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VELOCIDAD DE LAS MOLÉCULAS Y LA FUNCIÓN DE
DISTRIBUCIÓN DE MAXWELL-BOLTZMANN
Juan Fuentes, Juan León, Sergio Muñoz Laboratorio I de Fisicoquímica, Informe N° 5 Escuela de Química, Universidad Industrial de Santander
RESUMEN
Es imposible determinar directamente la velocidad de una molécula debido a que las colisiones con otras moléculas hacen que su valor cambie constantemente, sin embargo, por medio de cálculos estadísticos es posible obtener una distribución de velocidades para un número grande de moléculas. Por consiguiente, en esta práctica de laboratorio, se desea medir la distribución de velocidad en un gas modelo mediante una comparación con el comportamiento teórico descrito por Maxwell-Boltzmaan, para ello, se utilizó un equipo que permite conocer la distancia que recorre una partícula, en base a su velocidad que es adquirida por una fuente que vibra a una frecuencia de 60 Hz. Por último, se pudo corroborar que el modelo descrito por Maxwell-Boltzmaan funciona perfectamente para un modelo experimental y que permite obtener una distribución de velocidades óptimo, independiente de los factores que pueden afectar estos valores.
1. INTRODUCCIÓN
La distribución de velocidades de Maxwell f (v) es el punto de partida para calcular el coeficiente de transporte en la teoría de moléculas cinéticas.[1] La distribución de Boltzmann o distribución de Maxwell- Boltzmann es la distribución de probabilidad de la velocidad del gas relacionada con las estadísticas de Maxwell-Boltzmann del sistema, como es una distribución de probabilidad[2], este modelo puede ser solo aplicado para un número grande partículas, puesto que es imposible determinar directamente la velocidad de una molécula. Ahora bien, estos diagramas de distribución se pueden utilizar para entender diferentes temas de interés químico, si el sistema es formado por N "partículas" o "individuos" que intercambian estacionariamente entre sí una cierta magnitud M y cada uno de ellos tiene una cantidad mi de la magnitud M y a lo largo del tiempo se cumple que M= m 1 +m 2 +...+ mn.[3] Por tanto, el objetivo de esta práctica de laboratorio es medir la distribución de velocidad en un gas modelo mediante una comparación con el comportamiento teórico descrito por Maxwell-Boltzmaan y la validación del mismo.
2. METODOLOGÍA
Inicialmente se dispuso del montaje experimental mostrado en la figura
Figura 1. Montaje experimental. Tomado del manual de prácticas de laboratorio de fisicoquímica. UIS.
Se moduló la frecuencia del oscilador para que el equipo (la cámara de grabación) trabajara a 60 Hz y el experimento se llevara a cabo. Dicha cámara se llenó con 500 bolas de cristal, lo que equivale 6,1415 g aproximadamente, se abrió la compuerta y pasado un minuto, se pesaron la cantidad de bolas de cristal expulsadas para determinar cuántas bolas fueron se perdían. Este procedimiento se hizo 3 veces seguidas y se calculó el promedio, la idea de este paso es saber la cantidad de bolas que deben reponerse cada minuto, puesto que, el experimento se lleva a cabo durante 5 minutos continuos y, por tanto, se debe mantener una densidad de partículas constante.
Una vez obtenido, la cantidad promedio de bolas que salen por minuto, se pesaron en 4 vasos de precipitado diferentes. Por último, se prendió la cámara de grabación durante 5 minutos y pasado cada minuto se añadió la cantidad de bolas pesadas en el paso anterior. Terminados los 5 minutos, se pesaron las bolas de cristal de cada uno de los compartimientos (1 a 24) y el experimento se repitió una vez más.
3. RESULTADOS
Tabla 3. Velocidad, función de distribución y velocidad media de las esferas expulsadas a los 5 minutos de la primera medición.
Con el fin de determinar la velocidad de la bola de cristal se hizo uso de la ecuación 1.
𝐶 = 𝑠 ⋅
Donde s es la distancia de lanzamiento que corresponde al número de la celda donde caía cada una de las esferas, que estaban separadas por 0,01m. La aceleración de la gravedad, g, se tomó como 9,8 m/s^2. La distancia entre la salida y el receptor se represento como h y esta tuvo un valor de 0,08m. Los datos son presentados a lo largo de las tablas 3-6.
Para determinar la función de distribución de velocidades se empleó la ecuación 2.
𝑑𝑁 𝑁
√𝜋^
𝐶𝑤^2
(^3) ⁄ (^2) ∙ 𝐶^2 ∙ 𝑒
−(𝐶
2 𝐶𝑤^2 ) ( 2 )
Para ello, es necesario determinar CW, este valor se calculó con la ecuación 3 y tiene un valor de 1,84.
Distancia, m Esferas C (m/s) F© dN/N 0,01 59 0,6125 0,137609 0, 0,02 143 1,225 0,333528 0, 0,03 187 1,8375 0,436152 0, 0,04 147 2,45 0,342857 0, 0,05 90 3,0625 0,209913 0, 0,06 88 3,675 0,205248 0, 0,07 37 4,2875 0,086297 0, 0,08 25 4,9 0,058309 0, 0,09 24 5,5125 0,055977 0, 0,1 11 6,125 0,025656 0, 0,11 13 6,7375 0,030321 2,472E- 0,12 5 7,35 0,011662 2,3E- 0,13 3 7,9625 0,006997 1,691E- 0,14 2 8,575 0,004665 9,845E- 0,15 2 9,1875 0,004665 4,545E- 0,16 0 9,8 0 1,666E- 0,17 2 10,4125 0,004665 4,857E- 0,18 0 11,025 0 1,126E- 0,19 0 11,6375 0 2,08E- 0,2 0 12,25 0 3,06E- 0,21 0 12,8625 0 3,59E- 0,22 0 13,475 0 3,358E- 0,23 0 14,0875 0 2,507E- 0,24 0 14,7 0 1,494E-
(^1) ⁄ (^2) ( 3 )
Finalmente, para la determinación de F (C) se hizo uso de la ecuación 4.
1 ∑ 𝑁𝑖
Donde Ni es el número de bolas en el intervalo i, i=1...23, ∆𝑐 es el intervalo de velocidad correspondiente ∆𝑠 que para este caso fue de 0,6125.
Tabla 5. Velocidad, función de distribución y velocidad media de las esferas expulsadas a los 5 minutos de la segunda medición.
Tabla 6. Velocidad, función de distribución y velocidad media de las esferas expulsadas a los 5 minutos de la segunda medición con su respectiva normalización.
- 0,005 59 0,30625 0,13761 0,03304858 0,31551 0, Distancia, m Esferas C (m/s) F© dN/N Y1 norm Y2 norm
- 0,01 59 0,6125 0,13761 0,121652172 0,31551 0,
- 0,01 143 0,6125 0,33353 0,121652172 0,76471 0,
- 0,02 143 1,225 0,33353 0,348986114 0,76471 0,
- 0,02 187 1,225 0,43615 0,348986114 1 0,
- 0,03 187 1,8375 0,43615 0,451202135
- 0,03 147 1,8375 0,34286 0,451202135 0,7861
- 0,04 147 2,45 0,34286 0,369301687 0,7861 0,
- 0,04 90 2,45 0,20991 0,369301687 0,48128 0,
- 0,05 90 3,0625 0,20991 0,21285614 0,48128 0,
- 0,05 88 3,0625 0,20525 0,21285614 0,47059 0,
- 0,06 88 3,675 0,20525 0,090591141 0,47059 0,
- 0,06 37 3,675 0,0863 0,090591141 0,19786 0,
- 0,07 37 4,2875 0,0863 0,029199039 0,19786 0,
- 0,07 25 4,2875 0,05831 0,029199039 0,13369 0,
- 0,08 25 4,900 0,05831 0,007235922 0,13369 0,
- 0,08 24 4,900 0,05598 0,007235922 0,12834 0,
- 0,09 24 5,5125 0,05598 0,001392171 0,12834 0,
- 0,09 11 5,5125 0,02566 0,001392171 0,05882 0,
- 0,1 11 6,125 0,02566 0,000209341 0,05882 0,
- 0,1 13 6,125 0,03032 0,000209341 0,06952 0,
- 0,11 13 6,7375 0,03032 2,47193E-05 0,06952 5,47855E-
- 0,11 5 6,7375 0,01166 2,47193E-05 0,02674 5,47855E-
- 0,12 5 7,35 0,01166 2,30019E-06 0,02674 5,09792E-
- 0,12 3 7,35 0,007 2,30019E-06 0,01604 5,09792E-
- 0,13 3 7,9625 0,007 1,69118E-07 0,01604 3,74817E-
- 0,13 2 7,9625 0,00466 1,69118E-07 0,0107 3,74817E-
- 0,14 2 8,575 0,00466 9,84498E-09 0,0107 2,18194E-
- 0,14 2 8,575 0,00466 9,84498E-09 0,0107 2,18194E-
- 0,15 2 9,1875 0,00466 4,54515E-10 0,0107 1,00734E-
- 0,015 0 0,91875 0 0,238312875 0 0,
- 0,025 0 1,53125 0 0,424961308 0 0,
- 0,035 2 2,14375 0,00466 0,428412405 0,0107 0,
- 0,045 2 2,75625 0,00466 0,291850031 0,0107 0,
- 0,055 0 3,36875 0 0,143953111 0 0,
- 0,065 0 3,98125 0 0,05319068 0 0,
- 0,075 0 4,59375 0 0,015010553 0 0,
- 0,085 0 5,20625 0 0,003274384 0 0,
- 0,095 0 5,81875 0 0,000556556 0 0,
- 0,105 0 6,43125 0 7,41245E-05 0 0,
- 0,115 0 7,04375 0 7,767E-06 0 1,7214E-
- 0,125 0 7,65625 0 6,4225E-07 0 1,42342E-
- 0,135 0 8,26875 0 4,20078E-08 0 9,31019E-
- 0,145 0 8,88125 0 2,17735E-09 0 4,82567E- - Máximo 0,43615 0,
- 0,01 66 0,6125 0,153936 0, Distancia, m Esferas C (m/s) F© dN/N
- 0,02 221 1,225 0,515452 0,
- 0,03 228 1,8375 0,531778 0,
- 0,04 138 2,45 0,321866 0,
- 0,05 84 3,0625 0,195918 0,
- 0,06 53 3,675 0,123615 0,
- 0,07 35 4,2875 0,081633 0,
- 0,08 32 4,9 0,074636 0,
- 0,09 23 5,5125 0,053644 0,
- 0,11 11 6,7375 0,025656 2,472E-
- 0,12 7 7,35 0,016327 2,3E-
- 0,13 2 7,9625 0,004665 1,691E-
- 0,14 4 8,575 0,009329 9,845E-
- 0,15 7 9,1875 0,016327 4,545E-
- 0,16 3 9,8 0,006997 1,666E-
- 0,17 1 10,4125 0,002332 4,857E-
- 0,18 2 11,025 0,004665 1,126E-
- 0,19 0 11,6375 0 2,08E-
- 0,21 0 12,8625 0 3,59E-
- 0,22 0 13,475 0 3,358E-
- 0,23 0 14,0875 0 2,507E-
- 0,24 1 14,7 0,002332 1,494E-
- 0,005 66 0,30625 0,15394 0,03304858 0,29864 0, Distancia Esferas C (m/s) F© dN/N Y1 norm Y2 norm
- 0,01 66 0,6125 0,15394 0,121652172 0,29864 0,
- 0,01 221 0,6125 0,51545 0,121652172 1 0,
- 0,02 221 1,225 0,51545 0,348986114 1 0,
- 0,02 138 1,225 0,32187 0,348986114 0,62443 0,
- 0,03 138 1,8375 0,32187 0,451202135 0,62443
- 0,03 84 1,8375 0,19592 0,451202135 0,38009
- 0,04 84 2,45 0,19592 0,369301687 0,38009 0,
- 0,04 53 2,45 0,12362 0,369301687 0,23982 0,
- 0,05 53 3,0625 0,12362 0,21285614 0,23982 0,
- 0,05 35 3,0625 0,08163 0,21285614 0,15837 0,
- 0,06 35 3,675 0,08163 0,090591141 0,15837 0,
- 0,06 32 3,675 0,07464 0,090591141 0,1448 0,
- 0,07 32 4,2875 0,07464 0,029199039 0,1448 0,
- 0,07 23 4,2875 0,05364 0,029199039 0,10407 0,
- 0,08 23 4,900 0,05364 0,007235922 0,10407 0,
- 0,08 20 4,900 0,04665 0,007235922 0,0905 0,
- 0,09 20 5,5125 0,04665 0,001392171 0,0905 0,
- 0,09 11 5,5125 0,02566 0,001392171 0,04977 0,
- 0,1 11 6,125 0,02566 0,000209341 0,04977 0,
- 0,1 7 6,125 0,01633 0,000209341 0,03167 0,
- 0,11 7 6,7375 0,01633 2,47193E-05 0,03167 5,47855E-
- 0,11 2 6,7375 0,00466 2,47193E-05 0,00905 5,47855E-
- 0,12 2 7,35 0,00466 2,30019E-06 0,00905 5,09792E-
- 0,12 4 7,35 0,00933 2,30019E-06 0,0181 5,09792E-
- 0,13 4 7,9625 0,00933 1,69118E-07 0,0181 3,74817E-
- 0,13 7 7,9625 0,01633 1,69118E-07 0,03167 3,74817E-
- 0,14 7 8,575 0,01633 9,84498E-09 0,03167 2,18194E-
- 0,14 3 8,575 0,007 9,84498E-09 0,01357 2,18194E-
- 0,15 3 9,1875 0,007 4,54515E-10 0,01357 1,00734E-
- 0,015 1 0,91875 0,00233 0,238312875 0,00452 0,
- 0,025 1 1,53125 0,00233 0,424961308 0,00452 0,
- 0,035 2 2,14375 0,00466 0,428412405 0,00905 0,
- 0,045 2 2,75625 0,00466 0,291850031 0,00905 0,
- 0,055 0 3,36875 0 0,143953111 0 0,
- 0,065 0 3,98125 0 0,05319068 0 0,
- 0,075 0 4,59375 0 0,015010553 0 0,
- 0,085 0 5,20625 0 0,003274384 0 0,
- 0,095 0 5,81875 0 0,000556556 0 0,
- 0,105 0 6,43125 0 7,41245E-05 0 0,
- 0,115 0 7,04375 0 7,767E-06 0 1,7214E-
- 0,125 0 7,65625 0 6,4225E-07 0 1,42342E-
- 0,135 0 8,26875 0 4,20078E-08 0 9,31019E-
- 0,145 0 8,88125 0 2,17735E-09 0 4,82567E- - Máximo 0,51545 0,
Estos datos presentan también algunos desfaces que pueden ser explicados, el primer caso, es que en la simulación no todas las bolas reciben la misma energía cinética en la parte inferior del tubo, además, el montaje presentaba algunos factores que se atribuyen a proporcionar algunas variaciones como la lámina de acetato que fue utilizada como tapa, puede tener efecto al chocar con las bolas de cristal y generar una transferencia de energía que resultaría afectando la distribución. Por último, el montaje presentó fallas de carácter funcional, puesto que, poseía una cinta de enmascarar que no dejaba salir a las bolas de cristal del equipo, sin embargo, algunas de ellas se quedaban adheridas ahí, por tanto, era imposible conocer la energía cinética que brindada por el equipo.
5. CONCLUSIONES
La distribución de Maxwell-Boltzmann pudo ser reproducida con el experimento llevado a cabo en la presente investigación, puesto que, existe una correlación entre el modelo teórico y el modelo experimental. Sin embargo, estos resultados no son iguales por errores de tipo sistemático.
6. REFERENCIAS
[1] Francisco Rivadulla, Alternative deriavtion of the maxwell distribution of speeds, Centro Singular de Investigación en Química Biolóxica e Materiais Moleculares (CiQus), Departamento de Química-Física, Universidade de Santiago de Compostela.2019.
[2] Gavin D. Peckham, Ian J. McNaught, Applications of Maxwell- boltzmann Distribution Diagrams, University of Zululan, University of Natal , Republic of South Africa , July 1992
[3] Selva, Rodolfo N. (abril de 1997). «Capítulo IV». En La Llave Ediciones S.R.L., ed. Dispositivos Electrónicos (1ra edición edición). Buenos Aires. pp. 84 a 99. ISBN 950- 795 - 009 - 5.
[ 4 ]Manual prácticas de laboratorio de fisicoquímica I y II. Escuela de química. Facultad de Ciencias. UIS.
[5] Derivation of the Maxwell-Boltzmann distribution function - tec- science. tec-science. (2021). Retrieved 27 March 2021, from https://www.tec-science.com/thermodynamics/kinetic-theory-of- gases/derivation-of-the-maxwell-boltzmann-distribution-function/.
[6]Ford, D. (2021). Bouncing Balls and the Boltzmann Distribution - ScienceDemos.org.uk. Sciencedemos.org.uk. Retrieved 27 March 2021, fromhttps://sciencedemos.org.uk/balls.php#:~:text=The%20Maxwell%E 2%80%93Boltzmann%20distribution&text=Our%20tank%20of%20balls %20is,two%20dimensions%20rather%20than%20three.&text=But%20th ere%20is%20also%20a,for%20our%20two%2Ddimensional%20simulati on.
