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Teorema de la Dimensión para Transformaciones Lineales

Sea T : V → W una transformación lineal donde V es un espacio vectorial de dimensión finita.

Entonces se cumple que:

v ( T )+ ρ( T )=dim V

Transformación Lineal Inyectiva

Definición: Sea T : V → W una transformación lineal. Se dice que T es inyectiva si:

∀ v , w ∈ V [ T ( v )= T ( w )] ⇒( v = w )

Transformación Lineal Sobreyectiva

Definición: Sea T : V → W una transformación lineal. Se dice que T^ es sobreyectiva si todo vector

de W es la imagen de por lo menos un vector de V. Es decir:

∀ w ∈ W ∃ v ∈ V w = T ( v )

Dicho de otra manera, T es sobreyectiva si Re( T )= W

Teorema 3

Una transformación lineal T : V → W es inyectiva, si y sólo si, Nu ( T )={ O V }

Isomorfismo

Definición: Sea T : V → W una transformación lineal. Se dice que T es un isomorfismo si T es

inyectiva y T es sobreyectiva. Es decir, T es un isomorfismo si T es biyectiva.

Espacios Vectoriales Isomorfos

Definición: Sean V y W dos espacios vectoriales. Se dice que V y W son espacios vectoriales

isomorfos, denotado por V ≅ W , si existe un isomorfismo T : V → W entre ellos.

Teorema 4

Sea T : V → W una transformación lineal definida entre espacios vectoriales de dimensión finita,

tales que dim V = dim W , entonces:

1. Si T es inyectiva, T es sobreyectiva.

2. Si T es sobreyectiva, T es inyectiva.

Teorema 5

Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita. Sea T : V → W una transformación

lineal. Entonces:

1. Si dim V > dim W , T no es inyectiva.

2. Si dim V < dim W , T no es sobreyectiva.

Lo que quiere decir, que si dim V ≠ dim W , T no es un isomorfismo

Teorema 6

Sea T : V → W una transformación lineal, se cumple que:

1. Si T es inyectiva y S = { v 1 , v 2 , v 3 ,..., vn } es linealmente independiente en V , entonces

S ' = { T ( v 1 ), T ( v 2 ), T ( v 3 ),..., T ( vn )}es linealmente independiente en W

2. Si T es sobreyectiva y G = { v 1 , v 2 , v 3 ,..., vn } genera a V , entonces

G ' = { T ( v 1 ), T ( v 2 ), T ( v 3 ),..., T ( vn )}genera a W

3. Si T es un isomorfismo y B = { v 1 , v 2 , v 3 ,..., vn } es una base de V , entonces

B ' = { T ( v 1 ), T ( v 2 ), T ( v 3 ),..., T ( vn )}es una base de W

Operaciones con Transformaciones Lineales

Suma: Sean T 1 : V → W y T 2 : V → W dos transformaciones lineales. La suma entre T 1 y T 2 ,

denotada por T 1 + T 2 : V → W , se define como:

∀ v ∈ V ( T 1 (^) + T 2 )( v )= T 1 ( v )+ T 2 ( v )

Multiplicación por escalar: Sea α ∈ R. Sea T : V → W una transformación lineal. Se define la

multiplicación de α por T , denotada por α T : V → W como:

∀ v ∈ V ( α T )( v )= α T ( v )

Composición: Sean T 1 : V → U y T 2 : U → W dos transformaciones lineales. La composición entre

T 1 y T 2 , denotada por T 2 D T 1 : V → W , se define como:

∀ v ∈ V ( T 2 (^) D T 1 )( v )= T 2 ( T 1 ( v ))

Transformación Lineal Inversa

Definición: Sea T : V → W una transformación lineal. Se dice que T es inversible si existe una

transformación lineal S : W → V , tal que:

1. T D S : W → W = IdW

2. S D T : V → V = IdV

Si tal es el caso, se llama a S la inversa de T y se denota

− 1 S = T

Teorema 7

La transformación lineal T : V → W es inversible, si y sólo si, T es un isomorfismo.

Tema 1

Sea T : Mnxn → R una función con regla de correspondencia:

T ( A )=det( A )

Donde A ∈ Mnxn. Determine si T es una transformación lineal

1. ∀ v , w ∈ V T ( v + w )= T ( v )+ T ( w )

Sean v = A y w = B ∈ Mnxn

det( ) det( ) det( )

A B A B

T A B T A T B

Esto no siempre se cumple

∴ T no es una transformación lineal

Revisemos un ejemplo particular:

Sea V = M 2 x 2 y sean ⎟⎟

A y ⎟⎟

B ∈ V

T ( A + B )= T ( A )+ T ( B )

det 0 1

det 0 3

det

T T T

Y como vemos no se satisface la igualdad

Tema 2

Sea T : Mnxn → R una función con regla de correspondencia:

T ( A )= traza ( A )

Donde A ∈ Mnxn. Determine si T es una transformación lineal

1. ∀ v , w ∈ V T ( v + w )= T ( v )+ T ( w )

Sean v = A y w = B ∈ Mnxn

trazaA trazaB trazaA traza B

trazaA B trazaA trazaB

T A B T A T B

∴Se cumple el primer criterio de linealidad

2. ∀α ∈ R ∀ v ∈ V T ( α v )= α T ( v )

Sea α ∈ R. Sea v = A ∈ Mnxn

trazaA traza A

traza A traza A

T A T A

∴Se cumple el segundo criterio de linealidad

∴ T es una transformación lineal

Tema 4

Sea T : R^2 → R^2 la función que transforma cada punto del plano en su simétrico respecto

del eje y. Encontrar la regla de correspondencia de T y demuestre que es una

transformación lineal.

Determinar la regla de correspondencia de T es sencillo ya que el punto simétrico en el plano

respecto al eje y es el punto en el plano cuya coordenada en x cambia de signo. Entonces:

y

x y

x T

Ahora hay que verificar si se cumplen los criterios de linealidad

1) ∀ v , w ∈ V T ( v + w )= T ( v )+ T ( w )

Sea ⎟⎟

b

a

v y R^2

d

c w (^) ⎟⎟∈ ⎠

b d

a c b d

a c

d

c b

a b d

a c T

d

c T b

a T d

c b

a T

∴Se cumple el primer criterio de linealidad

2) ∀α ∈ R ∀ v ∈ V T (^ α^ v )=^ α T ( v )

Sea α ∈ R. Sea

2 R y

x v (^) ⎟⎟∈ ⎠

y

x y

x

y

x y

x T

y

x T y

x T

∴Se cumple el segundo criterio de linealidad

∴ T es una transformación lineal

Tema 5 Determine el rango y la nulidad de la siguiente transformación lineal

b

a b

a

b

a T

a) Por definición sabemos que:

Nu ( T )= { v ∈ V / T ( v )= OW }

Aplicando la definición al problema nos queda:

2 b

a R T b

a NuT

Entonces para hallar el núcleo de la transformación lineal igualamos la regla de correspondencia

de la misma, con el vector nulo de R^3

b

a b

a

b

a T ⎪ ⎩

b

a b

a

De donde concluimos que:

Nu ( T ) v ( T )= 0

b) Para el recorrido sabemos que:

Re( T )= { w ∈ W / T ( v )= w ; v ∈ V }

Y aplicada al problema nos queda:

z

y

x

b

a R T z

y

x Re( T ) / 3

Para hallar las condiciones del recorrido igualamos la regla de correspondencia con el vector típico

de la imagen, luego planteamos la matriz aumentada y la reducimos, si es posible, hasta obtener la

mayor cantidad de filas llenas de ceros.

b z

a b y

a x

z

y x z

x A z

y x

x A z

y

x

21 32 y x z

y x z = +

x z z

x z

x

z

y

x

B Re( T ) ρ( T )= 2

b)

( )^3 /

c

b

a R T c

b

a NuT

Igualamos la regla de correspondencia de la transformación lineal con el vector nulo del espacio de

llegada

b c c

b

b

a b a

De donde obtenemos:

Nu ( T ) ∴ v ( T )= 0

y z

w x

c

b

a M T y z

w x Im( T ) 2 x 2 /

Para hallar la imagen igualamos la regla de correspondencia de la transformación lineal con el

vector típico de la imagen, planteamos el sistema de ecuaciones y reducimos la matriz aumentada,

si es posible, hasta obtener la mayor cantidad de filas posibles llenas de ceros

b c z

b y

b x

a b w

z

y x

x

w

A

z

y

x

w

23 x y

y x

Ahora reemplazamos esta condición en el vector característico y extraemos la base

w x z x z

w x y z

w x

B Re( T ) ∴^ ρ( T^ )=^3

Revisamos el teorema de la dimensión:

( ) ( ) dim

vT + ρ T = V

Tema 7

Sea T : P 2 → M 2 x 2 una aplicación definida por:

( ) (^) ⎟⎟ ⎠

a c

c b T ax bx c 2 1

a) Obtenga Ker ( T ),Im( T ), ν( T ), ρ( T )

b) Hallar la matriz asociada a T con respecto a las bases { 1 , 1 , 1 } 2 B 1 = x − x + x −

B 2

Primero debemos simplificar la regla de correspondencia de la transformación lineal, para ello

realizamos las operaciones especificadas

c a b c

c a b c a c

c b 2 1 2 2

( ) (^) ⎟⎟ ⎠

c a b c

c a b c T ax bx c 2 2

2

a)

• ( ) ⎭

2 2

2 NuT ax bx c P Tax bx c

Como ya sabemos hay que igualar la regla de correspondencia de la transformación lineal con el

vector nulo del espacio de llegada, con lo cual obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones

( ) (^) ⎟⎟ ⎠

2 c a b c

c a b c Tax bx c

b c

c a c c c

b c b c

c a c a

⇒ a = b = c = 0

( ) { 0 0 0 } 2 ∴ Nu T = x + x + v ( T )= 0

• ( ) ⎭

y z

w x M Tax bx c y z

w x Re( T ) 2 x 2 /^2

Igualamos la regla de correspondencia de la transformación lineal con el vector típico de la imagen,

es decir:

( ) (^) ⎟⎟ ⎠

y z

w x c a b c

c a b c T ax bx c 2 2

2

1

1 2 2

1 2 3 4 3 4

1 2 3 4 3 4

α

α α α

α α α α α α

α α α α α α

[ ]

− (^32)

(^52) 2

T ( x 1 ) B

− (^32)

(^52) 21 (^32) 12 2 12 0 1

A M A

4 32

3 52 =^ −

B

1 2 1

1 2 3 4 1 2 3 4 α α α

α α α α α α α α

1

1 2 2

1 2 3 4 3 4

1 2 3 4 3 4

α

α α α

α α α α α α

α α α α α α

[ ]

− (^12)

(^32) 2

T ( x 1 ) B

− (^12)

(^32) 21 (^12) 12 2 12 0 1

A M A

4 12

3 32

−

B

1 2 1

1 2 3 4 1 2 3 4 α α α

α α α α α α α α

1

1 2 2

1 2 3 4 3 4

1 2 3 4 3 4

[ ]

− (^32)

(^12) 2

T ( x 1 ) B

− −

− (^32)

(^12) 21 (^32) 12 2 12 0 1

A M A

4 32

3 12 =^ −

Reemplazando en la matriz:

− −

− (^321232)

(^523212)

A T

Tema 8

Sea T : R^3 → R^3 una transformación lineal, tal que:

T ,

T y ⎟

T

Encuentre la regla de correspondencia de T

Para resolver este tipo de ejercicios debemos obtener una base del espacio de partida con la

característica de que conocemos en que vector del espacio de llegada se transforman los vectores de

dicha base. Por lo general los vectores que nos dan como datos son linealmente independientes y

constituyen una base del espacio de partida.

Seleccionamos un vector típico o representativo del espacio de partida, en este caso R^3 y lo

escribimos como combinación lineal de la base formada. Luego procedemos a expresar los escalares

en función de las variables que conforman el vector característico, así:

B es una base de

3 R

Sea R^3

c

b

a ∈ ⎟

1 2 3

1 3

1 2 1 2 3 1

c

b

a

c

b

a

1 2 3

1 3

1 2

c a

c b

a b c

A

M

c a

b c

b

A

A

c a

b a

a

A

A

c

b

a

31

2 32

21 13

12

→ α 1 = a + b − c α 2 = c − b α 3 = c − a

En la combinación lineal planteada al inicio sacamos transformación lineal a ambos lados,

reemplazamos los datos y simplificamos

c

b

a

Tema 9

Sea T : R^2 → R^3 una transformación lineal y suponga que:

T y ⎟

T

Calcule (^) ⎟⎟ ⎠

T

Primero hallamos la regla de correspondencia de T Sabemos que:

B es una base de

2 R

Sea

2 R b

a ⎟⎟∈ ⎠

1 2

1 2 1 2 2 2

b

a

(^321) 1 (^12 2) b a

a b

b a A

a M b a

a A b

a

2

1 b a

a b

Una vez expresados los escalares en función de las variables que conforman el vector típico,

sacamos transformación lineal a ambos lados de la combinación lineal, reemplazamos igualdades y

simplificamos

1 T 2 T

b

a

T α α

2 a b b a b

a T

2 a b b a b

a T

b a

a b

a b

a b

a b

a b

b

a T

a b

a b

a b

b

a T 2

T

Tema 10

Sea T : P 2 → P 2 un operador lineal tal que:

T ( x )= 1 T ( 1 + x )= 3 + x^2 T ( 2 − x^2 )= x − 1 a) Determine la regla de correspondencia de T

b) Respecto al resultado anterior, encuentre Nu ( T ),Im( T ), ν( T ), ρ( T )

c) Determine la representación matricial de T respecto a la base canónica de P 2

a) Primero hallamos la regla de correspondencia utilizando el procedimiento ya visto en los

ejercicios anteriores

Sea { } 2

B = x , x + 1 , 2 − x una base de P 2

Sea a + bx + cx^2 ∈ P 2

2 2 3 1 2 3

2

2 1 2 3

2

a bx cx x x

a bx cx x x x

c

b

a

3

1 2

− c

a c

b a c

A

A

c

a

b a A c

a

b

M

P

c

b

a

32

31 21 3

12

α 1 =− a + b − 2 c α 2 = a + 2 c α 3 =− c

T ( a + bx + cx^2 ) =α 1 T ( x )+α 2 T ( x + 1 )+α 3 T ( 2 − x^2 )

( ) ( 2 )( 1 ) ( 2 )( 3 ) ( )( 1 ) 2 2 Ta + bx + cx = − a + b − c + a + c + x + − c x −

( ) 2 2 ∴ T a + bx + cx =( 2 a + b + 5 c )+(− c ) x +( a + 2 c ) x

b)

• Nu ( T )={ a + bx + cx^2 ∈ P 2 / T ( a + bx + cx^2 )= 0 + 0 x + 0 x^2 }

a c a

c c

a b c b ⇒ a = b = c = 0

∴ Nu ( T )= { 0 x^2 + 0 x + 0 } v ( T )= 0