Temas básicos de elemento finito, Diapositivas de Análisis de Estrés

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Sesión 13 Problemas

unidimensionales-Calculo

variacional y forma débil

Sesión 13 Problemas

unidimensionales-Calculo

variacional y forma débil

EFAICEFAIC

Objetivos

de sesión

• (^) Fundamentos de calculo variacional
• (^) Formulación débil o relajada

Procedimiento del elemento finito No Paso Descripción 1 Define el problema físico Determine el comportamiento del sistema y la física de interés, dimensiones así como el dominio de calculo. Responde preguntas como: ¿El sistema tiene un solo objeto o múltiples objetos?¿Es un problema de 1d, 2d o 3d? ¿Es un problema de mecánica de sólidos, transferencia de calor o dinámica de fluidos? 2 Define el modelo matemático Usa principios matemáticos y físicos para definir ecuaciones gobernantes(ecuaciones diferenciales, descripción funcional o ecuaciones algebraicas) 3 Deriva la forma débil Usa herramientas matemáticas para obtener las ecuaciones de la forma débil 4 Discretiza el dominio de calculo Discretizar(mallar) el dominio computacional 5 Aproximar las cantidades físicas desconocidas sobre los elementos Aproximaciones de elemento finito usando funciones de forma 6 Discretizar la forma débil de las ecuaciones de los elementos Calcular las matrices y vectores de los elementos 7 Ensamblar las ecuaciones del sistema global Ensamblar las matrices y vectores de los elementos en un sistema lineal global 8 Aplicar las condiciones esenciales de frontera Impone las condiciones esenciales de frontera en el sistema global lineal 9 Soluciona las ecuaciones globales Usa un sistema lineal para solución del sistema global y obtener la solución del vector incógnita. 10 Realiza el post proceso Realiza la visualización, análisis de la solución y cálculos de otras cantidades físicas de la solución

Paso1. Define el

problema físico

• El sistema contiene un objeto: la barra elástica. Es un problema de elasticidad lineal por que buscamos el desplazamiento y distribución de esfuerzos en la barra, además la barra es lineal. El problema se puede reducir a un problema 1-D. Buscamos encontrar la deformación de la barra cuando está en equilibrio, esto es un hecho en un problema cuasi-estático.

Ecuación gobernant e

• (^) (3) (4)
• (5) (6)
• (^) Sustituyendo Ec. (6 y 5) en Ec. (4) obtenemos
• (^) (7)
• (^) La Ec. (7) es la ecuación gobernante diferencial de la barra elástica.
• (^) Las condiciones particulares de la barra son
• (^) (9)

Paréntesis

• (^) Obtenga el funcional para la siguiente función gobernante y condiciones de frontera definidas como:

• (^) similar a

• (^) en Г
• en Г
• (^) Donde n={nx,ny,nz}T^ y n
• (^) Y Г y Г son porciones de superficie del dominio donde las condiciones de frontera esenciales y naturales están establecidas, respectivamente.

Expresión funcional de la forma fuerte

• (^) (10)

Paso 3. Derivar la forma débil

• (^) Principios variacionales
• (^) Minimización de energía potencial
• (^) Principio de trabajo virtual
• (^) Residuos ponderados->Método Galerkin

Minimizando la energía potencial

• Energía potencial=energía interna-energía externa
• Energía interna=energía de deformación
• =
• =
• =^ (14)
  • La energía externa:
  • (15)

Por lo tanto la energía potencial puede escribirse

• (^) Energía potencial=

Residuos ponderad os (Galerkin)

• (^) 0 en Г (21)
• (^) Si multiplicamos (21) por la ecuación gobernante obtenemos

• (^) Integrando por partes
• (^) (24)
• (^) -
• (^) - (25)

4. Discretizar el dominio computacional

5. Aproximar la solución sobre los elementos Aproximar la u(x) como una función lineal (^) Aproximar la u(x) como una función cuadrática

𝑖 = 1 𝑛 𝑁 𝑖 ( 𝑥 ) 𝑢 𝑖