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ELEMENTOS DE TEORIA ESPECTRAL NOS ESPAÇOS
DE HILBERT
E APLICAÇÕES
Daniele Corradetti
26 Fevereiro 2016
Conteúdo
1 Espaços de Hilbert 1 1.1 Espaços de Hilbert............................... 1 1.2 Espaços de Hilbert Separáveis......................... 2 1.3 Projectores.................................... 10 1.4 Teorema de Riesz................................ 11
2 Operadores lineares em espaços de Hilbert 12 2.1 Definições fundamentais............................ 12 2.2 Operadores Autoadjuntos e Operadores Simétricos............ 13 2.3 Espectro de um operador........................... 14
3 Oscilador Harmónico 17
1 Espaços de Hilbert
Um espaço de Hilbert é um espaço unitário completo pelo produto interno. Nesta secção apresentaremos esses espaços, no enquanto na segunda focaremos sobre os espaços de Hilbert separáveis, i.e. que contêm um sub-conjunto numerável e denso. A particula- ridade dos espaços de Hilbert separáveis reside no facto que nestes espaços é sempre possível encontrar uma base ortonormal e portanto escrever o elementos dos espaços no respeito desta base. Ademais os coeficientes dos elementos no respeito dessa base
-chamados coeficientes de Fourier- constituem uma sucessão em `^2 e de facto iremos ver que cada espaço de Hilbert de dimensão infinita é isometricamente isomorfo a o espaço
das sucessões convergentes pela norma euclidiana, i.e. `^2. Na terceira e na quarta sec- ção consideraremos as projecções ortogonais sobre um sub-espaço fechado. No final apresentaremos o Teorema de representação de Riesz que descreve o espaço dual de um espaço de Hilbert separável e que será utilizado efectivamente na segunda secção.
1.1 Espaços de Hilbert
Seja V um espaço vectorial unitário e seja uma sucessão { v n} no espaço vectorial V. Então a sucessão diz-se convergente a v 0 e indica-se com v n −→ v 0 se o limite da dis- tância dos elementos da sucessão tende a zero, i.e.lim n→∞ d( v n, v 0 ) = 0. Reciprocamente a
sucessão diz-se uma sucessão de Cauchy se o limite da distância entre os elementos da sucessão tende a zero, i.e. lim n→∞ d( v m, v n) = 0. Um espaço vectorial onde as duas noções
são equivalentes, diz-se completo.
Definição 1. Um espaço unitário chama-se espaço de Hilbert se é um espaço completo, i.e. se cada sucessão de Cauchy é também uma sucessão convergente.
Observação 2. A partir deste momento indicaremos o espaço de Hilbert com a letra H , o produto interno será indicado (^) 〈·, ·〉 e os elementos como ψ , ϕ , etc.
Exemplo 3. (ESPAÇO L^2 ([a, b])) Um exemplo de espaço de Hilbert é o espaço das fun- ções cujo quadrado é integrável no intervalo [a, b], i.e.
ˆ (^) b
a
| f (x)|^2 dx < ∞, (1)
com o produto interno canónico
〈 f (x) , g (x)〉 =
ˆ (^) b
a
f (x)g (x) dx. (2)
Uma consequência directa das características do produto interno é a desigualdade de Schwartz que atesta o seguinte:
Teorema 4. (DESIGUALDADE DE CAUCHY-SCHWARZ) Seja H um espaço de Hilbert e seja ‖·‖ =
〈·, ·〉 a norma induzida sobre H. Então para cada ψ , ϕ ∈ H é valida a desigualdade
|〈 ψ , ϕ 〉|^2 ≤ ‖ ψ ‖ ‖ ϕ ‖. (3)
1.2 Espaços de Hilbert Separáveis
Cada espaço de Hilbert separável possui um conjunto numerável que permite encon- trar uma base ortonormal, i.e. uma sucessão ortonormal completa. Os coeficientes dos vectores no respeito dessa sucessão ortonormal chamam-se coeficientes de Fourier generalizados. Nesta subsecção apresentaremos toda as ferramentas necessárias para demonstrar que cada espaço de Hilbert separável contem uma sucessão ortonormal completa e as suas imediatas implicações.
Definição 5. (SEPARÁVEL) Um espaço de Hilbert diz-se separável se contem um sub- conjunto numerável que é denso em H.
Exemplo 6. (ESPAÇO ^2 ) Indicamos com o termo^2 o espaço de Hilbert das sucessões complexas a = {ai}i∈ N somáveis i.e.
|| a || 2 =
∞ ∑ i= 1
|ai|^2
onde o produto interno que induz a norma é constituído por
〈 a , b 〉 =
∞ ∑ i= 1
aibi. (5)
Este espaço é um espaço de Hilbert separável dado que o subconjunto E formado das sucessões racionais é denso em `^2.
e dado que 〈 ϕ 0 , ψ 2 〉 = 23 e 〈 ϕ 0 , ϕ 0 〉 = 2, então substituindo obtemos o seguinte ele- mento
ϕ 2 = ψ 2 −
〈 ϕ 0 , ψ 2 〉 〈 ϕ 0 , ϕ 0 〉
ϕ 0 = x^2 −
Prosseguindo obtemos os termos sucessivos da sucessão. O quadrado da norma do primeiro elemento é igual a 2, i.e. 〈 ϕ 0 , ϕ 0 〉 = 2, portanto a sucessão não é ortonormal. Todavia é possível normalizar a sucessão definindo para cada k
φ k =
ϕ k ‖ ϕ k‖
onde a norma é definida a partir do produto interno, i.e.
‖ ϕ k‖ =
1
− 1
ϕ k (x) ϕ k (x) dx
Consideramos portanto as normas dos elementos da sucessão encontrada, i.e.
‖ ϕ 0 ‖ =
1 − 1 dx
‖ ϕ 1 ‖ =
1 − 1 x
(^2) dx
‖ ϕ 2 ‖ =
1 − 1 x
(^3) dx
e assim sendo obtemos que sucessão ortonormal das { φ i} é constituída por
φ 0 =
φ 1 =
x,
φ 2 =
3 x^2 − 1
φ n =
2 n + 1 2
Pn(x).
Os polinómios Pn (x) assim encontrados são chamados polinómios de Legendre e definidos pela formula de Rodrigues, i.e.
Pn (x) =
2 nn!
dn dxn
x^2 − 1
)n , n ≥ 1. (18)
1.2.2 Coeficientes de Fourier
Definição 10. (COEFICIENTES DE FOURIER) Seja f ∈ H onde H é um espaço de Hil- bert e seja (^) { ϕ i}i∈ N uma sucessão ortonormal. Então os coeficientes complexos〈 ϕ i, f (^) 〉 onde i ∈ N são chamados coeficientes de Fourier generalizados no respeito da sucessão ortonormal { ϕ i}i∈ N.
Exemplo 11. (COEFICIENTES DE FOURIER NA BASE DAS FUNÇÕES DE HERMITE) Os co- eficientes de Fourier generalizados de uma função dependem claramente dà sucessão escolhida, por exemplo consideramos o espaço de Hilbert L^2 ( R ) com o produto ca- nónico definido no exemplo 6. Neste espaço podemos definir duas sucessões ortonor- mais, i.e. as funções de Hermite Eherm = { ψ n} definidas por
ψ n (x) =
2 nn!
π
e−^
x^2 (^2) Hn (x) , (19)
onde os polinómios Hn (x) são os polinómios de Hermite definidos a seguir; e as fun- ções trigonométricas, i.e. Etrig = { ϕ n} definidas pela exponencial complexa
ϕ n (x) = ei π nx. (20)
Se quisermos calcular os coeficientes de Fourier generalizados de uma função, e.g. a função
f (x) = e−^
x^2 (^2) , (21)
que pertence a L^2 ( R ), precisamos calcular os coeficientes 〈 φ n, f 〉 no respeito da su- cessões por qual quisermos os coeficientes. Portanto, chamando hn os coeficientes da função f no respeito dos elementos da sucessão Eherm, podemos encontrar os coefici- entes para cada n ∈ N calculando o produto interno
hn = 〈 ψ n, f 〉 =
2 nn!
π
R
f (x) e−^
x 22 Hn (x) dx. (22)
Considerando que f (x) = e−^
x^2 (^2) então
hn =
2 nn!
π
R
e−x
2 Hn (x) dx, (23)
onde os Hnsão os polinómios de Hermite, i.e.
H 0 (x) = 1, H 1 (x) = 2 x, H 2 (x) = 4 x^2 − 2, (24) .. .
Hn+ 1 (x) = 2 xHn (x) − 2 nHn− 1 (x) , .. .
Se quisermos calcular portanto os primeiros coeficientes de Fourier generalizados no respeito de Eherm podemos substituir e obter as seguintes resultados:
h 0 = 1, h 1 = 0, h 2 = 0, (25) h 3 = 0, .. .
É claro que sendo a função analisada a mesma primeira função de Hermite, então todos os coeficientes de Fourier diferentes dão primeiro são nulos.
Observação 13. As vezes a desigualdade representada na última passagem
‖ f ‖^2 ≥
n ∑ i= 1
|〈 ϕ i, f 〉|^2. (32)
é chamada desigualdade de Bessel.
Corolário 14. A série
∞ ∑ i= 1
〈 ϕ i, f 〉 ϕ i converge a um elemento de H.
1.2.3 Sucessões Completas e Bases Ortonormais
Definição 15. (SUCESSÃO COMPLETA) Seja uma sucessão ortonormal { ϕ i}i∈ N em H
. Então diz-se completa se não existe um f ∈ H ortogonal a todos os elementos da sucessão i.e. tal que 〈 ϕ i, f 〉 = 0 para cada i ∈ N.
Uma sucessão completa é uma base pelo espaço de Hilbert dado que é valido o teorema seguinte:
Teorema 16. Seja uma sucessão ortonormal (^) { ϕ i}i∈ N em H , então as seguintes afirmações são equivalentes:
- A sucessão { ϕ i}i∈ N é completa;
- A o conjunto { ϕ i}i∈ N forma uma base ortonormal, i.e. f =
∞ ∑ i= 1
〈 ϕ i, f 〉 ϕ i ∀ f ∈ H ;
- É valida a identidade de Parseval, i.e. 〈 f , g〉 =
∞ ∑ i= 1
〈 f , ϕ i〉 〈 ϕ i, g〉 ∀ f , g ∈ H ;
- A norma do elemento f é o quadrado das somas dos coeficientes de Fourier, i.e. ‖ f ‖^2 =
∞ ∑ i= 1 |〈 ϕ i,^ f^ 〉|^2 ∀^ f^ ∈^ H^.
Demonstração. Iremos demonstrar que a 1) =⇒ 2 ) =⇒ 3 ) =⇒ 4 ) =⇒ 1 ) e portanto que as afirmações são equivalentes. Para demonstrar que a primeira afirmação implica a segunda, dado que a conver-
gência de
∞ ∑ i= 1
〈 ϕ i, f 〉 ϕ i já foi demonstrada, só é preciso provar que se { ϕ i}i∈ N é com-
pleta então o elemento cujo a série converge é f. De facto
f −
∞ ∑ i= 1
〈 ϕ i, f 〉 ϕ i = 0, (33)
porque se considerarmos o produto interno com cada elemento da base podemos notar que para cada j ∈ N o produto interno
〈 ϕ j, f −
∞ ∑ i= 1
〈 ϕ i, f 〉 ϕ i
e portanto é ortogonal a todos os elementos de uma sucessão completa e portanto é o elemento nulo.
Podemos demonstrar que a segunda afirmação implica a terceira pela linearidade e continuidade do produto interno. De facto considerando que
ϕ i, ϕ j
= 0 e escre- vendo os elementos f e g nas series correspondentes obtemos exactamente a primeira identidade de Parseval, i.e.
〈 f , g〉 =
∞ ∑ i= 1
〈 ϕ i, f 〉 ϕ i,
∞ ∑ j= 1
ϕ j, g
ϕ j
∞ ∑ j= 1
f , ϕ j
ϕ j, g
Para obter a quarta afirmação que as vezes é chamada segunda identidade de Parseval,
só é preciso considerar que (^) ‖ f (^) ‖^2 = (^) 〈 f , f (^) 〉 e aplicar a identidade precedente. Enfim para demonstrar que a quarta afirmação implica a primeira podemos consi- derar que se
‖ f ‖^2 =
∞ ∑ i= 1
|〈 ϕ i, f 〉|^2 (36)
então quando f é ortogonal a cada { ϕ i}i∈ N , dado que 〈 ϕ i, f 〉 = 0 para cada i ∈ N ,
obtemos que ‖ f ‖^2 =
∞ ∑ i= 1
|〈 ϕ i, f 〉|^2 = 0 e portanto f é o elemento nulo.
Teorema 17. Um espaço de Hilbert H é separável se e somente se possui uma sucessão { ϕ i}i∈ N ortonormal e completa.
Demonstração. Se o espaço de Hilbert é separável então possui um sub-conjunto denso { ψ i}i∈ N então utilizando o processo de Gram-Schmidt podemos construir uma suces- são ortonormal definindo
ϕ 1 =
ψ 1 ‖ ψ 1 ‖
e paralelamente para cada k ≥ 2
ϕ k =
ϕ ˜k ‖ ϕ ˜k‖
onde
ϕ ˜k = ψ k−
k− 1 ∑ i= 0
〈 ψ k, ˜ ϕ i〉 〈 ϕ ˜i, ˜ ϕ i〉
ϕ ˜i. (39)
Agora podemos constatar que essa sucessão é completa dado que se f é ortogonal a cada elemento da sucessão ortonormal (^) { ϕ i}i∈ N então f é ortogonal a cada elemento da sucessão original { ψ i}i∈ N , dado que os ψ i são sumas finitas de elementos de { ϕ i}i∈ N. Mas os elementos da sucessão original { ψ i}i∈ N são densos em H e portanto para cada e > 0 existe um elemento ψ tal que a distância entre a função f e o elemento da sucessão e menor de e , i.e.‖ ψ − f ‖ < e. Todavia pela definição de norma, sendo
‖ ψ − f ‖^2 = 〈 ψ − f , ψ − f 〉 = ‖ ψ ‖^2 − 〈 ψ , f 〉 − 〈 f , ψ 〉 + ‖ f ‖^2 , (40)
e pela ortogonalidade de (^) 〈 ψ , f (^) 〉 = 0, o teorema de Pitágoras está valido, i.e.
‖ ψ − f ‖^2 = ‖ ψ ‖^2 + ‖ f ‖^2 ≤ e. (41)
Em particular isto quer dizer que para cada e > 0 a norma do elemento f é limitada por e , i.e.
‖ f^ ‖^2 ≤^ e ,^ (42)
e portanto pela continuidade da norma então ‖ f ‖ = 0 o que implica que f = 0 o que demonstra a completeça da sucessão ortonormal. O converso pelo contrário é imediato dado que se H possui uma sucessão orto- normal completa (^) { ψ i}i∈ N então as combinações lineares a coeficientes racionais cons- tituem um sub-conjunto denso em H.
1.3 Projectores
Definição 20. (COMPLEMENTO ORTOGONAL DE UM SUBESPAÇO) Seja M ⊂ H um su- bespaço de H então diz-se complemento ortogonal M⊥^ de M em H o subespaço constituído por todos os elementos ortogonais a todos os elementos do subespaço M, i.e. M⊥^ = (^) { ψ ∈ H | 〈 ψ , ϕ 〉 = 0, ∀ ϕ ∈ M}. (49)
Teorema 21. Seja M ⊂ H um subespaço de H espaço de Hilbert. Então M⊥^ é um subespaço linear e fechado.
Demonstração. A linearidade do subespaço é uma consequência da linearidade do pro- duto interno na segunda variável portanto só precisamos demonstrar que M⊥^ é fe- chado. Mas pela continuidade da aplicação
〈 ψ , ·〉 : H −→ C , (50)
considerando que o conjunto A = C r (^) { (^0) } é um aberto de C , a pre-imagem deste conjunto em H , i.e.
preim〈 ψ ,·〉 (A) = { ϕ ∈ H | 〈 ψ , ϕ 〉 ∈ A} , (51)
é também um aberto em H e portanto o complementar M⊥^ = H r
preim〈 ψ ,·〉 (A)
é
fechado.
Observação 22. Dado que cada sub-conjunto fechado de um espaço completo é com- pleto, então para cada subespaço linear M ⊂ H o subconjunto M⊥^ é de Hilbert.
Teorema 23. (DA PROJECÇÃO) Seja M ⊂ H um subespaço linear de H espaço de Hilbert separável. Então cada elemento ψ ∈ H pode ser decomposto em suma direita de elementos de M e do seu complemento ortogonal, i.e. ψ = ψ ‖ + ψ ⊥ onde ψ ‖ ∈ M e ψ ⊥ ∈ M⊥^.
Definição 24. (PROJECÇÃO ORTOGONAL) Seja M ⊂ H um subespaço linear fechado, diz-se projecção ortogonal uma aplicação
PM : H 3 ψ −→ ψ ‖ ∈ M. (52)
Observação 25. Uma projecção ortogonal PM tem as seguintes propriedades:
PM ◦ PM = PM (53)
〈PM ( ψ ) , ϕ 〉 = 〈 ψ , PM ( ϕ )〉. (54)
Ademais a projecção do complemento ortogonal do espaço M leva os elementos ψ nos complementos ortogonais ψ ⊥, i.e.
PM⊥ : H 3 ψ −→ ψ ⊥ ∈ M⊥^ (55)
1.4 Teorema de Riesz
Se considerarmos a aplicação que 〈 ψ , ·〉 : H −→ C que para cada elemento ϕ ∈ H associa o produto interno com um único elemento fixo ψ ∈ H , i.e.
ϕ −→ 〈 ψ , ϕ 〉 , (56)
então essa é uma aplicação linear, limitada. O teorema de representação de Riesz atesta que cada funcional linear limitado pode ser representado univocamente através pro- duto interno com um único vector em H.
Teorema 26. (REPRESENTAÇÃO DE RIESZ) Para cada funcional linear limitado η : H −→ C existe um único ψ ∈ H tal que η ( ϕ ) = 〈 ψ , ϕ 〉 , para cada ϕ ∈ H.
Demonstração. Seja η diferente do funcional identicamente nulo, então consideramos o núcleo do funcional, i.e. ker ( η ). O núcleo é um subespaço linear fechado de H e por- tanto o espaço H pode ser decomposto na suma direita do ker (^) ( η ) e do complemento ortogonal, i.e.
H = ker (^) ( η ) ⊕ (^) (ker (^) ( η ))⊥^. (57)
Dado que o funcional não era identicamente nulo, então o complemento ortogonal
não é constituído simplesmente pelo vector nulo, i.e. (ker ( η ))⊥^6 = { 0 } e portanto, sendo um subespaço linear, podemos escolher um elemento desse subespaço, i.e. ξ ∈
(ker ( η ))⊥^ tal que a norma seja unitária, i.e. ‖ ξ ‖ = 1. Definimos portanto
ψ = η ( ξ ) ξ. (58)
Agora podemos mostrar que o funcional que encontramos é o funcional que torna verdadeira a identidade 〈 ψ , ·〉 ≡ η (·). De facto iremos mostrar que para cada ϕ ∈ H a diferencia entre as duas funções é nula, i.e.
〈 ψ , ϕ 〉 − η ( ϕ ) = 0 (59)
De facto se substituímos as definições na equação, obtemos que
〈 ψ , ϕ 〉 − η ( ϕ ) =
η ( ξ ) ξ , ϕ
− η ( ϕ ) 〈 ξ , ξ 〉 = 〈 ξ , η ( ξ ) ϕ 〉 − 〈 ξ , η ( ϕ ) ξ 〉 = 〈 ξ , η ( ξ ) ϕ − η ( ϕ ) ξ 〉. (60)
Mas sendo que o vector ξ pertence ao complemento ortogonal do núcleo de η , i.e.
ξ ∈ (ker ( η ))⊥, e sendo que η ( ξ ) ϕ − η ( ϕ ) ξ pelo contrario pertence ao núcleo, i.e. η ( ξ ) ϕ − η ( ϕ ) ξ ∈ ker ( η ), dado que
η ( η ( ξ ) ϕ − η ( ϕ ) ξ ) = 0, (61)
então o produto interno dos dois vectores é nulo, i.e.
〈 ξ , η ( ξ ) ϕ − η ( ϕ ) ξ 〉 = 0. (62)
Portanto sendo a diferencia entre as duas funções identicamente nulas finalmente obtemos a identidade do Teorema i.e.
〈 ψ , ·〉 ≡ η (·). (63)
A unicidade é directa consequência da precedente demonstração dado que dois funci- onais limitados cuja diferência é identicamente nula são identicos.
que, sendo valida por qualquer ψ , ϕ ∈ H , em particular fica válida por ϕ = A∗ ψ e portanto substituindo leva à
|〈A∗ ψ ,^ A∗ ψ 〉| =^ ‖A∗ ψ ‖^2 ≤ ‖ ψ ‖ ‖A‖ ‖A∗ ψ ‖ ∀ ψ ,^ ϕ^ ∈^ H^ ,^ (68)
que implica que o operador é limitado pelo escalar ‖A‖, i.e.
‖A∗ ψ ‖ ≤ ‖ ψ ‖ ‖A‖. (69)
Então temos que ‖A‖ ≤ ‖A∗‖, mas pelo contrario desenvolvendo o mesmo discurso com poucas variações obtemos que ‖A‖ ≥ ‖A∗‖ e portanto a norma do operator ad- junto é na verdade a mesma norma do operador, i.e. ‖A‖ = ‖A∗‖.
2.1.2 Extensões
Definição 33. (EXTENSÃO) Um operador A′^ = (A′, DA′ ) diz-se uma extensão do opera- dor A = (A, DA) e indica-se A′^ ⊇ A se domínio de definição de A′^ include o domínio de definição de A e se o operador A′^ restringido ao domínio de definição de A coin- cide, i.e.
(i) DA′ ⊇ DA, (70) (ii) A′|DA = A. (71)
Teorema 34. (DA EXTENSÃO) Seja A = (A, DA) um operador limitado então existe uma
única extensão A˜ =
A˜, D ˜
A
tal que
DA = D A˜, (72)
‖A‖ =
∥ A˜
2.2 Operadores Autoadjuntos e Operadores Simétricos
Nesta secção apresentaremos os operadores simétricos e os operadores autoadjuntos.
2.2.1 Operadores Simétricos
Definição 35. (OPERADOR SIMÉTRICO) Seja A = (A, DA) um operador densamente definido e seja A∗^ = (A∗, DA∗ ) o seu operador adjunto. Então A diz-se simétrico se o operador adjunto A∗^ é uma extensão de A, i.e.
DA∗^ ⊇ DA, (74) A∗ ψ = A ψ ∀ ψ ∈ DA. (75)
Teorema 36. Seja A = (A, DA) um operador densamente definido simétrico. Então o opera- dor adjunto é uma extensão do operador A e do biadjunto do operador, i.e.
A∗^ ⊇ (A∗)∗^ ⊇ A. (76)
Demonstração. Que A∗^ seja uma extensão de A i.e. A∗^ ⊇ A é uma derivação direita da definição de operador simétrico.
Pelo contrario se quisermos provar que o operador adjunto A∗^ também é uma ex- tensão do operador biadjunto (A∗)∗^ podemos constatar que pela definição de operador adjunto os domínios de definição DA∗∗^ e DA∗^ são os seguintes
DA∗∗ = (^) { ψ ∈ H | ∃ η ∈ H : (^) 〈 η , ϕ 〉 = (^) 〈 ψ , A∗^ ϕ 〉 , ∀ ϕ ∈ DA∗ (^) } , (77) DA∗ = { ψ ∈ H | ∃ η ∈ H : 〈 η , ϕ 〉 = 〈 ψ , A ϕ 〉 , ∀ ϕ ∈ DA} , (78)
portanto se ψ ∈ DA, então ψ ∈ DA∗ porque o operador é simétrico, mas também ψ ∈ DA∗∗^. De facto sendo simétrico se ϕ ∈ DA então também ϕ ∈ DA∗^ sendo o operador autoadjunto uma extensão do operador, e sendo DA ⊆ DA∗ , mas consequentemente as condições do conjunto DA∗∗^ são mais fortes das condições do conjunto DA∗^ e portanto DA∗∗ ⊆ DA∗.
2.2.2 Operadores Autoadjuntos
Definição 37. (OPERADOR AUTOADJUNTO) Seja A = (A, DA) um operador densa- mente definido e seja A∗^ = (A∗, DA∗ ) o operador adjunto. Então A diz-se autoadjunto se A = A∗, i.e.
DA∗ = DA, (79) A∗ ψ = A ψ ∀ ψ ∈ DA. (80)
Teorema 38. Seja A = (A, DA) um operador autoadjunto. Então A não possui extensões autoadjuntas não triviais.
Demonstração. Seja B = (B, DB) uma extensão autoadjunta de A = (A, DA), então para provar o teorema só é preciso considerarmos os operadores adjuntos de A e de B e notando que os operadores adjuntos são extensões de A e de B, mas sendo A e B autoadjuntos então A = B, i.e.A ⊆ B = B∗^ ⊆ A∗^ = A.
2.3 Espectro de um operador
2.3.1 Aplicação resolvente
Definição 39. (CONJUNTO RESOLVENTE) Seja A = (A, DA) um operador densamente definido. Então, indicando com{ B (H) são os operadores limitados, o conjunto ρ (A) =
z ∈ C | (^) (A − z (^1) )−^1 ∈ B (^) (H (^) )
diz-se conjunto resolvente.
Teorema 40. Se A = (A, DA) é autoadjunto então a aplicação (A − z 1 ) é bijectiva para cada elemento que pertence ao conjunto resolvente, i.e. para cada z ∈ ρ (A).
Definição 41. (RESOLVENTE) Seja A = (A, DA) um operador densamente definido então diz-se resolvente a aplicação RA entre o conjunto resolvente de A, i.e. ρ (A), e o espaço dos operadores limitados B (H ) dada por
RA (z) = (A − z (^1) )−^1. (81)
todavia o núcleo do operador adjunto é o conjunto ortogonal da imagem e portanto dado que λ é real, sendo valor próprio de um operador autoadjunto, então
ker
A − λ 1
= Range
A − λ 1
= Range (^) (A − λ (^1) )⊥^. (90)
Enfim se considerarmos o fecho do conjunto, dado que o fecho pode ser escrita como conjunto ortogonal do ortogonal do conjunto mesmo, obtemos que o fecho da imagem
de (A − λ 1 ) é diferente da { 0 }⊥^ = H , i.e.
Range (A − λ 1 ) =
Range (A − λ 1 )⊥
= ker (A − λ 1 )⊥^6 = { 0 }⊥^. (92)
Agora precisamos provar que se λ não for um valor próprio de A então não per- tence ao espectro pontual de A. Mas se λ pertence ao conjunto resolvente então a aplicação (A − λ 1 ) é injectiva e portanto desenvolvendo o mesmo discurso preceden- temente mencionado obtemos que
{ 0 } = ker (A − λ 1 ) = ker (A∗^ − λ 1 ) = ker
A − λ 1
= Range
A − λ 1
= Range (A − λ 1 )⊥^ , (94)
e portanto que o fecho da imagem de (A − λ 1 ) é efectivamente o espaço de Hilbert H , sendo
Range (A − λ 1 ) =
Range (A − λ 1 )⊥
= ker (A − λ 1 )⊥^ = { 0 }⊥^ = H. (95)
Observação 47. Os teoremas que provamos só envolvem o espectro pontual. Em geral é verdadeiro o teorema seguinte:
Teorema 48. Se A = (A, DA) é um operador simétrico, então é autoadjunto se e somente se o espectro é conteúdo em R i.e. σ (A) ⊆ R.
Demonstração. Dados os teoremas precedentes e dado que o operador é simétrico, en- tão precisamos demonstrar que se o espectro é real, i.e. σ (A) ⊆ R , então o domínio de definição do operador adjunto é conteúdo no domínio do operador, i.e. DA∗^ ⊆ DA. Seja z um valor complexo não real, i.e. z ∈ C r R. Então dado que o espectro é real, i.e. σ (^) (A) ⊆ R , os operadores (^) (A − z (^1) ) e (^) (A − z (^1) ) são invertíveis. Em particular a ima-
gem o operador inverso (A − z 1 )−^1 leva valores complexos no domínio de definição do operador adjunto, i.e.
C r R 3 z −→ ψ = (A − z 1 )−^1 ∈ DA. (96)
Então se considerarmos um vector ϕ do domínio do adjunto, i.e. ϕ ∈ DA∗ , este per- tence também ao domínio do operador. De facto a imagem (^) (A∗^ − z (^1) ) ϕ é um valor complexo não real e portanto, se considerarmos o vector ψ ∈ DA obtido por
ψ = (A − z 1 )−^1 (A∗^ − z 1 ) ϕ , (97)
podemos notar que, sendo o operador simétrico, podemos escrever (A∗^ − z 1 ) ϕ = (A − z 1 ) ϕ e portanto (A − z 1 ) ψ = (A − z 1 ) ϕ , (98)
o que significa que
(A − z 1 ) ( ϕ − ψ ) = (A − z 1 ) ϕ − (A − z 1 ) ψ = 0. (99)
Mas dado que z não era real, então não pertencia ao espectro e portanto a aplicação (A − z 1 ) era injectiva, i.e. ker (A − z 1 ) = { 0 }. Consequentemente se o núcleo da aplicação é constituído simplesmente pelo vector nulo então ( ϕ − ψ ) = 0, ou seja ϕ = ψ e portanto ψ ∈ DA.
3 Oscilador Harmónico
Como um exemplo estudamos o operador Hamiltoniano de um oscilador harmónico quântico no espaço de Hilbert H = L^2 ( R , dq) dado por
H = −
¯h 2 m
d^2 dq^2
m ω^2 q^2 2
Temporariamente pomos m = 1 e introduzimos os operadores
a =
2 ω ¯h
ω q + h ¯
d dq
, a∗^ =
2 ω h¯
ω q − ¯h
d dq
cujas relações de comutação são [a,^ a∗] =^ 1.^ (102)
Desta forma o Hamiltoniano (100) é
H = ω h¯
aa∗^ −
Definimos o operador N = a∗a (104)
e por isso
H = ω ¯h
N +
As relações de comutação de operadores a, a∗^ e N são
[N, a] = −a, [N, a∗] = a∗, [a, a∗] = 1. (106)
Assim, a álgebra gerada pelos operadores {a, a∗, N, 1} é uma álgebra de Lie solúvel, que é uma extensão unidimensional a direita da álgebra de Heisenberg. Consequente- mente, N é um operador positivo em H. Caso ψ seja um vector próprio de N corres- pondente ao valor próprio ν , isto é
N ψ = νψ ,
então:
- necessariamente tem-se ν > 0;
