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Baixe 10 - Cinemática da máquinas - Mabie vol.2 e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Mecânica, somente na Docsity!
Dinâmica . “das Máquinas HAMILTON H. MABIE Professor de Engenharia Mecânica Virginia Polytechnic Institute Blacksburg, Virginia FRED W. OCVIRK Ex-Professor de Engenharia Mecânica Cornell University Ithaca, New York Tradução de EDIVAL PONCIANO DE CARVALHO Engenheiro Mecânico 621.81 MiI2m2 Autor: Mabie, Hamilton Horth, Título: Mecanismos e dinâmica das m O 10932 V.2Ex.l6 SBC RIO DE JANEIRO SÃO PAULO DE LIVROS TÉCNICOS E CIENTÍFICOS EDITORA + Tradução autorizada de MECHANISMS AND DYNAMICS OF MACHINERY, Third Edition Copyright O 1957, 1963, 1975, 1978 by John Wiley & Sons, Now York, NY, USA Diagramação e Artes Gráficas: SETOR DE ARTE, Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. Capa: AG Comunicação Visual Ltda. Copyright O 1980 by Livros Técnicos e Científicos Editora S.A. 18 edição: 1967 2º edição: 1980 Prefácio da Terceira Edição (Unidades SI) CIP-Brasil. Catalogação-na-fonte nda s Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ. Mabie, Hamilton H. Mirim [e] Fred W. Ocvirk; tradução de Edival Ponciano de Carvalho. — 2. ed. — Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1980. Tradução de: Mechanisms and dynamics of ' machinery Apêndices Bibliografia ISBN 85-216-0088-7 1. Dinâmica das máquinas 2. Engenharia me- cânica 1. Ocvirk, Fred W. II. Título Nesta edição, todas as dimensões se exprimem em unidades SI com os símbolos correspon- dentes. Além disso, empregou-se, nas seções sobre análise de forças, o conceito de massa de prefe- CDD — 620.104 rência ao de força da gravidade e constante gravitacional, realçando-se, dessa forma, O fato de que o 620.105 quilograma se deve usar exclusivamente para exprimir a massa. CDU — 621 Nos capítulos sobre engrenagens, introduziu-se o sistema métrico em paralelo com o sistema 80-0005 62-23 inglês. Nos Caps. 4, 5 e 6, apresentam-se os problemas em unidades inglesas e em seguida, separada- mente, em unidades métricas, Sou reconhecido ao Prof. J. Y. Harrison da Universidade New South Wales, da Austrália, e a ISBN 85-216-0088-7 V. 1. Conley e C. J. Kauffmann do Instituto Politécnico e Universidade Estadual da Virgínia por suas (Edição original: Valiosas sugestões. ISBN 0-471-02380-9 John Wiley & Sons, New York) HAMILTON H. MABIE Blacksburg, Virgínia Junho, 1978 ENTÍFICOS EDITORA S.A. iq de Janeiro, RJ x SUMÁRIO 10.22 Aceleração Relativa de Partículas Coincidentes no Ponto de Contato de Elementos Rolan- tes, 330 10.23 Solução Analítica das Equações da Velocidade e da Aceleração Relativas através de Cálculo Vetorial, 335 10.24 Diferenciação Gráfica, 341 10.25 Análise Cinemática por Números Complexos, 346 10.26 Análise Cinemática do Cursor-Manivela através de Números Complexos, 349 10.27 Inversão do Mecanismo Cursor-Manivela, 354 10.28 Análise do Mecanismo de Quatro-Barras, 356 10.29 Mecanismos Complexos, 360 10.30 Mecanismos Espaciais, 361 PROBLEMAS, 364 CAPÍTULO 11 ANÁLISE CINEMÁTICA DE MAQUINAS, 388 11.1 Introdução, 388 11.2 Força Centrífuga em Pás de Rotores, 389 11.3 Força de Inércia. Torque de Inércia, 392 11.4 Determinação de Forças, 395 11.5 Métodos de Análise Cinética em Mecanismos, 396 11.6 - Análise de Mecanismos pelo Método do Trabalho Virtual, 413 : M.7 Análise de Movimento em Mecanismos através de Características Dinâmicas, 417 11.8 Análise Cinética de Mecanismos por Números Complexos, 421 11.9 Análise Cinética de Motores, 427 11.10 Massas Dinamicamente Equivalentes, 433 11.11 Aplicação de Massas Equivalentes, 434 11.12 Análise Cinética de Motores Utilizando Massas Pontuais, 435 11,13 Blocos de Motor, 442 11.14 Torque de Saída de Motores, 444 11.15 Dimensionamento de Volantes, 449 11.16 Forças em Dentes de Engrenagens, 455 11.17 Forças em Cames, 461 11.18 Forças Giroscópicas, 463 11.19 Determinação de Momento de Inércia, 468 PROBLEMAS, 472 CAPITULO 12 BALANCEAMENTO DE MÁQUINAS, 496 12.1 Introdução, 496 12.2 Balanceamento de Rotores, 497 12.3 Balanceamento Estático e Dinâmico, 502 12.4 Máquinas de Balanceamento, 504 12.5 Balanceamento de Massas Alternativas, 505 126 Determinação Analítica do Desequilíbrio, 508 12.7 Ordem de Ignição, 516 128 Motores em V, 516 12.9 Motores de Cilindros Opostos, 519 PROBLEMAS, 520 CAPITULO 13 VIBRAÇÃO DE MÁQUINAS, 529 13.1 Introdução, 529 SUMÁRIO 13.4 Amplitude da Vibração Forçada, 535 13.5 Transmissibilidade, 539 136 Transmissibilidade de Movimento, 540 13.7 Amortecimento, 541 138 Vibração de Eixos, 546 13.9 Frequência Natural e Velocidade Crítica, 549 13.10 Frequência Natural de Eixos com Diversas Massas, 549 13.11 Eixos Escalonados, 555 13.12 Velocidade Crítica de Ordem Superior, 558 13.13 Vibrações Torcionais, 560 13.14 Vibração Torcional de um Eixo com Dois Discos, 562 13.15 Vibração Torcional de um Eixo com Muitos Discos, 566 13.16 Eixos Escalonados, 567 13.17 Sistema Torcional com Engrenagens, 568 PROBLEMAS, 570 ÍNDICE REMISSIVO, | x DINÂMICA DAS MÁQUINAS Esta obra é complementada pelo livro MECANISMOS dos mesmos autores, também editado pela LTC Fatores de Conversão entre o Sistema Americano e o Sistema Internacional de Unidades FORÇA MOMENTO DE INÉRCIA (de massa) 1 1b=4,448N 1kg:m? = 0,7376 slug - pé? IN = 0,248 Ib Islug- pé = 1,356kg-m? MASSA FREQUÊNCIA 1kg = 6,852 x 10"? slugs 1 ciclos/s = | Hz Islug = 14,59kg 1Ib = 3,108 x 1072 slugs OUTRAS CONVERSÕES ÚTEIS 1b- polegada = 11,298 N-cm COMPRIMENTO 1 Ib/polegada = 1,751 N/cm Im = 3,281 pés 1 Ib/polegada? 3048 m 1 Ib/polegada? 1 polegada = 2,54 cm Umilha/h = 1,61 km/h. 276 DINÂMICA DE MÁQUINAS / Parte 2 100000 g, valores que podem ser comparados com as acelerações de 10g permi- tida a pilotos de avião e 1000 g, permitida a êmbolos de automóveis. Através da segunda lei de Newton a aceleração relaciona-se com a força (F = MA) e por sua vez relaciona-se com a tensão e a deformação, que podem ou não ser críticas em uma peça da máquina, dependendo do material usado. A velocidade de uma máquina é limitada, em última análise, pelas propriedades dos materiais empregados e pelas condições que influenciam essas propriedades. A alta temperatura proviniente da compressão dos gases e da queima do com- bustível, aliada à resultante do atrito, é uma condição que influencia a resistência dos materiais em motores de alta rotação. O grau de elevação da temperatura também depende das precauções tomadas para a transmissão do calor por refrigerantes tais como ar, óleo, água ou Freon. O êxito do projeto de uma máquina depende da exploração de conhecimentos nos campos da dinâmica, análise de tensões, termodinâmica, transmissão de calor e propriedades dos materiais. Entretanto, o objetivo deste capítulo é tratar somente com relações cinemáticas em máquinas. Nos capitulos subsegientes, apresentam-se forças e acelerações em conexão com a determinação de forças que atuam em peças de um mecanismo e em ligação com balanceamento de má- quinas e vibração. Para corpos que giram em torno de um eixo fixo, tais como rotores, os valores cinemáticos podem ser logo determinados através de fórmulas elementares bem conhecidas (V= oR, 4" = w? R, A' = «R). Entretanto, os mecanismos tais como o cursor-manivela e suas inversões são combinações de peças consistindo não somente de um rotor mas também de membros oscilantes e alternativos. Devido às velocidades e acelerações relativas entre as diversas peças, juntamente com as inúmeras posições relativas possíveis, a análise cinemática de sistemas articulados é relativamente complexa comparada com a de um rotor. Os prin- cípios e métodos ilustrados neste capítulo são em primeiro lugar aqueles para a análise de sistemas articulados consistindo de combinações de rotores, barras, cursores, cames, engrenagens e elementos rolantes. Nas apresentações seguintes, consideram-se como corpos rígidos as peças de um mecanismo nos quais, a distância entre dois pontos de uma peça em movimento permanece fixa. As peças sujeitas a grandes deformações durante o movimento, tais como as molas, enquadram-se em outra categoria e são anali- sadas como elementos vibrantes. A maior parte dos mecanismos elementares realiza movimento plano ou pode ser analisada como tal. Os mecanismos nos quais todos os seus pontos se movem em planos paralelos são considerados como estando em movimento plano. Um exemplo é um mecanismo de quatro barras (Fig. 10.1) consistindo de duas manivelas e uma biela. Este arranjo é conhecido por mecanismo de balancim duplo. O movimento de uma peça é expresso em termos de deslocamentos lineares, velocidades lineares e acelerações lineares dos pontos que constituem a peça. Entretanto, o movimento de uma peça também pode ser expresso em termos de 10 / CINEMÁTICA DE MÁQUINAS 27 locamentos angulares, velocidades angulares e acelerações angulares de linhas se movem com a peça rígida. Na Fig. 10.1, a velocidade linear V, e a aceleração linear A, do ponto 4 mostradas pelos vetores fixos em 4. Devido ao pino de articulação em A, ponto 4, da peça 2 e o ponto 4, da peça 3 têm o mesmo movimento e os lores mostrados em A representam os movimentos de ambos os pontos. Os vimentos angulares das peças 2 e 3 são diferentes, dados pelas velocidades ulares , e «, e pelas acelerações angulares «, e a. Usualmente o movimento igular de uma peça motora é conhecido ou presumido, tal como w, e «, da ig. 10.1 e os movimentos da biela e da peça conduzida devem ser, determinados. Fig. 10.1 10.2 Movimento Linear de um Ponto. Nos mecanismos, os pontos de uma peça são obrigados a se moverem em determinadas trajetórias, muitas das quais são óbvias, tais como circunferências e linhas retas. Na Fig. 10.1, os pontos das peças 2 e 4 são obrigados a se deslocarem em trajetórias circulares. Os pontos da peça 3, entretanto, deslocam-se ao longo de trajetórias curvilíneas menos simples do que circunferências ou linhas retas. Diz-se que um ponto está em translação curvilínea quando se desloca segundo uma trajetória curvilinea. As relações cinemáticas básicas para o movimento «le um ponto em translação plana são já conhecidas através do estudo de mecânica. Os parágrafos seguintes apresentam uma revisão dessas relações, com referência à Fig. 10.2. A velocidade linear Vp de um ponto P é a taxa de variação instantânea da posição do ponto, ou deslocamento, em relação ao tempo. Referindo-se à Fig. 10.2, em um pequeno intervalo de tempo At, o ponto se desloca de AS ao longo da Irajetória curva, da posição P até a posição P. Ao mesmo tempo, o raio de cur- vatura da trajetória do ponto varia de Ra R + AR e fica sujeito a um desloca- mento angular A6,. Portanto, o deslocamento AS possui duas componentes: wma devida ao deslocamento angular Af, do raio R e a outra devida à variação de comprimento AR. Partindo-se deste deslocamento, pode-se determinar uma equação para a velocidade V,: 278 DINÂMICA DE MÁQUINAS / Parte 2 - [AS] [46 xR, AR Vo = jm, [58] = tm, At +25] pº dR (10.1) Vp=0,xR+ de onde q, = d9,/dt é a velocidade angular instantânea do raio de curvatura e dRjdt é a taxa de variação do raio de curvatura com o tempo. 10 / CINEMÁTICA DE MÁQUINAS 279 Em muitas aplicações na cinemática o raio R é constante de modo que a |. 10.1 torna-se Vp=0,xR |Vol = Ro, (10.14) m a direção do vetor velocidade V, tangente à trajetória no ponto Pe com mesmo sentido do deslocamento do ponto P. A aceleração linear Ap de um ponto P é a taxa de variação instantânea de velocidade em relação ao tempo. Se a trajetória for curvilinea, à variação vetor velocidade do ponto em um pequeno intervalo de tempo At poderá ser ima mudança de direção assim como uma mudança de módulo. Na Fig. 10.2b se que a velocidade V, do ponto é tangente à trajetória em P, no instante t que após intervalo de tempo At sua velocidade é V, e é tangente à trajetória P”. Assim, o vetor velocidade mudou em módulo e em direção através do locamento angular 49,. Conforme mostrado no polígono de velocidades da Ig. 10.2b, a variação vetorial da velocidade é AV,. a qual pode ser representada las componentes ortogonais AV; AV; que tornam-se, respectivamente, normal e nte à trajetória, quando At e A6, tendem para zero. A variação da compo- te normal da velocidade em relação ao tempo é a aceleração normal Ap do nto P: + tim [AVE] 2 po [2Vpsend0,2] do, as = gm, [22] = tm [ At de dado da” Vem o, x R + do, dR 5 = Gia o, x + E] E=0,x(0,xR)+0,x SE (10.2) o raio R for constante, a Eq. 10.2 ficará: Ap=0,x(0w,xR) 282 DINÂMICA DE MÁQUINAS / Parte 2 oposta a Vo, a partícula Q ficará estacionária no plano. fixo e P ganhará uma componente adicional de velocidade — Vo relativa ao plano fixo. A nova velo- cidade absoluta de P(Vp — Vo), portanto, tornar-se-á a velocidade relativa Mi porque a partícula Q está agora fixa em relação ao plano de referência. Isto est: mostrado no diagrama vetorial da Fig. 10.4b da qual a equação de V po torna-se Veg =Ve —Vo (10.5) PQ De um modo semelhante Vop pode ser obtido através da soma de —Yp a cada partícula, conforme mostrado na Fig. 10.4c. Vop é dado pela equação Vor=Vo —Yr Vo = Vru, Ve «o Trajetórias Vo absolutas Vor, Vo q (e) (a) Fig. 10.4 A equação vetorial para a aceleração da partícula P relativa à partícula Q tem a forma semelhante à Eq. 10.5. Apo = Ap — Aq O movimento angular de uma reta pode ser considerado em relação a outra reta em movimento. Na Fig. 10.5 as velocidades angulares q», e q; das retas sobre as peças 2 e 3, respectivamente, são consideradas em relação à reta a =u pertencente à peça fixa. Se somarmos — , às peças 2 e 3, a peça 3 ficará estacionária e a nova velocidade absoluta da peça 2w, — w,) portanto, tornar- se-á a velocidade angular relativa w,, porque a peça 3 agora está fixa. Portanto, (10.6) Opa) mr Da) O (10.7) Do mesmo modo (10.8) oa os 10/CINEMÁTICA DE MÁQUINAS GR 1 N Fig. 10.5 10.5 Métodos de Análise de Velocidade e de Acelerações. Entre os diversos los de determinação de velocidades e acelerações em mecanismos, três ntram grande aplicação. Estes métodos, que serão apresentados nas seções intes, são (a) análise usando cálculo vetorial para determinar a velocidade aceleração de um ponto em relação a um sistema móvel e a um sistema fixo coordenadas: (b) análise usando equações do movimento relativo as quais são lvidas graficamente através de polígonos de velocidades e de acelerações: análise usando equações vetoriais escritas na forma complexa. Além disso, abordada a determinação de velocidades através dos 'centros instantâneos rotação assim como a diferenciação gráfica ou por meio de computador de as deslocamento-tempo e velocidade-tempo para obtenção de velocidades e lerações respectivamente. Dos métodos de análise de velocidades e de acelerações aqui mencionados, jo de qualquer um dos dois primeiros mantém o conceito físico do problema. retanto, o terceiro método, usando vetores na forma complexa, tende a tor- =se muito mecânico em seu emprego de modo que os aspectos físicos do iblema logo se perdem. Deve-se também mencionar que o primeiro e o terceiro. odos conduzem a soluções programáveis em computador o que é uma van- im decisiva se o mecanismo tiver que ser analisado para um ciclo completo. 10.6 Análise de Velocidade e de Aceleração por Cálculo Vetorial. Na 10.6 o movimento do ponto P é conhecido em relação ao sistema de coorde- xyz O qual por sua vez move-se em relação ao sistema de coordenadas Z. A posição do ponto P em relação ao sistema X YZ pode ser determinada (10.9) os vetores unitários i, j e k são fixos aos eixos x, y e z, respectivamente, R=xi+yj+zk (10.10) locidade do ponto P relativa ao sistema X YZ pode ser obtida diferenciando-se : 109 em relação ao tempo para dar 284 DINÂMICA DE MÁQUINAS / Parte 2 Vo=R,=R,+R. (10.11) Diferenciando-se a Eq. 10.10 em relação ao tempo, vem R=(i+yj+2)+ (d+ yi+ do (10.12) Fig. 10.6 O termo (Xi + Yj + 2k) é a velocidade do ponto P em relação ao sistema móvel de coordenadas. Por conveniência seja Gi+yj+d)=V (10.13) Consideremos em seguida os termos no segundo parêntesis da Eq. 10.12. Pode-se demonstrar que a velocidade da extremidade de um vetor r, que passa por um ponto fixo e gira em torno desse ponto com uma velocidade angular o é V=oxr Também as velocidades das extremidades dos vetores unitários i,j.k podem ser expressas por i=oxi i=0x5 k=oxk onde «» é a velocidade angular do sistema móvel de coordenadas xyz em relação ao sistema fixo X YZ. Fazendo as substituições, E TES ar 1 cotai o 1 à ciltão ui Gu a DO qi Ar del SM led |: 10 / CINEMÁTICA DE MÁQUINAS 285 considerando a Eq. 10.10 xi+tyj+zk=oxR (10.14) equação 10.12 então toma-se R=V+o0xR (10.15) equação 10.11 pode agora ser escrita fazendo V, = R, e substituindo R obtido equação 10.15 Vp=Vo+V+oxR (10.16) le Vo = velocidade da origem do sistema xyz em relação ao sistema X YZ V = velocidade do ponto P em relação ao sistema xyz o = velocidade angular do sistema xyz em relação ao sistema X YZ R = distância da origem do sistema xyz ao ponto P. À aceleração do ponto P em relação ao sistema X YZ agora pode ser deter- ada diferenciando-se a Eg. 10.6 Ap=Vp=VW+V+tóxR+oxR (10.17) têm-se V diferenciando-se a Eq. 10.13 V=(Ri+yj+2)+Gi+dj+ ay (10.18) lermo (Xi + Jj + 2k) é a aceleração do ponto P em relação ao sistema móvel coordenadas xyz. Assim (Ki+jj+2Zk)=A (10.19) nsiderando os termos do segundo parêntesis da Eq. 10.18, sdiryjrik=dox)+Hox)+iÃoxk=ox(Ki+jyj+ sk) Eq. 10.13 Gi + yj+aky=V Portanto, v=0 oxR=(ox Rj Substituindo estas relações na equação de V, 0,9986 Vai + 0,0523 V5j = 1,5588i —-09j + (o x Rj. Somando as- componentes i 0,9986 Vji = 1,5588i Vs = 1,5610 m/s. Portanto, Vy = (0,9986) (1,5610) à + (0,0523) (1,5610) j = 1,588 i + 0,0816 j. Somando as componentes j 0,0523 Vjj = — 0,95 + (0 x R)j (0,0523) (1,561)j = — 0,9j + (0 x R)j (o x R) = 0,9816 m/s. Portanto, ox R =09816jms Oo8t6 | 0986 4908 rad/s (SAH) Do Os Cura Ens 02 v, 1,561 : =—B =D =7,805rad AH ER ENE SE SATROS ron ASA A equação da aceleração do ponto B pode ser obtida da Eq. 10.23 Ap=A+A+ 2oxV+oóxR+ox(oxR) DINÂMICA DE MÁQUINAS / Parte 2 |. 10 / CINEMÁTICA DE MÁQUINAS 289 n vã 1,5612 lag = 05 = do = 12,18 mA?, sentido de B para O, |Agl = direção perpendicular a 0,B, módulo desconhecido IAo| = |A4| =|A3] = (0,4) 02 = (0,075) (24?) = 43,2 my?, sentido de A em direção a OA, =0) A =0 porque B é um ponto fixo no sistema xy Zo x V =0 porque V =0 Ôw x R = direção perpendicular a AB módulo desconhecido ox(oxR)= —c?R sentido de B para 4 w = 4,908 rad;s, calculado «PR = (4908? x 0,2 = 4,82 mp. -se determinar a direção de à x R, já que o vetor que representa à tem a ão perpendicular ao plano xy. O produto vetorial à x R será um vetor ido no plano xy e perpendicular a R. A direção de q x (w x R) pode ser rminada usando-se a Fig. 10.9 onde w tem o sentido anti-horátio (SAH) forme determinado anteriormente. wxR Fig. 10.9 A equação de A, pode-se resolver por cálculo vetorial da seguinte maneira: H. Ap=A+tA+ZOxV+oxR+Ox(mxR) As = Aj(— sen3ºi + cos 3º j) = 12,18(— 0,0523i + 0,9986j) = — 0,6370i + 12,165 AicosI is cenICh = NOORA 4! dE 4 00592 4! 1 na A! 290 DINÂMICA DE MÁQUINAS / Parte 2 A, = 4, = Ad— cos 60º i — sen 60º j) = = 43,2(— 0,500i — 0,866j) = — 21,61 — 37,45 A=0 20 xV =0 oxR=(oxRj ox(woxR) = 482im/s Substituindo estas relações na equação de Ag, — 0,6370i + 12,165 + 0,9986 Agi + 0,0523 Ajj = — 21,6i — 374j + + (à x R)j — 4821. Somando as componentes i, — 0,6370i + 0,9986 Ai = —21,6i — 482i 0,9986 Ai = — 25,781 A; = — 2582 mp. Portanto, AS, = (0,9986) (— 25,82) i + (0,0523) (— 25,82) j = — 25,781 — 1,355. Somando as componentes j 12,16 + 0,0523 A4j = — 37,45 + (0 x R)j 12,16) — 135j= —37,4j + (0 x RJj (à x R) = 48,21 m/s2. Portanto, oxR =4821jm/s 48,21 48,21 0% 241 rad? (SAH) v=0%ã= Cap. 10 / CINEMÁTICA DE MÁQUINAS 291 cleo a So = 19rads? (SH) As = AL +AS = 0637 + 12,16) —25,78i — 1,35] = = — 26,42i + 1081j |As| = 2642 + 10817 =28,55 mp2. A fim de se obter uma melhor compreensão dos vetores envolvidos na análise de velocidades e de acelerações do mecanismo do exemplo 10.1, será apresentada uma solução gráfica das equações vetoriais. O mecanismo da Fig. 10.7 está repetido na Fig. 10.10a assim como os polígonos que dão os vetores e as direções dos vetores que foram previamente determinados por via analítica. A Fig. 10.10b mostra a representação gráfica da equação da velocidade Vi=Vo+V +oxR nde portanto Vo=-V,toxR A soma dos vetores V, e w x R para dar V, pode ser vista facilmente no lígono da Fig. 10.10b. (b) Fie. 10.10 204 DINÂMICA DE MÁQUINAS / Parte 2 0,455i — 0,207; = — Val+vVi Somando as componentes i 0455i = Vi V = 0,455m/s Portanto, V=0,45Sim/s Somando as componentes j, Va, = 0207 m/s Portanto, Va —-0,207;m/s e v, 0207 O, = Dio = nos = 637 radjs (SAH), Pode-se escrever a equação da aceleração de A A, à partir da Eq. 10.23, como se segue: An =A+A+ZOXxV+oxR+Ox(wxR) onde |At,| = (0,49) 02 = 0,050 x 102 = 5 m/s?, sentido de A, para O, Aa =0 Ao = As, E Lg 0,207? a ; [VR - VA, = “0,03557 = 1,32m/s?, sentido de A; para O, Ay, — direção perpendicular a 0;4;, valor desconhecido | CINEMÁTICA DE MÁQUINAS 295 A" = 0 porque o raio de curvatura é infinito. (A trajetória do ponto 4, em relação ao sistema xy é uma linha reta ao longo da linha de centro da ranhura.) A' = direção paralela a 0;4,, valor desconhecido o x V|=2x6,37x 0,455 = 5,797 m/s?, direção do eixo y, sentido positivo. (Ver Fig. 10.12.) à x R O porque R = 0 x (w x R) = O porque R = 0. equação de A, é resolvida por cálculo vetorial e 2 calcula-se a partir de Ati Fig. 10.12 An=A+A+ZOxV+OxXR+Ox(wxR) Ay, = Al sen 24,4ºi — cos 24,4ºj) = 5(— 0,4131i — 09107) = = — 207i - 4,55j A, =0 Ao = As, A, = L2im/s? A = Ad (suposta positiva) A" =0 A = Ai Zo x V = 5,797jms 296 DINÂMICA DE MÁQUINAS / Parte 2 oxR=0 h ox(oxR)=o0. Substituindo estas relações na equação de A,, -2,07i-4,55j = 1,321 + A4,j + 4'i + 5,975 Somando as componentes i —207i=1,32i+ Ai A! = — 339 m/s2. ] Portanto, A'= — 339im/s2. Somando as componentes j — 455j = A4,j + 5,1975 A, = — 10,35 m/s. Portanto, A, = — 1035jm/s? An A, + As, = 1321 — 1035; IA = 1,32 + 10,357 = 10,43 m/º? AGO 1035 2 Be OA, = = 321 rad/s 0325] (SAE, Deve-se mencionar que a origem do sistema xy foi considerado no ponto A, com o ponto 4, sendo P, devido à trajetória do ponto 4, em relação ao ponto Ay (e portanto o sistema xy) ser uma linha reta. Se a origem do sistema xy fosse considerada no ponto 4,, com o ponto 4; sendo P a solução teria sido mais difícil porque a trajetória de A, em relação a 4, não é conhecida de imediato. A fim de apresentar a solução gráfica do exemplo 10.2, o mecanismo da Fig. 10.11 está repetido na Fig. 10.134. A Fig. 10.13b mostra a representação gráfica da equação da velocidade Va=W+V+oxR . 10 / CINEMÁTICA DE MÁQUINAS Vas v Va (py n A Ms Zu XV (y (e) Fig. 10.13 Vo = Va oxR=0 portanto, Va Vatv lítica, o = 6,37rad/s (SAH). An=A+A+ZOxV+OxR+0x(wxR) ara =o T A Fig. 10.13c mostra a representação gráfica da equação da aceleração soma dos vetores V, e V para dar V 4, pode ser vista facilmente no polígono Fig. 10.13b. Calcula-se o valor de «o; da mesma maneira que na solução 300 DINÂMICA DE MÁQUINAS / Parte 2 ficará inalterada. Portanto, de acordo com a Fig. 10.15b, em relação a Q, a peça gira com velocidade angular «», em torno de Q como se Q fosse um centro fixo. j (a) (db) Trajetória de P em relação a Q Trajetória de Q em relação a P (d) Fig. 10.15 Em relação a Q, qualquer outra partícula na peça tal como P, é obrigada a mover-se em uma trajetória circunferencial conforme mostrado na Fig. 10.15c porque a peça é um corpo rigido e a distância PQ é fixa. A velocidade relativa Vpo de P em relação a Q é tangente à trajetória relativa conforme indicado na figura. Como o raio de curvatura R da trajetória relativa é igual a PQ e a velocidade angular «, do raio de curvatura é igual a »,, o módulo de Vpo pode ser determinado a partir da Eg. 10.1a, a saber: |Vrol = (PO) 0, (10.25) dR/dt é zero porque a trajetória relativa é circular. Deve-se observar na Fig. 10.25 que se a peça não tiver velocidade angular obsoluta, a velocidade relativa V po de duas particulas quaisquer da peça é zero A peça então estará em movimento de translação e as velocidades absolutas de todas as suas partículas são iguais. Na Fig. 10.15c, a direção de Vpo é tangente à trajetória circular relativa e é indicada por um vetor atuando em P. O sentido de Vpo é determinado pela rotação de P em torno de Q no mesmo sentido de w,. Mostra-se na Fig. 10.15d o vetor V,, representando a velocidade de Q em relação a P. Pode-se ver que . 10 / CINEMÁTICA DE MÁQUINAS 301 relação a P a velocidade «», da peça 3 tem o mesmo módulo e o mesmo tido que no movimento em relação a Q. Portanto, os módulos de Vor € Vpo jo os mesmos. Suas direções também são as mesmas já que ambas são perpen- lares à linha PQ. Entretanto, o sentido de Vor é oposto ao de Vpo. Conforme ilustrado no exemplo seguinte, as Egs. 10.24 e 10.25 e o conhe- ento da direção e sentido da velocidade relativa de duas particulas de uma rminada peça são necessários na análise cinemática de mecanismos. emplo 10.3 A peça 2 de um mecanismo de quatro barras da Fig. 10.16a é a peça motora uma velocidade angular uniforme w, de 30rad/s. Para a fase mostrada, trua o polígono de velocidades e determine a velocidade V, do ponto B, as locidades angulares w, e w, e as velocidades angulares relativas. Construa bém as imagens de velocidades de todas as peças para mostrar como se deter- a velocidade linear de qualquer ponto do mecanismo. As equações da velo- podem ser escritas da seguinte maneira: Vo =Va + Vo V, = direção perpendicular a 0,B, módulo desconhecido V, = (0,4) w, = (0,102)30 = 3,06m/s, direção perpendicular a 0,4 Va = direção perpendicular a BA, módulo desconhecido. idos no polígono: Va = 1,52m/s e Va, = 3,18m/s o, = a = sr = 157 rad/s SAH ra va as aa = 19,9 rad/s SAH 0 = 0,—0,= 15,1 —(— 30) = 45,7 rad/s SAH 0 = 0, q, = 19,9 — 157 =42rad/s SAH Voa Vea Ve = Vs + Vos 302 DINÂMICA DE MAQUINAS / Parte 2 Ve = direção desconhecida, módulo desconhecido Vea = direção perpendicular a CA, módulo desconhecido Veg = direção perpendicular a CB, módulo desconhecido. Medidos no polígono: V. = 3,05 m/s, Ve, — 1.60m/s. Vop — 2,39 m/s. Solução. A equação | expressa V, em termos de V, e Voy. Conforme indicado, das componentes V, e V,, conhecem-se apenas as direções enquanto que do vetor V, conhecem-se módulo, sentido e direção. Na construção do polígono de velocidades da Fig. 10.16b começando pelo membro da direita da equação I, desenha-se o vetor V, com origem no polo O, e sua extremidade é denominada de “A”. A seguir marca-se a direção de V,, a partir do ponto 4. Como se pode ver, é impossível completar a solução usando-se somente estas duas componentes. Portanto, considerando o membro da esquerda da equação, traça-se a direção de V, a partir de O,. A interseção da direção de V, com a direção de Vs, completa o poligono. Marcam-se os sentidos dos vetores Vo e Voy de modo que a soma dos vetores do polígono fique de acordo com a soma dos termos da Eq. 1. A extremidade do vetor V, é denominada de “B”. Os módulos e sentidos de w, e «, agora podem ser determinados a partir de V,, € Va, respectivamente, assim como «;, e «),,, conforme indicado. Para a determinação de V. é necessário empregar as Egs. II e III, as quais dão as relações entre Vc, V, e Vp: As direções de Vc, e Vcy são conhecidas. Os vetores velocidades V, e V, são desenhados novamente na Fig. 10.16, para obter-se um diagrama mais explícito. Usando a Eq. II traça-se a direção do vetor Vc. à partir do ponto 4. A seguir. empregando-se a Eq. III, traça-se a direção do vetor Vcg. a partir do ponto B. A interseção da direção de Vc, com a direção de V.., completa o polígono. Esta interseção é o ponto C, que determina o vetor V. Confere-se a soma vetorial no polígono através das Eqgs. II e III. O triângulo hachurado ABC da Fig. 10.16c é conhecido como imagem de velocidade da peça 3, e como tal possui a mesma forma da peça 3. A velocidade de qualquer ponto D pertencente à peça 3 pode ser determinada localizando-se sua posição correspondente na imagem de velocidade da peça 3. O vetor que liga O, a D é V, (208 cm/s) conforme indicado na Fig. 10.16c. A imagem de velocidade da peça 1 está sobre o pólo O, porque a peça 1 é fixa e tem veloci- dade nula. As imagens das peças 2 e 4 são as retas 0,4 e 0,B, respectivamente, as quais correspondem a 0,4 e 0,B, respectivamente, no diagrama de velocidades. Na análise acima, determinou-se a velocidade angular «», a partir da relação V, BA BA q = Deve-se mencionar também que após a determinação da imagem de velocidade da peça 3, pode-se calcular w, através de 10 / CINEMÁTICA DE MÁQUINAS 303 Va — Vea Voa PaTircA» CBDA outras palavras, todas as velocidades relativas de pontos de uma peça são rcionais às distâncias entre esses pontos. Dimensões 034 = 10,2 em AB = 20,3 cm 048 = 7,62 cm AC = 102 cm BC = 15,2cm 30rals was? vor! sra Fig. 10.16 10.10 Velocidade Relativa de Partículas Coincidentes em Peças Separadas. muitos mecanismos tais como na Fig. 10.14b, obtém-se a limitação do movi- to relativo guiando-se a partícula P de uma peça ao longo de uma trajetória terminada, em relação a outra peça. através de uma superfície-guia. Tal rição é encontrada em cames e nas inversões do mecanismo cursor. manivela, le a superficie de uma peça controla o movimento de uma particula sobre tra peça através de deslizamento ou rolamento. Na Fig. 10.17, a partícula P, da peça 3 está em movimento ao longo de uma etória curvilinca traçada sobre a peça 2 devido à ranhura-guia existente nº 
