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5.1 determine las raíces reales de 𝑓 𝑥( ) =− 0. 5𝑥 2
- 5𝑥 + 4. 5 a) gráficamente b) Empleando la fórmula cuadrática b) 𝑥 = −2.5± (2.5 )^2 −4 −0.5( ) 4.5( ) 2 −0.5( ) = 𝑥1 =− 1. 40512484^ 𝑥2 = 6. 40512484 c) Usando el método de bisección con tres iteraciones para determinar la raíz más grande. Emplea como valores iniciales Xt=5 y Xu=10.Calcule el error estimado Ea y el error verdadero Et para cada iteración. c) 𝑥𝑟 = 5+ 2 = 7. 5 − 0. 5 7. 5( ) 2
- 5 7. 5( ) + 4. 5 − 0. 5 10( ) 2
[ + 2. 5 10(^ ) + 4. 5] =−
5+7. 2 = 6. 25 − 0. 5 6. 25( ) 2
- 5 6. 25( ) + 4. 5 − 0. 5 10( ) 2
[ + 2. 5 10(^ ) + 4. 5] =+
7.5+6. 2 = 6. 875 − 0. 5 6. 875( ) 2
- 5 6. 875( ) + 4. 5 − 0. 5 7. 5( ) 2
[ + 2. 5 7. 5(^ ) + 4. 5] =−
N XI Xu Xr f (x)f(Xr) Et(%) Ea(%) 1 5 10 7.5 - 7. 2 5 7.5 6.25 + 2.42 20 3 6.25 7.5 6 .875 - 7.33 9. 5. Determine las raíces reales de 𝑓 𝑥( ) = 5𝑥 3 − 5𝑥 2
- 6𝑥 − 2 , ( 𝑚 − 1 ) 𝑚 − 4𝑚 + 2( ) = 0; 𝑥 1 = 1, 𝑥 2 = 3. 414213562, 𝑥 3 = 0. 5857864376 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙 = 0. 5857864376 a) Gráficamente.
b) Utilizando el método de bisección para localizar la raíz más pequeña. Use los valores iniciales xi=0 y xu=1 iterando hasta que Ea sea menor que Es=10% a) 𝑓 𝑥( ) = 5𝑥 3 − 5𝑥 2
- 6𝑥 − 2 b) K 𝑥𝑙 = 0, 𝑥𝑢 = 1 𝑥 𝑟 = 0+
2 = 0. 5^ 𝐹 𝑥(^ 𝑙)𝐹 𝑥(^ 𝑢)^ =− 0. 75 ∴𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑎 0.
𝐸 𝑡 = 0.5857864376−0. 0.5857864376 (100%^ ) = 14. 644% 𝑥𝑟 = 0+0.
2 = 0. 25^ 𝐹 𝑥(^ 𝑙)𝐹 𝑥(^ 𝑢)^ = 1. 46 ∴𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑎 0.
𝐸𝑡 = 0.5857864376−0. 0.5857864376 (100%^ ) = 57. 32% 𝑥𝑟 = 0.25+0.
2 = 0. 375^ 𝐹 𝑥(^ 𝑙)𝐹 𝑥(^ 𝑢)^ = 0. 025 ∴𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑎 0.
𝐸𝑡 = 0.5857864376−0. 0.5857864376 (100%^ ) = 35. 98% 𝑥𝑟 = 0.375+0.
2 = 0. 4375^ 𝐹 𝑥(^ 𝑙)𝐹 𝑥(^ 𝑢)^ =− 0. 01 ∴𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑎 0.
𝐸𝑡 = 0.5857864376−0. 0.5857864376 (100%^ ) = 25. 31%
𝑟
(−2.32)(−0.5−) (3.34 )+2.32 =− 0. 41^ ε𝑎 =^ 0.414−0. 0.414 ×100 = 0. 96 𝑥 𝑟
(−0.17)(−0.5−) (3.34 )+0.17 =− 0. 414 5.5 Localice la primera raíz no trivial de 𝑠𝑒𝑛𝑥 = 𝑥, donde x está en radianes. Use 2 una técnica gráfica y bisección con un intervalo inicial de 0.5 a 1. Haga el cálculo hasta que Ea sea menor que Es = 2%. Realice también una prueba de error sustituyendo la respuesta final en la ecuación original. 𝑓 𝑥( ) = 𝑠𝑒𝑛𝑥 − 𝑥 2 N Xl Xu Xr F(x)f(Xr) Ea % 1 0.5 1 0.75 + - 2 0.75 1 0.875 + 14.28% 3 0.875 1 0.9375 - 6.66% 4 0.875 0.9375 0.90625 - 3.45% 5 0.875 0.90625 0.890625 1.75% Va=0. 5.6 Determine la raíz real de a)gráficamente b) empleando los valores de tres iteraciones en el método de bisección con los valores iniciales c) Usando tres iteraciones del método de falsa posición, con los mismos valores iniciales de b)
b)método de bisección 𝑋𝑟 = 0.5+ 2 = 1. 25 𝑙𝑛 (0. 5 ) 2 − 0. 7 𝑙𝑛 (1. 25 ) 2
[ − 0. 7] =^ +
1.25+ 2 = 1. 625 𝑙𝑛 (1. 25 ) 2 − 0. 7 𝑙𝑛 (1. 625 ) 2
[ − 0. 7] =^ −
1.25+1. 2 = 1. 4375 𝑙𝑛 (1. 25 ) 2 − 0. 7 𝑙𝑛 (1. 4375 ) 2
[ − 0. 7] =^ −
C) método falsa posición 𝑋𝑟 = 2 − 𝑙𝑛 (0.5 )^2 −0.7 −1.5( ) 𝑙𝑛 (0.5 ) 5 −0.7−𝑙𝑛 ( ) 2 2 −0.
𝑙𝑛 (1.6887007 )^2 −0.7 −1.1887007( ) 𝑙𝑛 (0.5 )^5 −0.7−𝑙𝑛 (1.6887007 )^2 −0.
𝑙𝑛 (1.497013399 )^2 −0.7 −0.997013399( ) 𝑙𝑛 (0.5 )^5 −0.7−𝑙𝑛 (1.497013399 )^2 −0.
5. Dada la raíz real de 𝑓 𝑥( ) = 0.8−0.3𝑥 𝑥 a) Analíticamente b) Gráficamente
Iteraciones 𝑥𝑙 𝑥𝑢 𝑥𝑟 𝐸𝑡% 𝐸𝑎% 1 2 3 2.750 3. 150% / 2 2 2.750 2.684 0. 675% 9.090% 3 2 2.684 2.670 0. 150% 2.459% 5.8 Calcule la raíz cuadrada positiva de 18 usando el método de la falsa posición con 𝐸 Emplee como valores iniciales y 𝑠
𝑙
𝑢
Raíz aproximada = 4. 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 − 18 𝑓(𝑥 𝑙
𝑢
𝑟
7(4−5) −2−7 = 4. 22222222 𝐸 𝑡
4.2426−4. 4.2426 (100%) = 0. 4813% 𝑥 𝑟
(−0.1728)(4−4.222) −2−0.1728 = 4. 243243 𝐸 𝑡
4.2426−4. 4.2426 (100%) =− 0. 015206% 𝐸 𝑎
4.2432−4. 4.2432 (100%) = 0. 4949%
Iteración 𝑥 𝑙
𝑢
𝑟
𝑡
𝑎
5.9 Encuentre la raíz positiva más pequeña de la función (x está en radianes) 𝑥 usando el método de la falsa posición. Para localizar el intervalo en 2 |𝑐𝑜𝑠 𝑥 | = 5 donde se encuentra la raíz, grafique primero esta función para valores de x entre 0 y
- Realice el cálculo hasta que ε𝑎 sea menor que ε𝑠 = 1%. Compruebe su respuesta final sustituyendola en la función original. 𝑖 𝑥𝑙 𝑥𝑢 𝑥𝑟 ε𝑎 1 3.5 4 3.72 ---- 2 3.5 3.72 3.74 0.52% 𝑥 𝑟
(1.658349385 ) 3.5−4( ) (−1.379498688 )− 1.658349385( ) = 3. 727051955 𝑥 𝑟
(−0.109694148 ) 3.5−3.727051955( ) (−1.379498688 )+ 0.109694148( ) = 3. 746666211 ε 𝑎
3.74−3. 3.74 ×100 = 0. 52 5.10 Encuentre la raíz positiva de 𝑓 𝑥( ) = 𝑥 , 4 − 8𝑥 3 − 35𝑥 2
- 450𝑥 − 1001 utilizando el método de la falsa posición. Tome como valores iniciales a
5. Dada 𝑓 𝑥( ) = − 2𝑥 6 − 1. 5𝑥 4
- 10𝑥 + 2 a) Grafica. b) Use el método de bisección para determinar el máximo de esta funcion. Haga elecciones iniciales de xl=0 y xu=1 y realice iteraciones hasta que el error relativo aproximado sea menor que 5%. a) 𝑓 𝑥( ) = − 2𝑥 6 − 1. 5𝑥 4
- 10𝑥 + 2 b) 𝑥𝑙 = 0, 𝑥𝑢 = 1 𝑥𝑟 = 0+
2 = 0. 5^ 𝐹 𝑥(^ 𝑙)𝐹 𝑥(^ 𝑢)^ = 17 ∴𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑎 0.
𝐸𝑡 = 0.5857864376−0. 0.5857864376 (100%^ ) = 14. 644% 𝑥 𝑟 = 0.5+
2 = 0. 75^ 𝐹 𝑥(^ 𝑙)𝐹 𝑥(^ 𝑢)^ =− 26. 56 ∴𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑎 0.
𝐸 𝑡 = 0.5857864376−0. 0.5857864376 (100%^ ) = 57. 32% 𝑥 𝑟 = 0.5+0.
2 = 0. 625^ 𝐹 𝑥(^ 𝑙)𝐹 𝑥(^ 𝑢)^ = 59. 53 ∴𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑎 0.
𝐸 𝑡 = 0.5857864376−0. 0.5857864376 (100%^ ) = 35. 98% 𝑥 𝑟 = 0.625 +0.
2 = 0. 6875^ 𝐹 𝑥(^ 𝑙)𝐹 𝑥(^ 𝑢)^ = 68. 43 ∴𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑎 0.
𝐸 𝑡 = 0.5857864376−0. 0.5857864376 (100%^ ) = 25. 31% 𝑥 𝑟 = 0.6875 +0. 2 = 0. 71875 𝐸 𝑡 = 0.5857864376−0. 0.5857864376 (100%^ ) = 30. 65% Iteraciones 𝑥 𝑙 𝑥 𝑢 𝑥 𝑟 𝐸 𝑡 % 𝐸 𝑎 % 1 0 1 0.5 14. 644% / 2 0.5 1 0.75 57. 32% 33.33% 3 0.5 0.75 0.625 35. 98% 20% 4 0.625 0.75 0.6875 25.31% 9.09% 5 0.6875 0.75 0.71875 30.65% 4.34% 5.13 La velocidad v de un paracaidista que cae está dada por 𝑣 = 𝑔𝑚 𝑐 (1 − 𝑒 −(𝑐/𝑚)𝑡 ) donde 𝑔 = 9. 8 𝑚/𝑠 Para un paracaidista con coeficiente de arrastre de 2 . 𝑐 = 15 𝑘𝑔/𝑠 , calcule la masa m de modo que la velocidad sea 𝑣 = 35 𝑚/𝑠 𝑒𝑛 𝑡 = 9𝑠. Utilice el método de la falsa posición para determinar m a un nivel de 𝐸 𝑠
Raíz aproximada = 59
𝑖 𝑥𝑙 𝑥𝑢 𝑥𝑟 ε𝑎 1 2.5 3 2.75 ----- 2 2.5 2.75 2.625 4. 3 2.5 2.625 2.5625 2. 4 2.5625 2.625 2.59375 1. 5 2.59375 2.625 2.609375 0. 6 2.59375 2.609375 2.6015625 0. 7 2.3015625 2.
𝑟
2.5+ 2 = 2. 75^ ε𝑎 =^ 2.625−2. 2.625 ×100 =^ 4. 761 𝑥 𝑟
2.5+2. 2 = 2. 625^ ε𝑎 =^ 2.5625−2. 2.5625 ×100 = 2. 439 𝑥 𝑟
2.5+2. 2 = 2. 5625^ ε𝑎 =^ 2.59375−2. 2.59375 ×100 =^ 1. 204 𝑥 𝑟
2.5625+2. 2 = 2. 59375^ ε𝑎 =^ 2.6093−2. 2.6093 ×100 = 0. 598 𝑥 𝑟
2.59375+2. 2 = 2. 609375 ε 𝑎
2.6015625−2. 2.6015625 ×100 =^ 0. 300 𝑥 𝑟
2.59375+2. 2 = 2. 6015625 ε 𝑎
2.60546875−2. 2.60546875 ×100 = 0. 149 𝑥 𝑟
2.6015625+2. 2 = 2. 60546875 ε 𝑎
2.607421875−2. 2.607421875 ×100 = 0. 074 𝑥 𝑟
2.60546875+2. 2 = 2. 607421875 ε 𝑎
2.608398438−2. 2.608398438 ×100 = 0. 0374
𝑟
2.607421875+2. 2 = 2. 608398438 ε 𝑎
2.608886719−2. 2.608886719 ×100 = 0. 018 𝑥 𝑟
2.608398438+2. 2 = 2. 608886719 ε 𝑎
2.608642579−2. 2.608642579 ×100 = 0. 009 𝑥 𝑟
2.608398438+2. 2 = 2. 608642579 5.15 Por un canal trapezoidal fluye agua a una tasa de 𝑄 = 20 La profundidad 𝑚^3 𝑠
crítica y para dicho canal satisface la ecuación 0 = 1 − 𝑄^2 𝑔𝐴^3
Donde 𝑔 = 9. 81 , y 𝑚 𝑠^2 𝐴 = á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑎𝑙 𝑚 2
𝐵 = 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑐𝑎𝑛𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 𝑚( ). Para este caso, el ancho y el área de la sección transversal se relacionan con la profundidad y por medio de 𝐵 = 3 + 𝑦 y𝐴 = 3𝑦 + 𝑦^2 2 Resuelva para la profundidad crítica con el uso de los métodos a) gráfico, b) bisección y, c) falsa posición. En los incisos b) y c), haga elecciones iniciales de Xl=0.5 y Xu=2.5, y ejecute iteraciones hasta que el Ea caiga por debajo de 1% o el número de iteraciones supere a 10. Analice sus resultados. a) Gráfico 𝑓 𝑦( ) = 40. 774 − 𝑦 2
3 8𝑦+
b) 𝑥 0 = 3, 𝑓 𝑥( ) = 2𝑥 3 − 11. 7𝑥 2
- 7𝑥 − 5, 𝑓 ' 𝑥( ) = 6𝑥 2 − 23. 4𝑥 + 17. 7 𝑥 1 = 3 − 2𝑥^3 −11.7𝑥^2 +17.7𝑥− 6𝑥^2 −23.4𝑥+17. = 5. 1333 𝐸 𝑡 = 3.523632228−5. 3.523632228 (100%^ ) = 45. 68% 𝑥 1 = 5. 1333, 𝑓 𝑥( ) = 2𝑥 3 − 11. 7𝑥 2
- 7𝑥 − 5, 𝑓 ' 𝑥( ) = 6𝑥 2 − 23. 4𝑥 + 17. 7 𝑥 2 = 5. 1333 − 2𝑥^3 −11.7𝑥^2 +17.7𝑥− 6𝑥^2 −23.4𝑥+17. = 4. 271105714 𝐸 𝑡 = 3.523632228−4. 3.523632228 (100%^ ) = 21. 213% 𝑥 2 = 4. 271105714, 𝑓 𝑥( ) = 2𝑥 3 − 11. 7𝑥 2
- 7𝑥 − 5, 𝑓 ' 𝑥( ) = 6𝑥 2 − 23. 4𝑥 + 17. 7 𝑥 3 = 4. 271105714 − 2𝑥^3 −11.7𝑥^2 +17.7𝑥− 6𝑥^2 −23.4𝑥+17. = 4. 216246704
𝐸 𝑡 = 3.523632228−4. 3.523632228 (100%^ ) = 19. 656% Iteraciones 𝑥𝑖+𝑛 𝐸𝑡% 𝐸𝑎% 0 3 14. 86% / 1 5.1333 45. 68% 41.588% 2 4.271105714 21. 213% 20.187% 3 4.216246704 19.656% 1.301%
a) 𝑥−1 = 3, 𝑓 𝑥( −1) =− 3. 2 , 𝑥 0 = 4, 𝑓 𝑥( 0 ) = 6. 6
𝑥 1 = 4 − 6.6 3−4( ) −3.2−6.6 = 3. 326530612 𝐸𝑡 = 3.523632228−3. 3.523632228 (100%^ ) = 5. 593%
𝑥 2 = 3. 326530612 − −1.9688 4−3.326530612( ) 6.6− −−1.9688( ) = 3. 481272709 𝐸𝑡 = 3.523632228−3. 3.523632228 (100%^ ) = 1. 20%
𝑥 3 = 3. 481272709 − −0.7959153258 4−3.481272709( ) −1.9688− −0.7959153258( ) = 3. 586275385 𝐸 𝑡 = 3.523632228−3. 3.523632228 (100%^ ) = 1. 77% Iteraciones I 𝐸𝑡% 𝐸𝑎% xr 1 0 5. 593% / 3. 326530612 2 1 1. 20% 4.44% 3. 481272709 3 2 1. 77% 2.927% 3. 586275385 6.3 Utilice el método de a) iteración de punto fijo y b) Newton - Raphson, para determinar una raíz de 𝑓(𝑥) =− 𝑥 con el uso de Haga el cálculo hasta que sea menor que 2
- 8𝑥 + 2. 5 𝑥 𝑜 = 5. 𝐸 𝑎 𝐸𝑠 = 0. 05%. 𝐴𝑠𝑖𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜, 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑖𝑐𝑒 𝑢𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑠𝑢 𝑟𝑒𝑠𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙.
𝐸 𝑡 =
2.711934054 (100%) =− 3. 155𝑥10^ − 5% 𝐸 𝑎 = 2.71934054−2. 2.71934054 (100%) =− 0. 064% 𝑥 5 = 2. 71 − −3.12248𝑥10− −3.638682796 = 2. 71934054 𝐸𝑡 = 2.711934054−2. 2.711934054 (100%) = 0 𝐸𝑎 = 2.71934054−2. 2.71934054 (100%) =− 3. 15𝑥 − % 𝑖 𝑥𝑖 𝐸𝑡 𝐸𝑎 0 5 -83.868% - 1 3. 353658537 -23.326% -49.09% 2 2. 80133225 -3.015% -19.71% 3 2. 721108416 -2.948% 4 2. 719341398 -3.155x10^-5% -0.064% 5 2. 71934054 0 -3.15x10^-5% 6.4 Determine las raíces reales de 𝑓 𝑥( ) =− 1 + 5. 5𝑥 − 4𝑥 2
- 5𝑥 3 : a) En forma gráfica b) Con el método de Newton-Raphson dentro de ε 𝑠
𝑖 𝑥𝑖 𝑥𝑖+1 ε𝑎 1 0 0.181818181 ---- 2 0.181818181 0.213374919 14. 3 0.213374919 0.214332114 0. 4 0.214332114 0.214332988 0. 𝑓 𝑥( ) =− 1 + 5. 5𝑥 − 4𝑥 2
- 5𝑥 3 𝑓´ 𝑥( ) = 5. 5 − 8𝑥 + 1. 5𝑥 2 𝑥 𝑖+
−1+5.5 0( )−4 0( ) 2 +0.5 0( ) 3 5.5−8 0( )+1.5 0( )^2
𝑖+
−1+5.5 0.18181( )−4 0.18181( )^2 +0.5 0.181811( )^3 5.5−8 0.18181( )+1.5 0.18181( )
−1+5.5 0.21337( )−4 0.21337( )^2 +0.5 0.21337( )^3 5.5−8 0.21337( )+1.5 0.21337( )^2
𝑖+
−1+5.5 0.21433( )−4 0.21433( )^2 +0.5 0.21433( )^3 5.5−8 0.21433( )+1.5 0.21433( )^2
6.5 Emplee el método de Newton-Raphson para determinar una raíz real de 𝑓 𝑥( ) =− 1 + 5. 5𝑥 − 4𝑥 con el uso de elecciones iniciales a) 4.52 y b) 2
- 5𝑥 3 4.54. Estudie y use métodos gráficos y analíticos para explicar cualquier peculiaridad en sus resultados. 𝑓´ 𝑥( ) = 1. 5𝑥 2 − 8𝑥 + 5. 5 a) Iteración Xi Xi+1 Ea(%) 1 4.52 -807.208 - 2 -807.208 -537.2532 50.2472205% 3 -537.2532 -357.284132 50.3714135%
