃗⃗⃗⃗𝑦 + 2𝐚⃗⃗⃗⃗𝑧 y 𝐁⃗⃗ = −4𝐚⃗⃗⃗⃗𝑦 + 0.5𝐚⃗⃗⃗⃗𝑧 usando tanto el producto escalar como el producto vectorial.
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔?
𝐀⃗⃗ = 10𝐚⃗⃗⃗⃗𝑦 + 2𝐚⃗⃗⃗⃗𝑧
𝐁⃗⃗ = −4𝐚⃗⃗⃗⃗𝑦 + 0.5𝐚⃗⃗⃗⃗𝑧
Producto escalar
𝐀⃗⃗. 𝐁⃗⃗ = 𝐀⃗⃗ (^) 𝑥𝐁⃗⃗𝑥 + 𝐀⃗⃗ (^) 𝑦𝐁⃗⃗𝑦 + 𝐀⃗⃗ (^) 𝑧𝐁⃗⃗𝒛
𝐀⃗⃗. 𝐁⃗⃗ = 10(−4) + 2(0.5) = −
cosθ = 𝐀⃗⃗. 𝐁⃗⃗ |𝐀⃗⃗||𝐁⃗⃗|
(√(10)^2 + (2)^2 ) (√(−4)^2 + (0.5)^2 )
Producto vectorial
𝐀⃗⃗ x 𝐁⃗⃗ = |
𝐀⃗⃗ x 𝐁⃗⃗ = |
|𝐀⃗⃗ x 𝐁⃗⃗| = √(13)^2 = 13
Entonces, como |𝐀⃗⃗ x 𝐁⃗⃗| = |𝐀⃗⃗||𝐁⃗⃗|senθ
senθ = |𝐀⃗⃗ x 𝐁⃗⃗||𝐀⃗⃗||𝐁⃗⃗| = (^) 41.10960958^13 = 0.
Donde 180 − 18.43494882 = 161.5°
𝟏. 𝟐𝟏. Halle el ángulo entre 𝐀⃗⃗ = 5.8𝐚⃗⃗⃗𝑦⃗ + 1.55𝐚⃗⃗⃗⃗𝑧 y 𝐁⃗⃗ = −6.93𝐚⃗⃗⃗⃗𝑦 + 4𝐚⃗⃗⃗⃗𝑧 usando tanto el
producto escalar como el producto vectorial.
𝑫𝒂𝒕𝒐𝒔?
𝐀⃗⃗ = 5.8𝐚⃗⃗⃗𝑦⃗ + 1.55𝐚⃗⃗⃗⃗𝑧
𝐁⃗⃗ = −6.93𝐚⃗⃗⃗⃗𝑦 + 4𝐚⃗⃗⃗⃗𝑧
Producto escalar
𝐀⃗⃗. 𝐁⃗⃗ = 𝐀⃗⃗ (^) 𝑥𝐁⃗⃗𝑥 + 𝐀⃗⃗ (^) 𝑦𝐁⃗⃗𝑦 + 𝐀⃗⃗ (^) 𝑧𝐁⃗⃗𝒛
𝐀⃗⃗. 𝐁⃗⃗ = 5.8(−6.93) + 1.55(4) = −33.
cosθ = (^) |𝐀⃗⃗||𝐁⃗⃗| 𝐀⃗⃗. 𝐁⃗⃗ = −33. (√(5.8)^2 + (1.55)^2 ) (√(−6.93)^2 + (4)^2 )
Producto vectorial
𝐀⃗⃗ x 𝐁⃗⃗ = |
𝐀⃗⃗ x 𝐁⃗⃗ = |
|𝐀⃗⃗ x 𝐁⃗⃗| = √(33.9415)^2 = 33.
Entonces, como |𝐀⃗⃗ x 𝐁⃗⃗| = |𝐀⃗⃗||𝐁⃗⃗|senθ
senθ = |𝐀⃗⃗ x 𝐁⃗⃗||𝐀⃗⃗||𝐁⃗⃗| = (^) 48.03766708 33.9415 = 0.
𝜃 = 44.9557223°
𝑅𝑒𝑠𝑝. 𝐚⃗ = −𝒙 𝐚 √𝒙² + 𝒚⃗⃗⃗⃗𝒙^ − 𝒚 𝐚⃗𝟐⃗⃗⃗ 𝒚^ + (𝒉 + 𝟐)𝐚⃗⃗⃗⃗𝒛
Si ℎ se aproxima a −2 el vector seria el siguiente:
𝐚⃗ = −𝒙 𝐚⃗⃗⃗⃗𝒙^ − 𝒚 𝐚⃗⃗⃗⃗𝒚 √𝒙² + 𝒚𝟐
1.28 Dados 𝐀⃗⃗ = 5𝐚⃗⃗⃗⃗𝑥 y 𝐁⃗⃗ = 4𝐚⃗⃗⃗⃗𝑥 + 𝐵𝑦𝐚⃗⃗⃗⃗𝑦 halle un 𝑩𝒚 tal que el ángulo entre 𝐀⃗⃗ y 𝐁⃗⃗ sea
45 °. Si 𝐁⃗⃗ tiene también un término 𝐵𝑧𝐚⃗⃗⃗⃗𝑧 , ¿Qué relación debe existir entre 𝐵𝑦 y 𝐵𝑧?
Datos:
𝐀⃗⃗ = 5𝐚⃗⃗⃗⃗𝑥
𝐁⃗⃗ = 4𝐚⃗⃗⃗⃗𝑥 + 𝐵𝑦𝐚⃗⃗⃗⃗𝑦
𝑩𝒚 =?
Producto vectorial
𝐀⃗⃗ x 𝐁⃗⃗ = |
𝐀⃗⃗ x 𝐁⃗⃗ = |
Entonces, como |𝐀⃗⃗ x 𝐁⃗⃗| = |𝐀⃗⃗||𝐁⃗⃗|senθ
senθ = |𝐀⃗⃗ x 𝐁⃗⃗||𝐀⃗⃗||𝐁⃗⃗|
𝑦^2 )
√16 + 𝐵𝑦^2 = 𝑠𝑒𝑛45𝐵𝑦𝐚⃗𝒛
16 + 𝐵𝑦^2 = 𝐵𝑦
2
8 + 0.5𝐵𝑦^2 = 𝐵𝑦^2
0.5𝐵𝑦^2 = 8
𝐵𝑦^2 = 16
𝑩𝒚 = ± 𝟒
𝐀⃗⃗ x 𝐁⃗⃗ = |
𝑠𝑒𝑛45 = 5(4𝐚⃗⃗⃗𝐳^ − 𝐵𝑧𝐚⃗⃗⃗⃗𝐲^ )
5 ∗ (√32 + 𝐵𝑧^2 )
√32 + 𝐵𝑧^2 = 4𝐚⃗⃗⃗ 𝑠𝑒𝑛45𝐳^ − 𝐵𝑧𝐚⃗⃗⃗⃗𝐲
32 + 𝐵𝑧^2 = 16 + 𝐵𝑧
2
𝑩𝒛 = 𝟎
𝑹𝒆𝒔𝒑. 𝑩𝒚 = ± 𝟒, (^) √(𝑩𝒚)𝟐^ + (𝑩𝒛)𝟐^ = 𝟒
1.29 Demuestre que el valor absoluto de 𝐀⃗⃗. 𝐁⃗⃗ x 𝐂 es el volumen del paralelepípedo con
aristas 𝐀⃗⃗ , 𝐁⃗⃗ y 𝐂. (Sugerencia: Primero demuestre que |𝐁⃗⃗. 𝐂| es el área de la base.)
Volumen del paralelepípedo = A⃗⃗. B⃗⃗ x C⃗
1.32 Con los vectores del problema 1.31 , halle (𝐀⃗⃗ x 𝐁⃗⃗) x 𝐂.
1.33 Encuentre el vector unidad dirigido desde (2, −5, −2) hacia (14, −5, 3).
𝐑⃗⃗ = (14 − 2)𝐚⃗⃗⃗⃗𝑥 + (−5 + 5)𝐚⃗⃗⃗⃗𝑦 + (3 + 2)𝐚⃗⃗⃗⃗𝑧
𝐑⃗⃗ = 12𝐚⃗⃗⃗⃗𝑥 + 5𝐚⃗⃗⃗⃗𝑧
|𝐑⃗⃗| = √(12)^2 + (5)²
|𝐑⃗⃗| = √144 + 25
|𝐑⃗⃗| = 13
𝐚⃗ = 12𝐚⃗⃗⃗⃗𝑥 13 + 5𝐚⃗⃗⃗⃗𝑧
1.34 Indique por qué el método del problema 1.1 no puede ser usado en coordenadas cilíndricas para los puntos (𝐫𝟏, 𝚽𝟏, 𝐳𝟏) y (𝐫𝟐, 𝚽𝟐, 𝐳𝟐). Hágase la misma pregunta respecto de las coordenadas esféricas.
Si se dice que las coordenadas cilíndricas no se pueden utilizar para el problema 1.1 es porque el problema está planteado para un espacio libre sin ningún solido que tenga radio y ángulo entonces para las coordenadas esféricas que también no se podrá utilizar ya que también contiene radio y ángulo.
1.35 Verifique que la distancia 𝑑 entre los dos puntos del problema 1.34 está dada por:
𝐝² = 𝐫𝟏𝟐^ + 𝐫𝟐𝟐^ − 𝟐𝐫𝟏𝐫𝟐 𝐜𝐨𝐬(𝚽𝟐 − 𝚽𝟏) + (𝐳𝟐 − 𝐳𝟏)²
Atravez de esta fórmula se puede calcular la distancia entre dos puntos en coordenadas cilíndricas en tres dimensiones.
1.36 Halle el vector dirigido desde (𝟏𝟎, 𝟑𝛑𝟒 , 𝛑𝟔) hacia (𝟓, 𝛑𝟒 , 𝛑), donde los puntos están
dados en coordenadas esféricas.
Datos:
𝑷𝟏 = (𝟏𝟎, 𝟑𝛑𝟒 , 𝛑𝟔)
𝑷𝟐 = (𝟓, 𝛑𝟒 , 𝛑)
1.38 Halle la distancia entre (𝟏, 𝛑𝟒 , 𝟎) y (𝟏, 𝟑𝛑𝟒 , 𝛑). Los puntos están dados en
coordenadas esféricas.
𝑑 = √(0.707 + 0.707)^2 + (0)^2 + (0.707 + 0.707)²
1.39 Utilice coordenadas esféricas e integre para hallar el área de la región 0 ≤ 𝛷 ≤ 𝛼 sobre la concha esférica de radio 𝑎. ¿Cuál es el resultado cuando 𝛼 = 2𝜋?
𝑑𝑆 = 𝑟² 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝛷
∫ 𝑑𝑆 = ∫ ∫ 𝑟²𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝛷
𝛼 0
𝜋 0
𝑆 = 𝑟² ∗ |− cos 𝜃| 0 𝜋^ ∗ |𝛷| 0 𝛼
𝑆 = 𝑟² ∗ (−(cos 180 − cos 0)) ∗ (𝛼)
𝐀 = 𝟐𝛂𝐚² 𝐀 = 𝟒𝛑𝐚²
1.40 Utilice coordenadas cilíndricas hallar el área de la superficie curva de un cilindro circular recto de radio 𝒂 y altura 𝒉.
𝑑𝑆 = 𝑟𝑑𝛷𝑑𝑧
∫ 𝑑𝑆 = ∫ ∫ 𝑟 𝑑𝛷 𝑑𝑧
ℎ 0
2𝜋 0 𝐒 = 𝟐𝛑𝐚𝐡
1.41 Utilice coordenadas cilíndricas e integre para obtener el volumen del cilindro circular recto del problema 1.40.
𝑑𝑣 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝛷𝑑𝑧
∫ 𝑑𝑣 = ∫ ∫ ∫ 𝑟𝑑𝑟𝑑Φ𝑑𝑧
ℎ 0
𝑎 0
2𝜋 0
𝑣 = (2𝜋)(ℎ) |𝑟² 2 | 0
𝑎
1.43 Utilice coordenadas esféricas para hallar el volumen de una concha hemisférica de radio interno 2 m y radio externo 2.02 m.
Datos:
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 2 𝑚
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 𝑒𝑥𝑡𝑒𝑟𝑛𝑜 = 2.02 𝑚
𝑑𝑣 = 𝑟²𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝛷
∫ 𝑑𝑣 = ∫ ∫ ∫ 𝑟²𝑠𝑒𝑛𝜃𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑Φ
2𝜋 0
𝜋/ 0
0
𝑣 = |𝑟
3 3 | 2
|− cos 𝜃| 0 𝜋/2(2𝜋)
3 3 −
(2)^3
1.44 Utilizando coordenadas esféricas para expresar el diferencial de volumen, integre para obtener el volumen definido por 1 ≤ 𝑟 ≤ 2 𝑚, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/2 y 0 ≤ 𝛷 ≤ 𝜋/2.
𝑑𝑣 = 𝑟² 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝛷
∫ 𝑑𝑣 = ∫ ∫ ∫ 𝑟² 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝑑𝛷
𝜋/ 0
𝜋/ 0
2 1
𝑣 = |𝑟³ 3 | 1
2 ∗ |− cos 𝜃| 0
𝜋 2 ∗ |𝛷| 0
𝜋 2
𝑣 = (^2
3 3 −
3 ) ∗ (−(cos 90° − cos 0)) ∗
𝑣 =^73 ∗ 𝜋 2 𝑚³
1.45 Transforme el vector 𝐀⃗⃗ = 𝐴𝑥𝐚⃗⃗⃗⃗𝑥 + 𝐴𝑦𝐚⃗⃗⃗⃗𝑦 + 𝐴𝑧𝐚⃗⃗⃗⃗𝑧 a coordenadas cilíndricas.
1.46 Transforme el vector 𝐀⃗⃗ = 𝐴𝑟𝐚⃗⃗⃗⃗𝑟 + 𝐴𝜃𝐚⃗⃗⃗⃗𝜃 + 𝐴𝛷𝐚⃗⃗⃗⃗𝛷⃗ a coordenadas cartesianas.
1.47 Transforme el vector 𝐅 = 𝑟−1𝐚⃗⃗⃗⃗𝑟 que está expresado en coordenadas esféricas, a coordenadas cartesianas.
𝐅 = x𝐚⃗⃗⃗⃗ x² + y² + z²𝐱^ + y𝐚⃗⃗⃗⃗𝐲^ + z𝐚⃗⃗⃗𝐳
1.52 Dibuje el campo vectorial del problema 1.49 , usando coordenadas esféricas.
