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SUPERFICIES:
Se llama superficie al conjunto de puntos del espacio, y solamente de aquellos puntos del espacio R^3 , cuyas coordenadas verifican una ecuación de la forma: F(x ; y ;z ) = 0
Por ejemplo: la ecuación: y – sen x = 0 representa el conjunto de puntos: P(x , sen x , z ) para x, z números reales cualesquiera. La representación gráfica de esta superficie es la que se muestra a continuación:
0 5 x 10
0
1
2 y
0
1
2
0 z 5 x 10
0
1
2
z
Ecuación general de segundo grado en tres variables: Una ecuación de la forma: 2 2 2 a 11 (^) x + a 22 (^) y + a 33 (^) z + 2 a 12 (^) xy + 2 a 13 (^) xz + 2 a 23 (^) yz + a 14 (^) x + a 24 (^) y + a 34 (^) z + a 44 = 0 (I)
en donde por lo menos uno de los seis coeficientes: a 11 (^) ,a 22 (^) ,a 33 (^) ,a 12 (^) ,a 13 (^) ,a 23 es diferente de
cero se denomina: superficie cuádrica o simplemente: cuádrica.
Las cuádricas, al igual que las cónicas, pueden ser verdaderas ó degeneradas o reducibles.
El determinante:
11 12 13 14 12 22 23 24 13 23 33 34 14 24 34 44
a a a a a a a a A a a a a a a a a
= asociado a la ecuación (I) decide si la ecuación
representa una cuádrica verdadera o una cuádrica degenerada: si A ≠ 0 es verdadera, si
A = 0 es degenerada o reducible.
Se demuestra que mediante transformaciones apropiadas de coordenadas: traslación y/o rotación, la ecuación (I) puede transformarse de manera que tome una de las dos formas tipo 1 :
M x^2 + N y^2 + P z^2 = R (II) M x^2 + N y^2 = S z (III)
Siendo una cuádrica verdadera, una superficie cuya ecuación es o puede llevarse al tipo (II) es una superficie con centro de simetría, el centro de simetría de la superficie es al origen de coordenadas y por esto se las llama: cuádricas con centro.
(^1) Otras equivalentes a la ecuaciones del tipo (III) son: M y^2 + N z^2 = S x ó M x^2^ + N z^2 = S y.
Son cuádricas con centro : Elipsoide (caso particular, la esfera), Hiperboloide de una hoja, Hiperboloide de dos hojas.
Siendo una cuádrica verdadera, una superficie cuya ecuación es o puede llevarse al tipo (III) no tiene centro de simetría y se llaman por lo tanto: cuádricas sin centro.
Son cuádricas sin centro : Paraboloide circular o elíptico, Paraboloide hiperbólico
Existen también ecuaciones de las formas (I), (II) o (III) que aparentan ser una superficie y en realidad se reducen a ser un par de planos (paralelos, incidentes o coincidentes), un punto del espacio o bien ningún lugar geométrico. Estos casos “aparentes” se denominan: cuádricas degeneradas o reducibles.
Por ejemplo : La ecuación: 4 x^2 − 64 = 0 responde a la estructura (I), sin embargo, no es una cuádrica verdadera, sino un caso de cuádrica degenerada, pues equivale a dos planos paralelos. Esto es:
2
pl : x x x. x pl : x
⎧^ −^ =
⎩ +^ =
ESFERA:
Se llama esfera al lugar geométrico de los puntos del espacio que equidistan de un punto fijo,
llamado centro: P ( x 0 ;y 0 ;z 0 ) una distancia constante llamada radio: R ( R > 0)
(^2 2 2 ) x − x 0 (^) + y − y 0 (^) + z − z 0 = R
Por ejemplo : Esfera → x^2^ + y^2^ + z^2 = 4 con centro en el origen de coordenadas O(0;0;0) y
radio 2 Cuyo gráfico se muestra a continuación:
-2 - 0 1 2
0
1
2
0
1
2
-2 - 0 1 2
0
1
2
-2 - 0 1 2
0
1
2
0
1
2
-2 - 0 1 2
0
1
2
Respuesta: Para dar respuesta, completamos cuadrados tal como se muestra a continuación, esto es transformamos la ecuación general o implícita en la cartesiana o explícita de la esfera:
( ) ( ) ( ) x^2^ − 4 x + y^2 + 6 y + z^2 − 8 z + 4 = 0
( ) ( ) ( ) x^2^ − 4 x + 4 + y^2 + 6 y + 9 + z^2 − 8 z + 16 + 4 − 4 − 9 − 16 = 0
x − 2 2 + y + 3 2 + z − 4 2 = 25
Por lo tanto, se tiene una esfera de centro: ( 2 ; −3 4 ; ) y radio r = 5
CUÁDRICAS CON CENTRO:
Si la ecuación: M x^2 + Ny^2 +Pz^2 =R es una cuádrica verdadera, para determinados valores
de M, N, P y R representará alguno de los casos que se denominan: forma canónica de una cuádrica con centro.
En este tipo de superficies se tiene que: existen tres planos de simetría (los planos coordenados) llamados planos principales , tres ejes de simetría (los ejes coordenados) llamados ejes principales y un centro de simetría (el origen de coordenadas) llamado centro de la superficie.
ELIPSOIDE :
La ecuación M x^2 + Ny^2 +Pz^2 =Rrepresentará un elipsoide cuando M, N, P y R son todos
números reales positivos.
Operando en ella puede obtenerse la ecuación: 2 1
2 2
2 2
2 ax +^ by +cz^ =
Por ejemplo : La ecuación: 16 36 81 1
2 2 2 x (^) + y +z = es la ecuación canónica de un elipsoide con
centro de simetría en el origen de coordenadas, ejes de simetría: los ejes coordenados y planos de simetría: los planos coordenados. En general, los elementos que se estudian para poder dar una gráfica aproximada son:
- Los puntos, donde la superficie intercepta a los ejes coordenados,
- La intersección, si existe, entre la superficie y cada uno de los planos coordenados. Estas intersecciones se denominan: trazas,
- La intersección entre la superficie y planos que resultan paralelos a los planos coordenados.
Analicemos si este elipsoide corta a los ejes coordenados :
Intersección con el eje de abscisas: 2 2 2 16 36 81 2 16
x y z x (^) x y z
⎨ ⇒^ =^ ⇒^ =
⎪⎩ =^ =
Entonces corta al eje x en dos puntos de coordenadas: P 1 ( 4 0 0 ; ; )y P 2 ( −4 0 0 ; ; )
Intersección con el eje de ordenadas: (^2 22 ) (^16 36 81 1 361 ) 0
x y z y (^) y x z
⎨ ⇒^ =^ ⇒^ =
⎪⎩ =^ =
Entonces corta al eje y en dos puntos de coordenadas: P 3 ( 0 6 0 ; ; )y P 4 ( 0 ; −6 0 ; )
Intersección con el eje de cotas: 2 2 2 16 36 81 2 81
x y z z (^) z x y
⎨ ⇒^ =^ ⇒^ =
⎪⎩ =^ =
Entonces corta al eje z en dos puntos de coordenadas: P 5 ( 0 0 9 ; ; )y P 6 ( 0 0 ; ; − 9 )
Observación: Notemos que las coordenadas donde la superficie corta a los ejes coordenados
están en relación con los valores: a, b y c de la ecuación 2 1
2 2
2 2
2
z b
y a
x
Analicemos las trazas :
Intersección con el plano (xy): 2 2 2 2 2 16 36 81 1 16 36 1 0 0
x y^ z x y
z z
⎪⎩ =^ ⎪⎩ =
Entonces, la superficie corta al plano (xy) determinando una elipse de eje focal eje y, semidiámetro mayor: 6 y semidiámetro menor: 4
Intersección con el plano (xz): 2 2 2 2 2 16 36 81 1 16 81 1 0 0
x y^ z x^ z
y y
⎪⎩ =^ ⎪⎩ =
Entonces, la superficie corta al plano (xz) determinando una elipse de eje focal: eje z , semidiámetro mayor: 9 y semidiámetro menor: 4
Intersección con el plano (yz): 2 2 2 2 2 16 36 81 1 36 81 1 0 0
x y^ z y z
x x
Entonces, la superficie corta al plano (yz) determinando una elipse de eje focal: eje z , semidiámetro mayor: 9 y semidiámetro menor: 6
Con estos datos es suficiente para dar una gráfica del elipsoide:
En este caso, se dice que los planos z = ± 9 son tangentes a la superficie.
- Si H < 0, la ecuación (*) puede escribirse como:
2 2 2 2 16 36 16 36 1
x y^ x y
Pero, veamos que al ser H < 0 podemos escribir lo siguiente:
2 2 16 36 1
x y − (^) H − (^) H = , ecuación
que no tiene solución en reales, pues una suma de números negativos no puede darnos como resultado un número positivo. Por lo tanto, cuando H < 0 no hay intersección entre los planos z = k y la superficie. Esto pasa cuando: 81 2 2 81 0 81 0 9 9 9
− k (^) < ⇒ − k < ⇒ k > ⇒ k < − ∨ k >
Intersección con planos y = k (paralelos al plano (xz)): 2 2 2 2 2 2 2 2 36 2 16 36 81 1 16 81 1 36 16 81 36
x y^ z x z k x z k
y k y^ k^ y^ k
⎨ ⇒^ ⎨ ⇒⎨
⎪⎩ = ⎪⎩ =^ ⎪⎩ =
En este caso el análisis es análogo, queda a cargo del lector verificar que:
- Si − 6 < k < 6 la intersección entre la superficie y los planos y = k son elipses.
- Si k = − 6 ∧ k = 6 la intersección entre la superficie y los planos y = k son un par de
puntos, que son los puntos donde el elipsoide corta al eje de ordenadas: P 3 ( 0 6 0 ; ; ) y
P 4 ( 0 ; −6 0 ; ) ( en este caso los planos de ecuación: y = ± 6 son tangentes a la superficie)
- Si k < − 6 ∨ k > 6 no hay intersección entre los planos y = k y el elipsoide.
Intersección con planos x = k (paralelos al plano (yz)): 2 2 2 2 2 2 2 2 16 2 16 36 81 1 36 81 1 16 36 81 16
x y^ z y^ z k y z k
x k x k x k
⎨ ⇒^ ⎨ ⇒⎨
⎪⎩ =^ ⎪⎩ =^ ⎪⎩ =
En este caso el análisis es análogo, queda a cargo del lector verificar que:
- Si − 4 < k < 4 la intersección entre la superficie y los planos x = k son elipses.
- Si k = − 4 ∧ k = 4 la intersección entre la superficie y los planos x = k son un par de
puntos, que son los puntos donde el elipsoide corta al eje de abscisas: P 1 ( 4 0 0 ; ; ) y
P 2 ( −4 0 0 ; ; ) ( en este caso los planos de ecuación: x = ± 4 son tangentes a la superficie)
- Si k < − 4 ∨ k > 4 no hay intersección entre los planos y = k y el elipsoide.
Del análisis podemos afirmar que un elipsoide es una superficie acotada , “podemos ponerla dentro de una caja”, en el ejemplo analizado, la caja tendría como medidas: 8x12x
Otro ejemplo : La ecuación 41 9 22 1
2 2 ( x− ) + y +(z+ ) = es un elipsoide con centro en el punto:
O´ ( 1 ; 0 ;− 2 )
0
2
-2.
-1.
-1 (^0 1 2 ) x
-2 0
2 y
-2.
-1.
z
-1 (^0 1 2 ) x
Observación:
Si la ecuación que tenemos es de la forma:
2 2 2 1
x y z m m m
Es decir, resulta que: a = b = c, tenemos el caso donde se ve que la esfera es caso particular
del elipsoide, ya que la ecuación (*) equivale a: x^2^ + y^2 + z^2 = m y esto es una esfera de
centro O(0;0;0) y radio: R = m
ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN
Se pretende determinar la ecuación de la superficie generada por la revolución alrededor del eje z de la elipse centrada en el origen de coordenadas, ubicada en el plano yz , y con
semiejes coincidentes con los ejes coordenados, o sea, elipse de ecuación:
(^2 ) 2 2 1 0
y (^) z b c x
A esta curva, se la denomina generatriz y al elipsoide se lo denomina: elipsoide de revolución La técnica para hallar la ecuación del elipsoide de revolución que genera la elipse que rotamos alrededor del eje z es la siguiente:
En la ecuación de la generatriz : 2 1
2 2
2
z b
y (perteneciente al plano x = 0 ) no se realiza
cambio sobre la variable z (por ser el eje z el eje de rotación) y se reemplaza y por
± y^2 + x^2.
Luego, operando resulta que: 2 1
2 2
2 2
c
z b
x y .
Por lo tanto, la ecuación del elipsoide de revolución es: 2 1
2 2
2 2
2
z b
y b
x
Las intersecciones con los ejes coordenados son:
Intersección con el eje de abscisas:
2 2 2 (^9 25 1 21 ) 0
x y^ z x x y z
⎨ ⇒^ =^ ⇒^ =
Entonces corta al eje x en dos puntos de coordenadas: P 1 (1 0 0 ; ; )y P 2 ( −1 0 0 ; ; )
Intersección con el eje de ordenadas: (^2 ) (^29 25 ) 9
x y^ z^ y y x z
⎨ ⇒^ =^ ⇒^ =
Entonces corta al eje y en dos puntos de coordenadas: P 3 ( 0 3 0 ; ; )y P 4 ( 0 ; −3 0 ; )
Intersección con el eje de cotas: (^2 ) (^29 25 ) 25
y (^) z x (^) z z R x y
⎨ ⇒ −^ =^ ⇒^ ∉
⎪⎩ =^ =
Entonces, no hay intersección entre el eje z y el hiperboloide de una hoja. Esto pasa siempre con la variable que determina al eje de la superficie.
Observación: Notemos que las coordenadas donde la superficie corta a los ejes coordenados
están en relación con los valores: a y b de la ecuación
2 2 2 2 2 2 1
x y z a^ +^ b −^ c =
Las intersecciones con los planos coordenados son: Intersección con el plano (xy):
2 2 2 2 2 9 25 1 9 1 0 0
x y^ z x y z z
⎪⎩ =^ ⎪⎩ =
Entonces, la superficie corta al plano (xy) determinando una elipse de eje focal eje y, semidiámetro mayor: 3 y semidiámetro menor: 1.
Intersección con el plano (xz): 2 2 2 2 2 9 25 1 25 1 0 0
x^ y^ z^ x z y y
⎪⎩ =^ ⎪⎩ =
Entonces, la superficie corta al plano (xz) determinando una hipérbola de eje focal: eje x , semidiámetro real: 1 y semidiámetro imaginario: 5
Intersección con el plano (yz):
2 2 2 2 2 9 25 1 9 25 1 0 0
x^ y^ z^ y z x x
⎪⎩ =^ ⎪⎩ =
Entonces, la superficie corta al plano (yz) determinando una hipérbola de eje focal: eje y , semidiámetro real: 3 y semidiámetro imaginario: 5
Las intersecciones con los planos paralelos a los planos coordenados son: Intersección con planos z = k (paralelos al plano (xy)):
2 2 2 2 2 2 2 2 25 2 9 25 1 9 1 25 9 25 x y^ z x y^ k^ x y k z k z k z k
⎨ ⇒^ ⎨ ⇒ ⎨
En este caso, observemos que: 25 2 25 0
- k (^) > para cualquier valor real de k , por lo tanto si
llamamos: 25 2 25 H = +^ k , la ecuación (**) equivale a:
2 2 2 2 9 9 1
y (^) x y x H H H z k z k
⎪⎩ =^ ⎪⎩ =
Entonces los planos de la forma: z = k cortan al hiperboloide de una hoja en elipses cuyos diámetros aumentan a medida que aumenta el valor de k. De todas ellas, la elipse que resulta de cortar al hiperboloide de una hoja con el plano coordenada z = 0, es la que tiene diámetros de menor medida. Esta elipse, que sería “la más pequeña” se denomina “ elipse garganta ” (cuya ecuación es la que se halló cuando se analizó la intersección con el plano coordenado (xy)).
Intersección con planos y = k (paralelos al plano (xz)):
2 2 2 2 2 2 2 2 9 2 9 25 1 25 1 9 25 9 x y^ z^ x^ z^ k^ x z k y k y^ k^ y^ k
⎨ ⇒^ ⎨ ⇒⎨
⎪⎩ =^ ⎪⎩^ =^ ⎪⎩ =
Entonces:
- Si 9 2 9 H = −^ k > 0, la ecuación (*) puede escribirse como: 2 2 2 2 25 25 1
z x z x − = H ⇒ (^) H − (^) H = Entonces, al cortar la superficie con planos y = k obtendremos Hipérbolas de eje focal paralelo al eje x. Entonces cuando k verifique que: 9 2 2 9 0 9 0 3 3 3
− k (^) > ⇒ − k > ⇒ k < ⇒ − < k < , los planos
y = k cortan a la superficie en hipérbolas.
- Si 9 2 9 H = −^ k = 0, la ecuación (*) puede escribirse como: 2 2 25 0 x − z = equivale a un par de rectas sobre los planos de ecuación y = k , cuando k es tal que H = 0, puesto que:
( ) ( ) 2 2 5 25 5 5 5
z z z z z
x x x x x
⎪⎩ +^ =
Entonces, si: 9 2 2 9 0 9 0 3 3 3
− k (^) = ⇒ − k = ⇒ k = ⇒ k = − ∧ k = , tendremos que al cortar la
superficie con los planos y = ± 3 , el corte serán rectas con los siguientes puntos: P (^) ( 5 z ; ± 3 ; z )y P (^) ( − 5 z ; ± 3 ; z )
- Si 9 2 9 H = −^ k < 0, la ecuación (*) puede escribirse como: 2 2 2 2 25 25 1
z x z x − = H ⇒ − (^) H + (^) H =
Podría el lector dar un gráfico que se corresponda con el siguiente caso de hiperboloide de
una hoja
(^2 ) 2 2 2 1
x y z a^ −^ b +^ c =^?
HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS:
La ecuación Mx^2^ + Ny^2 + Pz^2 = R representará un hiperboloide de dos hojas si siendo R > 0,
uno de los tres coeficientes es positivos y los restantes son negativos. Operando en ella, puede llevarse a alguna de las siguientes ecuaciones:
2 1
2 2
2 2
2 − − = c
z b
y a
x (^1) 2
2 2
2 2
2 − − + = c
z b
y a
x (^1) 2
2 2
2 2
2 − + − = c
z b
y a
x
Por ejemplo : la ecuación:
(^2 ) 9 16 1 − x^ − y + z = representa un hiperboloide de dos hojas con
centro de simetría en el origen de coordenadas, planos y ejes de simetría, los planos y los ejes coordenados respectivamente. Esta superficie también tiene un eje alrededor del cual se desarrolla, en este ejemplo, el eje de la superficie es en eje z.
Las intersecciones con los ejes coordenados son: Intersección con el eje de abscisas: (^2 2 ) (^9 16 1 ) 0
x (^) y z x x R y z
⎨ ⇒^ = −^ ⇒^ ∉
⎪⎩ =^ =
Entonces el eje x y la superficie no se cortan
Intersección con el eje de ordenadas: (^2 2 ) (^9 16 1 ) 0
x (^) y z y y R x z
⎨ ⇒^ = −^ ⇒^ ∉
Entonces la superficie y el eje y no se cortan Intersección con el eje de cotas: (^2 ) 9 2 16 2 16
x z y (^) z z x y
⎨ ⇒^ =^ ⇒^ =
⎪⎩ =^ =
Entonces, la intersección entre el eje z y el hiperboloide de dos hojas son los puntos:
P 1 ( 0 0 4 ; ; )y P 2 ( 0 0 ; ; − 4 )
Observación: Notemos que las coordenadas donde la superficie corta al eje z están en
relación con el valor c de la ecuación
(^2 ) 2 2 2 1
x y z − (^) a − (^) b + (^) c =
Las intersecciones con los planos coordenados son: Intersección con el plano (xy): (^2 2 ) 9 16 1 9 1 0 0
x (^) y z x y
z z
⎪⎩ =^ ⎪⎩ =
Entonces, la superficie no corta al plano (xy) puesto que una suma de dos números negativos no puede dar un número positivo.
Intersección con el plano (xz): 2 2 2 2 2 9 16 1 9 16 1 0 0
x (^) y z x z
y y
⎪⎩ =^ ⎪⎩ =
Entonces, la superficie corta al plano (xz) determinando una hipérbola de eje focal: eje z , semidiámetro real: 4 y semidiámetro imaginario: 3
Intersección con el plano (yz): 2 2 2 2 2 9 16 1 25 1 0 0
x (^) y z (^) y z
x x
⎪⎩ =^ ⎪⎩ =
Entonces, la superficie corta al plano (yz) determinando una hipérbola de eje focal: eje z , semidiámetro real: 5 y semidiámetro imaginario: 1 Las intersecciones con los planos paralelos a los planos coordenados son: Intersección con planos z = k (paralelos al plano (xy)): 2 2 2 2 2 2 2 2 16 2 9 16 1 9 1 16 9 16
x (^) y z x (^) y k x (^) y k
z k z k z k
⎧⎪ − − + = ⎧⎪ − − = − ⎧⎪− − =^ −
⎨ ⇒^ ⎨ ⇒ ⎨
⎪⎩ =^ ⎪⎩ =^ ⎪⎩ =
En este caso, el resultado de la intersección va a depender del valor que adopte: 16 2 16 H = −^ k.
Entonces:
- Si 16 2 16 H = −^ k > 0, es decir si: − 4 < k < 4 no hay intersección entre el plano z = k y el hiperboloide de dos hojas.
- Si 16 2 16 H = −^ k = 0, es decir: k = − 4 ∨ k = 4 , la ecuación (*) reduce a: 2 2 9 −^ x^ − y = 0 o
bien:
(^2 ) 9 0
x (^) + y = , ecuación que se verifica únicamente cuando x = y = 0.
Por lo tanto, en este caso, tenemos que los planos: z = − 4 ∧ z = 4 son tangentes a la
superficie, puesto que la intersección serán los puntos: P 1 ( 0 0 4 ; ; ) y P 2 ( 0 0 ; ; − 4 )
(Observar que se corresponden con la intersección con el eje z).
Podría el lector dar un gráfico que se corresponda con el siguiente caso de hiperboloide de
dos hojas:
2 2 2 2 2 2 1
x y z − (^) a − (^) b + (^) c =?
HIPERBOLOIDES DE REVOLUCIÓN
En los gráficos se representan dos hipérbolas contenidas en el plano yz :
2 2
2
x
c
z b
y que corta al eje y, y ⎪⎩
2 2
2
x
b
y c
z que corta al eje x
Si rotamos cada una de estas curvas alrededor del eje z se formarán dos superficies esencialmente distintas, denominadas hiperboloide de una hoja e hiperboloide de dos hojas, respectivamente. En ambos casos se dice que el hiperboloide es de revolución , en ellos la curva que rotamos alrededor de un eje para generar la superficie se llama: generatriz
Veamos como hallar la ecuación de un Hiperboloide de revolución de una hoja Se demuestra la siguiente técnica:
En la ecuación de la generatriz: (^) 2 1
2 2
2 − = c
z b
y (contenida en x = 0) no se realizan cambios
sobre la variable z (por ser el eje z el eje de rotación) y se reemplaza y por ± y^2 + x^2.
Luego, así :
2 1
2 2
2 22 − =
± + c
z b
y x ⇒ 2 1
2 2
2 2
z b
y x
Entonces, la ecuación resultante es: 2 1
2 2
2 2
2
z b
y b
x
Veamos como hallar la ecuación de un Hiperboloide de revolución de dos hojas Se demuestra la siguiente técnica:
En la ecuación de la generatriz: (^) 2 1
2 2
2 − = b
y c
z (contenida en x = 0) no se realizan cambios
sobre la variable z (por ser el eje z el eje de rotación) y se reemplaza y por ± y^2 + x^2.
Luego, así:
2 2 2 2
2
b
y x c
z ⇒ 2 1
2 2 2
2
b
y x c
z .
Entonces, la ecuación resultante es: 2 1
2 2
2 2
2 − − + = c
z b
y b
x
PARABOLOIDE ELIPTICO:
La ecuación: M x^2 + Ny^2 =Sz representa un paraboloide elíptico (o circular) cuando S > 0
y los coeficientes: M y N números reales de igual signo (ambos positivos o ambos negativos). Operando en la ecuación, podemos obtener:
cz b
y a
x (^) + = 2
2 2
2 ó cz b
y a
− x^ − = 2
2 2
2
El paraboloide será circular si se tiene que: a = b
Por ejemplo : La ecuación: − x 2 −y^2 =zrepresenta un paraboloide circular de eje principal:
eje z cuando z < 0. Para analizar los elementos de esta superficie, multiplicamos miembro a miembro por (–1).
Entonces la ecuación es: x^2^ + y^2 = − z
Intersección con los ejes coordenados: Intersección con el eje de abscisas: 2 2 (^2 0 ) 0
x y z x x y z
⎨ ⇒^ =^ ⇒^ =
⎪⎩ =^ =
Entonces el eje x y la superficie se cortan en el origen de coordenadas: O (0;0;0)
Intersección con el eje de ordenadas: 2 2 (^2 0 ) 0
x y z y y x z
⎨ ⇒^ =^ ⇒^ =
⎪⎩ =^ =
Entonces el eje y y la superficie se cortan en el origen de coordenadas O (0;0;0)
Intersección con el eje de cotas: 2 2 0 0
x y z z x y
⎨ ⇒^ =
⎪⎩ =^ =
Entonces, la intersección entre el eje z y el paraboloide es el origen de coordenadas O (0;0;0)
Intersección con los planos coordenados: Intersección con el plano (xy): (^2 2 2 2 )
0 0
x y z x y z z
⎪⎩ =^ ⎪⎩ =
Entonces, la superficie y el plano (xy) se cortan en el origen de coordenadas: O (0;0;0). El plano (xy) es tangente al paraboloide.
Intersección con el plano (xz): 2 2 2
0 0
x y z x z y y
⎪⎩ =^ ⎪⎩ =
Entonces, la superficie corta al plano (xz) determinando una parábola de eje focal: eje z. (ramas hacia las z < 0)
Intersección con el plano (yz): 2 2 2
0 0
x y z y z x x
⎪⎩ =^ ⎪⎩ =
Entonces, la superficie corta al plano (yz) determinando una parábola de eje focal: eje z. (ramas hacia las z < 0)
Las intersecciones con los planos paralelos a los planos coordenados son: Intersección con planos z = k (paralelos al plano (xy)):
x^2 y^2 z x^2 y^2 k z k z k
⎪⎩ =^ ⎪⎩ =
En este caso, el resultado de la intersección va a depender del valor que adopte k. Entonces:
- Si k > 0, no hay intersección entre el plano z = k y el paraboloide, pues una suma de cuadrados no puede dar un número negativo.
- Si k = 0, la ecuación (*) equivale al análisis de la intersección con el plano coordenado (xy). Y en este caso, la intersección se mostró que es un punto, el origen de coordenadas.
- Si k < 0, tendremos que – k = m > 0 la ecuación (*) equivale a: x^2^ + y^2 = m Por lo tanto,
en este caso, los planos cortan al paraboloide determinando circunferencias de radio
R = m y centro: C ( 0 0 ; ;k ).
Intersección con planos y = k (paralelos al plano (xz)):
( ) x^2 y^2 z x^^2 z^ k^2 y k (^) y k
⎧⎪ + = −^ ⎧⎪ = − +
Aquí, para todo k ∈ R , se tiene que la ecuación (*) equivale a una familia de parábolas con eje focal paralelo al eje z. El vértice de está familia está dado por los puntos de la forma:
( ) 0 ;k; − k^2. (ramas hacia z < 0)
Intersección con planos x = k (paralelos al plano (yz)):
( ) x^2 y^2 z y^^2 z^ k^2 x k (^) x k
⎧⎪ + = −^ ⎧⎪ = − +
Aquí, para todo k ∈ R , se tiene que la ecuación (*) equivale a una familia de parábolas con eje focal paralelo al eje z. El vértice de está familia está dado por los puntos de la forma:
( ) k; ; 0 − k^2. (ramas hacia z < 0)
-4-2 0 (^24) x
0 10
y
0
z
Gráfico del hiperboloide circular: x^2 + y^2 = − z
