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Problemas resueltos
1) Si
senα = , calcula utilizando a) la calculadora b) las relaciones fundamen-
tales ( < 90°).
cosαytan α
Solución
a) 368698 º cos 368698 º 08 tan 368698 º 075
arcsen
sen
α= α= =
b) 08
sen cos 1 cos 1 sen 1
2
2 2 2
α+ α= α= − α= −
cos
sen
tan
α
α
α=
2) En un triángulo rectángulo se sabe que la hipotenusa mide 8 cm y que uno de sus ángulos
es de 25º. Calcula los dos catetos y el ángulo que falta. Comprueba los resultados obteni-
dos midiendo directamente.
Solución
a 8 sin 25 º 338 cm
a
sin 25 º
c 8 cos 25 º 725 cm
c
cos 25 º
Otra manera de calcular “c” es por el de
Pitágoras:
a
T
b a c 8 338 c c 8 338 725 cm
2 2 2 2 2 2 2 2
El ángulo que falta es C = 180 º− 90 º− 25 º= 65 º
3) ¿A qué altura del suelo se encuentra la cometa?
42º
50 m
1’2 m
Solución
x 50 sen 42 º 3345 m h 3345 m 12 m 3465 m
x
sen 42 º
4) Un tobogán tiene una altura máxima de 3 m y una longitud de 5 m. ¿Cuál es su inclina-
ción?
Solución
sen α=
arcsen
α= =
5) Calcula el área de un dodecágono regular de 5 cm de lado.
Solución
h
tan 15 º
= 933 cm
tan 15 º
h = ′
Área del triángulo isósceles:
2
T
23325 cm
5 cm 933 cm
A
Área del Dodecágono:
2
D T
A 12 A 12 2332 27984 cm
6) Calcula la altura del árbol de la figura
28º
0’40 m 11’60 m
20 cm
Solución
x
x
tan 14 º =
x = 12 ⋅tan 14 º= 2 ´ 991 m
2 x= 2 ⋅ 2 ´ 991 = 5 ´ 982 m
Observamos que el lápiz no es relevante
para resolver el problema.
9) Hallar la longitud de los vientos que sujetan la tienda de campaña y la longitud del lado x.
Solución
h 16 tan 37 º 1205 m
h
tan 37 º
x h 1 x 1205 1 1565 m
2 2 2 2
y h 26 y 1205 26 2865 m
2 2 2 2 2
10) Desde dos ciudades A y B que distan 80 km. se observa un avión. Las visuales desde el
avión a A y a B forman ángulos de 29º y 43º con la horizontal, respectivamente. ¿A qué al-
tura está el avión? ¿A qué distancia se encuentra de cada ciudad?
Solución
El problema tiene dos posibles soluciones: a) que el avión se encuentre entre las dos ciudades y
b) que las dos ciudades se encuentren a un mismo lado del avión.
a) Si el avión está situado entre las dos ciudades.
Tenemos dos triángulos rectángulos: el ACH y el BCH.
En el triángulo ACH se verifica:
h tan 29 º( 80 x) 0554 ( 80 x) 4432 0554 x
80 x
h
tan 29 º ⇒ = − = ′ − = ′ − ′
En el triángulo BCH se verifica:
h tan 43 ºx 0932 x
x
h
tan 43 º
Igualando las dos expresiones tenemos una ecuación cuya incógnita es “x”.
44 32 0554 x 0932 x 4432 0932 x 0554 x
2982 m
44 32 1486 x x
Sustituyendo este valor en la expresión de la altura obtenemos h.
h = 0 ′ 932 ⋅ 29 ′ 82 = 27 ′ 792 m
57421 m
sen 29 º
b
b
b
h
sen 29 º = ′
4081 m
sen 43 º
a
a
a
h
sen 43 º
b) Si las dos ciudades se encuentran a un mismo lado del avión.
Tenemos dos triángulos rectángulos: el ACH y el BCH.
En el triángulo ACH se verifica:
h tan 43 ºx 0932 x
x
h
tan 43 º ⋅
En el triángulo BCH se verifica:
12) Calcula la longitud del puente que se
quiere construir entre los puntos A y B,
para lo cual se sabe que los ángulos ABO
y OAB miden 32º y 48º respectivamente y
que la distancia entre A y O, medida en
línea recta es 120 m.
Solución
La longitud del puente es la suma de las lon-
gitudes x e y.
En el triángulo rectángulo AHO se verifica:
h
sen 48 º=
h sen 48 º 120 89177 m
En el triángulo rectángulo AHO se verifica:
8034 m
tan 48 º
x
x
x
h
tan 48 º
En el triángulo rectángulo BHO se verifica:
14291 m
tan 32 º
y
y
y
h
tan 32 º = ′
La longitud del puente es x +y= 80 ′ 34 + 142 ′ 91 = 223 ′ 25 m
13) Calcular la altura de ambos edificios.
Solución
a tan 27 º 110 5604 m
a
tan 27 º= ⇒ = ⋅ = ′
x
tan 17 º= x tan 17 º 110 3363 m
Las alturas de los edificios son 56 04 my
a x 5604 3363 8967 m
14) La figura adjunta representa una parte de un campo de fútbol. Si la distancia de la porte-
ría a la esquina del campo (corner) es de 10 m y desde esta esquina caminamos por la
banda lateral del campo 20 m, calcula el valor que tiene que tener para que al golpear
al balón, en línea recta, entre en el interior de la portería.
α
Solución
tan
θ=arctan 0 ′ 866 = 40 ′ 892 º
tan
arctan 05 26565 º
El ángulo de la cara en la cúspide de la
pirámide es:
tan
arctan 06156 316191 º
c) A =Área de la base +4 Área del triángulo que forman las caras
2 2 2
1388234 m
230 x
A 230 4
V Área de base × Altura
2 3
230 14719 1768239667 m
16) Un árbol tiene determinada sombra cuando el sol se observa bajo un ángulo de elevación
de 50º. ¿Bajo qué ángulo proyectará una sombra el doble que la anterior?
Solución
Como se observa en el dibujo adjunto, hay 2
triángulos rectángulos, el ADC y el BDC.
En ADC se verifica:
α h 2 xtan α
2 x
h
tan = ⇒ =
En ADC se verifica:
h xtan 50 º 1191 x
x
h
tan 50 º
Igualando las dos expresiones:
0595 arctan 0595 30752 º
2 x
1191 x
2 x tan 1191 x tan
α= α α
17) Un paparazzi pretende fotografiar a una actriz que se encuentra trabajando en el jardín
de su casa, y para ello se sube a un árbol de 3’75 m de altura. Si la distancia desde el árbol
a la tapia del jardín es de 6 m y la altura de la tapia es de 2’25 m calcular:
a) Bajo qué ángulo observará la propiedad del actor?
b) ¿Cuál es la máxima separación del muro a la que podrá tumbarse la actriz si no desea
ver turbada su intimidad?
Solución
a) Como se observa en el dibujo hay dos triángulos rectángulos, el ABE y el ACD.
En el triángulo ABE se verifica:
x
tan
En el triángulo ACD se verifica:
6 x
tan
Igualando los segundos miembros de las dos expresiones calculamos el valor de “x”.
225 ( 6 x) 375 x 135 225 x 375 x
6 x
x
9 m
13 5 15 x x =
025 arctan 025 14036 º
tan
El ángulo bajo el que el paparazzi observa la propiedad de la actriz es de 14 036 º
b) La máxima distancia del muro a la que puede tumbarse la actriz sin ser vista por el paparazzi
es de 9 m.
135 arctan 135 534711 º
tan
h 4 tan 534711 º 54 m
h
tan 534711 º
20) Halla la altura CD de la torre de pie inaccesible y más bajo que el punto de observación,
con los datos de la figura.
Solución
Como se observa en el dibujo hay 3 triángu-
los rectángulos: ADH, BDH y BHC. La al-
tura de la torre será la suma de las distan-
cias DH + HC=x+y.
En el triángulo BDH se verifica:
x z tan 48 º
z
x
tan 48 º= ⇒ = ⋅
En el triángulo ADH se verifica:
x ( 50 z)tan 30 º
50 z
x
tan 30 º ⇒ = +
Igualando las expresiones resultantes:
z tan 48 º ( 50 z)tan 30 º 111 z 50 tan 30 º ztan 30 º 111 z 2886 0577 z
54146 m
1 11 z 0577 z 2886 0533 z 2886 z
x z tan 48 º 54146 tan 48 º 60135 m
En el triángulo BHC se verifica:
y 54146 tan 20 º 1970 m
y
z
y
tan 20 º
La altura de la torre es x y 60135 1970 79835 m
En un rectángulo ABCD de lados 8 y 12
cm se traza desde B una perpendicular a
la diagonal AC, y desde D, otra perpendi-
cular a la misma diagonal. Hallar la lon-
gitud del segmento de diagonal que de-
terminan las dos perpendiculares.
Solución
Calculamos la diagonal del rectángulo apli-
cando el teorema de Pitágoras.
AC 12 8 208 AC 14422
2 2
2
AC = 2 x+y= 14 ′ 422
En el triángulo rectángulo ABC se verifica: 5631 º
arctan
tan
En el triángulo rectángulo BCM se verifica:
x 8 cos 5631 º 4437 cm
x
cos 5631 º
x
cos α= ′ = ⇒ = ⋅ ′ = ′
2 x +y= 14 ′ 422 2 ⋅ 4 ′ 437 +y= 14 ′ 422 y= 14 ′ 422 − 2 ⋅ 4 ′ 437 = 5 ′ 548 cm
22) Un poste de 6 m de altura es alcanzado por un rayo partiéndolo a una altura “h” del sue-
lo. La parte superior se desploma quedando unida a la parte inferior formando un ángulo
de 60º con ella. ¿Cuánto mide la parte rota más larga del poste? Redondea a un decimal la
respuesta.
Solución
h cos 60 º( 6 h )
6 h
h
cos 60 º = −
h = 6 ⋅cos 60 º−h⋅cos 60 º
h +h⋅cos 60 º= 6 ⋅cos 60 º
h + 0 ′ 5 h= 3 1 ′ 5 h= 3
2 m
h =
El trozo que se ha partido mide 6 − 2 = 4 m
Problemas propuestos
1) Dos edificios distan entre sí 150 metros. Desde un punto que está entre los dos edificios,
vemos que las visuales a los puntos más altos de estos forman con la horizontal ángulos de
35° y 20°. ¿Cuál es la altura de los edificios, si sabemos que los dos miden lo mismo?
2) Calcula el área de un rombo cuyo lado mide 6 cm. y uno de sus ángulos 150°.
3) Una estatua de 2,5 m está colocada sobre un pedestal. Desde un punto del suelo se ve el
pedestal bajo un ángulo de 15º y la estatua bajo un ángulo de 40º. Calcula la altura del
pedestal.
Dos torres, una de 30 pasos y otra
de 40 pasos están separadas 50 pa-
sos. Entre las dos torres se encuen-
tra una fuente hacia la que descien-
den dos pájaros que están en las al-
menas de las torres. Yendo a igual
velocidad llegan al mismo tiempo.
¿A qué distancia de las torres se en-
cuentra la fuente?
5) Dibuja un triángulo rectángulo cualquiera y construye sobre sus lados un polígono regu-
lar cualquiera. ¿Se verifica el teorema de Pitágoras? Demuéstralo con un ejemplo y haz
los cálculos.
6) Desde una llanura hay que levantar la vista 20º para dirigirla hacia la bandera en lo alto
de la torre de un castillo. Si avanzamos en línea recta 200 m, tenemos que levantar la vista
30º. ¿A qué altura está la bandera?
7) Desde un chiringuito en una playa se observa un barco en altamar y un faro en la costa
bajo un ángulo de 60º. El faro está a 500 m. del chiringuito y también se observa desde allí
el barco. El ángulo bajo el cuál se observan el barco y el chiringuito es de 40º. ¿A qué dis-
tancia está el barco del faro?
8) Se desean construir unas gradas para una piscina olímpica. Las gradas deben estar incli-
nadas 45º y tener una longitud (desde la primera fila hasta la última, allá en lo alto) de 50
m. Como no hay terreno suficiente se ha pensado en colocar las últimas vigas (las que so-
portarán la última fila) inclinadas "hacia dentro" en vez de verticales, pero vigas de las
características adecuadas para tan especial disposición sólo las hay de 55 m.
a) ¿A qué altura quedará la última fila?
b) ¿Cuánto se "mete hacia dentro" el pie de la última viga?
c) ¿Qué inclinación respecto a la vertical tendrá esa viga?
9) Un globo está sujeto al suelo mediante un cable de 100 m de longitud. El viento es tan in-
tenso que el cable, tenso, se desvía 15º de la vertical. Desde un punto algo alejado del de
sujeción hay que levantar la vista 60º desde la horizontal para dirigir la mirada al globo.
a) ¿Qué distancia hay en vertical del globo al suelo?
b) ¿Qué distancia hay desde el punto algo alejado hasta el globo?
c) ¿Qué distancia hay entre el punto anterior y el de sujeción?
10) Las tangentes a una circunferencia de centro O , trazadas desde un punto exterior P , for-
man un ángulo de 50°. Halla la distancia PO sabiendo que el radio de la circunferencia es
12,4 cm.
11) En una ruta de montaña una señal indica una altitud de 785 m. Tres kilómetros más ade-
lante (suponemos que la carretera es recta), la altitud es de 1065 m. Halla la pendiente
media de esa ruta y el ángulo que forma con la horizontal.
12) Desde la orilla de un río, observamos la copa de un árbol situado en la otra orilla, bajo un
ángulo de 60º. Si nos retiramos 10 m. de la orilla, el ángulo de observación es de 45º. Cal-
cular la altura del árbol y la anchura del río.
13) Calcula los ángulos de un rombo cuyas diagonales miden 12 cm y 8 cm. ¿Cuánto mide el
lado del rombo?
14) Un mástil de 5 m se ha sujetado al suelo con un cable como muestra la figura. Halla el
valor de “c”, la longitud del cable y el área del triángulo
15) En un triángulo rectángulo uno de los catetos mide el doble que el otro.
a) Llama x al cateto menor y expresa en función de x el otro cateto y la hipotenusa.
b) Halla las razones trigonométricas del ángulo menor.
c) ¿Cuánto miden los ángulos de ese triángulo?
16) Para calcular la altura de un castillo hemos medido los ángulos que se indican en la figura.
Sabemos que hay un funicular para ir de A a B cuya longitud es de 250 m. Halla la altura
del castillo.
