CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II
DOCENTE: ING. OSCAR VELAZQUE ROJAS
SEMESTRE 2020-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC
FACULTAD DE INGENIERIA
ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
TEMA: VIGAS CONTINUAS
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vigas continuas y metodo de tres momentos, Apuntes de Mecánica de Materiales
ejercicios de vigas continuas y metodode tres momentos
Tipo: Apuntes
2019/2020
1 / 44
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CURSO: RESISTENCIA DE MATERIALES II
DOCENTE: ING. OSCAR VELAZQUE ROJAS SEMESTRE 2020-I
UNIVERSIDAD NACIONAL MICAELA BASTIDAS DE APURIMAC
FACULTAD DE INGENIERIA ESCUELA ACADEMICO PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
TEMA: VIGAS CONTINUAS
INTRODUCCIÓN o UNA VIGA ES UNA VIGA HIPERESTATICA TAMBIEN SE DENOMINA VIGAS CONTINUAS CUANDO CUENTAN CON TRES O MÁS APOYOS, DOS O MÁS TRAMOS O CLAROS, Y QUE, POR TANTO, DISPONEN DE UNO O MÁS APOYOS REDUNDANTES EN LOS QUE LAS REACCIONES NO PUEDEN DETERMINARSE POR LAS ECUACIONES DE LA ESTÁTICA. ES POSIBLE CALCULAR LOS VALORES DE ESTAS REACCIONES HIPERESTÁTICAS APLICANDO LAS CONDICIONES DE DEFORMACIÓN EXISTENTES, POR EJEMPLO, LA DEFLEXIÓN EN LOS APOYOS ES NULA CUYAS REACCIONES SON DESCONOCIDAS. o ESTAS CONDICIONES DAN LAS ECUACIONES NECESARIAS ADICIONALES A LAS DEL EQUILIBRIO ESTÁTICO. SIN EMBARGO, ES MAS CONVENIENTE CONSIDERAR COMO DESCONOCIDOS O HIPERESTATICOS, LOS MOMENTOS FLEXIONANTEES EN LOS APOYOS. o UNA VEZ DETERMINADOS ESTOS MOMENTOS, QUE SE SUELEN LLAMAR MOMENTOS MOMENTOS DE CONTINUIDAD, ES SUMAMENTE SENCILLO EL CALCULO DE LAS REACCIONES.
METODOS PARA EL CALCULO o EL SEGUNDO METODO ES LA DE LA DITRIBUCION DE MOMENTOS, ESTE METODO ES INDEPENDIENTE DEL ANTERIOR, AUNQUE LA DETERMINACION DEL DIAGRAMA DE FUERZA CORTANTE Y DE LAS REACCIONES SEA COMUN PARA AMBOS. PARA APLICAR ESTE METODO SE EMPIEZA SUPONIENDO QUE CADA TRAMO O CLARO ESTA PERFECTAMENTE EMPOTRADO EN SUS EXTREMOS Y SE DETERMINA LOS MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO. EN ESTAS CONDICIONES, LOS MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO PERFECTO (MEP) SE CALCULAN POR SUPERPOSICION. PARA TIPOS MAS COMPLEJOS DE CARGAS, ES PREFERIBLE EMPLEAR EL PRIMER METODO. FIGURA 04
VIGAS CONTINUAS o LA VENTAJA PRINCIPAL DE ÉSTAS VIGAS ES LA DE APOYAR EN VARIOS PUNTOS INTERMEDIOS CON LA FINALIDAD DE REDUCIR LOS MOMENTOS MÁXIMOS Y LAS DEFORMACIONES MÁXIMAS, LO QUE CONLLEVA AL ABARATAMIENTO DE LA ESTRUCTURA.
Puente El Balseadero (Colombia)
- el puente de concreto premezclado más largo de Colombia. El conocido como Viaducto El Balseadero tiene 1,7 km de longitud y está ubicado en el Departamento de Huila.
- Para ello se instaló una planta móvil a en el lugar y todos los elementos prefabricados fueron ejecutados in situ. Debido a las altas temperaturas de la región, cada metro cúbico de concreta tenía que incluir más de 20 kilogramos de hielo para controlar su temperatura. Para poder cumplir con los tiempos de ejecución, el concreto suministrado se formuló para poder secar en menos de tres horas. En total se usaron aproximadamente 37,000 metros cúbicos de concreto hecho a la medida y vigas de concreto prefabricadas. FIGURA 06
• PUENTE SOBRE EL RIO POTOMAC, EN LA
IMAGEN SE MUESTRA QUE EL PUENTE UTILIZA
VIGAS CONTINUAS SIN NINGUN TIPO DE
BISAGRA
- Mismo puente de la fotografía anterior. Detalle de uno de los cojinetes de apoyo del mismo puente de la fotografía anterior.. Cabe observar el espesor creciente del borde para poder soportar las cargas de flexión que existen en dicha zona.
Forma Generalizada de la Ecuación de los Tres Momentos
o Tal como están dibujadas las flechadas, V 1
y V 2 son fuerzas cortantes positivas,
mientras que V- 2 y V- 3 son fuerzas
cortantes negativas.
o El procedimiento estudiado proporciona el
medio para transformar cada uno de estos
tramos en una viga simplemente apoyada
con 2 estados de carga; por un lado la carga
real del tramo y por otro los pares
aplicados en sus extremos. En las figuras
FIGURA 1.1a 1 Carga cualquiera X^ 𝒙𝒂 A B X 2 3 Carga en el tramo 1 Carga en el tramo 2 𝑴𝟏 𝑽−𝟐 𝑴𝟐 𝑽−𝟑 𝑽𝟏 𝑽𝟐 𝑴𝟐 FIGURA 1.1b 𝑴𝟑 (b) Diagramas de cuerpo libre de cada tramo. Figura 1.1. Carga general en una viga cualquiera 𝒙𝒂
(Supongamos 𝑀 1 > 𝑀 2 ) Carga 𝑴𝟏 𝑴𝟑 (a) 𝑳𝟐 Carga 𝑳𝟏 𝑴𝟏 𝑴𝟑 (b) 𝑳𝟏 𝑳𝟐 𝑹´𝟏 𝑹´𝟏 𝑹´𝟐 𝑹´𝟐 𝑴𝟐 𝑴𝟐 (Supongamos 𝑀 3 > 𝑀 2 ) 𝒂𝟏 𝑪. 𝑮. (^) 𝟏 𝑨𝑹𝑬𝑨 = 𝑨 (^) 𝟏 𝒃𝟏 𝒂𝟐 𝑪. 𝑮. (^) 𝟐 𝑨𝑹𝑬𝑨 = 𝑨 (^) 𝟐 𝒃𝟐 (c) 𝑴𝟏 𝑴𝟐 𝑳𝟏 𝑴𝟑 𝑴𝟐 𝑳 ( 1. 2 ) Análisis del estado Inicial de carga. (a) Las cargas sobre una viga simplemente apoyada. (b) Estado de cargas producido por los momentos de continuidad de la misma viga (a) (c) Diagrama de momentos del estado de cargas (a). (d) Diagrama de momentos del estado de cargas (b). (d) 𝑳𝟏
(Supongamos 𝑀 1 > 𝑀 2 ) Carga 𝑴𝟏 𝑴𝟑 (a) 𝑳𝟐 Carga 𝑳𝟏 𝑴𝟏 𝑴𝟑 (b) 𝑳𝟏 𝑳𝟐 𝑹´𝟏 𝑹´𝟏 𝑹´𝟐 𝑹´𝟐 𝑴𝟐 𝑴𝟐 (Supongamos 𝑀 3 > 𝑀 2 ) 𝒂𝟏 𝑪. 𝑮. (^) 𝟏 𝑨𝑹𝑬𝑨 = 𝑨 (^) 𝟏 𝒃𝟏 𝒂𝟐 𝑪. 𝑮. (^) 𝟐 𝑨𝑹𝑬𝑨 = 𝑨 (^) 𝟐 𝒃𝟐 (b) 𝑴𝟏 𝑴𝟐 𝑳𝟏 𝑴𝟑 𝑴𝟐 𝑳 En estas condiciones, el diagrama de momentos flexionantes en cada tramo de la viga se resuelve por partes en el diagrama que producen las cargas existentes sobre el tramo, suponiendo que el tramo estuviera simplemente apoyado en sus extremos, mas el diagrama trapezoidal producido por los pares aplicados en los extremos de la misma viga, tal como se indica perfectamente en las figuras 1. 2 c y 1. 2 d. En la figura 1. 3 aparece representada la elástica de la viga, sumamente exagerada, para ver con mas claridad las reacciones geométricas que van a utilizar. Obsérvese que los puntos 1 , 2 y 3 están precisamente en la elástica.
(Supongamos 𝑀 1 > 𝑀 2 ) Carga 𝑴𝟏 𝑴𝟑 (a) 𝑳𝟐 Carga 𝑳𝟏 𝑴𝟏 𝑴𝟑 (b) 𝑳𝟏 𝑳𝟐 𝑹´𝟏 𝑹´𝟏 𝑹´𝟐 𝑹´𝟐 𝑴𝟐 𝑴𝟐 (Supongamos 𝑀 3 > 𝑀 2 ) 𝒂𝟏 𝑪. 𝑮. (^) 𝟏 𝑨𝑹𝑬𝑨 = 𝑨 (^) 𝟏 𝒃𝟏 𝒂𝟐 𝑪. 𝑮. (^) 𝟐 𝑨𝑹𝑬𝑨 = 𝑨 (^) 𝟐 𝒃𝟐 (b) 𝑴𝟏 𝑴𝟐 𝑳𝟏 𝑴𝟑 𝑴𝟐 𝑳 La tangente trazada a la elástica en el punto 2 determina las desviaciones tangenciales 𝒕
𝐲 𝒕
de los puntos 1 y 3 , respectivamente, y la recta trazada por 2 paralela a la a la posición inicial de la viga, que por conveniencia se supone horizontal, determina la altura de los puntos 1 y 3 con respecto al 2 , alturas que son 𝒉
y 𝒉
.
Y la desviación tangencial de 3 respecto de la misma tangente en 2, 𝑡 3 / 2 = 1 𝐸𝐼 𝐴 2 𝑏ത 2 + 1 2 𝑀 2 𝐿 2 × 2 3 𝐿 2 + 1 2 𝑀 3 𝐿 2 × 1 3 𝐿 2 …(c) 𝑳𝟏 𝑳𝟐 𝒕𝟏/𝟐 𝒉𝟏 − 𝒕𝟏/𝟐 𝒉𝟏 1 2 3 Elástica Paralela a la viga descargada Elástica Tangente a la Elástica 𝒉𝟑 𝒕𝟑/𝟐 − 𝒉𝟑 𝒕𝟑/𝟐 Sustituyendo estos valores en la ecuación (a) y simplificando: 𝑀 1 𝐿 1 + 2 𝑀 2 (𝐿 1 + 𝐿 2 ) + 𝑀 3 𝐿 2 + 6 𝐴 1 𝑎 1 𝐿 1
6 𝐴 2 𝑎 2 𝐿 2 = 6 EI ℎ 1 𝐿 1
ℎ 3 𝐿 2 …(a) Esta ecuación expresa una relación general entre los momentos flexionantes en tres puntos cualesquiera de la viga, razón por la cual se llama ecuación de los tres momentos. Si los puntos 1 , 2 y 3 están al mismo nivel en la viga deformada, las alturas ℎ 1 y ℎ 3 de la figura 1. 3 se anulan, y lo mismo ocurre en el segundo miembro de la ecuación ( 1. 1 ). Esta suele ser la condición normal de aplicación de la ecuación de los tres momentos a la determinación de los momentos de continuidad. Los tres puntos que se escogen para aplicar la ecuación a una viga continua son tres apoyos, que se suelen suponer rígidos o situados a la misma altura y entonces mediante la ecuación se determinan los momentos en dichos apoyos. Si se quiere aplicar la ecuación de los tres momentos para calcular las ordenadas de la elástica, se consideran dos de los puntos sobre dos apoyos y el tercero en el punto donde se quiere hallar la ordenada. En este caso, evidentemente, es necesario calcular de antemano los valores de los momentos en los tres puntos.
En la deducción de la ecuación ( 1. 1 ) se ha hecho la hipótesis de que los momentos flexionantes en los tres puntos son positivos y que los puntos 1 y 3 estaban situados por encima del punto 2. si el momento flexionante en cualquiera de los puntos es negativo habrá que considerarlo con signo menos al sustituir su valor en la ecuación. Recíprocamente, si al resolver la ecuación sale un valor para cualquier de los momentos, es que en realidad es negativo. Las alturas ℎ 1 y ℎ 3 son positivas si los puntos 1 y 3 quedan por encima del 2 , y son negativos o se obtendrán con signo menos, si el punto 1 o el 3 esta por debajo del punto 2.
REGLA DE SIGNOS
Tabla 1.1 Valores de 𝐀 𝑎ത/𝐿 y 𝟔𝐀𝑏ത/𝐿
APLICACIÓN DE LA ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS
ECUACION DE LOS TRES MOMENTOS VIGAS CONTINUAS HIPERESTATICAS 02 TRAMOS CONTIGUOS VIGAS CONTINUAS CON EXTREMOS EMPOTRADOS