Transformada de Laplace y representaciones de señales utilizando exponenciales complejas en tiempo discretos - Señales y Sistemas, Resúmenes de Señales y Sistemas

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Análisis de señales Transformada de Laplace, representaciones de señales utilizando exponenciales complejas en tiempo discretos Realizado por José Méndez

Introducción La Transformada de Laplace es una técnica Matemática que forma parte de ciertas transformadas integrales como la transformada de Fourier, Estas transformadas están definidas por medio de una integral impropia y cambian una función en una variable de entrada en otra función en otra variable. La transformada de Laplace puede ser usada para resolver Ecuaciones Diferenciales Lineales y Ecuaciones Integrales. Su mayor ventaja sale a relucir cuando la función en la variable independiente que aparece en la ecuación diferencial es una función seccionada.

• Aplicación a filtros y ecualizadores Un filtro eléctrico o filtro electrónico es un elemento que discrimina una determinada frecuencia o gama de frecuencias de una señal eléctrica que pasa a través de él, pudiendo modificar tanto su amplitud como su fase, estos filtros pueden ser activos o pasivos. *Pasivos: estos filtros son formados por combinaciones en serie o paralelo de elementos R, L y C; utilizados en sistemas de comunicación para dejar pasar solo las frecuencias que contengan la información deseada y eliminar cualquier tipo de ruido o interferencia. *Activos: es un filtro electrónico analógico, el cual utiliza componentes activos, es decir, que proporcionan una cierta forma de amplificación de energía, estos filtros se comportan como una fuente, basados en convertidores de potencia. En los ecualizadores, una señal de salida de un sistema LIT físico, ya sea en tiempo continuo o en tiempo discreto, normalmente se presenta una cantidad de distorsión, esto se debe a las desviaciones en las respuestas en frecuencia del sistema con respecto a las condiciones ideales. La función del ecualizador es compensar esta distorsión, para ello el dispositivo está diseñado de forma que, dentro de la banda de frecuencia de interés, las respuestas totales en magnitud y en fase de esta conexión en cascada se aproximan a las condiciones de la transmisión sin distorsión hasta dentro de los limites preestablecidos. Los ecualizadores pueden:  Moldear el sonido de una fuente , es decir puede aumentar los sonidos graves, medios y agudos  Obtener un mejor balance , algunos sonidos necesitan estar balanceados para escuchare debidamente  Mejorar la inteligibilidad , es decir, realzar los sonidos para que se escuchen con mayor claridad

• Aplicaciones a sistemas realimentados la realimentación consiste en el retorno de una parte de la salida de un sistema a su entrada. Los sistemas realimentados son muy útiles ya que consiguen estabilizar un sistema a partir de un sistema inestable, pueden mejorar la estabilidad de un sistema y realizar un seguimiento a una señal de referencia. Además, eliminan perturbaciones sobre la salida del sistema. Existen dos tipos de retroalimentación:  Lazo abierto: son sistemas que no comparar a la variable controlada con una entrada de referencia Aplicación de Laplace a un lazo a un lazo abierto En un caso de dos bloques en paralelo donde existe una entrada al sistema u(t) que ingresa al primer bloque, y(t) es la salida del primer bloque que ingresa al segundo, y por ultimo v(t) que es la salida del segundo bloque, y a su vez la de l sistema; de las que se obtienen las funciones transformadas U(s), Y(s) y V(s) respectivamente como se muestra. De este sistema se obtienen las ecuaciones: V (s) = G 2 (s) ∗ Y (s) Y (s) = G 1 (s) ∗ U (s) De las cuales se puede definir:

X (s) = H(s) * V (s) V (s) = G(s) * R(s) Primero se sustituye R(s) : V (s) = G(s) *[U(s) − X (s)] = G(s) *U(s) −G(s) * X (s) Luego, se cambia X(s) por su valor y después de ordenar la función se obtiene que la función transferencia es: Conclusión

La transformada de Laplace es de mucha utilidad en la resolución de ecuaciones diferenciales, en la electrónica es fundamental ya que todos los dispositivos a utilizar son tratados con este tipo de ecuaciones. Los filtros son circuitos RCL por lo tanto se usan ecuaciones diferenciales ahí es donde entra Laplace para facilitar el proceso de resolución.