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Trigonometría
Resolución de triángulos.
Razones trigonométricas de un ángulo agudo.
Consideraremos el triángulo rectángulo
∆
ABC tal que A^ =^90 º
Recordemos que en triángulo rectángulo cualquiera
se cumplía el teorema de Pitágoras:
2 2 2 a =b +c
Definimos seno del ángulo α y lo representamos por sen α
hipotenusa
catetoopuesto
CB
AB
sen α= =
Definimos coseno del ángulo α y lo representamos por cos α
hipotenusa
catetocontiguo
CB
CA
cos α= =
Definimos tangente del ángulo α y lo representamos por tg α
cateto contiguo
catetoopuesto
CA
AB
tg α= =
Razones trigonométricas de un ángulo cualquiera.
Sea el punto Q(x,y)
Consideramos la circunferencia de centro O que pasa por el
punto Q y tiene radio r.
Consideramos el ángulo α=∠POQ
Definimos:
r
y
sen α=
r
x
cos α=
x
y
tg α=
Relaciones fundamentales entre las razones trigonométricas.
Dado un ángulo α se cumplen las siguientes relaciones:
sen cos 1
2 2
α+ α=
α
α
α =
cos
sen
tg
Estas dos identidades se llaman relaciones fundamentales de la trigonometría.
Uso de la calculadora:
Modos angulares de la calculadora:
MODE DEG medidas sexagesimales
MODE GRA medidas centesimales
MODE RAD medidas en radianes
Conociendo el ángulo α se pueden calcular las razones trigonométricas con las teclas sin cos
tan
Ejemplo:
Calcula tg 43 º 25 ' 50 ", sen50º30’,
Con calculadoras antiguas:
43 º ’ ” 25 º ’ ” 50 º ’ ” tan = 0.
50 º ’ ” 30 º ’ ” sin = 0.
Con calculadoras nuevas
tan 43 º ’ ” 25 º ’ ” 50 º ’ ” = 0.
sen 50 º ’ ” 30 º ’ ” = 0.
Conociendo las razones trigonométricas del ángulo α podemos calcular el ángulo α con las teclas
1 1 1
sin cos tan
− − −
Ejemplo:
Calcula el ángulo α tal que sen α = 0. 34. α=arcsin( 0. 34 )
Con calculadoras antiguas:
1
sin
− SHIFT º ’ ” 19º52’37”
Con calculadoras nuevas:
1
sin
− 0.34 = SHIFT º ’ ” 19º52’37”
Sea el triángulo rectángulo
∆
ABC
12 x
h
tg 22 º
Sea el triángulo rectángulo
∆
ABD
x
h
tg 45 º=
Con la ayuda de la calculadora tg 22 º= 0 ' 4040 , tg 45 º= 1
Consideramos el siguiente sistema de ecuaciones:
h x tg 45 º
h ( 12 x)tg 22 º
substituyendo
h x
h ( 12 x) 0 ' 4040
x ( 12 x) 0 ' 4040
h x
x 4. 8480 0 ' 4040 x
h x
x 8 ' 1342 m
h 8 ' 1342 m
Entonces la altura de la torre es 8’1342m
Problema 4:
Calcula el lado y la apotema de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 5cm.
Solución:
Sea r = OA= 5 el radio de la circunferencia circunscrita al
pentágono regular.
Sea el lado del pentágono x =AB
Sea la apotema del pentágono y =OC
El ángulo 72 º
∠AOB = =
Consideramos el triángulo isósceles
∆
ABO
La altura del triángulo divide al triángulo
∆
ABO
en dos triángulos rectángulos iguales.
Consideramos el triángulo rectángulo
∆
CBO
El ángulo 36 º
∠COB = =
Sean,
x
AB
CB = = OC =y
Aplicando las razones trigonométricas:
x
OB
CB
sen 36 º= =
x
sen 36 º=
Haciendo uso de la calculadora:
x
0 ' 5878 = , entonces el lado del pentágono mide x = 5 ' 878 cm
y
OB
OC
cos 36 º= =
Usando la calculadora:
y
0 ' 8090 = , entonces la apotema del pentágono mide y = 4 ' 045 cm
Teorema de los senos
Los lados de un triángulo
∆
ABC son
proporcionales a los senos de los ángulos opuestos:
C
sen
c
B
sen
b
A
sen
a
Teorema del coseno.
Sea el triángulo
∆
ABC. Se cumplen las siguientes igualdades.
C
c a b 2 ab cos
B
b a c 2 ac cos
A
a b c 2 bc cos
2 2 2
2 2 2
2 2 2
Cálculo del área de un triángulo.
A
b c sen
S
C
a b sen
S
B
a c sen
S
Para resolver los triángulos, es de gran ayuda tener nociones
de dibujo.
Casi todos los problemas se pueden dibujar con regla,
escuadra, compás y transportador de ángulos.
Problema 5:
Resuelve el triángulo
∆
ABC , conocidos
C 105 º
B 45 º,
a = 12 , = =
Solución:
Las incógnitas son A
b,c,
C 180 º
B
A
( C) 180 º ( 4 º 105 º) 30 º
B
A 180 º
A partir del teorema de los senos:
Con la ayuda de la calculadora 104 º 29 '
A arccos ⎟≈
2 ac
b (a c )
B
B cos
b a c 2 ac cos
2 2 2
2 2 2
B
cos = Con la ayuda de la calculadora 28 º 57 '
B arccos
C 180 º
B
A
B) 180 º ( 104 º 29 ' 28 º 57 ') 46 º 34 '
A
C 180 º (
Problema 8:
Resuelve el triángulo
∆
ABC , conocidos
B 25 º
a = 60 ,b= 30 , =
Solución:
Las incógnitas son C
A,
c,
Aplicando el teorema de los senos,
sen 25 º
A
sen
B
sen
b
A
sen
a
60 sen 25 º
A
sen =
Con la ayuda de la calculadora:
A arcsen( 0. 84524 )
El problema tiene dos soluciones:
Primera solución:
Si A 57 º 42 '
C 180 º
B
A
B) 97 º 18 '
A
C 180 º (
Por el teorema de los senos:
sen 57 º 42 '
60 sen 97 º 18 '
A
sen
C
sen
c a ≈
Segunda solución:
Si A 122 º 18 '
B) 32 º 42 '
A
C 180 º (
Por el teorema de los senos:
sen 57 º 42 '
60 sen 32 º 42 '
a
A
sen
C
sen
c a ≈
Problema 9:
Calcula el área del triángulo
∆
ABC conocidos A 35 º
b = 80 cm,c= 60 cm, =
Solución:
El área del triángulo es
A
b c sen
S
= , por tanto,
2
1375 ' 58 cm
80 60 sen 35 º
A
bc sen
S ≈
Problemas propuestos de triangulos
1 Resuelve los triángulos rectángulos
∆
ABC , A = 90 º conocidos:
a) a = 100 cm,b= 7 cm
b) b = 25 m,c= 35 m
c) a = 10 cm,B= 40 º 35 '
d) b = 75 m,B= 55 º
e) b = 10 cm,C= 32 º 30 '
f)
c = 10 cm,senC=
g) b = 10 m,tgC= 5
2 Calcula la altura de la torre.
3 Calcula el área y la apotema de un decágono regular de lado 20cm.
4 Calcula el perímetro y el área de un decágono regular de apotema
10cm.
13 Determina los ángulos del paralelogramo siguiente:
14 Calcula la altura h de la siguiente figura:
15 Resuelve los siguientes triángulos conocidos:
a) b = 20 cm,c= 35 cm,A= 55 º
b) a = 15 cm,b= 25 cm,c= 35 cm
c) a = 20 cm,A= 35 º,B= 75 º
d) c = 15 cm,A= 25 º,B= 65 º 30 '
e) a = 30 cm,b= 55 cm,B= 80 º
f) a = 10 cm,b= 10 cm,c= 8 cm
g) a = 10 cm,b= 45 cm,C= 30 º 45 '
h) a = 20 cm,c= 60 ,A= 25 º
16 Calcula el área de los triángulos conocidos:
a) a = 25 cm,c= 35 cm,B= 55 º
b) a = 10 cm,b= 25 cm,c= 30 cm
c) c = 25 cm,A= 35 º,B= 75 º
d) a = 30 cm,b= 60 cm,B= 80 º
17 En el siguiente paralelogramo calcula las
diagonales.
18 Calcula la longitud de los lados de un triángulo isósceles sabiendo que la altura sobre el lado
desigual mide 15cm y el ángulo desigual 80º.
19 Resuelve un triángulo isósceles sabiendo que los lados iguales miden 10cm y el área mide
2
40 cm.
