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2.1 Una prensa industrial se encuentra montada sobre una base2.1 Una prensa industrial se encuentra montada sobre una base de caucho para aislarlade caucho para aislarla de sude su
cimentación. Si la base de caucho secimentación. Si la base de caucho se comprime 5 mm por el peso mismo de lcomprime 5 mm por el peso mismo de la prensa, encuentrea prensa, encuentre
la frecuencia natural del sistema.la frecuencia natural del sistema.
De la ecuaciónDe la ecuación
tenemos quetenemos que
dondedonde
Sustituyendo en la primera ecuación:Sustituyendo en la primera ecuación:
ConocemoConocemoss
EntoncesEntonces
2.3 La frecuencia natural de un sistema de resorte-masa es de 10 Hz. Cuando la constante de2.3 La frecuencia natural de un sistema de resorte-masa es de 10 Hz. Cuando la constante de
resorte se deduce en 800 N/m, la frecuencia se modifica en 45 por ciento. Encuentre laresorte se deduce en 800 N/m, la frecuencia se modifica en 45 por ciento. Encuentre la
constante de resorte del sistema original.constante de resorte del sistema original.
Podemos calcular la frecuenciaPodemos calcular la frecuencia
con la expresión siguiente:con la expresión siguiente:
DondeDonde es la frecuenciaes la frecuencia del sistema, entonces sustituimos 10 Hz pordel sistema, entonces sustituimos 10 Hz por en la ecuación:en la ecuación:
Ahora calculamos la masaAhora calculamos la masa de acuerdo a la siguiente ecuación:de acuerdo a la siguiente ecuación:
ConociendoConociendo
DespejandoDespejando
√√
√√
Dejamos la ecuación marcada como la ecuación 1 para sustituirla en otra y asi despejar una sola
variable, de un sistema de ecuaciones.
Ahora calculamos la constante del resorte después de que se altera la frecuencia en un 45%, esto
teniendo presente que la masa se mantiene constante:
En esta nueva ecuación sustituiremos
por
,
por
y
√
por
√
, todo
lo anterior en la siguiente ecuación:
√
Despejando para
Despejando la raíz y el coeficiente de la frecuencia natural hacia la izquierda y re acomodando la
ecuación nos da:
Resolviendo para
Factor común
Y por lo tanto, la constante del resorte en el sistema original es de
Ecuación de movimiento
̈
̈
2.11 Un chasis electrónico que pesa 500 N se aísla montándolo sobre cuatro resortes
helicoidales, como se muestra en la figura 2.54. Diseñe los resortes de modo que la unidad
pueda usarse en un ambiente en el que la frecuencia vibratoria oscile de 0 a 50 Hz.
Tenemos:
4
)N/m
N/m para un resorte elicoidal
Suponiendo que el material de muelles como el acero con
Esto da
o
Sección 2.4 Respuesta de sistemas de primer orden y constante de tiempo.
2.83 Encuentre la respuesta de vibración libre y la constante de ti empo en los casos en que se a aplicable, de sistemas
regidos por las siguientes ecuaciones de movimiento:
Sugerencia: La constante de tiempo también se define como el valor de tiempo al cual la respuesta
gradual de un sistema se eleva a 63.2% (100.0% 2 36.8%) de su valor final.
Sección 2.5 Método de la energía de Rayleig h.
2.7. Tres resortes y una masa se fijan a una barra PQ rígida sin peso como se muestra en la figura 2.51.
Determine la frecuencia natural de vibración del sistema.
SOLUCION:
Para la rotación pequeña angular para la barra PQ alrededor de P.
(K 12
) eq.
3
)
2
=
K 1
1
)
2
(l
2
)
(K 12
) eq
. = (K 1
l 1
2
l 2
2
)/l 3
2
Permitimos que Keq.= constante del amortiguador Q
=
Keq=
=
{
}
W n
=
(
)
2.89 Encuentre la frecuencia natural del sistema que se muestra en la figura 2.54. Un chasis
electrónico que pesa 500 N se aísla montándolo sobre cuatro resortes helicoidales, como se
muestra en la figura 2.54. Diseñe los resortes de modo que la unidad pueda usarse en un
ambiente en el que la frecuencia vibratoria oscile de 0 a 50 Hz.
Suponiendo que se diseñaron los resortes helicoidales con K= 1 x 10
5
, la deflexión estática
será de .005 mm.
Con la formula de frecuencia natural sustituimos la gravedad y la deflexión estática y
obtenemos la frecuencia natural.
Formula:
W n
= (g/def. est.)
1/
Sustitucion:
W n
= (9.81/.005)
1/
Resultado:
W n
= 69.577 Hz
2.97 Un péndulo simple vibra a una frecuencia de 0.5 Hz en el vacío y a 0.45 Hz en un fluido
viscoso. Determine la constante de amortiguamiento, suponiendo que la masa de la lenteja del
péndulo es de 1 kg.
Por lo tanto:
Corresponde al mínimo de x(t)
Demuestre también que las ecuaciones de las curvas que pasan por los valores máximo y
mínimo de x(t) son, respectivamente
y
Solución b)
Envolviendo las curvas, tenemos que la curva pasa entre el punto máximo (o mínimo):
Para puntos máximos:
Y:
Por lo tanto:
X(t)
0
Para puntos mínimos:
Y
Por lo tanto:
2.
2.137 Considere la ecuación característica
. Trace el lugar geométrico de las
raíces para .
√
Valor de k Valor de s1 Valor de s
0 -6 0
10 -1 -
20 -3+i -3-i
50 -3+4i -3-4i
Fuerza amortiguamiento = de magnitud
Frecuencia de vibración amortiguada =
2.151 La curva de fuerza-deflexión experimentalmente observada de una estructura compuesta
se muestra en la figura 2.117. Determine la constante de amortiguamiento de histéresis, el
decremento logarítmico y la relación de amortiguamiento viscoso correspondiente a esta curva.
La Energía disipada en cada ciclo de carga completa está dada por el área encerrada por el
bucle de histéresis.
La zona se encuentra contando los cuadrados cerrados por el bucle de histéresis. En la fig.
2.117, el número de cuadrados es = 33. ya que cada cuadrado
, la
energía disipada en un ciclo es:
ya que la deflexión máxima = x = 4,3 mm, y la pendiente de la curva de fuerza-deflexión
es:
La constante de amortiguamiento de histéresis β está dada por:
El Coeficiente Equivalente de amortiguamiento viscoso es:
2.153 Una viga en voladizo cuya rigidez a flexión es de 200 N/m soporta una masa de 2 kg en su
extremo libre. La masa se desplaza inicialmente 30 mm y se suelta. Si la amplitud es de 20 mm
después de 100 ciclos de movimiento, estime la constante de amortiguamiento de histéresis
de la viga.
F=200 N/m
m=2kg
x=30mm
X=20mm después de 100 ciclos
=?
