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Resumen de la unida 5 de Dinámica
Tipo: Resúmenes
1 / 23
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Ejemplo:
Calcula el momento angular de la Tierra respecto al centro del Sol,
despreciando el movimiento de rotación de la Tierra sobre sí misma y
considerando a la ́ orbita de la Tierra como circular. Datos: MT=
6 ·1024kg; r orbita= 1, 5·108km
Solución:
La velocidad de traslación de la Tierra alrededor del Sol es:
v −
2 ∙ π ∙ r
t
2 ∙ π ∙ 1,5 ∙ 10
8
km
s
Considerando a la Tierra y al Sol como objetos puntuales y suponiendo
que la órbita de la Tierra es circular alrededor del Sol, entonces el vector
de posición y el vector velocidad de la Tierra respecto al Sol son siempre
perpendiculares. Por tanto, el momento angular de la Tierra respecto del
Sol es un vector perpendicular al plano de la órbita del planeta, cuyo
modulo es:
|
L |−| r ⃗ ×m ∙ ⃗ v |− r ∙ m∙ v ∙ sin 90 ° −1,5 ∙ 10
11
24
4
40
kg ∙ m
2
s
Ecuación Rotacional:
Este tipo de movimiento plano se produce cuando todos los elementos de un
cuerpo describen trayectorias circulares alrededor de un eje fijo. La figura
representa un cuerpo rígido simétrico respecto al plano de movimiento, y que gira
en tomo a un eje fijo que pasa por el cdm G del cuerpo:
El momento angular de un sólido rígido, se define como el producto del momento
de inercia por la velocidad angular. Es análogo al momento lineal y está sujeto a
las restricciones del principio fundamental de la conservación del momento
angular si no actúan pares externos sobre el objeto. El momento angular es una
cantidad vectorial. Se deriva de la expresión del momento angular de una
partícula.
Entendemos por sólido rígido un sistema de partículas en el que la distancia entre
dos cualesquiera de ellas permanece invariable en el transcurso del tiempo. Los
cuerpos sólidos que manejamos se deforman siempre, en mayor o menor grado,
cuando están sometidos a las acciones de las fuerzas; sin embargo, si éstas son
suficientemente pequeñas, las deformaciones producidas son despreciables y,
entonces, hablaremos de cuerpos rígidos o indeformables. La definición de sólido
rígido es sólo conceptual, por cuanto que el sólido rígido, en todo rigor, no existe.
En este sentido, el sólido rígido es sólo una idealización y extrapolación del sólido
real, al igual que lo es la partícula o punto material.
Principio D’Alambert.
Establece que la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo y las
denominadas fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio. A este
equilibrio se le denomina equilibrio dinámico.
El principio de d'Alembert establece que para todas las fuerzas externas a un
sistema:
∑
i
p
i
− f
i
) ∙ δ r
i
Donde la suma se extiende sobre todas las partículas del sistema, siendo:
p
i
, momentum de la partícula i -ésima.
f
i
, fuerza externa sobre la partícula i -ésima.
cualquier campo vectorial de desplazamientos virtuales sobre el conjunto de
partículas que sea compatible con los enlaces y restricciones de
movimiento existentes.
El principio de D'Alembert formalmente puede derivarse de las leyes de
Newton cuando las fuerzas que intervienen no dependen de la velocidad. La
derivación resulta de hecho trivial si se considera un sistema de partículas tal que
sobre la partícula i-ésima actúa una fuerza externa más una fuerza de
ligadura entonces la mecánica newtoniana asegura que la variación de
momentum viene dada por:
Si el sistema está formado por N partículas se tendrán N ecuaciones vectoriales
de la forma si se multiplica cada una de estas ecuaciones por un
desplazamiento arbitrario compatible con las restricciones de movimiento
existentes:
Donde el segundo término se anula, precisamente por escogerse el sistema de
desplazamientos arbitrario de modo compatible, donde matemáticamente
compatible implica que el segundo término es un producto escalar nulo.
Finalmente sumando las N ecuaciones anteriores se sigue exactamente el
principio de D'Alembert.
Traslación, rotación centroidal y movimiento general.
Se dice que un sólido rígido está animado de un movimiento de rotación alrededor
de un eje fijo cuando todos sus puntos describen trayectorias circulares centradas
sobre dicho eje y contenidas en planos normales a éste.
El eje de rotación puede atravesar el cuerpo o ser exterior al mismo; en el primer
caso, los puntos del sólido que están sobre el eje permanecen en reposo en tanto
que los demás puntos describen circunferencias en torno al eje; en el segundo
caso, todos los puntos del sólido están en movimiento circular alrededor del eje
exterior al sólido. En cualquier caso, la velocidad v de un punto P del sólido será
tangente a la circunferencia descrita y, en un instante dado, tendrá un módulo
tanto mayor cuanto mayor sea la distancia del punto al eje de rotación. Dicha
velocidad viene dada por
⃗ v = v ^ e
t
siendo
e ^
t
un vector unitario (de módulo igual a la unidad) tangente a la trayectoria
y v el módulo de la velocidad. Téngase en cuenta que necesariamente
^ e
t
cambiará
a lo largo del movimiento, ya que irá continuamente modificando su dirección
hasta llegar de nuevo a la orientación original, tras completar un giro de 2π
radianes. El módulo de la velocidad, denominado celeridad, se corresponde con
v =
ds
dt
Considerando s la distancia que el sólido va recorriendo a lo largo de la
circunferencia. Dada la definición matemática de ángulo
θ =
s
r
, se verifica que
ds = r d
θ
, para lo cual habrá que expresar el ángulo en radianes (rad). De aquí se
deduce que
El cociente
dθ
dt
recibe el nombre de celeridad angular y se designa por ω
: ω =
dθ
dt
y podemos expresar la celeridad v de cualquier punto del sólido como el producto
de la celeridad angular por la distancia r del punto al eje de rotación
v = wr
La introducción del concepto de celeridad angular es de gran importancia por la
simplificación que supone en la descripción del movimiento de rotación del sólido,
ya que, en un instante dado, todos los puntos del sólido poseen la misma
celeridad angular, en tanto que a cada uno de ellos le corresponde una celeridad
que es función de su distancia al eje de rotación. Así pues, la celeridad angular
caracteriza al movimiento de rotación del sólido rígido en torno a un eje fijo. La
celeridad angular se mide en radianes por segundo (rad/s).
La energía es una medida de la capacidad de algo para producir trabajo. No es
una sustancia material, y puede almacenarse y medirse de muchas formas.
Aunque solemos escuchar a las personas hablar del consumo de energía, esta
nunca se destruye realmente: tan solo se transfiere de una forma a otra, y realiza
un trabajo en el proceso.
En la física, la unidad estándar para medir la energía y el trabajo realizado es el
joule, que se denota por el símbolo J. En mecánica, 1 joule es la energía que se
transfiere cuando se aplica una fuerza de 1 newton sobre un objeto y lo desplaza
una distancia de 1 metro.
Trabajo de una fuerza.
El trabajo W es una magnitud escalar que, como
veremos, da la cantidad de energía cinética
transferida por una fuerza.
En la siguiente figura se ha representado una
partícula que se desplaza por una trayectoria C
entre los puntos A y B. Sobre ella actúa una
fuerza F. Su vector desplazamiento, tangente a la
trayectoria en cada punto, es
d
r
El trabajo de dicha fuerza se define:
Las unidades de trabajo en el Sistema Internacional son los julios (J).
1 julio es el trabajo realizado por una fuerza de 1 N en un desplazamiento de 1 m,
y su nombre fue elegido en honor del físico inglés James Prescott Joule (1818-
1889), que estudió la naturaleza del calor y descubrió su relación con el trabajo.
La integral que aparece en la definición anterior se denomina integral de línea y se
calcula a lo largo de la trayectoria especificada (C). La razón de especificar la
trayectoria a lo largo de la cual se calcula el trabajo es que, en general, el trabajo
de una fuerza es distinto dependiendo de la trayectoria que describe la partícula
cuando se desplaza desde su posición inicial A hasta la posición final B.
Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas, el trabajo total es la suma del trabajo de
cada una de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo:
De la definición de trabajo se deduce lo siguiente:
El trabajo de una fuerza perpendicular a la trayectoria de una partícula es nulo, ya
que F y
d
r
son perpendiculares y su producto escalar es nulo.
Cuando el ángulo que forman los vectores F y
d
r
es mayor que 90º el trabajo es
negativo. En particular, el trabajo de la fuerza de rozamiento que se opone al
movimiento es negativo.
Principio de la conservación de la energía.
El Principio de conservación de la energía indica que la energía no se crea ni se
destruye; sólo se transforma de unas formas en otras. En estas transformaciones,
la energía total permanece constante; es decir, la energía total es la misma antes
y después de cada transformación.
En el caso de la energía mecánica se puede concluir que, en ausencia de
rozamientos y sin intervención de ningún trabajo externo, la suma de las energías
cinética y potencial permanece constante. Este fenómeno se conoce con el
nombre de Principio de conservación de la energía mecánica.
Estando en la máxima altura en reposo una pelota solo posee energía potencial
gravitatoria. Su energía cinética es igual a 0 J.
Una vez que comienza a rodar su velocidad aumenta por lo que su energía
cinética aumenta, pero, pierde altura por lo que su energía potencial gravitatoria
disminuye.
Finalmente, al llegar a la base de la pendiente su velocidad es máxima por lo que
su energía cinética es máxima, pero, se encuentra a una altura igual a 0 m por lo
que su energía potencial gravitatoria es igual a 0 J.
Potencia.
La potencia es la cantidad de trabajo que se realiza por unidad de tiempo. Puede
asociarse a la velocidad de un cambio de energía dentro de un sistema, o al
tiempo que demora la concreción de un trabajo. Por lo tanto, es posible afirmar
que la potencia resulta igual a la energía total dividida por el tiempo.
Se define la potencia como la rapidez con la que se realiza un trabajo. Su
expresión viene dada por:
w
t
Donde:
P : Potencia desarrollada por la fuerza que realiza el trabajo. Su unidad de
medida en el Sistema Internacional es el Vatio (W)
W : Trabajo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional es el Julio (J)
t : Tiempo durante el cual se desarrolla el trabajo. Su unidad de medida en
el Sistema Internacional es el segundo (s).
Ejemplo.
Determina la potencia que necesita una grúa para elevar un coche de dos
toneladas hasta una altura de 25 metros en medio minuto.
Solución.
En primer lugar, identificamos los datos que nos proporcionan en el enunciado y
los convertimos a unidades del Sistema Internacional cuando sea necesario.
Masa del objeto m = 2 T => m = 2000 kg
Altura ∆h = 25 m
Tiempo t = 0.5 min => t = 30 s
Sabemos que
w
t
Nos falta conocer el trabajo desarrollado por la grúa. Para ello aplicamos la
expresión del trabajo
F ∙ ∆ ⃗ r
: La fuerza será, al menos, la necesaria para vencer al peso, es decir, de
igual módulo y sentido contrario. Esto hará que el cuerpo ascienda con
velocidad constante.
∆ r ⃗: El vector desplazamiento tiene de módulo el espacio recorrido, es
decir, la altura a la que se eleva el objeto y de sentido el mismo que la
fuerza (α= 0 ).
Considerando el valor de g = 10 m/s
2
nos queda:
F = P = m∙ g ;
W = F ∙ ∆ h ∙ cos 0 = 2000 ∙ 25 = 500000 J
t
4
4
Principio del impulso y de la cantidad de movimiento.
El impulso es el producto entre una fuerza y el tiempo durante el cual está
aplicada. Es una magnitud vectorial. El módulo del impulso se representa como el
área bajo la curva de la fuerza en el tiempo, por lo tanto, si la fuerza es constante
el impulso se calcula multiplicando la F por Δt, mientras que si no lo es se calcula
integrando la fuerza entre los instantes de tiempo entre los que se quiera conocer
el impulso.
I = F ∙ ∆ t
I = Impulso [kg·m/s]
F = Fuerza [N]
Δt = Intervalo de tiempo [s]
∫
t 0
t 1
F ∙ dt
I = Impulso [kg·m/s]
F = Fuerza [N]
t0, t1 = Intervalo de tiempo [s]
Unidad de impulso
El impulso se mide en kg·m/s, una unidad equivalente a
