SOLUCIONARIO Hibbeler 12 Edición, Ejercicios de Física

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Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingenier´ıa Departamento de Ingenier´ıa Mec´anica

Resumen de Est´atica

Curso : Resistencia de Materiales A˜no : 2019

Resumen La est´atica es una parte de la f´ısica que estudia estructuras, cuerpos, mecanismos, en su estado de reposo o en un movimiento uniforme, para ello se basa en la primera ley de Newton (Principio de inercia) para establecer las condiciones de equilibrio.

1. Principio de Inercia

Toda part´ıcula permanece en su estado de reposo o en su estado rectil´ıneo uniforme a menos que tenga una fuerza no equilibrada. ∑ n i =

F~ = ~ 0

Este principio se puede expresar seg´un los ejes ordenados del sistema de referencia, eventual- mente pude ser cartesiano como se demuestra en las siguientes ecuaciones: ∑ n i =0 F~x^ =^ ~ 0;^

∑ n i =0 F~y^ =^ ~ 0;^

∑ n i =0 F~z^ =^ ~^0

2. Principio de Acci´on y Reacci´on

Toda acci´on de un cuerpo sobre otro, produce una reacci´on de igual magnitud y direcci´on, pero en sentido contrario.

3. Principio de Linea de acci´on

La interacci´on entre dos cuerpos o m´as, est´a en una linea imaginaria que es perpendicular a la superficie de contacto. La linea de acci´on es la direcci´on de las fuerzas que se producen por el contacto de estos cuerpos(figura 2). En el caso particular(figura 2) de barras, cuerdas, cadenas, etc. la linea de acci´on de la fuerza es en la direcci´on de la barra, cuerda, cadenas,etc.

Figura 1: Principio de linea de acci´on caso general

6. Tipos de Coordenadas

Existen diferentes tipos de ejes ordenados, pero se tiene que identificar, cual es mas ´util para poder desarrollar un caso, para identificarlos y/o conocerlos, se se˜nalar´a los dos mas utilizados en el curso de Resistencia de Materiales.

6.1. Coordenadas Cartesianas

Es una definici´on de Tres planos ortogonales entre si, y donde se interceptan se le llama origen, el cual se define como [0,0,0], donde cada uno de los ceros esta en direcci´on de uno de los planos. Este sistema coordenado tambi´en se le llama Espacio Euclidiano en Tres dimensiones, y en dos solo se selecciona un plano de los tres, y los planos restantes como una linea. Este tipo de coordenadas es ´util cuando se tiene referencia de ´angulos y posici´on de los eslabones y sus interacciones en el sistema.

6.2. Coordenadas Tangenciales y Normales

Este sistema coordenado es usado habitualmente en planos, donde se elige una orientaci´on conocida o desconocida, respecto a un eslab´on del sistema, donde un eje tendr´a como direcci´on el eslab´on(normal) y el siguiente eje tendr´a una direcci´on perpendicular a la direcci´on normal.

7. Tipos de representaciones de Fuerzas

Las fuerzas se pueden representar de diferentes manera, las mas t´ıpicas son las fuerzas pun- tuales; las cuales son una carga la cual tiene solo una direcci´on y sentido, las fuerzas distribuidas; son una representaci´on mas cercana a la realidad, en el cual una fuerza se distribuye de forma geom´etrica sobre alguna superficie, en este tipo de fuerzas se tiene que considerar que posee un centroide.

7.1. Fuerza puntual

Es una simplificaci´on de una carga o fuerza, en la que se le da un solo punto de contacto.

7.2. Fuerzas distribuidas

Esta es una simplificaci´on de alguna carga, pero se considera la superficie de contacto, pero se considera que la carga aplicada se distribuye de alguna forma geom´etrica sobre la superficie o en base a un polinomio. Si la carga es en base a un polinomio se considera de la siguiente manera:

FR =

∫ (^) l 0 w ( x )^ dx

Y la posici´on del centroide en x se define desde el inicio de la curvatura:

x ¯ =

∫ (^) l ∫^0 lxw ( x )^ dx 0 w ( x )^ dx

Y de manera an´aloga a la presentada anteriormente se obtiene en las fuerzas distribuidas con formas geom´etricas, pero las ´areas y centroides est´an tabulados, por lo que se puede usar esas formulas.

9.2. Caso 2

En este caso se quiere trasladar la fuerza en el punto A al punto B, para ello se crea dos fuerza en el punto B con igual magnitud, misma direcci´on pero de sentido contrario, posterior a ello se anula la fuerza en A con una de las fuerzas en B (con la de sentido contrario a ella). Y para mantener las condiciones iniciales del sistema se agrega un momento en B que tendr´a como valor el producto del ~r × F~ , donde ~r es desde B hasta A y F~ es la fuerza en el punto A. Se tiene como simplificaci´on el cuadro C del Cuadro A, donde en este caso se agrego un momento para mantener las condiciones iniciales del sistema, ya que, la fuerza trasladada y las creadas no est´an en la misma linea de acci´on.

10. Tipos de apoyos

Se tienen muchos tipos de apoyos, para ello se se˜nalaran los mas b´asicos los cuales tiene las se˜naladas reacciones, para el caso 2D se reduce las reacciones no Funcionales.

11. Diagrama de fuerzas Vigas

los diagramas de fuerzas sirven para conocer la distribuci´on de las fuerzas a lo largo de un cuerpo, en este caso, una viga. Para ello se tiene que conocer las fuerzas externas (entre ellas los apoyos y cargas en la viga), si existen inc´ognitas se puede recurrir a los condiciones de equilibrio y/o ecuaciones complementarias para establecerlas. Los diagramas de fuerzas usados son; diagrama fuerza cortante (perpendiculares a la viga), diagrama de momento (resultantes de las fuerzas). los cuales se definen de la siguiente manera:

Fuerza cortante ( V ( x )) : V ( x ) =

w ( x ) dx + V 0 Momento ( M ( x )): M ( x ) =

V ( x ) dx + M 0

Ejemplo:

Primero que todo se reconoce las inc´ognitas en el sistema, y posteriormente se procede a dibujar el diagrama de Fuerza cortante; el cual se parte como V 0 el o las fuerzas que est´an al comienzo de la viga, posterior a ello se procede sumando las fuerzas a lo largo de ella (para las fuerzas distribuidas se utiliza la integral y no se consideran los momentos), adem´as, se tiene que tener en consideraci´on que las fuerzas con sentido negativa restan y las con sentido positivo suman. Esto se puede observar en la figura de la izquierda en la cual se desarrolla el diagrama del ejemplo propuesto. En el diagrama de la derecha, se puede observar la integraci´on del diagrama anterior, y para el calculo se puede considerar el valor de las ´areas del diagrama de fuerzas cortante, considerando las ´areas sobre el eje como positivas (se suman) y las ´areas bajo el eje como negativas (se restan). Junto con lo anterior se tiene que tener cuidado con la existencia de alg´un momento en la viga, ya que, no esta en el diagrama anterior y se considera positivo (se suma) los momentos que est´an en sentido horario, y los sentido anti-horario se considera negativos.

Ejercicios

1. La siguiente polea est´a en la condici´on se˜nalada (polea ideal). T es la tensi´on de la cuerda la cual es de 10 kN. Calcule las reacciones de la barra que sostiene a la polea, respecto donde esta empotrada, el largo de la barra es 0 , 5[ m ]:

Soluci´on: Primero que todo, se reconoce que es un ejercicio est´atico, ya con ello, se tiene que realizar un DCL (diagrama de cuerpo libre) de cada eslab´on, en este caso la polea y la barra. junto con ello se selecciona un eje de coordenadas para establecer las condiciones de equilibrio para cada uno.

En este caso se selecciona, las coordenadas tangenciales y normales, ya que, no poseemos datos de inclinaci´on del empotrado.Ya con los DCl establecidos se establece las condiciones de equilibrio respecto a los ejes coordenados en 2D. ∑ n i = F~n = ~ 0 ∑ n ∑ i =0^ F~t^ =^ ~^0 n i =0 M~o^ =^ ~^0

Y procederemos con las condiciones de equilibrio de la polea, la cual no posee reacciones como momentos, ya que, no posee roce:

Pn − T sin(50◦) − T sin(45◦) = 0 Pt + T cos(50◦) − T cos(45◦) = 0

Reemplazando los valores de T se despeja las reacciones de la polea respecto a la barra:

Pn = 14 , 73[ kN ] Pt = 643 , 2[ N ]

Con las inc´ognitas de la polea establecidas se procede con las condiciones de equilibrio para la barra, la cual posee momento como reacci´on, ya que, est´a empotrada.

Bn − Pn = 0 Bt − Pt = 0 − MB + PtL = 0

Considerando los valores obtenidos anteriormente y el largo de la barra L , se despeja las reacciones de la barra.

Bn = 14 , 73[ kN ] Bt = 643 , 2[ N ] MB = 321 , 6[ N m ]

2. La siguiente viga est´a en las condiciones se˜naladas, la cual tiene soldada (idealmente) una barra de 0 , 3[ m ] de largo,en la cual tiene una fuera puntual, junto con lo anterior posee una carga distribuida de 3[ kN/m ] por 1[ m ] en el extremo de la barra. Se solicita los Gr´aficos de fuerza cortante y momento, para la viga AB.

Soluci´on: Ante todo se realiza el DCL para la Viga AB, la barra. Para posteriormente calcular las reacciones necesarias para los gr´aficos. Para la barra se establece que est´a en un punto C.

Pero este paso se puede omitir, gracias a la simplificaci´on de Fuerza y momento par, por lo que se puede trasladar la fuerza y el momento que genera en la viga y esto se puede establecer en el DCL. De igual manera se invita al estudiante a comprobar lo realizado.

Se comienza realizando el diagrama de cuerpo libre, para as´ı trabajar con las fuerza externas solamente:

Se comienza estableciendo las condiciones de equilibrio en 2D, para este caso, ya que tenemos 3 inc´ognitas tenemos que recurrir a las tres ecuaciones de la mec´anica para desarrollar el problema:

∑ n i = F~x = ~ 0 ∑ n ∑ i =0^ F~y^ =^ ~^0 n i =

M~A = ~ 0

Desarrollando las condiciones de equilibrio se establecen para este caso:

RAx = 0 RAy + RDy − 40000 − 50000 = 0 RDy · 6 − 40000 · 9 − 50000 · 12 = 0

Y con ello desarrollando el sistema de ecuaciones, se establece el valor de las reacciones solicitadas:

RAx = 0[ N ] RAy = −70[ kN ] RDy = 160[ kN ]

Cabe destacar que el signo del los resultados, nos indica que seg´un el sentido que se estableci´o en el DCL, es el contrario.

4. El siguiente juego de tuberias est´a sometido a una fuerza de 80[ N ], tal como se se˜nala en la figura. Determine las reacciones en el punto A:

Resp.: Ax = − 51 , 42[ N ]; Ay = − 61 , 28[ N ]; Az = 40[ N ] MAx = 3 , 7[ N m ]; MAy = − 11 , 72[ N m ]; MAz = − 13 , 14[ N m ]

5. Se tiene la siguiente viga en las condiciones en las que se se˜nalan. Determine las reacciones en ella y junto con ello realice los diagramas de la misma a lo largo de ella.

Resp.: RAx = − 346 , 41[ N ]; RAy = 800[ N ]; MAz = 3 , 9[ kN M ]

8. Se considera la siguiente estructura, determine los diagramas de fuerza cortante y de momento flector.

Resp.:

9. En el presente sistema se sostiene un cuerpo en el punto D el cual tiene un peso de 1880[ N ], las posiciones de de los nodos son: A (5 , 0 , 12)[ m ]; B(0 , 0 , 4)[ m ]; C (2 , 10 , 8)[ m ]; D (2 , 4 , 0)[ m ].

Resp.: T 1 = 780[ N ]; T 2 = 540[ N ]; T 3 = 1000[ N ]

10. Calcule las reacciones en los apoyos A y B , y todas las fuerzas externas a que est´a sujeta la barra AECF de la estructura que se muestra en la figura. Los pesos de las barras y poleas son despreciables, adem´as de considerar el ´angulo de las reacciones.

Resp.: RA = 792[ Kg ]^6 182 , 26 ◦; RB = 890[ Kg ]^6 27 , 2 ◦; RC = 1112[ Kg ]^6 44 , 6 ◦; RE = 530[ Kg ]^6 315 ◦; RF = 530[ Kg ]^6 225 ◦

11. De la siguiente figura, calcular las reacciones en A y en B.

Resp.: RA = 522[ Kg ]^6 106 , 7 ◦^ ; RB = 1150[ Kg ]