Teoría y ejercicios de lógica proposicional, Diapositivas de Lógica Matemática

¡Descarga Teoría y ejercicios de lógica proposicional y más Diapositivas en PDF de Lógica Matemática solo en Docsity!

Lógica proposicional

Ivan Olmos Pineda

Introducción

Originalmente, la lógica trataba con argumentos en ellenguaje natural

¿es el siguiente argumento válido?

Todos los hombres son mortalesTodos los hombres son mortales
Sócrates es hombre
Por lo tanto, Sócrates es mortal

En el lenguaje natural, se presentan una infinidad deargumentos, en los cuales tenemos que determinar laveracidad o falsedad de enunciados complejos

Lógica Proposicional

También se pueden presentar cuestionamientosinteresantes como los siguientes:

Sea A = {1, 2, 3}^
A ∈ A?
A ⊆ A?
A ⊂ A?
A ⊂ A?
Sea X = {{1,2,3},{4,5}}^
X ∈ X?
A ∈ X?

¿Porqué se necesita la lógica?

Con la lógica, se busca formalizar la representación de

diferentes argumentos, no importando el origen de losmismos

Sintaxis precisa
Semántica bien definida

Se busca aplicar a

Matemáticas: definición de objetos matemáticos, definición deteorías matemáticas, técnicas de demostración
Aplicarlo para formalizar diversos aspectos en el área decomputación

Lenguaje de la Lógica Proposicional

La lógica proposicional pretende estudiar las frasesdeclarativas simples (enunciados o proposiciones)

Estos elementos son los utilizados como base para latransmisión de conocimiento humano

Una proposición se define como un enunciado que puede

Una proposición se define como un enunciado que puede ser calificado como verdadero o falso y que no puededescomponerse en otras frases verdaderas o falsas

¿Ejemplos de lo que serían proposiciones? ¿ejemplo de loque no serían proposiciones?

Lenguaje de la Lógica Proposicional

Para relacionar las proposiciones, se utilizan diferentesconectivos

Alfabeto de la Lógica Proposicional

La siguiente tabla describe todo el alfabeto utilizado en lalógica proposicional

Sintaxis de la Lógica Proposicional 1.

Las constantes V (verdadero) y F (falso) pertenecen a LP

Las letras de proposición p, q, r, … pertenecen a LP

Si “a” y “b” pertenecen a LP, entonces:

a,

b, (a

b), (a

b), (a

b), (a

b) pertenecen a LP

Se establece la jerarquía de operadores:

Se establece la jerarquía de operadores:

,^

Ejercicios 2

Formalizar los siguientes razonamientos

Si el resultado obtenido es superior al previsto en 5 unidades,será debido a no haber realizado el proceso a la temperaturaadecuada o la existencia de errores en los cálculos finales
El análisis realizado, innecesario si nos dejamos llevar por laprecipitación, se torna necesario si nos paramos a reflexionarsobre el mensaje que se pretende transmitir

Semántica de la Lógica Proposicional

Una interpretación de una fórmula F en lógicaproposicional es una asignación de valores {V, F} a cadauna de las letras proposicionales de F. El valor de unaproposición “p” bajo una interpretación I se denota comoV

(p)I

A partir de las interpretaciones, combinada con los conectivoslógicos, se formulan valores de verdad para fórmulas dediferente complejidad

Semántica de la Lógica Proposicional

Sea la fórmula F y una interpretación I, el valor F bajo I es:

Ejemplos

Determine el valor de las siguientes fórmulas bajo lasinterpretaciones siguientes

V

(p) = V, VI (q)= V, VI (r)=FI
((p

q)

r)

p

q (p

q

q

p
(p

q

q

p

p

q)

p

q

(r

p

q)

Comentarios

Una interpretación I es un

MODELO

para una fórmula F

si V

(F) = VI

Existe una clasificación de las fórmulas proposicionales

Válida o tautología: todas las interpretaciones son un modelo (para toda interpretación I, tal que V (F) = V), denotado por Válida o tautología: todas las interpretaciones son un modelo (para toda interpretación I, tal que V (F) = V), denotado porI

|= F

Satisfactible: alguna interpretación es un modelo (existe unainterpretación I, tal que V

(F) = V)I

Insatisfacible: ó contradicción ninguna interpretación es unmodelo (no existe una interpretación I, tal que V

(F) = V)I