Teoría de Conjuntos: Conjuntos, Unión, Intersección, Diferencia y Complemento, Apuntes de Matemática Discreta

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Introducción

La teoría de conjuntos más que ser una teoría es una rama de las matemáticas y de la lógica, que se especializa como bien dice su nombre, en conjuntos. A través de este documento plasmaremos parte de la historia de esta teoría, así como su definición, características, propiedades etc... Tratando de abarcar lo mejor posible los temas y mostrando una estructura que facilite la lectura, dicho esto comencemos…

La característica esencial de un conjunto es la de estar bien definido, es decir que, dado un objeto particular, determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplo, si se considera el conjunto de los números dígitos, sabemos que el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no. Por otro lado, el conjunto de las bellas obras musicales no es un conjunto bien definido, puesto que diferentes personas puedan incluir distintas obras en el conjunto. Además se cumple: (A l) l = A, A - B = A B l, A - (B C) = (A - B) (A - C), A - (B C) = (A - B) (A - C).

Unión

Sean A y B conjuntos.

La unión de los conjuntos A y B es el conjunto, denotado por A unión B, formado por los

elementos que estén en al menos uno de los conjuntos A o B. Este conjunto, expresado por

comprensión es:

Así, podemos decir que los elementos de la unión del conjunto A con el conjunto B son

aquéllos que estén o bien en A o en B o en ambos.

INTERSECCIÓN

Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 } Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le llama intersección de A y B; y se denota por A  B, algebraicamente se escribe así: A ∩ B = { x/x ЄA y x ЄB } Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B. Ejemplo: Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z } Q ∩P={ a, b, o, r, s, y }

Complemento

El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por comprensión como: A'={ x Є U/x y x ∉ A } Ejemplo: Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A ⊂ U El complemento de A estará dado por: A'= { 2, 4, 6, 8 }

Una aplicación f : X → Y (representada en la forma X f→ Y) es una relación f ⊆ X × Y que verifica que ∀x ∈ X existe un único y ∈ Y tal que b(x, y) ∈ f. De manera mas informal, una aplicación f : X → Y es por tanto una regla que asocia a cada elemento x de X un único elemento de Y, al que llamamos f(x). En una aplicación distinguimos los siguientes elementos y conceptos: Dominio de f: es el conjunto X. Co-dominio de f: es el conjunto Y. Imagen del elemento x ∈ X: es el elemento f(x) ∈ X Dos aplicaciones f, g : X → Y son iguales si lo son como subconjuntos de X × Y y, por tanto, si f(x) = g(x) para todo x ∈ X. Si f : X → Y es una aplicación y A es un subconjunto de X, llamamos imagen ó imagen directa de A por f al siguiente subconjunto de Y: f∗(A) = {f(a)/a ∈ A} ⊆ Y. En particular si A = X, el conjunto f∗(X) se denota Img(f) = {f(x)/x ∈ X} ⊆ Y y lo llamamos imagen de la aplicación f. Se tiene así definida una aplicación (imagen directa) f∗ : P(X) → P(Y). Si B es un subconjunto de Y, llamamos preimagen ó imagen inversa de B por f al subconjunto de X f ∗ (B) = {x ∈ X/ f(x) ∈ B}. Se tiene así definida una aplicación (imagen inversa) f ∗ : P(Y) → P(X). Los dos lemas siguientes nos dicen el comportamiento de las aplicaciones f∗ y f ∗ respecto a la unión y la intersección de subconjuntos.

Producto cartesiano

Considere dos conjuntos arbitrarios A y B. El conjunto de todas las parejas ordenadas (a, b) en donde a ∈ A y b ∈B se llama producto o producto cartesiano de A y B. La definición de producto cartesiano puede extenderse fácilmente al caso de más de dos conjuntos. Se llama producto cartesiano de dos conjuntos A y B y se representa A x B, al conjunto de pares ordenados (a, b), tales que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto. Es decir: A x B = {(a, b) / a ∈ A, b ∈ B} El producto cartesiano, en general, no es conmutativo. Es decir: A x B ≠ B x A. Puede ocurrir que los conjuntos A y B sean coincidentes. EJEMPLO: Si A = {a, b, c} y B = {1, 2, 3, 4}, el producto cartesiano es: A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (b, 1), (b, 2), (b, 3), (b, 4), (c, 1), (c, 2), (c, 3), (c, 4)} Se puede representar gráficamente por medio de puntos en un plano, como se muestra a continuación. Aquí, cada punto P representa una pareja ordenada (a, b) de números reales y viceversa; la línea vertical a través de P encuentra al eje x en a, y la línea horizontal a través de P encuentra el eje y en b. A esta representación se le conoce como diagrama cartesiano. Hay otra manera de visualizar una relación y es a través de una representación gráfica, donde se destaquen los puntos en el plano que pertenecen a A y los puntos que pertenecen a B. Se trazan flechas que indican la relación que existe entre cada elemento del conjunto A y su correspondiente en el conjunto B. A esta representación gráfica se le conoce como un diagrama de flechas.

Relación Binaria

La relación binaria definida en un conjunto A es un subconjunto del producto cartesiano A x A.

EJEMPLO:

Sea el conjunto A = {x, y, z}. El grafo de la siguiente figura representa una relación binaria definida en A, puesto que los pares (x, z), (y, x) (y, y) constituyen un subconjunto de A x A. Se dice que dos elementos a y b están relacionados, y se escribe a R b, “a está relacionado con b mediante la relación binaria R”, cuando el par ordenado (a, b) pertenece al subconjunto del producto cartesiano que define la relación. Si dos elementos a y b no están relacionados mediante R en algún sentido, escribiremos a R b o b R a o ambas cosas.

Propiedades de una relación binaria

Las principales propiedades que puede presentar una relación binaria R definida en un conjunto A se indican en la siguiente tabla, junto con sus respectivas condiciones.

Clase de Equivalencia

Al conjunto de los elementos del conjunto A que están relacionados con él se llama clase de equivalencia. Ejemplo: La relación a - b = 2.k (múltiplo de 2), siendo a y b números enteros es una relación de equivalencia porque cumple las propiedades: Reflexiva: a - a = 0 = 2.k (k = 0). Simétrica: a - b = b - a porque b - a = - (a - b). Si a - b es múltiplo de 2, - (a - b) también lo será. Transitiva: a - b = 2.k1 b - c = 2.k2 Sumando queda a - c = 2.k3 Entonces a - c es múltiplo de 2. En el ejemplo anterior, la clase de equivalencia del número cero (uno de los elementos del conjunto de los números enteros) C(0) = {... - 4, - 2, 0, 2, 4, ...}, pues 0 - (-4) es múltiplo de 2, 0 - (-2) es múltiplo de 2 ya sí sucesivamente. La clase de equivalencia del número 1 será C(1) = {... - 5, - 3, - 1, 1, 3, 5, ...} pues la diferencia entre 1 y los números indicados es múltiplo de 2. Del mismo modo podríamos calcular las clases de equivalencia de más números. El conjunto formado por las clases de equivalencia se llama conjunto cociente. En el ejemplo anterior el conjunto cociente Z / 2 es el conjunto formado por las clases de todos los elementos Z / 2 = {C(0), C(1), C(2), ... }.

Una función: es inyectiva o uno a uno y se denota como 1−1, si a diferentes elementos del dominio le corresponden diferentes elementos del condominio. En esta función, para dos valores cualesquiera de su dominio se cumple que:

Una función es suprayectiva o sobre si

todo elemento de su Condominio es

imagen de por lo menos un elemento de

su Dominio, lo que se expresa como:

Otra forma de expresar que una función es

sobre es decir que debe cumplir con que su

Codominio y su Recorrido sean iguales, esto

es:

D)Ni 1 - 1 ni sobre En cualquier área de las ciencias, existen leyes en las que se relacionan distintas magnitudes, temperatura-presión, masa-velocidad, intensidad del sonido-distancia, etc. Es decir, a partir de los valores de algunas magnitudes se obtienen los valores de otras de forma directa a través de fórmulas ya demostradas. Un punto de origen del concepto de función nace precisamente de las relaciones que mantienen diferentes magnitudes, así pues la función se puede representar algebraicamente o de forma gráfica en la que se relacionan varias magnitudes entre sí. El problema consiste en expresar la relación entre el espacio recorrido y el tiempo invertido en ello. Si queremos la función que representa el espacio recorrido por un móvil, con velocidad uniforme que parte del reposo e(t ) = v * t que es una función del tipo f ( x ) = m * x cuya gráfica es una recta dependiente de m y que pasa por el origen de coordenadas. Otro problema muy común y que su uso es muy estudiado es el lanzamiento de proyectiles. Las funciones son de tipo cuadrática de la forma y = ax 2 + bx + c. Por ejemplo, si queremos calcular la distancia que alcanza un objeto que es lanzado hacia arriba con una inclinación determinada α y a una velocidad inicial de lanzamiento v0 , en función del tiempo se puede representar de forma gráfica y algebraica: x = x0 + v0xt 1 2 y = y0 + v0yt − gt 2 2 vx = v0 x

vy = v0y – gt Según las magnitudes que se quieran relacionar las expresiones tanto gráficas como algebraicas serán las adecuadas:

• Cuando una partícula tiene una trayectoria curvilínea, está sometida a una aceleración perpendicular a la trayectoria y dirigida hacia el centro de la curva, llamada aceleración centrípeta y cuya expresión es , esta aceleración es producida por una fuerza cuya expresión es F = M ⋅ a = expresión que es una función cuadrática. También en dinámica se emplean funciones que describen fenómenos cotidianos. Las funciones se pueden obtener de forma experimental o por medio de fórmulas. Representar por ejemplo la longitud que puede alcanzar un muelle desde el que se cuelga un peso viene dada por una función de tipo lineal del tipo y = ax + b que se representa por una recta. También por la ley de Hooke F = K*x se puede determinar por medio de una tabla de valores o por una gráfica la fuerza o peso que se debe aplicar para que el muelle se desplace una cierta distancia. Por ejemplo, si se tiene un muelle con una constante de elasticidad k = 0,5, podemos ir representando la relación entre las magnitudes fuerza-distancia La energía cinética viene expresada por Ec = de tipo cuadrático. : Responde a la forma f ( x ) = a * bcx con a, c>0 y b>1. Es por ejemplo el crecimiento de la población Pt = (1 + r ') ⋅ P0 , donde Pt es el crecimiento de la población al cabo de t años, r ' es el crecimiento anual de la población de forma constante expresado en tanto por 1, P0 es la población actual. Su ecuación viene dada por f ( x ) = a *bcx con a>0, b>1 y c>0. Es por ejemplo la desintegración radiactiva cuya fórmula Nt = N0e − λt , donde Nt es el número de átomos en el momento t, N0 es el número de átomos radiactivos iniciales, λ es la constante de desintegración, t es el tiempo.

LISTA DE COTEJO PARA INVESTIGACION INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE SAN ANDRÉS TUXTLA NOMBRE DEL CURSO: MATEMATICAS DISCRETAS NOMBRE DEL DOCENTE: LILY ALEJANDRA MEDRANO MENDOZA FIRMA DEL DOCENTE DATOS GENERALES DEL PROCESO DE EVALUACIÓN NOMBRE DEL ALUMNO: No. DE CONTROL: FIRMA DEL ALUMNO: PRODUCTO: INVESTIGACION U FECHA: (^) PERIODO ESCOLAR: INSTRUCCIONES DE APLICACIÓN Revisar las actividades que se solicitan y marque con una X en los apartados “SI” cuando la evidencia se cumple; en caso contrario marque “NO”. En la columna “OBSERVACIONES” escriba indicaciones que puedan ayudar al alumno a saber cuáles son las condiciones no cumplidas, si fuese necesario. VALOR DEL REACTIVO CARACTERÍSTICA A CUMPLIR (REACTIVO) CUMPLE OBSERVACIONES SI NO 1% Presentación El trabajo cumple con los requisitos de: a. Buena presentación 2 % b. No tiene faltas de ortografía 2 % e. Maneja el lenguaje técnico apropiado 2 % Introducción y Objetivo: La introducción y el objetivo dan una idea clara del contenido del trabajo, motivando al lector a continuar con su lectura y revisión 8 % Desarrollo: Sigue una metodología y sustenta todos los pasos que se realizaron al aplicar los conocimientos obtenidos, es analítico y bien ordenado. 2 % Resultados: Cumplió totalmente con el objetivo esperado, tiene aplicaciones concretas 2 % Conclusiones: Las conclusiones son claras y acordes con el objetivo esperado. 1 % Responsabilidad: Entregó el reporte en la fecha y hora señalada. 20 % (^) CALIFICACIÓN