Teoría de probabilidad, Apuntes de Matemáticas

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teoría d e RRORABiEiDADES

o ° ED% < P jR O D O >

La teoría de probabilidades es una rama de las matemáticas que estudia las formas para calcular la probabilidad de que ocurra un determinado hecho. Se basa en estudiar ciertos experimentos que se denominan aleatorios y cuya característica fundamental es la incertidumbre del resultado.

Es aquella prueba o ensayo donde se puede predecir con exactitud el resultado obtenido.

Por ejem plo: • Extraer una bolilla negra de una urna que contenga tres bolillas negras.

EXPÉ^M E^TÓ ALEATORIO ( e ) Es aquella prueba o ensayo que al repetirse indefinidamente en las mismas condiciones no se puede predecir con exactitud el resultado a obtener.

Por ejem plo: ex: Lanzar dos monedas a la vez. e2 : Lanzar un dado e3 : Extraer una carta de una baraja de 52 naipes.

ESPAOIO MUESTRAL ( O ) Se denomina así al conjunto de posibles resultados de un experimento aleatorio. Cada elemento del espacio muestral se llama punto muestral.

Por ejem plo: Oj = {cc, es, se, ss} n (Q ^ = 4 02 = 0 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 } —^ n C 0 2) = 6 Q 3 = {A #, ..... ,K # ,A v , ...... , Kv,A * , ....... , K, A * , ....... K} —^ n (Q3) = 52

Se denomina así a cualquier subconjunto de un espacio muestral, se denotan por lo general con letras mayúsculas del abecedario. Por ejem plo: A1 : Al lanzar dos monedas se obtienen resultados iguales. -» A 1 = {cc,ss} ~>n(A 1)-.= 2 Donde: Aj c Qj. A2 : Al lanzar un dado el resultado que se obtiene es un número primo. —^ A 2 = { 2 ,3,5} —> n(Aj) = 3 Donde: A 2 c :0 2.

I (^) T

TEORÍA D E PROBABILIDADES <? J? O D O >

o 0 ED%

Sean los eventos: A: En el primer dado se obtiene puntaje 2. -> A = {(2,1), (2,2), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6)} B: En el segundo dado se obtiene puntaje 3. -> B = {(1,3), (2,3), (3,3), (4,3), (5,3), ( 6 ,3)} C: En el segundo dado sale 3 dado que en el primer dado salió 2. -> C = {(2; 3)} % La ocurrencia del evento A no afecta al hecho de que ocurra B simultánea o sucesivamente. —> A (^) 4 y B son eventos independientes. La ocurrencia del evento A afecta la ocurrencia del evento C, dado que sí no ocurre A no puede ocurrir C. -> A y C son eventos no independientes.

DEFINICIÓN CLASICA DE PROBABILIDAD (REGLA DE LAPLACE)

Sea: Q = {wl; w2; w 3 ; ..... ; wn} un espacio muestral finito, asociado a un experimento aleatorio, tal que todos los eventos elementales tienen la misma probabilidad de ocurrir (son equiprobables); la probabilidad de que ocurra A, que denotaremos P(A), se calcula así:

Observe: •

O

n(A) Número casos favorables n(Q) Número casos posibles

PROPIEDADES DE PROBABILIDADES

« «

1. Si A es un evento definido en Q, entonces:

0 <P[A] < 1

Consecuencias: P[0] = 1 P to] = 0

2. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, entonces:

P[AnB] = 0 P[A u B] = P[A] + P[B]

3. Si Ay B son eventos no mutuamente excluyentes definidos en un ü , entonces:

P[AuB] = P[A] + P[B] -P [A n B ]

BOLETÜV DE ABITMETICA - 1 5 (^) <?J»U >D O P j?^ EDV

4. Sea A un evento definido en Q y A su evento contrarío, entonces 5. SiAcB,entonces:P(A)<P(B).

PROBABILIDAD CONDICIONAL Sea A un evento cuya probabilidad es distinta de cero, y sea B cualquier evento. La probabilidad condicional del evento B, dado que ya ocurrió el evento A, se define como:

APLICACIÓN 1: Sean A y B dos eventos tales que:

P(A) = 0, P(B) = 0, = 0, Determine: (^) P (A u B ) y

R esolución: (^) Sabemos: (^) P (A u B ) = P( A) + P(B) - P( A n B) Necesitamos: (^) P (A nB )

También: p^ ( R / ) { / \ ) _ pl Ap(A)^ n^ B)

P (A nB ) = P(A )xPÍB, Reemplazando: (^) P(A nB ) = 0,6x0,1 = 0, Luego: (^) P (A ^ B ) = 0,6+ 0 ,2 -0 ,0 6

• ' f u. i i ' ' A ♦^ W♦♦♦^ ♦\ <^ V•^ • • • •^ * v^ ♦%^ S • v%S^ *A^ ♦'s^ ♦♦^ ♦'^ . $ « • :^ A>N V » w' V^ ' A^.. W♦< Ww^ +A^ V:”^ ^xA V > * ”^ rVva v^ V/’ Aí v ♦:<♦♦.< (^) \ \ n v \ w (^) * De la probabilidad condicional

P (A u B ) = 0,

Esto es para eventos dependientes y se le llama teorema de la multiplicación,

B O L E T IN D E A R IT M É T IC A - 1 3 (^) «° j p j r o d o^ % T

Frecuentemente el resultado de un experimento aleatorio se denota con un número:

• El número de caras que se obtiene al lanzar dos monedas.
  • El número de unidades defectuosas entre 7 unidades seleccionadas. A un número tal se le denomina variable aleatoria discreta.

Por ejemplo: e: Lanzar tres monedas. D = {ccc, ccs, esc, css, scs, ssc, scc, sss} -» n (Q) = 8 Definimos la variable aleatoria discreta: X: Número de caras obtenidas. Donde: X = 0 -> No se obtuvo cara alguna. X = 1 -» Se obtuvo sólo una cara. X = 2 —> Se obtuvieron dos caras. X = 3 -> Se obtuvieron tres caras. Observe que estamos asociando a cada evento un número real. Graficando: 0 R

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD í}X) (^) t Se denomina así a la asignación a cada valor de la variable, la probabilidad que le corresponde y cuya sumatoria es la unidad.

Por ejemplo: Del caso anterior: Q X f(X) sss 0 P(X = 0) = - 8 css (^) Q scs 1 ssc^ P(X = « =^8 CCS (^) Q CSC (^2) PCX = 2) = - scc^8 > ccc (^3) PCX = 3) = - 8

TEO RÍA D E E R O R A B ÍE ID A D E S

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La sumatoria de las funciones de probabilidad es igual a la unidad

$ i t ij

. s i* * ^ o > r a ^ k o a v t » v * * > V ♦♦/ »»• A • ♦ • ♦ % ♦ ♦ ♦ ♦ ♦ (^) v\»i ♦« V > , V * * (^) <> \ < * V <?*

ESPERANZA MATEMÁTICA O VALOR ESPERADO

Sea X una variable aleatoria discreta que toma los valores x2; x2; x3; ...... ; xn con función de probabilidad f(X), la esperanza matemática o valor esperado de X se calcula así:

Por ejemplo:' (^) Del caso anterior: X (^0 1 2 )

P(X)^ —^ .^^1 3 I g r^3 (^8 8 8 )

-> E (X > = 0 x i + l x - + 2 x ~ + 3 x i 8 8 8 8

• • E 0 0 - -

VARIANZA V(X)

Se calcula así:

Por ejem plo: (^) Del caso anterior: (^) X 0 1 2 3

X 2 0 1 4 9

PCX) 1 3 3 1

8 8 8 8

-> V(X) = 0 x i + l x - + 4 x - + 9 x i 8 8 8 8

V(X) = 3 - —= —^9 4 4

11

TEORÍA D E EKOtIA M L « M D ES (^) «°JR O D O ^ j^ T^ % (^1) v y ^

10. Al lanzar 3 dados, ¿cuál es la probabilidad que la suma de los puntos obtenidos en las caras superiores sea menor que 17?

A) 1/54 B)5/216 C )53/ D )54/55 (^) E )52/

14. En una canasta se tiene 30 bates, 15 guantes y 60 pelotas de béisbol. Si se extrae uno por uno y sin reemplazo dos objetos de la canasta, ¿cuál es la probabilidad de obtener un bate y una pelota, en ese orden? 11. Una máquina expéndedora de gomas de mascar tiene 38 gomas de mascar naranjas, 30 moradas y 18 amarillas. La máquina opera de manera tal que, al introducir una moneda de S /.l proporciona una goma de mascar. Con una moneda, ¿cuál es la probabilidad de obtener una goma de mascar que sea morada o amarilla?

A )7/15 B)2/13 C )15/

D) 1/7 E) 2/

15. Se extrae un bolo de un total de 10 (los bolos están numerados del 1 al 10). ¿Cuál es la probabilidad que dicho bolo sea múltiplo de 3, si se sabe que fue par?

---

A )10/43 B )25/43 C )28/ D) 24/43 E )34/

A) 2/

D) 1/

B) 1/5 C )1/

E) 3/

s < S

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í V '* V:£

' ¿ 'I i A

i I

12. Se tiene una bolsa con 9 bolas numeradas del 1 al 9. Se extrae una - bola de la bolsa, se anota el número y se reintegra a la bolsa. Si se consideran los eventos: A={x/x es un número primo} B={ n /n es un múltiplo de 3 } Calcule P (A uB )

A) 1/ D) 5/

B) 1/3 C) 4/

E) 2/

13. Calcule la probabilidad de obtener cara al lanzar una moneda y un número compuesto al lanzar un dado.

A) 1/ D) 2/

B) 1/6 C) 2/

E )5/

• 5

& i

16. Sean A y B dos eventos con P(A) = — 3

y P(B) = -. Si A está contenido enB, 2 halle la probabilidad de que ocurra B pero no A.

A) 5/

D) 1/

B) 3/8 C) 1/

E )5/

17, Sean Ay B dos eventos con P(A)=0, y P(B)=0,7. Halle el mayor valor posible de P(AnB).

A) 0,

D) 0,

B) 0,7 C)0,

E) 0,

BOIETÍPf DE ARITMÉTICA - 13

tuX ■ P m o D a f c

•A

i

18. Sean los eventos M y T tal que

P(M) = | , p(T)= ~ y P ( M n T ) = i.

halle el valor P(MC n Tc).

A )1/10 B )1/ D) 1/

C) 3/

E) 5/

19. En un lote de 12 productos, se observó que 6 productos presentan fallas. Si se escoge al azar 7 productos, ¿cuál es la probabilidad de obtener 3 productos con fallas y 4 sin fallas?

A )25/66 B )35/66 C )15/

D )25/96 E )55/

20. Se tiene 5 libros, 3 de álgebra y 2 de aritmética, ordenados en un estante. ¿Cuál es la probabilidad que los libros de aritmética estén separados por los 3 libros de álgebra?

A) 1/ D) 1/

B) 1/3 C) 1/

E )1/

21. Usted desea llamar a una amiga por teléfono, recuerda los tres primeros dígitos de su número telefónico; pero ha olvidado los últimos cuatro. ¿Cuál es la probabilidad que usted marque el número correcto en un sólo intento?

A) 3/10 7 B) 7 /1 0 4 C)3/10'

D )1 /1 0 7 (^) E) 1/10'

22. De 4 números positivos y 5 negativos, todos diferentes, se eligen 3 números al azar, sin su stitu c ió n y se multiplican. ¿Cuál es la probabilidad que el producto sea un número positivo?

A )11/21 B) 1/

D )9/

C) 1/ E )4/

23. En una determinada unidad de cuidados intensivos (UCI) el 6,9% de los pacientes que ingresan lo hacen con una infección comunitaria, mientras que el 13,7% adquieren una infección intrahospitalaria. Se conoce además que el 1,5% de los enfermos ingresados en dicha unidad presentan ambos tipos de infección. ¿Cuál es la prob ab ilid ad que un paciente seleccionado al azar presente infección de cualquier tipo en la UCI?

A) 0,54 B) 0,122 C) 0, D) 0,191 E) 0,

24. A un mono se le da 12 bloques: tres son cuadrados, tres rectángulos, tres triángulos y tres círculos. ¿Cuál es la probabilidad que coloque tres de cada tipo en orden, por ejemplo tres triángulos, luego tres cuadrados, etc.?

A)

D)

4! C3!)'

12! (4!) 12!

B) (3 12 \y! C)

E)

4!

12! 3! (4!)' 1 2! V

BOJLETMDE ARITMETICA - 13 (^) Pj R O D O v

V i s w ^ v / y (^) fA

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31.

32.

33.

34.

Paolo acierta el 90% de sus disparos al arco, mientras que Claudio acierta solo el 50% de sus disparos al arco. Si lo s d i s p a r o s a l a r c o s o n independientes y cada jugador hace dos disparos al arco, ¿cuál es la probabilidad que Claudio acierte sus dos disparos y Paolo ninguno?

A) 1/600 B )1/ D )1/

C) 1/

E) 1/

Cuál es la probabilidad de seleccionar al azar un subconjunto de 3 elementos del conjunto: M={(x e Z) / (x-3) (x-5) (x-4) (x- 6 )(x + 5x+6)=0} A) 5/ D )3/

B )3/20 C )5/

E )l/

Tres atletas del equipo A y tres del equipo B participan en una carrera. Si seis tienen las mismas aptitudes y no hay empates, ¿cuál es la probabilidad que los atletas del equipo A lleguen en los tres primeros lugares y los del equipo B lleguen en los tres últimos lugares?

A) 1/720 B) 1/ D )3/

C )1/

E) 4/

Tres personas juegan disparejos, paralo cual cada uno lanza al aire simultáneamente una moneda; si uno de los resultados es diferente de los otros dos, la persona que obtiene el resultado diferente pierde. ¿Cuál es la probabilidad que uno de ellos pierda, en una tirada, si ninguna de las tres monedas está cargada?

A) 1/ D )3/

B) 1/8 C) 3/

E )5/

35. La probabilidad que la persona R

mire el noticiero de las 7.00 am e s -,^2 3 que mire el noticiero de las 1 0. 0 0 pm

es - y la probabilidad que mire 2 ambos noticieros es —. Si se selecciona 3 un día al azar. ¿Cuál es la probabili dad que no mire ningún noticiero?

A) 1/

D) 5/

B) 1/6 C) 1/

E) 2/

Al lanzar 4 veces una moneda, ¿cuál es la probabilidad que salga en el segundo lanzamiento cara y en el cuarto lanzamiento sello?

A) 1/ D) 1/

B )3/16 C)2/

E)3/

37. Al lanzar 3 dados, uno detrás de otro. ¿Cuál es la probabilidad que al multiplicar los valores obtenidos resulte una cantidad par?

A )7/ D) 7/

B )13/216 C )l/3 6 E) 7/

Un experimento consiste en disponer en forma aleatoria a los dígitos 2; 3; 4; 5; 6 ; 7; 8 y 9 uno a continuación del otro. Calcule la probabilidad que el 3 aparezca junto al 4 y en orden creciente.

A) 1/ D) 1/

B) 1/7 C) 1/

E) 1/

.................... ............

a (^). v (^) , (^1) i i Ttr (^) - — (^) —

.......................... .................

//' O KMA D E ERDBABiJLMD/kDES (^) <Pj »o d o >*

4. ♦. •. • / ' X /. \ * \ /. r#V»*fAfAfkr V , > S W W , y t tV. % V ♦. ^ S ♦. « / / V < * A ‘ S ♦♦> V » r ^ * r S ♦r» X A W^ M^. M^. W^ V^.^ ♦>W » V rV » S^ f S V f V^ •^ XVSVr'

5. Juan debe tomar un jugo surtido de tres frutas, escogiéndolas al azar de entre piña, papaya, plátano, manzana y fresa. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un jugo en base a papaya?

á 43.^ En una caja hay^8 caños, de los cuales 5 son de bronce. Si se escoge al azar 4 caños, halle la probabilidad que por lo menos dos de los caños seleccionados sean de bronce.

A) 0,

D) 0,

B) 0,4 C) 0,

E) 0,

A )9/10 B )10/11 C )ll/1 2 D )13/14 E )12/

40. Se toman 5 cartas del mazo de 52 naipes. ¿Cuál es la probabilidad que exactamente- dos de las cartas sean ases?

A) 0,0399 B) 0,0525 C) 0, D) 0,0859 E) 0,

41. Nueve pasajeros abordan un tren de vagones. Cada p asajero elige aleato riam en te el vagón para sentarse. ¿Cuál es la probabilidad que haya dos personas en un vagón, tres en el otro y cuatro en el vagón restante?

A)

D)

B)^35^ C)^ C^9^2^^ xC^7^13

E)^23581

42. En un aula de clase hay 10 hombres y 2 0 mujeres, la mitad del número de hombres tienen ojos castaños. Halle la probabilidad que una persona escogida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños.

44.

46.

En un supermercado., la probabilidad de esperar 5 minutos o más para pagar en la caja es de 0,2. En cierto día, un hombre y su esposa deciden comprar por separado y cada uno pasa con un cajero distinto. Los dos llegan a las cajas al mismo tiempo. ¿Cuál es la probabilidad que el hombre o la mujer o los dos esperen 5 minuto o más?

A )9/ D) 17/

B )37/100 C)3/

E)7/

„ 45. Sean A y B eventos independientes tales que P(A] =0,5; P(B)=0,4. Halle: P(A uB )

A) 0, D) 0,

B) 0,2 C)0,

E)0,

Supóngase que A y B son eventos independientes asociados con un experimento. Si la probabilidad que A o B ocurra es igual a 0,6; mientras que la probabilidad que A ocurra es igual a 0,4. Determine la probabilidad que B ocurra.

i

A) 2/ D) 3/

B) 1/5 C) 1/

E) 7/

A) 1/

D) 1/

B) 1/3 C) 1/

E )l/ i

M O R IA D E P R O B A B IL ID A D E S

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53. Se toma un número de tres cifras y se observa que es múltiplo de 5. ¿Cuál es la probabilidad que sea múltiplo de de 1 1?

A )1/10 B) 17/900 C) 89/ D )17/180 E) 89/

58. La probabilidad que A dé en el blanco es 1/4 y la de B es 2/5. Si A y B disparan. ¿Cuál es la probabilidad que se dé en el blanco?

A) 11/20 B )13/20 C)9/ D) 1/5 E) 17/

54.

Se lanza un par de dados hasta que aparezca un 4 o un 7 como suma de los puntos en las caras que caen hacia arriba. ¿Cuál es la probabilidad que se obtenga 4 antes de 7?

A) 1/ D) 7/

B) 1/2 C) 1/3 ,

E )5/

Dados todos los números capicúas de 5 cifras, en base 7. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un número que tenga a lo más 4 cifras pares?

A )8/49 B )12/49 C )73/ D )131/147 E )41/

56. Un monedero contiene 2 monedas de plata y 3 de cobre, y otro monedero contiene 4 de plata y 3 de cobre. Si se elige un monedero al azar y se extrae una moneda, ¿cuál es la probabilidad que sea de plata?

A )15/37 B )12/ D )17/

C) 17/

E )14/

Se colocan sobre una mesa 12 monedas, observándose 8 caras y 4 sellos. Si se seleccionan 8 monedas al azar. ¿Cuál es la probabilidad que resulten 5 caras y 3 sellos?

59.

60.

El 84% de los hogares de una ciudad están suscritos a la edición diaria de un periódico, es decir desde Lunes h a s t a s á b a d o. A d e m á s , la probabilidad que un hogar ya suscrito 4 a la edición diaria se suscriba también a la edición dominical es 0,75. ¿Cuál es la probabilidad que un hogar se suscriba a la edición diaria y a la dominical?

A) 0, D) 0,

9 ) 0 ,5 6 C )0 ,3 6 E) 0,

¿Cuáles de las siguientes afirma ciones son verdaderas? I. Se denomina espacio muestral al conjunto que consiste de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. II. Se dice que un evento A ocurre si contiene por lo menos un punto, muestral de algún experimento aleatorio. III. Sea Q = {w1} w2, ... , wn} un espacio muestral finito. £1 es un espacio muestral equiprobable si todos los eventos elementales {v^} son igualmente posibles (o equiprobales)

A )221/495 B)222/495 C) 224/ D )226/495 E) 228/

A) Solo I D) I y II

B) Solo II C) Solo III E) Todas ............................ W V^ W^ V A *^ v s^ «^4 ^.^ ♦^ ♦^ V^ /. W^ ♦.V l V A S^ <^ A A V S X A^ ♦♦v^ A^ ^ ^ W^ *^ A V r V A^ A % .♦^ v^ x W^ A^ V^ * 1.1^ v. ‘ \ s v -vy • r y^ », ^ w^ A^ •.^ V v^ s^ s x^ • s < * < « ' É♦< X s ..

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BOJLETiMDE ARITMETICA - 13

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67. Tres jugadores A, B y C, extraen en ese orden, una carta con reposición de una baraja de 52 carta. Si el primero que obtiene corazón gana, ¿cuál es la probabilidad que gane A?

g

64. Se tiene el siguiente grupo de datos: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4. Calcule la probabilidad que al seleccionar al azar un número del grupo este no sea igual a la moda.

• v^ *

1 > t

• i

is s

A )16/37 B )37/64 C) 1/

D )27/64 E) 9/

62. Indique el valor de verdad (V ó F) de las siguientes afirmaciones: I. Si A y B son eventos independien tes, de un mismo espacio, entonces: P(A nB ) = P(A) xP(B). II. Si A y B son eventos mutuamente excluyentes, de un mismo espacio, entonces: P(A nB ) = 0 III. Para dos eventos A y B, de un mismo espacio, se tiene: P(AuB) = P(A) + P (B )-P (A nB )

y 4

66.

A) 1/

D)3/

B) 5/7 C)3/

E)3/

65. Si se lanzan tres monedas. ¿Cuál es la probabilidad de no obtener exacta mente 2 caras?

A) 1/ D )l/

B) 1/4 C)3/

E)5/

Un dado normal se lanza 10 veces, ¿cuál es la probabilidad que se obtenga por lo menos un número impar?

A) 0, D) 0,

B) 0,9990 C) 0,

E) 0,564 $

/ x^ > A) FFF D) WV

B) FFV C) FW

E) W F

63. Se realiza un control de calidad acerca de la producción de una empresa. El ingeniero extrae una muestra y revisa los productos de uno en uno de tal forma que si sacara dos productos defectuosos para de extraer, hasta un límite de cuatro productos extraídos. ¿De cuántos elementos está compuesto el espacio muestral? 67. Si dos dados legales se lanzan, encuentre la probabilidad de que salgan dos números 6 , dado que al menos un dado muestra un 6.

68.

A )1/

D) 2/

B )1/12 C) 1/

E) 2/

Un dado es cargado en tal forma que la probabilidad que aparezca una cara es proporcional al número de puntos de esa cara. Calcule la probabilidad que salga un nú me r o prim o, asumiendo que se lanza una sola vez.

i

i * A I

• (^4) J t > l

A) 10

D) 13

B) 11 C)

E)

A )10/42 B )12/

D )11/

C )10/

E) 18/

^♦ V .V < N V M W , y , << A SW\V*\N% ♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦♦%♦♦♦«• ^ ..♦V A V V .A V N N • ^ ' V * .'.S ♦ ♦♦ * S ♦, W A '. Mv v , •. y. 4 .NW»' ......

b o l e t íiy d e ARITMÉTICA* - 1 3

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)

Una urna contiene cinco fichas de S/.10 cada una , tres de S/.30 cada una y dos de S/.5 cada una. Si se escogen tres fichas al azar y a la vez, determine la probabilidad que sean valores distintos.

A) 1/ D) 1/

B) 1/3 C) 1/

E) 1/

Dado el espacio muestral equiproba- ble: S = {1,2,3,4,5,6} y los eventos: E = {2,4,6};F = {4, 5,6}, encuentre: P(E/F) Nota: Tenga presente que la probabilidad que ocurra E dado que ocurrió F, se denota por P (E/F). se define como P(E/F) = n ( E n F )

A) 1/ D) 5/

B) 1/

n(F) C) 2/ E)

De un total de 100 pacientes, 30 tienen gripe, 26 tienen cólicos y 1 0 tienen al mismo tiempo gripe y cólico. Si se escoge al azar un paciente con gripe, determine la probabilidad que tenga también cólico.

A) 2/ D) 1/

B) 1/3 C) 1/

E) 1/

Dos estudiantes están matriculados en un curso, el estudiante A asiste a✓ clase el 80% de las veces y el estudiante B asiste a clases el 90% de las veces. Si sus asistencias a clases son eventos independientes. ¿Cuál es la probabilidad que solo uno de ellos asista a clases en un determinado día?

A) 0, D) 0,

B) 0,20 C) 0,

E) 0,

t i

80.

81.

82.

84.

Dos eventos tienen probabilidades de 0,24 y 0,55. Si los eventos son inde pendientes, ¿cuál es la probabilidad que no suceda ninguno de los dos?

A) 0,342 B) 0,348 C) 0, D) 0,438 E) 0,

Un artillero dispara a un blanco, se s a b e que en u n d i s p a r o la probabilidad de acertar es 0,01. Se efectúa dos disparos, ¿cuál será la probabilidad de no acertar?

A) 0,0001 B) 0,9081 C) 0, D) 0,9802 E) 0,

Las probabilidades que tienen Juan, Julio y José de resolver un mismo problema son: 4/5, 2 /3. y 3 / respectivamente. Si intentan hacerlo los tres, determine la probabilidad que se resuelva el problema?

A )24/105 B)40/105 C)90/ D )101/105 E )102/

La probabilidad que ocurra al menos un accidente en 1 km de una carretera es 1/3. ¿Cuál es la probabilidad que ocurra al menos un accidente en 3 km de esa carretera?

A) 2/ D) 19/

B )5/13 C )6/

E) 8/

Las probabilidades que tienen: Pablo, Andrés y Eloy de resolver un mismov problema matemático son: 4 /5 ,2 /3 y 3/7; respectivamente. Si intentan hacerlo los tres, determ ine la probabilidad que sólo uno resuelva el problema.

A )24/105 B )81/105 C )90/ D )27/105 E )101/ ♦ V * * 4* » , • (^) J. « V a ‘ W V S S V A S S A. <*♦ %.V * s V , V v X .s s \ s v \ \ \ w ♦ ♦V y * v .w w. * <♦v s s w. v s v a v / a v. v w , v s , v k v a ’. * a v.. ;. • v w s • X * V * y * s % y A \ ^ < * s ^ \ x x >

*** o ° ED" 0 ,** H ORL f D E PROBABILIDADES <?jR O D O >

'/¥ s r + %*

85.

87.

La probabilidad que tiene José de ganar a Ricardo en una partida de ajedrez es igual a 1/3. ¿Cuál es la probabilidad que tiene José de ganar por lo menos, una de las tres partidas?

Z ,

A )1/

D )11/

B)5/27 C )8/

E )19/

Un edificio consta de 5 pisos con 3 departamentos por piso. Determine la probabilidad que dos padres de familia, elegidos al azar pertenezcan a departamentos que por lo menos estén separados 3 pisos.

A) 0,0857 B) 0,0868 C) 0, D) 0,921 E) 0,

La probabilidad que el agua páse por cada ducto del circuito es 0 , 8 , ¿cuál es la probabilidad que el agua no llegue al punto B? Tubo A Tubo Tubo

*B

89.

90.

Supóngase que se tiene 38 artículos de los cuales 20 son defectuosos. Se extrae una muestra aleatoria de tamaño 10 sin reemplazamiento. Si X es el número de artículos defectuosos en la muestra, entonces la función de probabilidad de la variable aleatoria x viene dada por:

, x/

vc - x , \

/ Determine: a + b + c + d + e

A) 60 D) 90

B) 80 *C) 85

E) 96

Sea E el experimento aleatorio que consiste en lanzar una moneda tres veces y sea X la variable aleatoria que indica las veces que sale cara en el resultado. Determine el valor espera do de X.

A) 3/ D) 2

B) 3/4 C) 3/

E) 4

i

ii

A) 0,4% B) 0,6% C) 0,8%

D) 0,82% E) 0,84%

88. Consideramos una variable aleatoria X, definamos la función f por:

f(x) =

, parax = 1,2,3,

0 , otros casos Calcule el valor de la constante k para que f sea una función de probabilidad

9Í., ¿Cuál es el valor esperado de la suma de los números obtenidos al tirar dos

92.

dados?

A) 4, D) 7,

B) 6 C)

E) 8

Un experimento aleatorio consiste en elegir al azar un número de 2 cifras del sistema ternario. Si definimos la variable aleatoria X como el producto de cifras del núm ero elegido, determine E(X).

A) 1/ D) 3

B) 2 C) 2,

E) 3,

A) 1

D) 2,

B) 1,5 C) 2

E] 3

" a r t a