Números naturais
Multiplicação e divisão de potências
Proposta de sequência de tarefas para o 2.º ciclo
Autores:
Professores das turmas piloto do 6.º ano de escolaridade
Ano lectivo 2009/10
Julho de 2010
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047 Sequencia Multiplicação Divisao Potencias TP 2c Julho2010, Manuais, Projetos, Pesquisas de Engenharia de Manutenção
esse é o livro de matematica
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
2014
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Números naturais
Multiplicação e divisão de potências
Proposta de sequência de tarefas para o 2.º ciclo
Autores:
Professores das turmas piloto do 6.º ano de escolaridade
Ano lectivo 2009/
Julho de 2010
Proposta
planificação:
Números
naturais
–^
Multiplicação
e^
divisão
de
potências
Escola
2º^ Ciclo
Propósito
Principal
de
Ensino:
Desenvolver
nos
alunos
o^ sentido
de
número,
a^ compreensão
dos
números
e^ das
operações,
e^ a
capacidade
de
cálculo
mental
e^ escrito,
bem
como
a^ de
utilizar
estes
conhecimentos
e^ capacidades
para
resolver
problemas
em
contextos
diversos.
operações e Números
Objectivos
Gerais:
Com
a^ sua
aprendizagem,
no
âmbito
deste
tema,
os^
alunos
devem
ser
capazes
de:
-^ compreender
e^ ser
capazes
de
usar
propriedades
dos
números
inteiros
e^ racionais;
-^ compreender
e^ ser
capazes
de
operar
com
números
racionais
e^ de
usar
as^
propriedades
das
operações
no
cálculo;
-^ ser
capazes
de
apreciar
a^ ordem
de
grandeza
de
números
e^ compreender
os
efeitos
das
operações
sobre
os^
números;
-^ desenvolver
a^ capacidade
de
estimação,
de
cálculo
aproximado
e^ de
avaliação
da^
razoabilidade
de
um
resultado;
-^ desenvolver
destrezas
de
cálculo
numérico
mental
e^ escrito;
-^ ser
capazes
de
resolver
problemas,
raciocinar
e^ comunicar
em
contextos
numéricos.
Tópicos
e^ Subtópicos
Objectivos
Específicos
Notas
Tarefas
Duração
Números
naturais
Multiplicação
e^ divisão
de
potências
Propriedades
das
operações
e^ regras
operatórias
(A)^
Calcular
potências
de
um
número
e^
determinar
o
produto
e^
o^ quociente
de
potências
com
a^
mesma
base
ou
com
o^ mesmo
expoente.
(B)^
Compreender
as^
propriedades
e^ regras
das
operações
e^ usá
‐las
no
cálculo.
-^ Estudar
regularidades
com
potências,
por
exemplo,
regularidades
do
algarismo
das
unidades
de
potências
com
a^ mesma
base
e^ expoentes
diferentes.
-^ Usar
a^ calculadora
no
cálculo
de
potências
.
T1_
A^ lenda
do
tabuleiro
de
Xadrez
(A) T2_Operações
com
potências
(A)^
(B) T3_Consolidação
90’ 90’^ +^ 45’^ 90’
A realização de outras tarefas de consolidação fica ao critério de cada professor, tendo em conta as características dos seus alunos.
1. Quantos grãos de trigo haveria no 8.º quadrado? 2. Faz uma tabela mostrando o número de grãos de trigo existente nos primeiros dez quadrados. 3. Quantos grãos de trigo seriam precisos para preencher o tabuleiro até ao 15.º quadrado? 4. Usando as informações da tabela da questão 2, descobre uma regularidade e escreve uma representação para o número de grãos de trigo a ser colocado na 64.ª casa do tabuleiro. 5. Como poderás determinar o número de grãos de trigo que Sissa teria direito a receber?
A lenda do tabuleiro de xadrez
Esta tarefa enquadra-se no tema Números e Operações. Pretende-se recordar a noção de potência anteriormente trabalhada.
Tema matemático: Números e Operações
Nível de ensino: 2.º Ciclo
Tópicos matemáticos: Números naturais
Subtópicos matemáticos: Multiplicação de potências
Capacidades transversais: Raciocínio Matemático Comunicação Matemática
Conhecimentos prévios dos alunos:
- Interpretar uma potência de expoente natural como a representação de um produto de factores iguais;
- Calcular potências de um número;
- Identificar regularidades.
Aprendizagens visadas:
- Calcular potências de um número e determinar o produto de potências com a mesma base;
- Explicar e justificar os processos, resultados e ideias matemáticos, recorrendo a exemplos e contra exemplos e à análise exaustiva de casos;
- Formular e testar conjecturas e generalizações e justificá-las fazendo deduções informais;
- Representar informação e ideias matemáticas de diversas formas;
- Exprimir ideias e processos matemáticos, oralmente e por escrito, usando a notação, simbologia e vocabulário próprios;
- Discutir resultados, processos e ideias matemáticos.
Recursos: Calculadora, projector ou retroprojector, copos de plástico transparentes e feijões.
Duração prevista: 90 minutos
N.º do quadrado do tabuleiro N.º de grãos de trigo^ Potências 1 1 1 2 2 2 2 1 3 4 2x2 =4 2 2 4 8 2x2x2=8 2 3 5 16 2x2x2x2=16 2 4 … … … …
Caso algum aluno coloque a questão ”Porque é que no primeiro quadrado do tabuleiro não está representada uma potência de base 2?” O professor pode informar que qualquer potência de expoente zero e base natural (diferente de 0) representa o número 1, donde 2 0 = 1. Mais tarde os alunos têm oportunidade de compreender o porquê desta convenção.
A partir das ideias discutidas nas primeiras duas questões, é natural que os alunos, na resolução da questão 3, registem o valor correspondente ao número de grãos de trigo utilizando diferentes tipos de representação. Assim, surge a seguinte tabela:
N.º do quadrado do tabuleiro
N.º de grãos de trigo colocados em cada casa
N.º total de grãos de trigo colocados no tabuleiro 1 1=2 0 1 2 2=2 1 3 3 4 =2 2 7 4 8 =2 3 15 5 16 =2 4 31 6 32=2 5 63 7 64=2 6 127 8 128=2 7 255 9 256=2 8 511 10 512=2 9 1023 11 1024=2 10 2047 12 2048=2 11 4095 13 4096=2 12 8191 14 8192=2 13 16383 15 16384=2 14 32767
Para a resolução da questão 3, pretende-se que os alunos calculem o número total de grãos colocados no tabuleiro, podendo surgir uma expressão do tipo: 2 0 +2 1 +2 2 +2 3 +2 4 +2 5 + …+ 2 14
É importante referir que para determinar o valor desta expressão, temos de calcular primeiro o valor de cada potência e só então adicionar cada uma das parcelas obtidas, o que permitirá recordar a prioridade da multiplicação.
Existe, no entanto, a possibilidade de os alunos verificarem que, ao adicionarem os grãos colocados até à 4.ª casa (1+2+4+8 =15), verifiquem que esse número pode obter-se através da expressão 2 4 – 1 = 16 – 1 =15, ou seja, o número de grãos da casa seguinte menos uma unidade.
Esta hipótese pode ser testada e verificada, dando assim origem a uma outra expressão: 2 0 +2 1 +2 2 +2 3 = 2 4 – 1. Então, o número de grãos colocados nas primeiras 15 casas do tabuleiro é representado por 2 15 – 1.
Na questão 4, pretende-se que os alunos cheguem à conclusão que o número de grãos colocados na casa 64 pode representar-se por 2 63 (9 223 372 036 854 775 808 grãos) uma vez que, ao resolverem as questões 2 e 3, verificaram que a cada casa corresponde uma potência em que a base é dois e o expoente é o número de ordem da casa do tabuleiro menos uma unidade.
Embora não se pretenda que os alunos calculem o valor correspondente ao preenchimento das 64 casas do tabuleiro de xadrez, é conveniente que o professor apresente o número de grãos de trigo que Sissa receberia, para que os alunos o registem (podendo fazer-se a sua leitura).
2 64 =18 446 744 073 709 551 616
Total de grãos colocados nas 64 casas do tabuleiro = (2 64 – 1) = 18 446 744 073 709 551 615
18 446 744 073 709 551 615 - Dezoito triliões, quatrocentos e quarenta e seis milhares de bilião, setecentos e quarenta e quatro biliões, setenta e três milhares de milhão, setecentos e nove milhões, quinhentos e cinquenta e um milhares e seiscentos e quinze unidades.
É importante fazer uma primeira exploração da multiplicação de potências com a mesma base, a partir de situações como as seguintes: 2 6 = 2 5 x 2 1 ou 2 7 = 2 5 x 2 x 2= 2 5 x 2 2
A seguir apresentam-se alguns exercícios de consolidação sobre potências, trabalhadas no ano lectivo anterior.
Completa o quadro:
Potência Base Expoente Leitura Valor 10 2 2 3 Seis ao quadrado
3. Numa pastelaria há 3 expositores com 3 bandejas cada um. Cada bandeja tem 3 pratos, cada um com 3 bolos. Representa por uma potência o número de bolos expostos e calcula o seu valor. 5. Na fila da papelaria da escola estavam quatro rapazes. Cada um deles tinha quatro bolsos. Cada um dos rapazes tinha em cada bolso quatro berlindes. Quantos berlindes havia ao todo? 6. Calcula:
7. No quadro estão representados os números naturais de 1 a 36.
7.1 Assinala a azul os múltiplos de 3. 7.2 Assinala a verde os múltiplos de 5. 7.3 Indica os que são, simultaneamente, múltiplos de 3 e de 5. 7.4 Indica todos os divisores de 36 que estão na tabela. 7.5 Indica todos os números que se podem representar através de uma potência.
Tarefa 2 – Operações com potências 2
1. Observa atentamente a 1.ª linha de cada tabela. Preenche os espaços assinalados, completando as igualdades.
1.1.
2 4 × 2 3 = (2 x 2 x 2 x 2) x (2 x 2 x 2) =128 2 7 = 128
3 2 × 3 3 = ................. 3 ....^ = ........
7 ....^ × 7 1 = ................ 7 3 = ........
10 ....^ ×10 ....^ = ....... 10 6 = ........
Explica como procedes para transformar o produto de potências com a mesma base numa potência.
5 3 × 2 3 = (5 x 5 x 5) x (2 x 2 x 2) =1000 10 3 = 1000 10 2 × 3 2 = ........ 30 2 = ........ 3 5 × ......^5 = ......... 6 5 = ........ ……. 4 x ……^4 = ……… (^12 4) =
Explica como procedes para transformar o produto de potências com o mesmo expoente numa potência.
(^2) Adaptação da Tarefa 7 – Operações com potências (Materiais de Apoio 7.º ano). Professores das turmas piloto.
Operações com potências
Esta tarefa enquadra-se no tema Números e Operações e pretende-se que o aluno induza as regras operatórias das potências da multiplicação e divisão (com a mesma base ou o mesmo expoente) e as explicite numa linguagem natural e no cálculo de expressões numéricas.
Tema matemático : Números e Operações
Nível de ensino: 2.º Ciclo
Tópicos matemáticos: Números naturais
Subtópicos matemáticos: Multiplicação e divisão de potências Propriedades das operações e regras operatórias
Capacidades transversais: Raciocínio Matemático Comunicação Matemática
Conhecimentos prévios dos alunos:
- Calcular potências de um número;
- Interpretar uma potência de expoente natural como a representação de um produto de factores iguais;
- Identificar regularidades.
Aprendizagens visadas:
- Calcular potências de um número e determinar o produto e o quociente de potências com a mesma base ou com o mesmo expoente;
- Compreender as propriedades e as regras das operações e usá-las no cálculo;
- Explicar e justificar os processos, resultados e ideias matemáticos, recorrendo a exemplos e contra exemplos e à análise exaustiva de casos;
- Formular e testar conjecturas e generalizações e justificá-las fazendo deduções informais;
- Representar informação e ideias matemáticas de diversas formas;
- Exprimir ideias e processos matemáticos, oralmente e por escrito, usando a notação, simbologia e vocabulário próprios;
- Discutir resultados, processos e ideias matemáticos.
Recursos: Calculadora, projector ou retroprojector
Duração prevista: 90 minutos + 45 minutos
Notas para o professor: A tarefa está dividida em duas questões: na primeira (90 minutos), através da exploração das tabelas, pretende-se que o aluno compreenda as regras operatórias das potências da multiplicação e divisão (com a mesma base ou o mesmo expoente) e as explicite numa linguagem natural; na segunda questão (45 minutos), os alunos têm oportunidade de aplicar as regras anteriores no cálculo de expressões numéricas.
Na resolução das questões 1.1. e 1.2. (45 minutos) é vantajoso fazer a apresentação de resultados e justificações surgidas da exploração. Na questão 1.1., a partir da análise do exemplo dado, os alunos devem concluir que:
- O produto de potências com a mesma base é uma nova potência com a mesma base e cujo expoente corresponde à soma dos expoentes dos factores.
Se, na exploração da questão 1.2., os alunos tiverem dificuldade em completar as tabelas, o professor pode ligar o cálculo de potências à multiplicação e suas propriedades, acabando por incentivar à explicitação, em linguagem natural, das regras operatórias das potências. Por exemplo: 2 3 x 5 3 = (2x2x2) x (5x5x5) = (2x5) x (2x5) x (2x5) = (2x5) 3 Para concluir esse trabalho, na discussão geral, é importante analisar e discutir com os alunos todos os resultados obtidos, bem como todas as explicações. Em conclusão, é indispensável a síntese das regras operatórias. Nesta questão, pretende-se chegar à seguinte regra:
- O produto de potência com o mesmo expoente é uma nova potência com o mesmo expoente e em que a base é o produto das bases dos factores.
Passados 45 minutos, os alunos devem explorar as questões 1.3. e 1.4., em pares ou pequenos grupos, seguindo-se novamente uma discussão em plenário, sobre os resultados alcançados.
A partir da análise dos exemplos dados nas questões 1.3 e 1.4 os alunos devem chegar às seguintes regras:
**- O quociente de potências com a mesma base é uma nova potência com a mesma base e em que o expoente corresponde à diferença dos expoentes;
- O quociente de potências com o mesmo expoente é uma nova potência com o mesmo expoente e em que a base é o quociente das bases.**
Na aula seguinte, o professor deve propor que os alunos resolvam a questão 2 de forma autónoma aplicando as regras anteriormente trabalhadas.
Dividir potências com a mesma base
Para dividir potências com a mesma base , podemos transformar cada uma das potências nos produtos que elas representam, tal como está indicado no exemplo seguinte:
5 5 : 5 2 = ( 5x5x5 x5x5) : (5x5) = 5x5x 125 25 25
Se multiplicarmos 125 por 25 e depois o dividirmos novamente por 25, vamos obter o número 125. Então, podemos concluir que: 5 5 : 5 2 = 5 (5-2)^ = 5 3
Logo, o quociente de potências com a mesma base é uma nova potência com a mesma base e em que o expoente corresponde à diferença dos expoentes.
Dividir potências com o mesmo expoente
Para dividir potências com o mesmo expoente, podemos transformar cada potência no produto de factores que lhe corresponde
6 2 : 3 2 = (6 x 6): (3 x 3) = 36:9 = 4 (6 : 3) x (6 : 3) = 2 x 2 = 4
Então,
6 2 : 3 2 = (6 : 3) 2 = 2 2
O quociente de potências com o mesmo expoente é uma nova potência com o mesmo expoente e em que a base é o quociente das bases.
Tarefa 3 – Consolidação das aprendizagens
1. Escreve sob a forma de uma potência: 1.1. 7 2 x 7 4 1.2. 3 5 x 3 1.3. 1 x 6 4 1.4. 8 5 : 8 2 1.5. 9 7 : 9 3 1.6. 5 4 : 5 4 1.7. 6 3 : 1 2. Completa os espaços assinalados: 2.1. 3 x 3 x 3 x 27 = 3 --- 2.2. 4 x 2 x 8 = 2 --- 2.3. 4 x (^) --- x 16 = (^) ---^5 2.4. 1000 = 10 --- 2.5. 6 …^ : ….^3 = 6 2 2.6. 125 : 5 ---^ = 5 2.7. …. 7 : .…^7 = 3 7 3. Escreve na forma de uma potência ou soma de potências: 3.1. 9 3.2. 27 3.3. 25 3.4. 10 3.5. 52 3.6. 101 3.7. 256 3.8. 61
7. Repara nas seguintes igualdades:
1 3 = 1 2
1 3 + 2 3 = 3 2
1 3 + 2 3 + 3 3 = 6 2
1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 = 10 2
7.1. O que observas?
7.2. Completa a igualdade e verifica a sua veracidade.
Consolidação das aprendizagens
Esta tarefa enquadra-se no tema Números e Operações e pretende-se que o aluno consolide as aprendizagens realizadas anteriormente.
Tema matemático : Números e Operações
Nível de ensino: 2.º Ciclo
Tópicos matemáticos: Números naturais
Subtópicos matemáticos: Multiplicação e divisão de potências Propriedades das operações e regras operatórias
Capacidades transversais: Raciocínio Matemático Comunicação Matemática
Conhecimentos prévios dos alunos:
- Interpretar uma potência de expoente natural como a representação de um produto de factores iguais;
- Identificar regularidades;
- Calcular potências de um número e determinar o produto e o quociente de potências com a mesma base ou com o mesmo expoente;
- Compreender as propriedades e as regras das operações e usá-las no cálculo.
Aprendizagens visadas:
- Consolidar as aprendizagens realizadas anteriormente;
- Explicar e justificar os processos, resultados e ideias matemáticos, recorrendo a exemplos e contra exemplos e à análise exaustiva de casos;
- Formular e testar conjecturas e generalizações e justificá-las fazendo deduções informais;
- Representar informação e ideias matemáticas de diversas formas; Exprimir ideias e processos matemáticos, oralmente e por escrito, usando a notação, simbologia e vocabulário próprios;
- Discutir resultados, processos e ideias matemáticos.
Recursos: Projector ou retroprojector