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TRABAJO Y ENERGIA:
PROBLEMAS VARIOS
En una erupción volcánica se expulsó una masa de 4 km
3
de montaña con una densidad de 1.
g/cm
3
hasta una altura media de 500 m. a) ¿Cuánta energía en julios se liberó en esta
erupción?. b) La energía liberada en una bomba se mide en megatones de TNT, siendo 1
megatón de TNT = 4.2.
15
J. Expresar la respuesta de a) en megatones de TNT.
Solución: I.T.T. 92, 95
Texto solución
Nuestro cuerpo convierte la energía química interna en trabajo y calor a razón de unos 100W,
lo que se denomina potencia metabólica. a) ¿Cuánta energía química interna utilizamos en 24
h?. b) La energía procede de los alimentos que comemos y usualmente se mide en Cal
(calorías alimenticias), siendo 1 Cal = 4184 J. ¿Cuántas Cal de energía alimentaria debemos
ingerir diariamente si nuestra potencia metabólica es 100 W?
Solución: I.T.T. 92, 95
Texto solución
¿A qué altura debe elevarse un cuerpo para que incremente su energía potencial en una
cantidad igual a la energía que posee si se desplaza a una velocidad de 10 m/s? ¿Cuál es la
eficiencia en cuanto al tanto por ciento de energía cinética transformada en energía potencial
en el record de salto de altura (2.45m) del cubano Javier Sotomayor?
Solución: I.T.T. 92, 95
Texto solución
Una partícula de 4 kg se desplaza a lo largo del eje X. Su posición varia con el tiempo según
x = t + 2 t
3
, en donde x se mide en m y t en s. Determinar en función del tiempo: a) su energía
cinética, b) la fuerza que actúa sobre ella y su aceleración, c) la potencia de la fuerza. d)
Determinar el trabajo realizado sobre la partícula en el intervalo de 0 a 2 s.
Solución: I.T.I. 00, 02, 05, I.T.T. 99, 02, 05
a) Derivando con el tiempo:
v ( t ) =
dx
dt
= 1 + 6 t
2
⇒ E
c
( t ) =
mv
2
2 1 + 6 t
2
2
b) Derivando de nuevo:
a ( t ) =
dv
dt
= ⇒ F ( t ) = ma =
c) La potencia desarrollada por la fuerza será:
P ( t ) = F ( t ) v ( t ) =
d) Para calcular el trabajo podemos integrar la potencia:
W = P ( t ) dt
0
2
= 48 t 1 + 6 t
2
dt
0
2
o podemos calcular la variación de energía cinética sufrida por la partícula:
W = Δ E
c
= E
c
( 2 ) − E
c
( 0 ) = 1250 J − 2 J =
48 t
48 t 1 + 6 t
2
1248 J
1248 J
12 t
El trabajo realizado por la fuerza cuando la partícula se mueve de A a B no depende de
la trayectoria seguida por ésta. En lugar de calcular dicho trabajo a lo largo de la
trayectoria circular que une A con B vamos a calcularlo a lo largo de la trayectoria
punteada (ver figura) que va de A a C y de C a B :
W =
Fd
r
A → B
F d
r
A → C
F d
r
C → B
Fd
r
A → C
La integral a lo largo del recorrido de C a B se anula porque la fuerza y el vector
desplazamiento son perpendiculares en todos los puntos del recorrido. En el recorrido de
A a C los desplazamientos son vectores dirigidos hacia el punto P e implican una
variación en la distancia r P
a dicho punto con lo que los podemos expresar como:
d
r = dr
P
r
P
. El trabajo realizado por la fuerza será entonces:
W =
Fd
r
A → C
k
r
P
2
r
P
dr
P
r
P
r
P
( A )
r
P
( C )
k
r
P
2
dr
P
r
P
( A )
r
P
( C )
k
r
P
r P
( A )
r P
( C )
k
r
P
( C )
k
r
P
( A )
k
d
C
k
d
A
Como se ve el resultado sólo depende de las posiciones inicial y final. La energía
potencial asociada a nuestra fuerza conservativa la obtenemos comparando el resultado
anterior con la menos variación de la energía potencial:
W = −Δ E
pot.
= E
pot.
( A ) − E
pot.
( C ) ⇒ E
pot.
k
r
P
Teniendo en cuenta que según la figura r
A
= 2 R y r
C
= 2 R :
W =
k
2 R
k
2 R
0
k
2 R
Un pingüino de masa m está de pie sobre un montículo
hemiesférico de hielo como se muestra en la figura. Si empieza a
resbalar desde el reposo (suponiendo el hielo perfectamente liso)
¿en qué punto P deja el pingüino de tener contacto con el hielo?
Solución: I.T.I. 92, 95, I.T.T. 95, I.I. 04
Texto solución
Un bloque pequeño desliza con velocidad v
0
sobre la
superficie horizontal AB. Despreciando el rozamiento y
sabiendo que v
0
gr , a) expresar en función de r la
altura h del punto C donde el bloque abandona la
superficie cilíndrica BD , b) determinar la distancia d
entre el punto D y el punto de impacto E con el suelo.
c) ¿Para que valor de v
0
h sería mínima y cuál sería su valor? d) Si r = 0.8 m determínese el
menor valor de v
0
para que se pierda el contacto en el punto B.
Solución: I.T.I. 94, 99, 02, 05, I.T.T. 00, 03
a) Al no haber rozamientos apliquemos la conservación de la energía mecánica para el
sistema Tierra-bloque entre el punto A y el punto C (tomamos el origen de energías
potenciales gravitatorias a ras del suelo):
mv
0
2
mv
C
2
⇒ v
C
2
= v
0
2
+ 2 g ( r − h )
Dibujando el diagrama de las fuerzas que actúan sobre el objeto
a medida que desciende y aplicando la segunda ley de Newton:
mg cos ϕ − N = ma
n
= m
v
2
r
⇒ N = mg cos ϕ − m
v
2
r
Cuando pasa por C la normal se anula y el objeto abandona la superficie:
N
m
g
a
r
B
A
D
C
E
h
v
0
ϕ
P
c) Utilizando la expresión encontrada en el primer apartado vemos que la altura
mínima se alcanzaría cuando la velocidad inicial del objeto fuese prácticamente
nula:
h =
v
0
2
3 g
⇒ h
mín.
v
0 , mín.
2
3 g
0 + 2 gr
3 g
d) Si queremos que el contacto se pierda en B entonces h = r , con lo que:
h =
v
0
2
3 g
= r ⇒
r
v
0
= gr
Un saco de arena de 4 kg de masa pende de un hilo de 0.6 m de
longitud. Sobre el saco se dispara un fusil cuya bala tiene una
masa de 40 g. La bala atraviesa el saco y recorre una distancia
horizontal d = 20 m antes de pegar en el suelo que se encuentra a
h = 1.5 m por debajo del impacto en el saco. El saco oscila
alcanzando un ángulo máximo θ = 60º con la vertical. Determinar:
a) la velocidad de la bala después del choque, b) la velocidad del
saco después del choque, c) la velocidad de la bala antes del
choque, d) la energía perdida por el sistema al atravesar la bala el
saco, e) la fuerza media que ejerce la arena sobre la bala si tarda en
atravesarlo 0.5 s.
Solución: I.T.I. 01, I.T.T. 01, 04
a) El tiempo que tarda en llegar la bala al suelo después del choque es:
h =
g (Δ t )
2
⇒ Δ t =
2 h
g
Como nos dan la distancia horizontal recorrida durante ese tiempo:
d = v
bala , después
Δ t ⇒ v
bala , después
d
Δ t
g
2 h
d =
b) Las únicas fuerzas que actúan sobre el saco son el peso, que es una fuerza
conservativa, y la tensión de la cuerda, que al ser perpendicular al movimiento del
saco no realiza ningún trabajo. Podemos aplicar conservación de la energía entre el
punto más bajo de su trayectoria y la posición en la que alcanza su máxima altura.
Tomando como origen de energías potenciales gravitatorias en el punto más bajo:
E
abajo
= E
arriba
m
saco
v
saco
2
= m
saco
gl ( 1 − cos θ)
⇒ v
saco
= 2 gl ( 1 − cos θ) =
c) Aplicando el principio de conservación del momento lineal en el choque:
m
bala
v
bala , antes
= m
bala
v
bala , después
saco
v
saco
donde todos los vectores tienen la misma orientación horizontal. Despejando:
v
bala , antes
= v
bala , después
m
saco
m
bala
v
saco
d) La energía pérdida por el sistema en el choque será:
36.1m / s
2.42 m/s
624 m / s
h
d
θ
F
grav.
F
grav.
= m
a ⇒ G
Mm
r
2
= m
v
2
r
⇒ v
2
= G
M
r
= g
R
2
r
Donde g = G
M
R
2
= 9.8m / s
2
es la aceleración de la gravedad
en la superficie terrestre.
Por otro lado:
2 π r
v
= T = 24 h
⇒ v =
2 π gR
2
T
1
3
= 3.07km / s , r =
T
2
gR
2
4 π
2
1
3
3
km
La energía potencial gravitatoria del satélite vendrá dada por:
E
pot. grav.
= − G
Mm
r
= − mg
R
2
r
Para la energía cinética tenemos: E
cin.
mv
2
mg
R
2
r
Con lo que la energía mecánica total del satélite será:
E
total
= E
cin.
+ E
pot. grav.
mg
R
2
r
Que resulta ser la mitad de lo que valía la energía potencial gravitatoria.
Una partícula de masa m se mueve bajo la acción de una fuerza de atracción inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia, F =
k
r
2
. La trayectoria es una circunferencia de
radio R. Encontrar para la partícula: a) su velocidad, b) su energía total, c) su momento
angular.
Solución: I.T.I. 95, 98, 99, I.T.T. 95, 03
La fuerza que nos proponen viene expresada vectorialmente por:
F = −
k
r
2
r donde
r
hace referencia al vector de posición de la partícula respecto al centro de atracción.
Por analogía con la fuerza gravitatoria entre dos partículas, que tiene la misma
expresión, nuestra fuerza central es conservativa, y su energía potencial asociada será
(dada la analogía con la fuerza gravitatoria):
E
p
( r ) = −
k
r
a) Planteando la segunda ley de Newton para el movimiento de nuestra partícula:
9
J
9
J
F = ma = m
v
2
R
F =
k
R
2
b) La energía total de la partícula será:
E = E
c
+ E
p
mv
2
k
R
c) El momento angular de la partícula calculado respecto del centro de fuerzas será:
L =
r × m
( v ) ⇒ L = mvR =
F
v =
k
mR
k
R
E
p
kRm
determinar: b) el módulo de la velocidad, c) la tensión en la cuerda, d)la potencia desarrollada
por la fuerza de rozamiento sobre el objeto. Suponer que el módulo de la velocidad en el
punto más bajo es v
0
. e) Determinar el valor mínimo de v
0
para que el objeto pueda completar
su trayectoria circular.
Solución: I.T.T. 04
a) Teniendo en cuenta el diagrama de fuerzas para el bloque y aplicando la segunda ley
de Newton para las componentes a lo largo del plano:
T − mg sen θ = ma
n
= m
V
A
2
R
⇒ V
A
= R
T
m
− g sen θ
1 / 2
b) Teniendo en cuenta que la fuerza de rozamiento va a realizar trabajo y tomando el
origen de energía potencial gravitatoria en A :
W
roz.
= ΔE , F
roz.
= μ N = μ mg cos θ
⇒ − μ mg cos θ (π R ) =
mV
B
2
mV
A
2
⇒ V
B
= V
A
2
⎡ − gR ( 4 sen θ + 2 πμ cos θ)
1 / 2
c) Planteando ahora la segunda ley de Newton en el punto más alto:
T + mg sen θ = ma
n
= m
V
B
2
R
⇒ T = m
V
B
2
R
− g sen θ
d) La potencia desarrollada por la fuerza de rozamiento será:
P
roz.
F
roz.
V
B
= − F
roz.
V
B
= − μ mg cos θ V
B
e) La velocidad mínima que el móvil puede poseer en la posición B se correspondería
con una tensión nula en la cuerda con lo que, según se ha determinado en el apartado
c), tenemos que:
T
mín.
= m
V
B , mín.
2
R
− g sen θ
= 0 ⇒ V
B , mín.
= gR sen θ
y teniendo en cuenta el resultado del apartado b) y que dicha velocidad mínima en B
se alcanzaría con la velocidad mínima v
0
en A
T
m
g
θ
N
F
roz.
8.02 m/s
6.12 m/s
527.8 N
−143.6 W
V
B , mín.
= v
0
2
⎡ − gR ( 4 sen θ + 2 πμ cos θ)
1 / 2
Igualando las dos expresiones:
⇒ v
0
= gR 5 sen θ + 2 πμ cos θ
1 / 2
Una masa de 5 kg cae desde 5 m de altura por encima del extremo de un muelle vertical de
constante 9.8 N/cm. Calcular la máxima compresión del muelle, considerando que no se
pierde energía en el proceso.
Solución: I.T.I. 97, I.T.T. 97
Texto solución
Un bloque de 30 kg se deja caer desde una altura de 30 m sobre el plato de 10 kg de una
báscula de resorte. Si el choque es perfectamente plástico, determinar el desplazamiento
máximo del plato. Constante del resorte K =20 kN/m
Solución: I.T.I. 93, 04
Aplicando la conservación de la energía entre la situación A en la que se suelta el bloque
y la situación B que es justo cuando el bloque entra en contacto con el plato de la
báscula:
m
bloque
gh
A
m
bloque
v
bloque
2
bloque
gh
B
⇒ v
bloque
= 2 g h
A
− h
B
= 2 gh
Aplicando la conservación del momento lineal en el choque obtenemos la velocidad
conjunta V del bloque y el plato:
m
bloque
v
bloque
= m
bloque
plato
V ⇒ V =
m
bloque
m
bloque
plato
v
bloque
m
bloque
m
bloque
plato
2 gh
Aplicando ahora la conservación de la energía entre la situación inicial en la que bloque
y plato inician su movimiento conjunto y el muelle está comprimido una distancia x
0
debido al peso del plato ( m
plato
g = Kx
0
) y la situación final en la que el muelle se
comprime una distancia adicional x (y tomando el origen de energías potenciales
gravitatorias en las situación final):
m
bloque
plato
V
2
bloque
plato
gx +
Kx
0
2
K x + x
0
2
5.60 m/s
(En la solución anterior se ha tomado el sentido positivo de movimiento hacia abajo
para el movimiento unidimensional)
c) Si aplicamos la conservación del momento lineal en el choque (las velocidades que
aparecen en la ecuación son componentes y no módulos, en nuestro caso con la
elección del sentido positivo del movimiento las dos velocidades serán positivas):
m
1
v
1
= m
1
2
( ) v
conjunto
⇒ v
conjunto
m
1
m
1
2
v
1
m
1
m
1
2
2 gd
Si la compresión máxima que se produce en el muelle 2 es
Δ l
2 , máx.
y aplicamos el
principio de conservación de la energía teniendo en cuenta que inicialmente el
muelle 2 ya estaba comprimido debido al peso de la plataforma
Δ l
2
m
2
g
k
2
(resultado que se calcula igual que en el primer apartado):
E
inicial
m
1
2
( ) v
conjunto
2
k
2
Δ l
2
( )
2
m
1
2
m
1
2
gd +
m
2
2
g
2
2 k
2
E
final
k
2
Δ l
2, máx.
2
− m
1
2
( ) g Δ l
2 , máx.
− Δ l
2
E
inicial
= E
final
⇒ Δ l
2 , máx.
m
1
2
k
2
g 1 + 1 −
m
2
2 m
1
2
m
1
2
2
g
2 m
1
2
k
2
d
m
1
2
3
g
Un émbolo de 8 kg se suelta desde el reposo en la posición
representada y es frenado por dos resortes concéntricos. La
constante del resorte exterior es de 3 kN/m y la del interior de 10
kN/m. Se observa que la máxima deformación del resorte
exterior es de 150 mm. Determinar la altura desde la cual cae el
émbolo.
Solución: I.T.I. 94
Texto solución
Tenemos un muelle sobre una superficie horizontal a una
altura de 1800 mm y una pared vertical lisa a 4 m de distancia.
Utilizamos un muelle para lanzar una bola de 2 kg de masa
para lo cual lo comprimimos 20 cm. Sabiendo que la bola
choca contra la pared a una altura de 1 m y que el coeficiente
de restitución entre ambos es e = 0.5 determinar: a) la
constante del muelle, b) punto de la horizontal en que la bola
llega al suelo, c) ángulo que forma la trayectoria con la horizontal en dicho punto, d)
ecuación de la trayectoria que sigue la bola desde que abandona el muelle hasta que choca
con la pared.
Solución: I.T.I. 92
Texto solución
Se usa un resorte para detener un paquete que desciende por un
plano inclinado 30º. La constante del muelle es de 1 kN/m e
h
90 mm
Física Trabajo y Energía Página 19
central se conservarán en nuestro problema la energía total de la esfera, suma de la
energía cinética y potencial elástica:
E =
mv
2
kr
2
mv
0
2
k r
0
2
= 132.5 J
y el momento angular calculado respecto al punto O :
L
O
= mvr sen θ = mv
0
r
0
sen θ
0
= 5.196 kg m
2
/ s
donde θ es el ángulo entre el vector de posición y el vector velocidad.
Teniendo en cuenta la expresión de la energía, cuando la esfera alcance la distancia
mínima la velocidad debe tomar un valor máximo, y viceversa. Teniendo en cuenta que
en estos casos los vectores posición y velocidad son perpendiculares (téngase en cuenta
que cuando la distancia al origen sea mínima o máxima la velocidad no puede tener
componente radial
dr
dt
, ya que si la tuviera la distancia radial seguiría disminuyendo o
aumentando):
L
O
= mv
máx.
r
mín.
L
O
= mv
mín.
r
máx.
E =
mv
máx.
2
k r
mín.
2
E =
mv
mín.
2
kr
máx.
2
v
máx.
= m
− 1 / 2
E + E
2
k L
O
2
m
1/
1/
v
mín.
= m
−1/
E − E
2
k L
O
2
m
1 / 2
1 / 2
r
máx.
= m
−1/
L
O
E + E
2
k L
O
2
m
1/
− 1 / 2
r
máx.
= m
−1/
L
O
E + E
2
k L
O
2
m
1/
− 1 / 2
20.28 m / s
5.513 m / s
0.427 m
1.571 m
Física Trabajo y Energía Página 20
Un esquiador se desliza, partiendo del reposo,
desde la cúspide de una rampa lisa de altura H
hasta su parte final donde hay un trampolín
horizontal de altura h. ¿Qué altura h hace que la
distancia s recorrida sea máxima? ¿Cuánto
valdrá dicha distancia?
Solución: I.T.I. 96, I.T.T. 96
Texto solución
Un esquiador inicia desde el reposo un descenso de
altura H respecto al centro de una colina circular de
radio R. Suponiendo despreciable el rozamiento,
calcular el valor máximo de H para el cual el
esquiador permanece en contacto con la nieve en la
parte superior de la colina. El esquiador inicia el
descenso de la parte superior de la colina con una
velocidad inicial pequeña v 0
, calcular su velocidad en función del ángulo θ. Calcular el valor
del ángulo para el cual pierde el contacto de los esquíes con la pendiente.
Solución: I.T.I. 98, 03, I.T.T. 03
En la cima de la colina si dibujamos el diagrama de
fuerzas y planteamos la segunda ley de Newton:
mg − N = ma = m
v
cima
2
R
N ≥ 0
⇒ v
cima
≤ gR
Si aplicamos la conservación de la energía entre el punto
de partida y la cima de la colina:
mgH =
mv
cima
2
cima
= 2 g ( H − R )
Comparando estas dos expresiones tenemos que:
Si ahora nuestro esquiador inicia el descenso de la colina con
una velocidad inicial v
0
pequeña, aplicando la conservación de
H
R
θ
H ≤
R
a
m
g
N
m
g
N
θ
