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República Bolivariana De VenezuelaRepública Bolivariana De Venezuela INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICOINSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO”“SANTIAGO MARIÑO” SEDE BARCELONA - PUERTO LA CRUZSEDE BARCELONA - PUERTO LA CRUZ
INGENERIA SISTEMAS: EstructurasINGENERIA SISTEMAS: Estructuras discretas y grafosdiscretas y grafos
Teoría de conjuntosTeoría de conjuntos
Bachiller:Bachiller: Víctor Jesús Alexander Sifontes GarcíaVíctor Jesús Alexander Sifontes García
CI:CI: 28.462.45328.462.
Profesor:Profesor: José CastilloJosé Castillo
Barcelona, Anzoátegui.Barcelona, Anzoátegui.
Fecha 22/06/19Fecha 22/06/
ÍndiceÍndice
IntroducciónIntroducción
El término conjunto es bastante primitivo y fundamental en toda laEl término conjunto es bastante primitivo y fundamental en toda la estructura matemática. Generalmente, esta palabra se acepta en matemáticasestructura matemática. Generalmente, esta palabra se acepta en matemáticas como un término indefinido, tal como en geometría que toma, entre otros, loscomo un término indefinido, tal como en geometría que toma, entre otros, los términos punto, línea, plano, que sin definición pero si de manera intuitiva.términos punto, línea, plano, que sin definición pero si de manera intuitiva. Similarmente sucede con el término elemento. La teoría de conjuntos es unaSimilarmente sucede con el término elemento. La teoría de conjuntos es una
parte de las matemáticas que tiene un objeto de estudio propio; con métodosparte de las matemáticas que tiene un objeto de estudio propio; con métodos propios, con ciertas relaciones con otras tpropios, con ciertas relaciones con otras teorías matemáticas, en particular, coneorías matemáticas, en particular, con todas las teorías matemáticas tradicionales y a partir de sus principios setodas las teorías matemáticas tradicionales y a partir de sus principios se mantiene la existencia, estructura y relaciones mutuas entre ellos. Es decir,mantiene la existencia, estructura y relaciones mutuas entre ellos. Es decir, queque el resto de la matemática puede expresarse en términos de conjuntos. Georgel resto de la matemática puede expresarse en términos de conjuntos. Georg Cantor (1845Cantor (1845––1918) matemático, físico y filósofo alemán de origen ruso. Se1918) matemático, físico y filósofo alemán de origen ruso. Se doctoró en 1867 y empezó a trabajar como profesor adjunto en la Universidaddoctoró en 1867 y empezó a trabajar como profesor adjunto en la Universidad de Halle. En 1874 publicó su primer trabajo sobre teoría de conjuntos. Esde Halle. En 1874 publicó su primer trabajo sobre teoría de conjuntos. Es considerado como el padre de “la teoría de conjuntos”. Cantor operó conconsiderado como el padre de “la teoría de conjuntos”. Cantor operó con conjuntos infinitos, transformando unos en otros mediante reglas precisas, losconjuntos infinitos, transformando unos en otros mediante reglas precisas, los comparó respecto a su cardinalidad y mostró cómo asignar un número cardinalcomparó respecto a su cardinalidad y mostró cómo asignar un número cardinal a cada conjunto. Entre sus primeros resultados encontró que dos conjuntosa cada conjunto. Entre sus primeros resultados encontró que dos conjuntos tienen la misma cardinalidad, si tienen correspondencia biunívoca entre ellos.tienen la misma cardinalidad, si tienen correspondencia biunívoca entre ellos. Si dos conjuntos no tienen la misma cardinalidad, pero tienen correspondenciaSi dos conjuntos no tienen la misma cardinalidad, pero tienen correspondencia biunívoca con un subconjunto de otro, labiunívoca con un subconjunto de otro, la cardinalidad del primero es menor quecardinalidad del primero es menor que la del segundo.la del segundo. Una vez estudiadas las operaciones conjuntistas básicas,Una vez estudiadas las operaciones conjuntistas básicas, pasamos a considerar las relaciones y las funciones, que usaremos parapasamos a considerar las relaciones y las funciones, que usaremos para establecer los conceptos de producto de una familia de conjuntos, igualador deestablecer los conceptos de producto de una familia de conjuntos, igualador de un par de aplicaciones con el mismo dominio y codominio, producto fibrado deun par de aplicaciones con el mismo dominio y codominio, producto fibrado de un par de aplicaciones con un codominio común y limite proyectivo de unun par de aplicaciones con un codominio común y limite proyectivo de un sistema proyectivo de conjuntos; así como lossistema proyectivo de conjuntos; así como los conceptos duales de coproductorconceptos duales de coproductor de una familia de conjuntos, coigualador de un par de aplicaciones con elde una familia de conjuntos, coigualador de un par de aplicaciones con el mismo dominio y codominio, suma amalgamada de un par de aplicaciones conmismo dominio y codominio, suma amalgamada de un par de aplicaciones con
un dominio común y limite inductivo de un sistema inductivo de conjuntos.un dominio común y limite inductivo de un sistema inductivo de conjuntos.SiguiendoSiguiendo loslos principiosprincipios categoriales,categoriales, demostramosdemostramos lala existenciaexistencia deldel
exponencial de dos conjuntos, caracterizado por una cierta propiedad universal,exponencial de dos conjuntos, caracterizado por una cierta propiedad universal, debida a Schonfinkel y Curry, que sirve, entre otras cosas, para poner dedebida a Schonfinkel y Curry, que sirve, entre otras cosas, para poner de manifiesto que el concepto de función de dos o más variables, puede sermanifiesto que el concepto de función de dos o más variables, puede ser reducido al de función de unareducido al de función de una sola variable. Por otra parte, demostramos que elsola variable. Por otra parte, demostramos que el conjunto 2 es un clasificador de subconjuntos, i.e., que los subconjuntos de unconjunto 2 es un clasificador de subconjuntos, i.e., que los subconjuntos de un conjunto están en correspondencia biunívoca con las aplicaciones desde talconjunto están en correspondencia biunívoca con las aplicaciones desde tal conjunto hasta el 2 y ello sujeto a cumplir una cierta propiedad universal.conjunto hasta el 2 y ello sujeto a cumplir una cierta propiedad universal.
ConjuntosConjuntos
En matemáticas, un conjunto es una colección de elementos conEn matemáticas, un conjunto es una colección de elementos con característicascaracterísticas similaressimilares consideradaconsiderada enen sísí mismamisma comocomo unun objeto.objeto. LosLos elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números,elementos de un conjunto, pueden ser las siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece alcolores, letras, figuras, etc. Se dice que un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de algún modoconjunto si está definido como incluido de algún modo dentro de él.dentro de él.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}AI = {Rojo, Naranja, Amarillo, Verde, Azul, Añil, Violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos susUn conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera laelementos poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:propiedad de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,...}P = {2, 3, 5, 7, 11, 13,...}
Ejemplo 1: Los siguientes son algunos ejemplos de conjuntoEjemplo 1: Los siguientes son algunos ejemplos de conjunto
A= El conjunto formaA= El conjunto formado por los codo por los colores de la banlores de la bandera de Colomdera de Colombia.bia.
B= La colección de letras de la palabra “murciélago”B= La colección de letras de la palabra “murciélago”
C= El conjunto formado por los dígitos del número 345923238C= El conjunto formado por los dígitos del número 345923238
D= La agrupación de números naturales menores que 10D= La agrupación de números naturales menores que 10
E= La agrupación de números primos entre 0 y 20E= La agrupación de números primos entre 0 y 20
Relación de pertenenciaRelación de pertenencia
Para indicar que un objeto es un elemento de un conjunto se utiliza elPara indicar que un objeto es un elemento de un conjunto se utiliza el símbolosímbolo ∈∈. Por ejemplo, para el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, podemos escribir. Por ejemplo, para el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, podemos escribir 11 ϵϵ A, 2A, 2 ϵϵ AA,…,…, 6, 6 ϵϵ A.A.
Si un objeto no es un elemento del conjunto, lo indicaremos con elSi un objeto no es un elemento del conjunto, lo indicaremos con el símbolosímbolo ∉∉. Así, para el conjunto anterior, escribiremos 0. Así, para el conjunto anterior, escribiremos 0 ∉∉ A, - 3A, - 3 ∉∉ A.A.
Ejemplo:Ejemplo:
Sea P el conjunto de los números pares P = {2, 4, 6,Sea P el conjunto de los números pares P = {2, 4, 6, 8, 10, 12...}8, 10, 12...}
22 ∈∈ PP
33 ∉∉ PP
Diagramas de VennDiagramas de Venn
Un diagrama de Venn usa círculos que se superponen u otras figurasUn diagrama de Venn usa círculos que se superponen u otras figuras para ilustrar las relaciones lógicas entre dos o más conjuntos de elementos. Apara ilustrar las relaciones lógicas entre dos o más conjuntos de elementos. A menudo, se utilizan para organizar cosas de forma gráfica, destacando en quémenudo, se utilizan para organizar cosas de forma gráfica, destacando en qué sese parecenparecen yy difierendifieren loslos elementos.elementos. LosLos diagramasdiagramas dede Venn,Venn, tambiéntambién denominadosdenominados "diagramas"diagramas dede conjunto"conjunto" oo "diagramas"diagramas lógicos",lógicos", sese usanusan
ampliamente en las áreas de matemática, estadística, lógica, enseñanza,ampliamente en las áreas de matemática, estadística, lógica, enseñanza, lingüística, informática y negocios. Los diagramas delingüística, informática y negocios. Los diagramas de Venn llevan el nombre delVenn llevan el nombre del lógico británico, John Venn. Él escribió sobre ellos en un artículo redactado enlógico británico, John Venn. Él escribió sobre ellos en un artículo redactado en 1880 titulado "De la representación mecánica y diagramática de proposiciones1880 titulado "De la representación mecánica y diagramática de proposiciones yy razonamientos"razonamientos" enen lala revistarevista "Philosophical"Philosophical MagazineMagazine andand JournalJournal ofof Science". Pero las raíces de este tipo de diagrama se remontan a un períodoScience". Pero las raíces de este tipo de diagrama se remontan a un período muy anterior, al menos 600 años atrás. Alrededor del año 1200, el filósofo ymuy anterior, al menos 600 años atrás. Alrededor del año 1200, el filósofo y lógico Ramón Llull (Raimundo Lulio en español) de Mallorca, usó un tipo delógico Ramón Llull (Raimundo Lulio en español) de Mallorca, usó un tipo de diagrama similar, escribió la autora M.E. Barón en un artículo redactado endiagrama similar, escribió la autora M.E. Barón en un artículo redactado en 1969 que realizaba un seguimiento de su historia. Ella también atribuye el1969 que realizaba un seguimiento de su historia. Ella también atribuye el crédito al matemático y filósofo alemán, Gottfried Wcrédito al matemático y filósofo alemán, Gottfried Wilhelm von Leibnitz de haberilhelm von Leibnitz de haber dibujado diagramas similares a finales de 1600. En la década de 1700, eldibujado diagramas similares a finales de 1600. En la década de 1700, el matemático suizo Leonard Euler (que se pronuncia Oy-ler) inventó lo que luegomatemático suizo Leonard Euler (que se pronuncia Oy-ler) inventó lo que luego sese conoceríaconocería comocomo "diagrama"diagrama dede Euler",Euler", elel predecesor máspredecesor más directodirecto deldel diagrama de Venn. De hecho, John Venn se refería a sus propios diagramasdiagrama de Venn. De hecho, John Venn se refería a sus propios diagramas como "círculos de Euler" y no "diagramas de Venn". El filósofo estadounidensecomo "círculos de Euler" y no "diagramas de Venn". El filósofo estadounidense Clarence Irving (C.I.) Lewis publicó por primera vez el término "diagramas deClarence Irving (C.I.) Lewis publicó por primera vez el término "diagramas de Venn" en su libro escrito en 1918 llamado, "A Survey of Symbolic Logic".Venn" en su libro escrito en 1918 llamado, "A Survey of Symbolic Logic".
Propósitos y beneficiosPropósitos y beneficios
OrganizarOrganizar informacióninformación visualmentevisualmente parapara verver lala relaciónrelación entreentre loslos conjuntos de elementos, como semejanzas y diferencias. Los estudiantes yconjuntos de elementos, como semejanzas y diferencias. Los estudiantes y profesionales pueden usarlos para pensar la lógica detrás de un concepto yprofesionales pueden usarlos para pensar la lógica detrás de un concepto y para representar las relaciones para lograr una comunicación visual. Estepara representar las relaciones para lograr una comunicación visual. Este propósito puede ser básico o muy avanzado. Comparar dos o más opciones ypropósito puede ser básico o muy avanzado. Comparar dos o más opciones y ver claramente lo que tienen en común y lo que puede distinguirlos. Esto sever claramente lo que tienen en común y lo que puede distinguirlos. Esto se puede realizar para seleccionar un servicio o producto importante que se va apuede realizar para seleccionar un servicio o producto importante que se va a adquirir. Para resolver problemas matemáticos complejos. En el caso de queadquirir. Para resolver problemas matemáticos complejos. En el caso de que seas un matemático, por supuesto. Comparar conjuntos de datos, encontrarseas un matemático, por supuesto. Comparar conjuntos de datos, encontrar correlaciones y predecir probabilidades de determinados acontecimientos.correlaciones y predecir probabilidades de determinados acontecimientos. Razonar la lógica detrás de declaraciones o ecuaciones, como la lógicaRazonar la lógica detrás de declaraciones o ecuaciones, como la lógica booleana detrás de una búsqueda de palabras que involucre las instruccionesbooleana detrás de una búsqueda de palabras que involucre las instrucciones "or" y "and" y cómo se agrupan."or" y "and" y cómo se agrupan.
Tipos de ConjuntosTipos de Conjuntos
Conjuntos infinitosConjuntos infinitos
En este tipo de conjuntos los elementos que se encuentran incluidosEn este tipo de conjuntos los elementos que se encuentran incluidos dentro no pueden ser enumerados o contabilizados. Es así que tendremosdentro no pueden ser enumerados o contabilizados. Es así que tendremos inicio pero no poseen fin. Un ejemplo de este tipo son todos los númerosinicio pero no poseen fin. Un ejemplo de este tipo son todos los números
naturales. Es común que este conjunto se escriba por comprensión, de lonaturales. Es común que este conjunto se escriba por comprensión, de lo contrario, es posible que no alcanzaran las hojas paracontrario, es posible que no alcanzaran las hojas para escribir.escribir.
Conjunto unitarioConjunto unitario
En este tipo a diferencia del tipo anterior, éste posee un solo elemento.En este tipo a diferencia del tipo anterior, éste posee un solo elemento. Es por esta característica que se puede contabilizar y además se puedeEs por esta característica que se puede contabilizar y además se puede escribir por extensión.escribir por extensión.
Conjunto finitoConjunto finito
Este tipo de conjunto es el contrario del tipo infinito. A diferencia del otroEste tipo de conjunto es el contrario del tipo infinito. A diferencia del otro tipo, en este caso se pueden enumerar o nombrar cada uno de los elementostipo, en este caso se pueden enumerar o nombrar cada uno de los elementos incluidos dentro de un conjunto. La característica principal que posee esteincluidos dentro de un conjunto. La característica principal que posee este
conjunto es que tiene un inicio y un final. Generalmente éste se escribe porconjunto es que tiene un inicio y un final. Generalmente éste se escribe por extensión. Un ejemplo de este tipo es los números del uno al diez. Esteextensión. Un ejemplo de este tipo es los números del uno al diez. Este ejemplo escritoejemplo escrito por extenspor extensión quedaríaión quedaría A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.
Conjunto vacíoConjunto vacío
En este caso nos encontramos con el tipo de conjunto que no poseeEn este caso nos encontramos con el tipo de conjunto que no posee elemento. Es decir que no existen elementos algunos en su interior. Esteelemento. Es decir que no existen elementos algunos en su interior. Este conjunto se denota o escribe de dos formas posibles A= { } o A=Øconjunto se denota o escribe de dos formas posibles A= { } o A=Ø
Conjunto disyuntivoConjunto disyuntivo
Este tipo de conjuntos poseen elementos que se diferencian entre sí, esEste tipo de conjuntos poseen elementos que se diferencian entre sí, es decir no poseen una característica común que los agrupa. Algunos libros dedecir no poseen una característica común que los agrupa. Algunos libros de
matemáticas lo suelen vincular con el conjunto vacío, aunque son cosasmatemáticas lo suelen vincular con el conjunto vacío, aunque son cosasdistintas.distintas.
Conjunto referencial o universalConjunto referencial o universal
Este tipo de conjunto posee a todos los grupos de elementos que tienenEste tipo de conjunto posee a todos los grupos de elementos que tienen unauna característicacaracterística especial.especial. DeDe esteeste tipotipo sese puedenpueden extraerextraer diferentesdiferentes subconjuntos. Se acostumbra a denotarlo con la letra U.subconjuntos. Se acostumbra a denotarlo con la letra U.
Conjuntos igualesConjuntos iguales
Este tipo de conjuntos está conformado por dos o más subconjuntos queEste tipo de conjuntos está conformado por dos o más subconjuntos que poseen los mismos elementos.poseen los mismos elementos.
A={3;5} ; B={1;2;3;4;5;6;7} ; C={2;4;6;7} ; D={4;7}A={3;5} ; B={1;2;3;4;5;6;7} ; C={2;4;6;7} ; D={4;7}
Son conjuntos comparables:Son conjuntos comparables:
A y B; B y C; B y D; C y DA y B; B y C; B y D; C y D
Igualdad de conjuntosIgualdad de conjuntos
Se dice que dos conjuntos son iguales cuando ambos poseen losSe dice que dos conjuntos son iguales cuando ambos poseen los mismos elementos.mismos elementos.
Ejemplo:Ejemplo:
Si:Si:
A=A= {x/x{x/x eses unauna letraletra de lade la palabra AROMA};palabra AROMA}; B=B= {x/x{x/x eses unauna letraletra dede lala palabrapalabra MAROMA}MAROMA}
Entonces:Entonces:
A= {A; R; O; M}; B= {M; A; R; O}A= {A; R; O; M}; B= {M; A; R; O}
Luego: A=B.Luego: A=B.
Conjuntos disjuntosConjuntos disjuntos
Se dice que dos conjuntos A y B son disjuntos o ajenos cuando laSe dice que dos conjuntos A y B son disjuntos o ajenos cuando la intersección de dichos conjuntos A ∩ B da como resultado el conjunto vacío Ø:intersección de dichos conjuntos A ∩ B da como resultado el conjunto vacío Ø: A ∩ B = Ø.A ∩ B = Ø.
Ejemplo 1:Ejemplo 1:
Dados A= {a, b, 1, 2} yDados A= {a, b, 1, 2} y B= {3, 4}; seB= {3, 4}; se tiene que A ∩ B=Øtiene que A ∩ B=Ø
Ejemplo 2:Ejemplo 2:
Dados A= {a, b} y B= {u,Dados A= {a, b} y B= {u, v}; se tiene que A ∩ B=Øv}; se tiene que A ∩ B=Ø Ejemplo 3:Ejemplo 3:
Dados A= {a, b, c, d, e} y B=Dados A= {a, b, c, d, e} y B= {f, g, h,{f, g, h, i}; se tiene que A ∩ B=Øi}; se tiene que A ∩ B=Ø
Conjuntos potenciaConjuntos potencia
Sea un conjunto A, se le llama conjunto potencia de A y se denota P(A)Sea un conjunto A, se le llama conjunto potencia de A y se denota P(A) al conjunto de exactamente todos los subconjuntos de A.al conjunto de exactamente todos los subconjuntos de A.
Si tenemos un conjunto {a, b, c}:Si tenemos un conjunto {a, b, c}:
Un subconjunto suyo podría ser {a}, o {b}, o {a,Un subconjunto suyo podría ser {a}, o {b}, o {a, c}, o los demásc}, o los demás
Y {a, b, c} también es un subconjunto de {a, b, c} (sí, es verdad, pero no es unY {a, b, c} también es un subconjunto de {a, b, c} (sí, es verdad, pero no es un "subconjunto propio")"subconjunto propio")
Y el conjunto vacío {} también es un subconjunto de {a, b, c}Y el conjunto vacío {} también es un subconjunto de {a, b, c}
De hecho, si haces una lista de todos los subconjuntos de S= {a, b, c}De hecho, si haces una lista de todos los subconjuntos de S= {a, b, c} tendrás el conjunto potencia de {a, b, c}:tendrás el conjunto potencia de {a, b, c}:
P(S) = {{}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}P(S) = {{}, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}
Piensa en que estas son las diferentes maneras de elegir los elementosPiensa en que estas son las diferentes maneras de elegir los elementos (el orden no importa), incluido tomarlos todos o ninguno.(el orden no importa), incluido tomarlos todos o ninguno.
Unión e Intersección de conjuntosUnión e Intersección de conjuntos
LasLas operacionesoperaciones dede uniónunión yy dede intersecciónintersección tienentienen lala propiedadpropiedad asociativa,asociativa, por lo tanto si tenemos tres conjuntos A, Bpor lo tanto si tenemos tres conjuntos A, B y C...y C...
LaLa uniónunión de esos tres conjuntos es otro conjunto D,de esos tres conjuntos es otro conjunto D, el cual contieneel cual contiene todos aquellos elementos que están al menos en uno de los conjuntos A, B otodos aquellos elementos que están al menos en uno de los conjuntos A, B o
C. (AC. (A ∪∪^ BB ∪∪^ C)C)
Un elemento x pertenece a la unión de los conjuntos A, B y C si, y sóloUn elemento x pertenece a la unión de los conjuntos A, B y C si, y sólo si, x pertenece al conjuntosi, x pertenece al conjunto ““AA”” o x pertenece al conjunto B o x pertenece alo x pertenece al conjunto B o x pertenece al conjunto C, por lo tanto:conjunto C, por lo tanto:
La intersección de los conjuntos A, B y C queda como resultado otroLa intersección de los conjuntos A, B y C queda como resultado otro conjunto D el cual tiene los elementos que están estrictamente en A, en B y enconjunto D el cual tiene los elementos que están estrictamente en A, en B y en C. (C. (A ∩ B ∩ CA ∩ B ∩ C))
Un elemento x pertenece a la intersección de los conjuntos A, B y C si, yUn elemento x pertenece a la intersección de los conjuntos A, B y C si, y sólo si, x pertenece al conjunto A, x pertenece al conjunto B y x pertenece alsólo si, x pertenece al conjunto A, x pertenece al conjunto B y x pertenece al
conjunto C, por lo tanto:conjunto C, por lo tanto:
EjemplosEjemplos
1.1. Ejemplo: La unión del conjunto de personas que juegan al fútbol, elEjemplo: La unión del conjunto de personas que juegan al fútbol, el conjuntoconjunto dede personaspersonas queque jueganjuegan alal baloncestobaloncesto yy elel conjuntoconjunto dede personas que juegan a tenis, es el conjunto de personas que juegan apersonas que juegan a tenis, es el conjunto de personas que juegan a uno o más de los tres deportes citados; sin embargo, la intersección deuno o más de los tres deportes citados; sin embargo, la intersección de esos tres conjuntos sería el conjunto de personas que juegan a los tresesos tres conjuntos sería el conjunto de personas que juegan a los tres deportes.deportes.
2.2. Ejemplo: Sea AEjemplo: Sea A={2,4,6,20}, B={1,7,13,20} y={2,4,6,20}, B={1,7,13,20} y C={0,5,20}, la uniónC={0,5,20}, la unión de A, Bde A, B y C es el conjunto D={0,1,2,4,5,6,7,13,20} y la intersección de A, B y Cy C es el conjunto D={0,1,2,4,5,6,7,13,20} y la intersección de A, B y C es el conjunto D={20}es el conjunto D={20}
Complemento de conjuntosComplemento de conjuntos
Para trabajaPara trabajar elr el complementocomplemento dede conjuntosconjuntos debemosdebemos recordarrecordar queque existen conjuntos universales que son los queexisten conjuntos universales que son los que engloban a tienen mayor númeroengloban a tienen mayor número
de elementos, es decir que es aquel que se usa como referencia para formarde elementos, es decir que es aquel que se usa como referencia para formar otros conjuntos, y se representa con la letra U.otros conjuntos, y se representa con la letra U.
El complemEl complemento deento de u cu conjunto Xonjunto X se formase forma con locon los elems elementosentos queque le hacele hacenn falta al conjufalta al conjuntonto XX para ser igpara ser igual al coual al conjunto univnjunto universal. Esto deersal. Esto de representarepresenta concon Ac.Ac.
Ejemplo 1:Ejemplo 1:
U = {1, 3, 5, 7, 9, 11}U = {1, 3, 5, 7, 9, 11}
A = {1, 3, 5, 7} por lo tantoA = {1, 3, 5, 7} por lo tanto
AcAc == {9,{9, 11}11} que sonque son loslos elementos queelementos que lele hacen faltahacen falta alal conjunto Aconjunto A para serpara ser igual al conjunto Uigual al conjunto U
Ejemplo 2:Ejemplo 2:
U = {11, 12, 13, 14, 15,U = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21}16, 17, 18, 19, 20, 21}
A = {17, 18}A = {17, 18}
B = {11, 12, 13}B = {11, 12, 13}
Por lo tanto:Por lo tanto:
AcAc == {11,{11, 12, 13,12, 13, 14, 15,14, 15, 16, 19,16, 19, 20, 21}20, 21} que sonque son los elementoslos elementos que leque le hacenhacen falta al conjunto A para ser igual al conjunto Ufalta al conjunto A para ser igual al conjunto U
BcBc = {14, 15,= {14, 15, 16, 19, 20,16, 19, 20, 21} que s21} que son los eon los elementos quelementos que le hacenle hacen falta alfalta al conjunto B para ser igual al conjunto U.conjunto B para ser igual al conjunto U.
ConclusiónConclusión
La Teoría de conjuntos creada por Cantor es de gran utilidad en lasLa Teoría de conjuntos creada por Cantor es de gran utilidad en las matemáticas, pues es una herramienta importante para poder estudiar lasmatemáticas, pues es una herramienta importante para poder estudiar las relaciones existentes entre un todo y susrelaciones existentes entre un todo y sus partes, al mismopartes, al mismo tiempo que sentó lastiempo que sentó las basesbases parapara simplificarsimplificar definicionesdefiniciones dede conceptosconceptos queque resultabanresultaban másmás
complejas.complejas.
Más aún, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como paraMás aún, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números,construir el resto de objetos y estructuras de interés en matemáticas: números, funciones, figuras geométricas,...; y junto con la lógica permite estudiar losfunciones, figuras geométricas,...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomasfundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas dede lala teoríateoría dede Zermelo-FraenkelZermelo-Fraenkel eses suficientesuficiente parapara desarrollardesarrollar todatoda lala matemática. La propia teoría de conjuntos es objeto de estudio perse, no sólomatemática. La propia teoría de conjuntos es objeto de estudio perse, no sólo como herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de loscomo herramienta auxiliar, en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos.conjuntos infinitos.
En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedadesEn esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades
indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existenciaindemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existenciade un cardinal inaccesible. Por esta razón, los razonamientos y técnicas de lade un cardinal inaccesible. Por esta razón, los razonamientos y técnicas de la
teoría de conjuntos se apoyan enteoría de conjuntos se apoyan en gran medida en la lógica matemática.gran medida en la lógica matemática.
AnexosAnexos
Figura 1: ConjuntosFigura 1: Conjuntos
Figura 2: Relación deFigura 2: Relación de PertenenciaPertenencia
Figura 3: Determinación de Conjuntos por ExtensiónFigura 3: Determinación de Conjuntos por Extensión
Figura 4: Determinación de Conjuntos por ComprensiónFigura 4: Determinación de Conjuntos por Comprensión
Figura 5: Diagrama de VennFigura 5: Diagrama de Venn
Figura 6: Conjuntos UnitariosFigura 6: Conjuntos Unitarios
Figura 10: Conjuntos CongruentesFigura 10: Conjuntos Congruentes
Figura 11: Conjuntos de InclusiónFigura 11: Conjuntos de Inclusión
Figura 12: Conjuntos ComparablesFigura 12: Conjuntos Comparables
Figura 13: Igualdad de ConjuntosFigura 13: Igualdad de Conjuntos
Figura 14: Conjuntos DisjuntosFigura 14: Conjuntos Disjuntos
Figura 15: Conjuntos PotenciaFigura 15: Conjuntos Potencia
