Solucionario Electromagnetismo 1, Exámenes de Electromagnetismo

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Campo

magnético

PARA COMENZAR

 ¿Por qué las auroras polares se observan casi exclusivamente en latitudes altas, en regiones cercanas

a los polos?

Porque los polos magnéticos de la Tierra se encuentran situados muy cerca de los polos geográficos.

 ¿Qué relación existe entre las auroras polares y las tormentas solares?

Las tormentas solares provocan un incremento en el número de partículas con carga eléctrica que llegan a la Tierra. Entonces, tras producirse tormentas solares, cuando dichas partículas cargadas llegan a la Tierra tiene lugar un incremento del número de auroras, o estas son más intensas.

ACTIVIDADES

1. Los imanes están presentes en muchos dispositivos cotidianos. Utiliza los imanes para diseñar un personaje que

acerca la mano cuando se le ofrece algo que le gusta y la retira cuando no le gusta.

Respuesta libre. Hay que tener en cuenta que los polos del mismo tipo se repelen y los polos de tipos opuestos se atraen.

2. El levitrón es otro dispositivo basado en imanes. Explica el funcionamiento del que

se muestra en la imagen.

En el levitrón se produce una repulsión magnética entre los imanes que existen en la base que se apoya sobre una mesa, por ejemplo, y los imanes que están en el interior del dispositivo, de manera que este flota, pues la fuerza magnética

compensa la atracción gravitatoria ejercida por la Tierra.

3. Un electrón penetra en una región del espacio donde existe un campo magnético

uniforme B con velocidad constante v****. Contesta.

a) ¿Qué fuerza actúa sobre el electrón?

b) ¿Bajo qué condiciones el campo magnético no influye en su movimiento?

a) Sobre el electrón actúa la fuerza de Lorentz, cuyo módulo es igual al producto del campo magnético por la carga de la partícula y por la velocidad que lleva. Además, hay que multiplicar por el seno del ángulo que forman la velocidad y el campo magnético.

F  q v   B

b) El campo magnético no influye en su movimiento cuando el producto vectorial de la velocidad por el campo

magnético es cero, es decir, cuando ambos forman un ángulo de 0 : son paralelos.

4. Una partícula con carga q y velocidad v entra en un campo magnético perpendicular a la dirección de

movimiento.

a) Analiza el trabajo realizado por la fuerza magnética y la variación de energía cinética de la partícula.

b) Si la partícula se moviese en dirección paralela al campo, ¿qué ocurriría ahora con el trabajo realizado por la fuerza magnética? ¿Y con la variación de energía cinética de la partícula? Explica las diferencias entre ambos casos.

Campo magnético 3

Razonando de forma similar para el electrón que se mueve hacia la izquierda en la figura la fuerza tendrá

sentido hacia arriba. Por tanto, este electrón girará hacia arriba, en el sentido de las agujas del reloj también.

b) Si en la región existe, en vez de este, otro campo magnético que no desvía los electrones, es porque este campo magnético es paralelo al movimiento de los electrones y entonces la fuerza de Lorentz es nula. Es decir, el campo magnético debe estar contenido en

el plano del papel y sus líneas de campo, paralelas al movimiento de los electrones, bien hacia la derecha o hacia la izquierda.

La fuerza de Lorentz ejercida sobre la partícula vendrá

dada por:

o o

0 0 sen 0

sen 0 0 o 180

F  q v   B   v  B   v B     

7. En una región del espacio existe un campo magnético uniforme B en la dirección positiva del eje Y.

En esta región entra un electrón que se mueve con velocidad v en la dirección positiva del eje X. Indica cuál será la trayectoria que seguirá el electrón en esa región.

El producto vectorial de la velocidad por el campo magnético tiene dirección vertical y sentido hacia abajo, pues el electrón tiene carga negativa. Por tanto, el electrón sufrirá una fuerza vertical y hacia abajo, y se moverá en el plano XZ siguiendo una curva.

F  q v   B  0   q  v B   (^)  i  j (^)   q  v B  k

8. Un protón penetra con una velocidad v en el seno de un campo magnético uniforme B. Explica la trayectoria

que seguirá el protón:

a) Si la velocidad del protón es paralela a B****.

b) Si la velocidad del protón es perpendicular a B****.

a) Según la expresión de la fuerza de Lorentz ( F  q v   B ), si la velocidad es paralela al campo magnético

el ángulo que forman es 0⁰, por lo que la fuerza es nula. Por tanto, si la velocidad del protón es paralela al campo magnético, el protón no sufrirá fuerza alguna y seguirá moviéndose como lo hacía antes, con movimiento rectilíneo.

b) Si la velocidad es perpendicular al campo magnético, existirá una fuerza de Lorentz perpendicular a la velocidad del protón y al campo magnético, de modo que la trayectoria del protón se curvará.

9. En una región del espacio existe un campo magnético uniforme de inducción 0,8 mT en el sentido positivo

del eje OX. Penetra en el campo un electrón que se mueve en dirección OY y con una energía cinética de

8 · 10 ^18 J.

a) Calcula la velocidad con la que penetra el electrón en el campo magnético.

b) Halla el módulo de la fuerza a la que está sometido el electrón.

c) ¿Qué tipo de movimiento tiene el electrón?

d) Determina el radio de la trayectoria que describe.

Datos: m e  9,11 · 10  31 kg; q e  1,602 · 10  19 C.

Y

X

Z

a) La velocidad del electrón se puede calcular a partir de su energía cinética.

18 2 C 6 C (^31)

1 2 2 8 10 J

4,19 10 m/s 2 9,11 10 kg

E

E m v v m





b) El módulo de la fuerza a la que está sometido el electrón viene dado por la expresión de la fuerza de Lorentz:

19 6 3 16 F q v B 0 F q v B 1,602 10 C 4,19 10 m/s 0,8 10 T 5,37 10 N

                  

c) La fuerza es perpendicular al movimiento del electrón, por lo que la trayectoria del electrón se curva. El módulo de su velocidad no varía, pero sí su dirección. Por tanto, el electrón tendrá un movimiento circular.

d) Podemos identificar la fuerza de Lorentz con la fuerza centrípeta que hace girar al electrón y así calcular el radio de la trayectoria que sigue el electrón.

2 2

C B

m v m v F F q v B r r

q  v

31 6 2 19 3

9,11 10 kg 4,19 10 m/s 2,978 10 m 2,978 cm B 1,602 10 C 0,8 10 T

   

10. Un protón penetra en el seno de un campo magnético B con velocidad v perpendicular al campo. El protón

describe una trayectoria circular con un periodo de 2 · 10  6 s.

a) Dibuja un esquema con los vectores v , B y F en un punto de la trayectoria.

b) Calcula el valor del campo magnético.

c) Si introdujéramos en el campo un electrón con la misma velocidad v , ¿cómo cambiaría la trayectoria?

Datos: m p  1,67 · 10  27 kg; m e  9,11 · 10  31 kg; q p  1,602 · 10  19 C.

a) Respuesta gráfica. El protón seguirá una trayectoria circular en un plano perpendicular al campo magnético.

b) La fuerza magnética es la fuerza centrípeta que obliga

al protón a describir una órbita circular. Por tanto, podemos escribir:

2 p C B

m v F F

  q v r

m p v B q B r

Teniendo en cuenta que la velocidad lineal es igual al producto de la velocidad angular por el radio de la trayectoria:

v   r

Y que la velocidad angular, a su vez, está relacionada con el periodo:

2

T

Obtenemos:

p p

r m T m^ r q B r

r

27 p 2 19 6

(^2 2) 1,67 10 kg 3,27 10 T 1,602 10 C 2 10 s

m q B B T q T

   

c) Si introducimos un electrón con la misma velocidad el sentido del giro será opuesto, puesto que tiene carga negativa. Además, como la masa del electrón es bastante menor que la del protón, el periodo de la órbita descrita por el electrón será diferente del periodo del protón. En el caso del electrón, el periodo se puede calcular así:

2 e C B

m v F F

  q v r

e e e

r m m v (^) T m r B q B q B r r

r 31 e 9 19 2

2 2 9,11 10 kg 1,09 10 s 1,602 10 C 3,27 10 T

q B T

m T q B

   

Y

X

Z

13. Una carga negativa penetra en una región con un campo eléctrico y otro magnético sin desviarse. Si la partícula

fuera positiva, ¿se desviaría?, ¿y si lo hiciera, hacia dónde se desviaría? Justifica la respuesta.

Si la partícula con carga negativa no se desvía, es porque la fuerza eléctrica y la fuerza magnética se compensan. Por ejemplo, si la partícula se mueve horizontalmente hacia la derecha y el campo eléctrico es vertical hacia abajo, la fuerza eléctrica es vertical y hacia arriba (la carga es negativa) y la fuerza magnética debe ser vertical y hacia abajo. Entonces, el campo magnético será perpendicular al plano que definen la velocidad y el campo

eléctrico, tal que:

F E (^)  F M (^)  0  F E (^)  F M  q  E  q  v  B  E  v  B

En nuestro caso, para que esto ocurra el campo magnético debe entrar en el papel.

Si la carga es un protón el resultado no varía, porque en este caso la fuerza eléctrica estaría dirigida hacia abajo,

en el sentido del campo eléctrico, y la fuerza magnética estaría dirigida hacia arriba. Igual que en el caso anterior, la fuerza neta sería nula.

14. Un ion de potasio, K

+ , penetra en un campo magnético uniforme de intensidad B  0,2k Tcon una velocidad 4 v  16 10  i m / s. Si describe una trayectoria circular de 65 cm de diámetro, calcula:

a) La masa de la partícula.

b) El módulo, dirección y sentido del campo eléctrico que habría que aplicar en esa región para que el ion no se desvíe.

Dato: q e  1,602 · 10  1 9 C.

a) Si describe una trayectoria circular, es porque sufre una fuerza de Lorentz donde podemos identificar dicha fuerza con la fuerza centrípeta. Por tanto, podemos escribir:

2

C Lorentz

m v F F

  q v r

19 25 4

1,602 10 C 0,2 T 0,65 m 1,3 10 kg 16 10 m/s

m v^ q^ B r B q B m r v

  ^               

b) Para que el ion no se desvíe la fuerza magnética debe ser del mismo módulo y dirección que la fuerza eléctrica, pero de sentido opuesto. Es decir:

F E (^)  F M (^)  0  F E (^)   F (^) M  q  E   q

4  v  B  E    v B   16 10  i m/s  0, 2 k T 32 000 j N/C

El campo eléctrico debe ser perpendicular tanto a la velocidad como al campo magnético, y su sentido debe

ser el opuesto al que indica el producto vectorial de la velocidad por el campo magnético.

15. Una partícula  en reposo es acelerada por una diferencia de potencial de 2500 V. A continuación, se introduce

en un campo magnético de 125 mT perpendicular a su velocidad.

a) Dibuja un esquema de la trayectoria de la partícula y calcula la velocidad con la que penetra en el campo magnético.

b) Calcula el radio de la trayectoria.

Datos: m  = 6,7 · 10 ^27 kg; q  = 3,2 · 10 ^19 C.

a) Un esquema de la situación presentada sería el siguiente. Si el campo sale del papel:

En la primera parte la partícula es acelerada debido a la existencia de un campo eléctrico. La diferencia de potencial es de 2500 V. Al principio, la partícula solo tiene energía potencial debido a esta diferencia de potencial al final de la zona donde está el campo eléctrico, solo posee energía cinética. Por tanto, aplicando el principio de conservación de la energía en la zona del campo eléctrico podemos calcular la velocidad que adquiere:

19 2 5 P C (^27)

1 2 2 3,2 10 C 2500 V

4,89 10 m/s 2 6,7 10 kg

q V E E q V m v v m

    (^)  

Esta es la velocidad con la que penetra en la región donde existe el campo magnético.

b) La trayectoria se curva porque aparece una fuerza de Lorentz dirigida hacia abajo, perpendicular tanto a la velocidad como al campo magnético. Esta fuerza se puede identificar con la fuerza centrípeta y de aquí deducir el radio de la trayectoria:

2 2

C Lorentz

m v m v F F q v B r r

q  v

27 5

19 3

6,7 10 kg 4,89 10 m/s 0,082 m 8,2 cm B 3,2 10 C 125 10 T



 

16. Un protón y una partícula  parten del reposo y son acelerados mediante diferencias de potencial distintas.

A continuación, entran en el seno de un campo magnético uniforme B  4 T, perpendicular a las velocidades de las partículas. Si ambas partículas describen trayectorias circulares con el mismo radio, calcula:

a) El radio de la trayectoria.

b) El cociente entre las velocidades de las dos partículas ( v  / v p).

c) La diferencia de potencial con la que se ha acelerado cada partícula.

Datos: q p  1,602 · 10 ^19 C; m p  1,67 · 10 ^27 kg; v p  107 m/s; m   6,646 · 10 ^27 kg.

a) La fuerza magnética que sufren las partículas es la fuerza centrípeta. Como tenemos el dato de la velocidad

del protón, podemos escribir:

2 2 p p p p C B p p

m v m v F F q v B r r

q p (^)  v p

27 7 p p (^2) 19 p

1,67 10 kg 10 m/s 2,61 10 m 2,61 cm 1,602 10 C 4 T

m v r B q B

  

  ^ 

b) Escribimos la expresión para el radio para ambas partículas y las igualamos, puesto que nos dicen que el radio

de las órbitas descritas es el mismo. Como la partícula  está formada por dos protones y dos neutrones, su carga será el doble que la del protón. Por tanto, obtenemos:

p p

p p p

p

m v r q B m v

m v q B r q B

 



m v

q B

 



27 19 p 27 19 p p

1,67 10 kg 2 1,602 10 C 0, 6,646 10 kg 1,602 10 C

v^ m^ q

v m (^) q

      

c) La diferencia de potencial con la que se ha acelerado cada partícula se puede calcular a partir de la velocidad adquirida aplicando el principio de conservación de la energía.

E

B

b) La distancia a la que impactará cada ion respecto al punto de entrada será igual al diámetro de la órbita

descrita. Para cada ion:

   

22 22 d Ne 2 r Ne 2 18,24 cm 36,48 cm

      

   

20 20 d Ne 2 r Ne 2 16,58 cm 33,16 cm       

18. Considera un conductor rectilíneo indefinido por el que circula una corriente eléctrica I  1 A en el interior de

un campo magnético uniforme B  4 T. Si el conductor está dispuesto perpendicular al campo magnético:

a) Dibuja en un esquema el campo B, el conductor (indicando el sentido de la corriente) y la fuerza que ejerce el campo magnético sobre el conductor.

b) Calcula el módulo de la fuerza que ejerce el campo magnético sobre

un trozo de conductor rectilíneo de longitud ℓ  2 m.

c) Y si se coloca el conductor paralelo al campo magnético, ¿cuánto valdría el módulo de la fuerza?

a) Respuesta gráfica. La fuerza que ejerce el campo magnético sobre

el conductor es perpendicular tanto al campo magnético como al conductor.

b) La fuerza que ejerce el campo magnético sobre el conductor viene dada por la siguiente expresión:

F B (^)   I  B  F   I  B  1 A 2 m 4 T  8 N

c) Si el conductor se coloca paralelo al campo, no existirá ninguna fuerza magnética, puesto que el producto vectorial de la expresión anterior será cero, ya que ambos vectores formarán 0⁰ o 180⁰.

o F B (^)   I  B  F   I  B  sen 0  0

19. Sabiendo que la Tierra ejerce un campo magnético de intensidad 0,5 · 10

 4 T, calcula la fuerza a la que se ve sometido un tramo de cable de alta tensión que, en dirección suroeste-noreste y formando un ángulo de 60° con el ecuador, se extiende entre dos torres separadas 150 m si transporta una corriente de 1 kA. ¿Influye en algo el sentido en que circula la corriente? Razona la respuesta.

Si el cable forma 60  con el ecuador, entonces, si suponemos que el campo magnético terrestre está orientado en la dirección norte-sur, la fuerza que sufre el conductor se puede calcular mediante la siguiente expresión:

o B B 4 o

sen 150

1000 A 150 m 0,5 10 T sen 150 3,75 N

F I B F I B



El sentido en el que circula la corriente influye en el sentido de la fuerza que sufre el cable, pero no sobre el módulo de la fuerza. En el dibujo, la fuerza ejercida es perpendicular al plano que forman el campo magnético y el cable, y está dirigida hacia el suelo. Si el sentido de la corriente se invierte, la fuerza

ejercida estará dirigida en sentido opuesto.

20. Discute si hay alguna posibilidad de que el cable de alta tensión del que se trata en el ejercicio anterior no sufra

el efecto del campo magnético terrestre.

Para que el cable del ejemplo anterior no sufra el efecto del campo magnético terrestre debe orientarse de manera que la fuerza magnética sea nula. Esto solamente ocurre si está orientado de forma paralela al campo magnético, es decir, si la corriente circula en la dirección y sentido norte-sur o sur-norte.

Ecuador

I

60 

21. Hacemos un montaje de laboratorio en el que un conductor rectilíneo paralelo a la mesa y apoyado sobre unos

soportes que lo levantan 3 cm transporta una corriente de 5 A. Sobre la mesa colocamos un imán que genera un campo magnético de 1,5 T que forma un ángulo de 30° con el conductor y apunta hacia la derecha. Calcula:

a) El módulo de la fuerza por unidad de longitud que actúa sobre el conductor.

b) Si el conductor tiene una longitud de 50

cm, determina en qué sentido debe circular la corriente y cuál debe ser su masa para que pueda levitar sin necesidad de soportes.

Dato: g  9,8 m/s^2.

a) La fuerza magnética por unidad de longitud se calcula mediante

la expresión:

o sen sen 5 A 1,5 T sen 30 3,75 N

F

F I L B F I L B I B

L

La fuerza está dirigida hacia arriba, pues es perpendicular tanto al campo magnético como a la dirección

en que se produce la corriente. El sentido está indicado por el producto vectorial (^) L  B.

b) Para que pueda levitar sin soportes, la fuerza magnética debe ser igual en módulo y de sentido opuesto a la fuerza gravitatoria. Como hemos visto en el apartado anterior, si la corriente circula en el sentido indicado por la figura, la fuerza magnética tiene sentido vertical y hacia arriba. Es decir, para que el cable levite:

o

G M (^2)

sen 5 A 0,5 m 1,5 T sen 30 sen 0,191 kg 191 g 9,8 m/s

I L B

F F m g I L B m g

22. Un hilo de corriente I cruza perpendicularmente el plano del dibujo. En el punto P 1 ,

situado a una distancia d del conductor, el campo magnético vale B  8  T.

a) Dibuja la dirección y sentido del campo en el punto P 2 situado a una distancia d

de P 1.

b) Calcula el valor del campo magnético en dicho punto.

a) Si la corriente sale del papel, entonces el campo magnético está contenido en el plano del papel y está dirigido en el sentido opuesto al de las agujas del reloj alrededor del hilo de corriente. En P 1 el campo es vertical, y en P 2 el campo es perpendicular a la línea que une P 2 con el hilo

de corriente.

b) Podemos relacionar ambos campos. Del dibujo sabemos, además:

2 2 2

2 2 2 2 2 P P P

d d r d r r d

En el punto medio el campo creado por el hilo 2 tiene la misma dirección que el

campo creado por el hilo 1, pero sentido opuesto. El módulo del campo creado

por el hilo 2 es, además, el triple del módulo del campo creado por el hilo 1. El

campo creado por el hilo 1, según el dibujo, entra en el papel, mientras que el

campo creado por el hilo 2 sale del papel.

El campo creado por los hilos vale:

0 1 1 2

I

B

d  

0 I 1

d

0 2 2 2

I

B

d  

0 3 I 1

d

Por tanto, el módulo del campo total, como ambos campos tienen la misma dirección y sentidos opuestos, se obtiene restando ambos módulos:

 

0 1 0 1 0 1 0 1 T 2 1

I I I I

B B B

d d d d

a) Entre ambos hilos, el campo magnético total será nulo cuando ambos

módulos sean iguales. Esto ocurre en un punto P situado más cerca del hilo 1

que del hilo 2. Si ambos módulos son iguales:

0 1 1 2

I

B B

0

r 1

 3  I 1

 (^)  1  (^1 )

1 1 1 1

d r r d r

d r d r r d r

Entonces:

2 1

d d r d r d

b) En el punto medio el campo creado por el hilo 2 tiene la misma dirección

y sentido que el campo creado por el hilo 1. El módulo del campo creado por el hilo 2 es, además, el triple del módulo del campo creado por el hilo 1.

Los campos creados por ambos hilos, según el dibujo, entran en el papel.

El campo creado por los hilos vale:

0 1 1 2

I

B

d  

0 I 1

d

0 2 2 2

I

B

d  

0 3 I 1

d

Por tanto, el módulo del campo total, como ambos campos tienen la misma

dirección y sentidos, se obtiene sumando ambos módulos:

0 1 0 1 0 1 T 1 2

I 3 I 4 I

B B B

d d d

Ahora, si la intensidad por el hilo 2 circula en sentido contrario, habrá un punto Q situado «fuera» de los hilos

donde los campos magnéticos tendrán sentidos opuestos y el mismo módulo.

I 1 3 · I 1

1 2

d

B 1

B 2

P

I 1 3 · I 1

1 2

d

B 1

B 2

I 1 3 · I 1

1 2

d

B 1

B 2

En este caso podemos escribir:

0 1 1 2

I

B B

0

r ' 1

 3  I 1

 (^)  1  (^1 )

1 1 1 1

d r r d r

d r d r r d r

En el punto Q el campo magnético creado por el hilo 1 sale del papel y el campo magnético creado por el hilo 2

entra en el papel.

Entre los hilos no existirá ningún punto donde el campo magnético total sea nulo, puesto que ambos campos tienen el mismo sentido.

25. Tenemos dos hilos conductores, rectos, paralelos y de longitud infinita en el vacío separados una distancia

d  2 m. Por los conductores circula corriente en el mismo sentido y la fuerza medida a lo largo del cable es de 12 · 10 ^7 N/m.

a) Si por el conductor 1 pasa una corriente I 1  3 A. Calcula la corriente que pasa por el conductor 2.

b) Calcula el campo magnético en un punto P situado entre los cables a d /4 del conductor 1.

c) Representa gráficamente las fuerzas por unidad de longitud en los hilos y el campo en el punto P.

Dato:  0  4  · 10 ^7 T · m/A.

a) Como las corrientes tienen el mismo sentido, aparece una fuerza de atracción entre los hilos. La fuerza

por unidad de longitud se puede expresar así:

0 1 2

2

F I I

L d

De esta expresión podemos deducir el valor de I 2.

0 1 2 7 2 0 1

12 10 N/m 2

F I I F d I L d L I

2 m

7

4 A

T m 10 3 A A



b) El campo magnético total en el punto pedido se calcula a partir de los

campos magnéticos que crea cada conductor:

B T (^)  B 1 (^)  B 2

Como las corrientes tienen el mismo sentido, en medio de ambas los campos magnéticos tendrán la misma dirección y sentidos opuestos.

El módulo del campo magnético total se obtiene entonces restando los módulos de ambos campos magnéticos.

0 1 0 2 0 1 0 2 0 2 T 1 2 1

I I I I I

B B B I

d d d d d d

  ^    

7 T m 10 A 2

3 A A 6,6 10 T

2 m 3

c) Respuesta en el esquema de la derecha.

I 1 3 · I 1

(^1 )

d

B 1

B 2

Q

I 1 = 3 A I 2

1 2

2 m

F/L F/L

P

b) El hilo debe colocarse paralelo al plano que define

el anillo. De esta manera el campo magnético creado por el hilo puede compensar el que crea el anillo. Observa el esquema.

El módulo del campo magnético que crea el hilo debe ser igual al del campo magnético que crea el anillo.

Entonces:

0 B Hilo (^) B 1

Hilo

2

 I 0

r

1

2

 I

1

Hilo (^1)

1

10,4 A 4 cm 6,62 cm 2 A

R

I R

r I

28. Por dos solenoides circula la misma corriente. Uno de ellos tiene 200 espiras, una longitud de 20 cm y un

diámetro 0,5 cm. El otro solenoide tiene la mitad de espiras que el primero, una longitud de 5 cm y un diámetro de 0,3 cm. Indica si la siguiente afirmación es verdadera o falsa. Justifica la respuesta.

«El campo magnético en el interior del solenoide 1 es mayor que en el interior del solenoide 2».

Para calcular el campo magnético en el interior del solenoide aplicamos la ley de Ampère. A continuación consideramos un rectángulo como el de la figura, e integramos sobre el perímetro del rectángulo.

0 k k B C D A

A B C D^0

B dl I

B dl B dl B dl B dl N I

^ 

   

En los tramos AB y CD la integral es nula porque ahí

el campo magnético (^) B es perpendicular a dl.

En BC también es nula porque el campo fuera del solenoide es prácticamente cero. Por tanto:

B C D A A B C D A D

B dl B dl B dl B dl N I

N I

B dl N I B L N I B L

   



Entonces podemos comparar los módulos de los campos magnéticos creados por ambos solenoides:

1

2

B

B

 N 1  I

  N 2  I

2 1 2

1 2 1

L N L

L N L

La relación entre los módulos de los campos magnéticos depende del número de espiras y de la longitud,

puesto que la corriente es la misma en ambos.

1 1 2

2 2 1

200 5 cm 1

100 20 cm 2

B N L

B N L

Como vemos, el campo magnético en el interior del segundo solenoide es mayor que en el primer solenoide,

exactamente el doble.

29. Un toroide de 10 cm de radio está formado por 1000 espiras.

a) Calcula la corriente que debe circular por el toroide para que el campo en el círculo central sea de 3 mT.

b) Y si el núcleo del toroide fuese de hierro dulce, ¿cuánta corriente debería circular por el toroide?

Datos:  0  4  · 10  7 N · A  2 ;  r hierro dulce  5000.

I Hilo  10,4 A

I 1  2 A

r

P

A B

C D

a) Aplicamos la ley de Ampère e integramos en una circunferencia de radio R , centrada en el centro del toroide

para calcular el campo en el interior de un toroide:

0 k 0 0 0 k

N I

B dl I B dl N I B dl N I B R N I B R

   

Sustituimos los datos:

3 0

0

2 3 10 T 2

N I B R

B I

R N

               

0,10 m

7 2

1, 5 A

N

A



b) Si el toroide es de hierro dulce, el campo varía:

3

0 r

2 3 10 T 2

N I B R

B I

R N

                

0,10 m

4

7 2

3 10 A

N

A





30. Explica qué quiere decir que el campo magnético es no conservativo.

a) Que la energía no se conserva.

b) Que no existe un potencial escalar del que se derive el campo.

c) Que no existe un potencial vectorial del que se derive el campo.

Respuesta correcta: b. Que no sea conservativo significa que no podemos definir un potencial escalar del que se derive el campo. En este caso podremos definir un potencial vector, pero no escalar.

31. ¿En qué se diferencian las líneas del campo eléctrico y las líneas del campo magnético?

a) En que unas nacen en las cargas eléctricas, y otras, no.

b) En que las líneas del campo eléctrico son abiertas y las del campo magnético son cerradas.

c) En que las líneas del campo eléctrico son tangentes al campo y las del campo magnético son perpendiculares al campo.

Respuesta correcta: b. Las líneas del campo eléctrico son abiertas, pues existen cargas libres, mientras que

las líneas del campo magnético son cerradas. Esto implica que no existen polos magnéticos aislados.

32. Explica el efecto de un campo magnético sobre una carga eléctrica en reposo. ¿Qué ocurre si está en

movimiento?

Un campo magnético no ejerce ninguna influencia sobre una carga eléctrica en reposo. Sin embargo, si la carga se mueve, entonces el campo magnético ejercerá una fuerza magnética sobre la carga cuyo valor vendrá dado

por la fuerza de Lorentz:

F B  q  (^)  v  B 

33. Justifica si las siguientes afirmaciones, referentes a una partícula cargada, son verdaderas o falsas:

a) Si se mueve en un campo magnético uniforme, su velocidad aumenta a medida que se desplaza en la dirección de las líneas del campo.

b) Si se mueve en una región en la que coexisten un campo magnético y un campo eléctrico, se puede mover

sin experimentar ninguna fuerza.

c) El trabajo que realiza el campo eléctrico para desplazar esa partícula depende del camino seguido.

a) Falso. La velocidad de la partícula no cambia de módulo. Además, si se desplaza siguiendo la dirección de las líneas del campo, no sufrirá fuerza alguna.

a) La partícula  sufre una fuerza magnética que la hace girar, esta fuerza tiene la dirección del eje Y, y sentido

el negativo del eje Y. Por tanto, esta fuerza hace girar a la partícula  en sentido horario.

No sabemos la velocidad de la partícula , pero podemos deducirla a partir de la energía cinética:

(^2) C C

E

E m v v m

   

Como la partícula se mueve en una dirección perpendicular al campo magnético, podemos escribir la siguiente expresión identificando la fuerza de Lorentz con la fuerza centrípeta:

 

2

B C B

m v F q v B F F

      q v r

C 17 27 C (^2) 19

(^2) 2 5 10 J 6,64 10 kg 8,49 10 T 84,9 mT 3,20 10 C 0,03 m

B

E

m m v m v m^ E^ m B B q r q r q r q r

 (^)       ^ ^      

  ^     

b) En ese punto la fuerza magnética es perpendicular tanto al campo magnético como a la velocidad de

la partícula:

 

o B L

C

17 19 2 27

15

sen 90

2 5 10 J

3,20 10 C 8,49 10 T

6,64 10 kg

3,33 10 N

F q v B F q v B

E

q v B q B m 

   



La dirección de esta fuerza en el punto P es la dirección del eje X. El sentido de la fuerza es el del producto vectorial de la velocidad por el campo magnético. Es decir, el sentido negativo del eje X.

c) Para que la partícula continúe moviéndose sin desviarse la fuerza neta debe ser cero; es decir, la fuerza eléctrica debe ser igual y de sentido contrario a la fuerza magnética. Entonces podemos escribir:

15 L 4 E L L (^19)

3,33 10 N

1,04 10 N/C

3,20 10 C

F

F F q E F E q





La dirección debe ser la misma que la de la fuerza de Lorentz (ver esquema). El sentido debe ser tal que la fuerza eléctrica sea opuesta a la fuerza de

Lorentz o fuerza magnética.

37. Se aceleran iones

**2 H

en línea recta mediante una diferencia de potencial de 3000 V. A continuación penetran en un campo magnético de 0,2 T perpendicular a la velocidad de los iones. Calcula:**

a) La velocidad con que los iones penetran en el campo.

b) El radio de la órbita circular que describen los iones.

Datos: q   1,6 · 10 ^19 C; m  3,34 · 10 ^27 kg.

a) Los iones adquieren una energía cinética debido al potencial al que se someten. Entonces podemos deducir

el valor de la velocidad sin tener en cuenta efectos relativistas:

19 2 5 C 27

1 2 2 1,6 10 C 3000 V

5,36 10 m/s 2 3,34 10 kg

q V E q V m v v m





F B

V

b) Al moverse a continuación en un campo magnético, los iones sufren una fuerza de Lorentz, dada por

la siguiente expresión:

2

L C

m v F F

  q v r

27 5 o 19

3,34 10 kg 5,36 10 m/s sen 90 0,056 m 5,6 cm 1,6 10 C 0,2 T

m v B r q B





38. Una partícula  , de 12,1 keV de energía cinética, se mueve en una órbita

circular en el seno de un campo magnético de 0,75 T perpendicular al plano de la órbita. Determina:

a) El vector fuerza magnética en el punto P.

b) El radio de la órbita, la velocidad angular y el periodo del movimiento.

Datos: q   6,408 ∙ 10 ^19 C; m   6,64 · 10 ^27 kg, 1 eV  1,602 ∙ 10 ^19 J.

a) El vector fuerza magnética viene dado por la expresión de Lorentz:

F B  q  (^)  v  B 

Tiene dirección del eje Y y sentido hacia arriba, tal y como está representado en el dibujo. Como la velocidad y el campo magnético son perpendiculares, su módulo vendrá dado por:

F B (^)  q  (^)  v  B (^)  F B  q v B  

No conocemos la velocidad de la partícula, pero sí su energía cinética. Por tanto:

(^2) C C

E

E m v v m

Sustituyendo en la expresión anterior:

 

C B B

3

19

2 12,1 10 eV

6,408 10 C

E

F q v B F q B m

 



19 1,602 10 J

1 eV

  

27

13

0,75 T

6,64 10 kg

3,67 10 N





Por tanto, el vector fuerza magnética será: 13 F B (^) 3,67 10 j N

   

b) Para calcular el radio de la órbita podemos identificar la fuerza de Lorentz con la fuerza centrípeta:

2

C B

m v F F

  q v r

C

C

3

2 12,1 10 eV

E

m m v m E m B r q B q B q B

   ^ 

  

19 1,602 10 J

1 eV

   27

2 19

6,64 10 kg

1,06 10 m 1,06 cm 6,408 10 C 0,75 T



 

La velocidad angular se calcula conociendo la velocidad lineal y el radio:

3

C

2 12,1 10 eV 2 E

v m

r r



19 1,602 10 J

1 eV

  

27 7 2

6,64 10 kg 7,21 10 rad/s 1,06 10 m



