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Ajuste e Interpolación
Para estudiar el comportamiento de una serie de datos obtenidos empíricamente, constituidos por puntos dados mediante pares ordenados de números, asociados con los valores de dos variables, es necesario contar con una función, que exprese analíticamente la relación funcional que guardan las variables en cuestión. Para eso podemos recurrir a:
• Interpolación : se caracteriza por suponer que los datos que intervienen en el problema son
exactos; por lo cual en la construcción de la función de interpolación se exige que la misma satisfaga todos y cada uno de los valores que constituyen los datos.
• Ajuste : supone que los datos ingresados están afectados en cierto grado de errores debido al
modelado, por lo que, no resulta indispensable que la curva de ajuste correspondiente, pase exactamente por los puntos que representan los datos, sino que, en promedio la aproximación sea
óptima de acuerdo a un cierto y determinado criterio, denominado: Criterio de ajuste
Hay varias normas que se pueden usar para medir la distancia entre la curva y = f(x) y los datos.
El iniciador de estos procedimientos fue Gauss, quien desarrollo el tan conocido método de los mínimos cuadrados.
Método de los mínimos cuadrados
- Es una técnica de Análisis Numérico en la que, dados un conjunto de pares, se intenta encontrar la función que mejor se aproxime a los datos (un “mejor ajuste”). Se pueden ensayar muchas funciones, rectas, polinomios, funciones potenciales o logarítmicas.
- En su forma más simple, intenta minimizar la suma de cuadrados de las diferencias ordenadas (llamadas residuos) entre los puntos generados por la función y los correspondientes en los datos.
Aproximación por polinomios de grado m
Calculemos ahora la mejor aproximación de un conjunto de valores experimentales ( ) (^) por un polinomio de grado m. Podemos expresar la relación entre ambas de la siguiente forma:
P(x)=a 0 + a 1 x + a 2 x^2 +.. .amxm
en donde los a j j = 0,1,..., m son los coeficientes del polinomio, o sea, los valores que
deseamos hallar.
Ahora, la distancia de cada punto del gráfico al polinomio tendrá la expresión
calculemos la suma de las distancias de cada punto del gráfico al polinomio elevada al cuadrado, que nos da una idea de cuan cerca está el polinomio de los datos experimentales. La misma estará dada por la siguiente expresión:
Observemos que la desviación cuadrática de los puntos respecto al polinomio es una función del
polinomio, cada polinomio (o sea cada conjunto de coeficientes a j j = 0,1,..., ) genera distancias
de cada punto a dicho polinomio y por ende un valor de su suma al cuadrado. Lo que deseamos
obtener es del polinomio (o sea el conjunto de coeficientes a j ) que minimice dicha función, o sea,
obtener el polinomio de grado m que, en cierto sentido, esté más cerca de los puntos experimentales.
La función E depende de m +1 variables a j j = 0,1,..., y debemos encontrar el conjunto de
valores que la minimizan. Para lograr dicho objetivo, debemos imponer la siguiente condición de extremo:
Se puede demostrar que las ecuaciones normales tienen solución única siempre que las xi sean distintas para i=1,2, ……n. Si resolvemos el sistema de ecuaciones hemos encontrado el conjunto de coeficientes a (^) j j = 0,1,..., del polinomio de grado m de la forma P(x)=a 0 + a 1 x + a 2 x^2 +.. .amxm^ que mejor aproxima los datos experimentales. Llegamos a la conclusión los coeficientes del polinomio de que minimiza la suma de las distancias al cuadrado de los valores experimentales al polinomio (el polinomio que en cierto modo más se aproxima a los valores experimentales) tienen las expresiones anteriormente calculadas. El grado m del polinomio pm(x) se puede escoger previamente con base en algún resultado teórico, alguna expectativa o por la aplicación que se le pretenda dar al polinomio. En cualquier caso estamos "libres" de elegir el grado que parezca mejor. En muchos casos el grado será uno y el polinomio obtenido se llamará la recta que mejor se ajusta o la recta de mínimos cuadrados para la tabla de datos.
Ajuste por una función lineal (y=ax+b)
E es una función de dos variables, a y b , y lo que deseamos es obtener los valores de a y b que minimizan dicha función. Para lograr dicho objetivo, debemos imponer la siguiente condición de extremo:
Calculando dichas derivadas parciales de la expresión de E como función de a y b , obtenemos:
En conclusión resolviendo el sistema obtenemos la pendiente a y el punto de corte el eje y, b , de la recta de la forma y = ax + b que mejor aproxima los datos experimentales. Llegamos a la conclusión que la pendiente y el punto de corte con el eje y de la recta que minimiza la suma de las distancias al cuadrado de los valores experimentales a la recta (la recta que en cierto modo más se aproxima a los valores experimentales) tienen como expresiones:
El problema de mínimos cuadrados es que para calcular un polinomio de mayor grado se debe rehacer todos los cálculos y resolver nuevamente el sistema. Para m grande el sistema se vuelve inestable. En realidad, salvando errores de redondeo y propagación de los mismos, cada polinomio de grado mayor aproxima mejor, pero muchas veces la mejora que se consigue no es comparable con la cantidad de operaciones, por lo tanto definimos una varianza que involucre la eficiencia computacional.
Ejemplo
Se usa la función f(x)=1.44/x^2 +0.24x para generar seis parejas de datos (0.25, 23.1), (1.0, 1.68), (1.5, 1.0), (2.0, 0.84), (2.4, 0.826) y (5.0, 1.2576) Obtener los ajustes mediante polinomios óptimos en mínimos cuadrados, para 2, 3, 4 y 5 grados y graficar, para cada caso, el polinomio óptimo y la función f(x).
Observaciones
P 3 (x), P 4 (x) y P 5 (x) presentan oscilaciones grandes en el intervalo [2, 5].
P 5 (x) pasa por los seis puntos; sin embargo, es la que peor se aproxima a la función en ese
intervalo.
El polinomio que se ajusta a los datos y se aproxima a la función es P 2 (x).
