Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Los mejores documentos en venta realizados por estudiantes que han terminado sus estudios
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Descubre las mejores universidades de tu país según los usuarios de Docsity
Ebooks gratuitos
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Lo que son las transformaciones lineales, sus propiedades y aplicaciones en el contexto de la Algebra Lineal. Se incluyen definiciones matemáticas, demostraciones y ejemplos con base en la transformación de vectores. Además, se presentan aplicaciones de las transformaciones lineales en la Ingeniería Industrial.
Qué aprenderás
Tipo: Apuntes
1 / 13
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Estudiante: Jhonatan Bedolla Cabrera No. Control: 20691018 Ingeniería Industrial a Distancia Materia: Algebra Lineal Unidad : Transformaciones Lineales Docente: Mtro. Javier Edgardo Acuña Corella Tema: Transformaciones Lineales Semana: 5 Cananea, Sonora Diciembre de 2020
Definición y propiedades de las transformaciones lineales ¿Qué son las transformaciones lineales? En primer lugar, una transformación lineal es una función. Por ser función, tiene su dominio y su codominio, con la particularidad de que éstos son espacios vectoriales. Tenemos dos espacios vectoriales V y W, y una función que va de V a W. O sea una regla de asignación que transforma vectores de V en vectores de W. Pero no toda función que transforme vectores de V en vectores de W es una transformación lineal. Debe cumplir ciertas condiciones: F:V→W es una transformación lineal si y sólo si:
Matriz Asociada a una Transformación Lineal En seguida se muestra cómo se construye la matriz de una transformación lineal cuando se especifican las bases en el dominio y el contradominio de una tal transformación. Sean V y U dos espacios vectoriales de dimensión finita, dígase dim V = n y dim U = m. Tómese bases β1 de V y β2 de U β1 = {vv 1 , v 2 , ..., vn} β2 = {vu 1 , u 2 , ..., um} Sea T : V → U una transformación lineal entre estos espacios. Para el vector v ∈ V existen escalares x1, x2, ..., xn tales que v = x 1 v 1 + x 2 v 2 + · · · + xnvn Es decir, La imagen de v bajo T es el vector Cada vector T(vj ), j = 1, ..., n se encuentra en U, de modo que existen escalares a1j , a2j , ..., amj tales que
Es decir, Tenemos entonces que Donde A es la matriz asociada a la transformación lineal.
Como se mencionó al comienzo, las transformaciones lineales respetan la estructura de K-espacio vectorial. Esto hace que en algunos casos se respete la estructura de subespacio, por ejemplo, en las imágenes y preimágenes de subespacios por transformaciones lineales: Proposición Sea f: V W una transformación lineal. Entonces:
Transformaciones lineales: núcleo e imagen. Teorema 1 Sea T : V S W una transformación lineal. Entonces para todos los vectores u, v, v1, v2,... , v n en V y todos los escalares a1, a2,... , a n : i. T (0) = 0 ii. T (u - v) = T u - T v iii. T (a1v1 + a2v2 +.. .+ a n v n ) = a1 T v1 + a2 T v2 +.. .+ a nT v n Nota. En la parte i ) el 0 de la izquierda es el vector cero en V ; mientras que el 0 de la derecha es el vector cero en W. Teorema 2 Sea V un espacio vectorial de dimensión finita con base B = {vv1, v2,... , v n }. Sean w1, w2,... , w n vectores en W. Suponga que T 1 y T 2 son dos transformaciones lineales de V en W tales que T 1v i = T 2v i = w i para i = 1, 2,... , n. Entonces para cualquier vector v ∈ V , T 1v = T 2v; es decir T 1 = T 2.
Esta transformación se llama la reflexión sobre el eje x , y es lineal, ya que: Ejemplo dilatación o expansión Una dilatación es una transformación que incrementa distancias. Sea V= (2 4) encontrara la expansión vertical cuando K= Expansión horizontal (k71) o contracción (0<k<1) Expansión vertical (k71) o contracción (0<k<1) Ejemplo contracción Una contracción es una transformación que decrece distancias. Bajo una contracción, cualquier par de puntos es enviado a otro par a distancia estrictamente menor que la original. Sea V= (2 4) encontrara la contracción horizontal cuando K=1/ Haciendo la gráfica el punto disminuye en el eje horizontal.
Rotación por un ángulo Sea un ángulo medido en radianes. Queremos averiguar cual es la transformación T de R2 en R2 que gira cada vector un angulo , para obtener un vector En una gráfica, vemos la situación como sigue: Si usamos las funciones trigonométricas, tenemos que:
Bibliografía: https://aga.frba.utn.edu.ar/definicion-y-propiedades-de-las- transformaciones-lineales/ http://sistemas.fciencias.unam.mx/~erhc/algebra_lineal_20181/ transformaciones_lineales_7.pdf Grossman, Stanley I, Flores José Algebra Lineal, Séptima edición, Mc Graw Hill. Santiago Hernández, Clemente, Algebra Lineal. https://sites.google.com/site/sistemasalgebralineal/unidad-5--- transformaciones-lineales/5-2-nucleo-e-imagen-de-una-transformacion-lineal http://itsavbasicas.blogspot.com/2012/05/54-aplicacion-de-las- transformaciones.html
