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CAPÍTULO 6. TORQUE Y EQUILIBRIO DE CUERPO RÍGIDO.
En general un cuerpo puede tener tres tipos distintos de movimiento simultá- neamente. De traslación a lo largo de una trayectoria, de rotación mientras se está trasladando, en este caso la rotación puede ser sobre un eje que pase por el cuerpo, y si a la vez este eje esta girando en torno a un eje vertical, a la ro- tación del eje del cuerpo rotante se le llama movimiento de precesión (por ejemplo un trompo), y de vibración de cada parte del cuerpo mientras se tras- lada y gira. Por lo tanto el estudio del movimiento puede ser en general muy complejo, por esta razón se estudia cada movimiento en forma independiente.
Cuando un cuerpo está en rotación, cada punto tiene un movimiento distinto de otro punto del mismo cuerpo, aunque como un todo se esté moviendo de manera similar, por lo que ya no se puede representar por una partícula. Pero se puede representar como un objeto extendido formado por un gran número de partículas, cada una con su propia velocidad y aceleración. Al tratar la rota- ción del cuerpo, el análisis se simplifica si se considera como un objeto rígido y se debe tener en cuenta las dimensiones del cuerpo.
Cuerpo rígido. Se define como un cuerpo ideal cuyas partes (partículas que lo forman) tienen posiciones relativas fijas entre sí cuando se somete a fuerzas externas, es decir es no deformable. Con esta definición se elimina la posibili- dad de que el objeto tenga movimiento de vibración. Este modelo de cuerpo rígido es muy útil en muchas situaciones en las cuales la deformación del ob- jeto es despreciable.
El movimiento general de un cuerpo rígido es una combinación de movimien- to de traslación y de rotación. Para hacer su descripción es conveniente estu- diar en forma separada esos dos movimientos.
6.1 TORQUE DE UNA FUERZA.
Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido, el cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a algún eje. La propiedad de la fuerza para hacer girar al cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos torque o momento de la fuerza. Se prefiere usar el nombre torque y no momento, porque este último se emplea para referirnos al momento lineal,
al momento angular o al momento de inercia, que son todas magnitudes físicas diferentes para las cuales se usa el mismo término.
Analizaremos cualitativamente el efecto de rotación que una fuerza puede producir sobre un cuerpo rígido. Consideremos como cuerpo rígido a una re- gla fija en un punto O ubicado en un extremo de la regla, como se muestra en la figura 6.1, sobre el cual pueda tener una rotación, y describamos el efecto que alguna fuerza de la misma magnitud actuando en distintos puntos, produce sobre la regla fija en O. La fuerza F 1 aplicada en el punto a produce en torno a O una rotación en sentido antihorario, la fuerza F 2 aplicada en el punto b pro- duce una rotación horaria y con mayor rapidez de rotación que en a , la fuerza F 3 aplicada en b , pero en la dirección de la línea de acción que pasa por O , no produce rotación (se puede decir que F 3 ‘empuja’ a la regla sobre O , pero no la mueve), F 4 que actúa inclinada en el punto b produce una rotación horaria, pero con menor rapidez de rotación que la que produce F 2 ; F 5 y F 6 aplicadas perpendiculares a la regla, saliendo y entrando en el plano de la figura respec- tivamente, no producen rotación. Por lo tanto existe una cantidad que produce la rotación del cuerpo rígido relacionada con la fuerza, que es lo que defini- mos como el torque de la fuerza.
Figura 6.
Se define el torque τ de una fuerza F que actúa sobre algún punto del cuerpo rígido, en una posición r respecto de cualquier origen O , por el que puede pa- sar un eje sobre el cual se produce la rotación del cuerpo rígido, al producto vectorial entre la posición r y la fuerza aplicada F , por la siguiente expresión:
Figura 6.
El torque de una fuerza depende de la magnitud y dirección de F y de su punto de aplicación respecto a un origen O. Si la fuerza F pasa por O , r = 0 y el tor- que es cero. Si α = 0 o 180º, es decir, F está sobre la línea de acción de r , Fsen α = 0 y el torque es cero. F sen α es la componente de F perpendicular a
r , sólo esta componente realiza torque, y se le puede llamar F ⊥. De la figura 6.3 también se ve que r ⊥ = r sen α es la distancia perpendicular desde el eje de rotación a la línea de acción de la fuerza, a r ⊥ se le llama brazo de palanca de F. Entonces, la magnitud del torque se puede escribir como:
τ = r ( Fsen α) = F ( rsen α) = rF ⊥ = r ⊥ F
Ejemplo 6.1 : Calcular el torque respecto al origen, producido por una fuerza F = (4i - 5j) N, que se aplica a un objeto en la posición r = (2i + j) m.
Solución : Aplicando la definición de producto vectorial, se obtiene:
= × = =
i j k
F F F
x y z
i j k r F
x y z
r r^ r τ
τr= 0 i ˆ− 0 ˆ j − 14 k ˆ=-14kˆ Nm
Ejemplo 6.2 : Calcular el torque neto por los puntos A y por B en el sistema de la figura 6.4, donde F 1 = 10 N, F 2 = 5 N, F 3 = 15 N, a = 50 cm, b = 1 m.
Figura 6.4 Ejemplo 6.2.
Solución : el torque neto es la suma de los torques realizados por cada fuerza. Los puntos A y B se consideran ejes de rotación en forma independiente, por supuesto no simultáneamente, por lo tanto los torque se calculan en forma se- parada en cada punto.
Para rotación en torno al punto A, considerando el sentido de la rotación que produce cada fuerza, lo que le da el signo al torque, se tiene:
τ A = F 1 r 1 sen45 + F 2 r 2 sen60 - F 3 r 3 sen
los valores de las distancias son: r 1 =0, r 2 = a = 0.5 m, r 3 = b = 1 m.
τ A = (10)(0) sen45 + (5)(0.5) sen60 – (15)(1) sen20 = -3 Nm
Para rotación en torno al punto B, considerando el sentido de la rotación:
τ B =+ F 1 r 1 sen45 + F 2 r 2 sen60 - F 3 r 3 sen
ahora los valores de las distancias son: r 1 = a = 0.5 m, r 2 =0, r 3 = b-a = 0.5 m.
τ B = (10)(0.5) sen45 + (5)(0) sen60 – (15)(0.5) sen20 = 1 Nm
∑ Fx =^0 ,^ ∑ Fy =^0 , ∑^ τ O =^0
Cuando se tratan problemas con cuerpos rígidos se debe considerar la fuerza de gravedad o el peso del cuerpo, e incluir en los cálculos el torque producido por su peso. Para calcular el torque debido al peso, se puede considerar como si todo el peso estuviera concentrado en un solo punto, llamado centro de gra- vedad. Se han preguntado alguna vez ¿por qué no se cae la Torre de Pisa?, o ¿por qué es imposible tocarte los dedos de los pies sin caerte cuando estas de pie apoyado con los talones contra la pared? ¿Por qué cuando llevas una carga pesada con una mano, extiendes y levantas el otro brazo? Para responder a esto debemos definir los conceptos de centro de masa y de centro de gravedad y su aplicación al equilibrio estático.
6.2.1 Centro de gravedad.
Debido a que un cuerpo es una distribución continua de masa, en cada una de sus partes actúa la fuerza de gravedad. El centro de gravedad es la posición donde se puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la posición promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto simétrico homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico, pero no para un objeto irregular.
6.2.2 Centro de masa****.
Es la posición geométrica de un cuerpo rígido donde se puede considerar con- centrada toda su masa, corresponde a la posición promedio de todas las partí- culas de masa que forman el cuerpo rígido. El centro de masa de cualquier ob- jeto simétrico homogéneo, se ubica sobre un eje se simetría.
Cuando se estudia el movimiento de un cuerpo rígido se puede considerar la fuerza neta aplicada en el centro de masa y analizar el movimiento del centro de masa como si fuera una partícula. Cuando la fuerza es el peso, entonces se considera aplicado en el centro de gravedad. Para casi todos los cuerpos cerca de la superficie terrestre, el centro de masa es equivalente al centro de grave- dad, ya que aquí la gravedad es prácticamente constante, esto es, si g es cons-
tante en toda la masa, el centro de gravedad coincide con el centro de masa. Existen métodos de cálculo integral para calcular estas dos posiciones, pero aquí no las detallaremos.
Ahora se pueden responder las preguntas anteriores. Respecto a la Torre de Pisa, la respuesta a la pregunta de porque no se cae, es porque su centro de gravedad está geométricamente dentro de su base, que se llama “ área de sus- tentación ”. Si la torre continúa inclinándose hasta que su centro de gravedad caiga fuera del área de sustentación, entonces se derrumbará. Pero se le han puesto apoyos en su base para evitar que continué inclinándose. Las otras pre- guntas ahora las puedes responder tu.
Para aplicar las condiciones de equilibrio, es recomendable seguir las siguien- tes instrucciones, que corresponde a dibujar el DCL del cuerpo rígido:
a) Aislar al cuerpo rígido del sistema con un límite imaginario.
b) Dibujar los vectores que representen las fuerzas en el punto de aplicación donde las fuerzas efectivamente actúan.
c) Elegir un sistema de coordenadas conveniente para descomponer las fuer- zas, donde dibujar la componente perpendicular a la posición.
d) Elegir un eje de rotación O adecuado en el cuerpo rígido, donde se anulen los torques de (algunas) fuerzas desconocidas.
Ejemplo 6.3 : Una barra uniforme de longitud L y peso P está articulada en A en una pared. Un alambre fijo en la pared a una distancia D sobre la articu- lación, sujeta a la barra por el extremo superior, como se muestra en la figura 6.5a. El alambre permanece horizontal cuando se cuelga un cuerpo de peso p en el extremo superior de la barra. Calcular la tensión del alambre y la fuerza de reacción en la articulación de la barra.
Solución: se elige como eje de rotación la articulación de la barra en la pared, en el punto A, se identifican las fuerzas que actúan sobre la barra, se dibuja el DCL de la barra (figura 6.5b) y se aplican las condiciones de equilibrio.
Ahora se calculan FAx y FAy de las ecuaciones (1) y (2).
De (1):
( ) D
p P L D F (^) Ax T
+ / 2 2 −^2
De (2): FAy = P + p
Ejercicio : calcular el vector fuerza en A, su magnitud y dirección.
Ejemplo 6.4. En el sistema de la figura 6.6a, una fuerza horizontal F, cuya línea de acción pasa por el centro de un tambor de radio R y peso P, se aplica sobre el tambor, para hacerlo subir por un escalón de alto R/2. Hacer las su- posiciones necesarias para calcular el valor de la: a) fuerza F, b) fuerza del borde del escalón en A, c) dirección de la fuerza en A.
Figura 6.6 Ejemplo 6.4 a) izquierda, b) derecha.
Solución : Se conocen sólo el peso P y el radio del cilindro R. Hay que calcu- lar la fuerza aplicada F y la fuerza del borde del escalón en A, FA.
Las condiciones de equilibrio son:
1ª condición (^) ∑ F = 0
r y 2ª condición (^) ∑ τ A = 0
Se hace el DCL (figura 6.6b), se elige como eje de rotación el punto A, y al aplicar las condiciones de equilibrio se obtiene:
eje x : F − FAx = 0 (1)
eje y : N − P + FAy = 0 (2)
∑ τ^ A :^ Pd − Nd − F ( R /^2 )=^0 (3)
donde d es la distancia perpendicular, o brazo de palanca, desde A hasta las fuerzas peso P y normal N, y el brazo de palanca de F es R/2. De la geometría de la figura, se calcula d :
2
2 2 2 2
2 2 4
R
R
d d R
R
R ⎟ + ⇒ = − =
d R 2 d 3 R 2
De (3) se obtiene el valor de la fuerza aplicada:
( ) ( )
F ( P N )
FR
P N R
FR
P N d
De (1) : F (^) Ax = 3 ( P − N )
De (2): F (^) Ay = P − N
El vector fuerza es:
F (^) A = FAxi ˆ^ + FAy ˆ j = 3 ( P − N ) i ˆ+( P − N ) j ˆ
r
tabilidad permite a los animales moverse más rápidamente, pero requiere un control neuromuscular complejo para mantener el equilibrio. La posición humana es tan mecánicamente inestable que a un niño le cuesta mas de un año desarrollar el control neuromuscular suficiente para mantenerse en pie sin ayuda.
Figura 6.7 a) b) c)
La columna vertebral humana consta de 24 vértebras separadas por discos im- pregnados de un fluido. Cuando una persona se agacha para recoger aunque sea un objeto liviano, se produce una gran fuerza sobre el disco sacro lumbar que separa la última vértebra del sacro, el hueso que sostiene la columna ver- tebral. Si este disco se debilita puede deformarse o romperse y ejercer presión sobre los nervios próximos produciendo grandes dolores.
Para comprender por qué esta fuerza es tan grande podemos usar un modelo que trata la columna como una barra con pivote que corresponde al sacro (fi- gura 6.8a). Los diversos músculos de la espalda los representaremos como un
solo músculo que produce una fuerza T
r
. Si la espalda está horizontal, el ángu-
lo α que forma respecto a la columna es aproximadamente 12º. P
r Representa el peso del torso, cabeza y brazos, que corresponde aproximadamente al 65% del peso total del cuerpo. Obsérvese que como el ángulo α es pequeño, la lí-
nea de acción de T
r pasa cerca del pivote (sacro), por lo cual su distancia per-
pendicular es pequeña. El peso P
r actúa en ángulo recto respecto a la columna y su distancia perpendicular es mucho mayor. Por lo tanto, para que se equili-
bren los torques, la fuerza muscular T
r debe ser mucho mayor que el peso P
r .
Como T
r es grande, también lo es su componente horizontal, por lo tanto la
fuerza R
r debida al sacro debe tener una componente de igual valor y sentido
opuesto. La fuerza debida al sacro también debe ser mayor que el peso P
r .
Ejemplo 6.5. Realicemos los cálculos para una persona que pesa 700 N (masa de 70kg). El valor de P es 65% de 700 = 455N. Se supone que P y T actúan a una distancia del sacro de ½ y 2/3 del largo l de la columna (figura 6.8a). Pa- ra determinar el valor de T y R se aplican las condiciones de equilibrio.
Figura 6.8 a). b)
2ª condición de equilibrio, considerando el eje O en el hueso sacro:
N
sen
T
sen
P
T
L
O T P Tsen L P
×
×
×
∑τ = ⇒τ +τ = ⇒ − = ⇒ =
1ª condición de equilibrio:
∑ Fx^ =^0 :^ Rx^ – T^ x^ = 0^ ⇒^ Rx^ = Tx^ ⇒^ Rx^ = Tcos12 =1641 cos12 = 1605N
∑ F^ y =^0 :^ Ry^ + T^ y^ – P = 0^ ⇒^ Ry^ = P - T^ y^ = 455 - 1641 sen12 = 114N
Luego: R = Rx^2^ + Ry^2 = 1605 2 + 1142 = 1610 N
PROBLEMAS.
6.1 a) Estimar las longitudes y masas de los punteros del reloj del Campanil. b) Calcular el torque en torno al eje de rotación de los punteros debido a su peso, cuando la hora marca las: 14:00, 16:45, 18:00, otra a su gusto.
6.2 Hacer todas las suposiciones necesarias para estimar el torque que deben ejercer las raíces de un pino radiata D. Don , para evitar que el pino se vuelque , cuando en un temporal de invierno se inclina por efecto de la fuerza ejercida por el viento. ¿Y si la planta es un rosal?
6.3 Una fuerza F = (2i + 3j) N se aplica a un objeto que está articulado al- rededor de un eje fijo alineado con el eje z. Si la fuerza se aplica en la posición r = (4i + 5j) m , calcular: a) el vector torque neto en torno a z , b) la magnitud del torque neto y c) su dirección.
6.4 La figura 6.10 muestra las fuerzas F 1 =40 N, F 2 =30 N, F 3 =50 N, F 4 = N aplicadas a un cuerpo rígido que puede girar en torno de un eje que pasa por O. Calcular el torque resultante. R: -10.8 Nm.
6.5 Calcular el torque neto sobre la rueda producido por las fuerzas F 1 =8 N, F 2 =10 N, F 3 =15 N, que se indican en la figura 6.11, alrededor de un eje que pase por su centro, si a = 10 cm, b = 20 cm y α = 30º.
Figura 6.10 Problema 6.4 Figura 6.11 Problema 6.
6.6 Dos fuerzas F 1 y F 2 actúan a lo largo de los lados de un triángulo equi- látero de lado a , como se muestra en la figura 6.12. Encuentre una terce- ra fuerza F 3 que aplicada en el vértice a lo largo del lado produzca un torque neto en torno a O igual a cero. R: F 3 = F 1 + F 2 (magnitudes).
6.7 Una viga uniforme de peso P y longitud L , que se apoya en los puntos O y Q soporta dos pesos, P 1 sobre O y P 2 a la derecha de Q , como se muestra en la figura 6.13. Calcular el valor de x para el cual la viga que- dará equilibrada en el punto de apoyo Q de tal manera que la fuerza en O sea cero. R: [( P 1 + P)D + ½LP 1 ]/P 2.
Figura 6.12 Problema 6.6 Figura 6.13 Problemas 6.7 y 6.
6.8 Para el sistema de la figura 6.13, calcular el valor de x tal que la fuerza normal en O sea la mitad de la fuerza normal en Q. a) Desprecie el peso de la viga. b) Considere el peso P de la viga.
6.9 Un tablón uniforme de 6m de longitud y 30kg de masa, descansa hori- zontalmente sobre un andamio. Si 1. 5m del tablón sobresale por un ex- tremo del andamio. ¿Cuánto puede caminar un pintor de brocha gorda de 70 kg por la parte sobresaliente antes de que el tablón se vuelque? R: 0.64 m.
6.10 Un tablón uniforme de 5 m de largo y 150 kg está articulado en A. En B esta sostenido por una cuerda ubicada a 1.5 m del extremo inferior del tablón, formando un ángulo de 90º con el tablón, como se ve en la figura 6.14. Calcular la tensión de la cuerda y la fuerza de la articulación en A. R: 643 N, -514î + 1114j N.
6.11 El tablón uniforme de la figura 6.15, de 5 m de largo y peso P está arti- culado en A e inclinado α grados con la horizontal. En el extremo opuesto está sostenido por una cuerda que forma un ángulo de 90º con el
6.16 Un cilindro de masa M y radio r descansa sobre un plano inclinado sujetado por una cuerda tangente al cilindro y paralela a la superficie del plano. El plano esta inclinado en un ángulo α con la horizontal, como se muestra en la figura 6.19. Calcular: a) el valor mínimo del coeficiente de fricción estático, en términos de α , para que el cilindro no resbale hacia abajo del plano inclinado, b) la tensión en la cuerda en términos de M, g y α. R: a) 0.5tan α, b) 0.5Mg sen α.
Figura 6.16 Problema 6.13 Figura 6.17 Problema 6.
Figura 6.18 Problema 6.15 Figura 6.19 Problema 6.
6.17 El antebrazo de la figura 6.20, está con respecto al brazo a 90º^ y sostiene en la mano un cuerpo de peso 70 N. Despreciando al peso del antebrazo: ¿Cuál es el torque producido por el peso de 70N alrededor de la articu- lación del codo (punto O)? ¿Cuál es el torque alrededor de O producido
por la fuerza Fm
r ejercida sobre el antebrazo por el bíceps? ¿Cuál es la magnitud de Fm
r ?
6.18 Repetir el problema anterior suponiendo que el antebrazo y la mano jun- tos pesan 35N y que su centro de gravedad está a 15 cm de O.
6.19 Con el antebrazo en posición horizontal, tal como aparece en la figura 6.21, la mano ejerce una fuerza de 90N sobre la balanza. Hallar las magnitudes de las fuerzas F (^) m y F (^) c que ejercen sobre el antebrazo el trí- ceps y el húmero, (desprecie el peso del antebrazo).
6.20 Repetir el problema anterior suponiendo que el antebrazo y la mano jun- tos pesan 25N y que su centro de gravedad está a 18 cm de 0.
Figura 6.20 Problemas 6.17 y 6.18 Figura 6.21 Problemas 6.19 y 6.
6.21 Una persona puede ejercer una fuerza máxima de 400 N sobre el aparato que se muestra en la figura 6.22. Si el aparato está a 28 cm del codo, y el bíceps está unido a 5 cm del codo, ¿Cuáles son las magnitudes de las fuerzas ejercidas por: el bíceps, el húmero.
6.22 La figura 6.23 nos muestra un atleta preparado para hacer un tiburón. Pesa 750N y su centro de gravedad está localizado por encima de un punto P que hay en el suelo. Este punto está a 0,9 m de la punta de sus pies y a 0,6m de sus hombros, ¿Cuáles son las fuerzas ejercidas por el suelo sobre las manos y pies del atleta?
6.23 En el ejercicio que aparece en la figura 6.24 el torque alrededor de la rodilla ejercido por la pesa sujeta al tobillo, varía con la elevación de la
