Álgebra y Geometría Analítica: Superficies Cónicas y Cilíndricas, Ejercicios de Álgebra

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Álgebra y Geometría Analítica

Aunque la ecuación contiene tres variables, la ecuación de

una superficie puede contener solamente una o dos variables,

por ejemplo:

Se denomina SUPERFICIE al lugar

geométrico de todos los puntos P(x,y,z)

pertenecientes a cuyas coordenadas

satisfacen una sola ecuación de la forma

 3

F (x; y; z) = 0 1

representa un cilindro circular recto

2 2

x + y = 4

Mediante una rotación y/o traslación de ejes la ecuación se

puede reducir a una de las siguientes formas:

2 2 2

2 2

M x + N y + P z = R (1)

M x + N y = S z (2)

Las cuádricas correspondientes al grupo (1) tienen centro de simetría, el origen, por lo cual se denominan cuádricas con centro.

Las cuádricas correspondientes al grupo (2) no tienen centro de simetría, por lo cual se denominan cuádricas sin centro.

Ecuación Ordinaria

Es el lugar geométrico de los puntos del espacio que

equidistan de un punto fijo llamado centro.

A la distancia entre un punto de la superficie esférica

y el centro se la denomina radio de la misma.

La ecuación de una superficie esférica de radio R y centro C(h ,k ,t )

( ) ( ) ( ) (^2 22 )

x-h + y-k + z-t = R

Es la superficie generada por una recta móvil que pasa por un punto perteneciente a una curva plana fija y por otro punto fijo, no contenido en el plano de esa curva.

Nosotros sólo estudiaremos superficies cónicas donde la directriz será:

superficie cónica circular Una circunferencia o de revolución

superficie cónica parabólica

Una parábola

superficie cónica elíptica

Una elipse

El vértice divide a la superficie en dos porciones distintas llamadas ramas de la superficie.

Al punto fijo se lo llama vértice de la superficie, a la recta móvil generatriz y a la curva directriz.

• Es la superficie generada por la rotación de una curva plana que gira alrededor de una recta fija coplanar con la curva.

Nosotros estudiaremos las superficies de revolución con eje paralelo a uno de los ejes coordenados.

• A la recta fija se la denomina eje de revolución o eje de la superficie y a la curva generatriz.
• Todo punto de la generatriz describe una circunferencia contenida en un plano perpendicular al eje de revolución y con centro en él.

Caso 2 : (^) M = N = P > 0  R > 0

ESFERA

2 2 2 2 2 2

x y z

• • = 1 a a a

(Ver desarrollo)

Caso 3 : (^) M > 0  N > 0  P < 0 R > 0

HIPERBOLOIDE

DE UNA HOJA

(ver desarrollo)

2 2 2 2 2 2

x y z

• • = 1 a b c

(ver desarrollo)

Caso 5: M > 0^ ^ N > 0^ ^ P = 0^ R > 0

SUPERFICIE CILÍNDRICA ELÍPTICA O CIRCULAR RECTA

2 2 2 2

x y

a b

(ver desarrollo)

Caso 6: M < 0^ ^ N > 0^ ^ P = 0^ R > 0

SUPERFICIE CILÍNDRICA HIPERBÓLICA RECTA

2 2 2 2

x y

• • = 1

a b

(Ver desarrollo)

M x^2 + N y^2 = S z

Caso 1: (^) M. N > 0  S  0

2 2 2 2

x y

• = Sz a b

PARABOLOIDE ELÍPTICO O CIRCULAR

(ver desarrollo)

PARABOLOIDE

HIPERBÓLICO

Caso 2: M. N < 0^ ^ S^ ^0

2 2 2 2

x y

• = Sz

a b

Es el lugar geométrico de todos los puntos de espacio cuyas coordenadas satisfacen simultáneamente dos ecuaciones linealmente independientes.

De esta manera la curva

F(x, y,z) = 0 G(x, y,z) = 0

C

está determinada por la intersección de dos superficies.

Definición:

Planas :todos los puntos están en un mismo plano

Alabeadas : no todos los Puntos están en un mismo plano