UNIVERSIDAD MAYOR DE SAN ANDRÉS
FACULTAD DE INGENIERÍA
CURSO DE VERANO 2023
SOLUCIONARIO
EXAMEN PRIMER PARCIAL
ECUACIONES DIFERENCIALES
15/01/2023
1. Resolver la ecuación diferencial:
𝑐𝑜𝑠𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥−𝑐𝑜𝑠2𝑦+1
𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦= 4
𝑥2− 1
𝑐𝑜𝑠𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝑠𝑒𝑛2𝑦+1
𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦− 4
𝑥2=0
𝑐. 𝑣. 𝑢 =𝑠𝑒𝑛𝑦 𝑑𝑢
𝑑𝑥=𝑐𝑜𝑠𝑦𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑢
𝑑𝑥+𝑢2+1
𝑥𝑢− 4
𝑥2= 0 𝑅𝑖𝑐𝑎𝑡𝑡𝑖
𝑆𝑖: 𝑢1=2
𝑥 → −2
𝑥2+(2
𝑥)2+1
𝑥2
𝑥−4
𝑥2= 0 →0=0
𝑐. 𝑣. 𝑢 =2
𝑥+1
𝑧 → 𝑑𝑢
𝑑𝑥=− 2
𝑥2−1
𝑧2𝑑𝑧
𝑑𝑥
−2
𝑥2−1
𝑧2𝑑𝑧
𝑑𝑥+(2
𝑥+1
𝑧)2+1
𝑥(2
𝑥+1
𝑧)− 4
𝑥2=0
𝑑𝑧
𝑑𝑥−5
𝑥𝑧 =1 𝐸𝑐.𝐿𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑃𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑂𝑟𝑑𝑒𝑛
𝑧=𝑒∫5
𝑥𝑑𝑥[𝐶+∫𝑒−∫5
𝑥𝑑𝑥𝑑𝑥]
𝑧=𝑥5[𝐶+∫1
𝑥5𝑑𝑥]
𝑧=𝑥5[𝐶− 1
4𝑥4]=𝐶𝑥5−𝑥
4
𝑢=2
𝑥+1
𝐶𝑥5−𝑥
4
∴ 𝒔𝒆𝒏𝒚=𝟐
𝒙+𝟒
𝑪𝒙𝟓−𝒙
2. Resolver la ecuación diferencial: 𝑑𝑦
𝑑𝑥=2𝑦−𝑒𝑥+5
2−𝑒−𝑥(𝑦+4)
Solución.
En la ec dif.: (2−𝑒−𝑥(𝑦+4))𝑑𝑦=(2𝑦−𝑒𝑥+5)𝑑𝑥 //∙𝑒𝑥
(2𝑒𝑥−𝑦−4)𝑑𝑦=(2𝑦−𝑒𝑥+5)𝑒𝑥𝑑𝑥
Cambio de variable: 𝑒𝑥=𝑧 → 𝑒𝑥𝑑𝑥=𝑑𝑧
(2𝑧−𝑦−4)𝑑𝑦=(2𝑦−𝑧+5)𝑑𝑧 Ecuación de Jacobi
El sistema auxiliar de ecuaciones:
{2𝑧 − 𝑦 − 4 =0 (1)
2𝑦 − 𝑧 + 5 =0 (2)
𝑧=1 ; 𝑦=−2
Los cambios de variable: 𝑧=𝑤+1 → 𝑑𝑧=𝑑𝑤; 𝑦 = 𝑝 − 2 → 𝑑𝑦=𝑑𝑝
(2𝑤−𝑝)𝑑𝑝=(2𝑝−𝑤)𝑑𝑤 𝐸𝑐.𝐻𝑜𝑚𝑜𝑔𝑒𝑛𝑒𝑎
