Baixe [20-01-2011] apostila matemática bb 2011 e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
1
MATEMÁTICA
NÚMEROS
Números Naturais
O conjunto dos números naturais é o conjunto formado pelos números 1, 2, 3,….
O conjunto dos números naturais será indicado pelo símbolo ` , ou seja :
` ={1, 2,3, …}
Números Inteiros
O conjunto dos números inteiros é o conjunto formado pelos números … , −3, −2, −1, 0,1, 2, 3,….
O conjunto dos números inteiros será indicado pelo símbolo ] , ou seja :
] = {… , −3, −2, −1, 0,1, 2,3, …}
Observações importantes:
1 – O número 1 possui apenas um divisor, que é ele próprio.
2 – Todo número inteiro, exceto 1, possui pelo menos dois divisores, que são o número 1 e próprio inteiro.
Definição: Um número inteiro positivo é chamado número primo quando possui apenas dois divisores, o número 1 e ele próprio.
Teorema Fundamental da Aritmética (T.F.A.)
“Todo número inteiro pode ser escrito, de maneira única, como um produto de potências de números primos”.
Definição: Dados dois números inteiros a e b ,
indicamos por MDC(a,b) o máximo divisor comum dos inteiros a e b.
Em outras palavras, o MDC entre dois números inteiros é o maior número inteiro que divide os dois números simultaneamente.
Definição: Dados dois números inteiros a e b ,
indicamos por MMC(a,b) o mínimo múltiplo comum dos inteiros a e b.
Divisão em ]
Quando dividimos números inteiros, nem sempre a divisão é exata, quando isso não acontece, a divisão é não exata e deixa resto.
Para dividir inteiros recorremos ao seguinte dispositivo prático:
D d r q
, onde D é o dividendo , (^) d é o divisor , q é o quociente e r é o resto.
A relação entre estes elementos é dada por:
D = d ⋅ q + r , com 0 < r < d
Números Racionais
O conjunto dos números racionais é o conjunto formado por todas as frações cujos termos são números inteiros, com o denominador diferente de zero.
O conjunto dos números racionais será indicado
pelo símbolo (^) _ , ou seja : / , *
a a b b
= ⎧^ ∈ ∈ ⎫ ⎨ ⎬ ⎩ ⎭
_ ] ]
Adição em _
Para somar dois números racionais, utilizamos a seguinte regra:
a c a d b c b d b d
⋅ + ⋅
Multiplicação em _
Para multiplicar dois números racionais, utilizamos a seguinte regra:
a c a c b d b d
⋅ ⋅ = ⋅
Divisão em _
Para multiplicar dois números racionais, utilizamos a seguinte regra:
a c a d a d b d b c b c
⋅ ÷ = ⋅ = ⋅
Observação: As dízimas periódicas são sempre números racionais, pois podem ser expressas como fração de dois inteiros e esta fração é dita fração geratriz da dízima.
2
Números Irracionais
Chamamos de número irracional , qualquer número que pode expressar uma medida, mas não pode ser escrita como fração de dois inteiros.
Resumindo, um número irracional é um número que representa uma medida e não é racional.
Observação: Os números irracionais possuem infinitas casas decimais que não formam uma dízima periódica.
Exemplo: 2 , 3 , 3 4 , 5 25 , π etc…
Números Reais
O conjunto dos números reais é o conjunto formado por todos os números racionais e irracionais. De fato, os números reais são todos aqueles que têm representação decimal e expressam uma idéia de quantidade, seja relativo ou absoluto.
SISTEMA LEGAL DE MEDIDAS
Medidas de Comprimento
A unidade padrão de comprimento é o metro , que será representado pela letra m.
As tabelas abaixo relacionam os múltiplos e submúltiplos do metro.
Tabela de Múltiplos
Nome Símbolo Relação Quilômetro km 1 km =1000 m Hectômetro hm 1 hm =100 m Decâmetro dam 1 dam =10 m Tabela de Submúltiplos
Nome Símbolo Relação Decímetro dm 1 dm =0,1 m Centímetro cm 1 cm =0,01 m Milímetro mm 1 mm =0,001 m Medidas de Superfície
A unidade padrão de superfície é o metro quadrado , que será representado por m^2.
As tabelas abaixo relacionam os múltiplos e submúltiplos do metro quadrado.
Tabela de Múltiplos
Nome Símbolo Relação Quilômetro Quadrado
km^2 1 km^2 =1000000 m^2
Hectômetro Quadrado
hm^2 1 hm^2 =10000 m^2
Decâmetro Quadrado
dam^2 1 dam^2 =100 m^2
Tabela de Submúltiplos
Nome Símbolo Relação Decímetro Quadrado
dm^2 1 dm^2 =0,01 m^2
Centímetro Quadrado
cm^2 1 cm^2 =0,0001 m^2
Milímetro Quadrado
mm^2 1 mm^2 =0,000001 m^2
Medidas Agrárias
A unidade agrária padrão é o are , que será representado pela letra a.
As tabelas abaixo relacionam os múltiplos e submúltiplos do are.
Tabela de Múltiplos
Nome Símbolo Relação Hectare ha 1 ha =100 a
Tabela de Submúltiplos
Nome Símbolo Relação Centiare ca 1 ca =0,01 a
Existe uma relação fundamental entre as medidas de superfície e agrárias, que é dada por:
1 a = 1 dam^2
Medidas de Volume
A unidade padrão de volume é o metro cúbico , que será representado por m^3.
As tabelas abaixo relacionam os múltiplos e submúltiplos do metro cúbico.
Tabela de Múltiplos
Nome Símbolo Relação Quilômetro Cúbico
km^3 1 km^3 =10 9 m^3
Hectômetro Cúbico
hm^3 1 hm^3 =10 6 m^3
Decâmetro Cúbico
dam^3 1 dam^3 =10 3 m^3
Tabela de Submúltiplos
Nome Símbolo Relação Decímetro Quadrado
dm^3 1 dm^3 =10 -3^ m^3
Centímetro Quadrado
cm^3 1 cm^3 =10 -6^ m^3
Milímetro Quadrado
mm^3 1 mm^3 =10 -9^ m^3
4
REGRA DE TRÊS
Regra de Três Simples
Definição: Regra de Três é um processo prático com o objetivo de resolver problemas envolvendo grandezas direta ou inversamente proporcionais.
Neste caso, utilizaremos a regra de três simples quando tivermos um problema envolvendo apenas duas grandezas.
Regra de Três Simples Direta
Dizemos que a regra de três simples é direta quando as grandezas envolvidas no problema são diretamente proporcionais, ou seja, quando a variação em uma das grandezas implica uma variação similar na outra grandeza.
Regra de Três Simples Inversa
Dizemos que a regra de três simples é inversa quando as grandezas envolvidas no problema são inversamente proporcionais, ou seja, quando a variação em uma das grandezas implica uma variação contrária na outra grandeza.
Regra de Três Composta
Quando estamos diante de um problema envolvendo mais de duas grandezas utilizaremos a regra de três composta para resolvê-lo. Isso é feito comparando a grandeza desejada com todas as outras grandezas em questão, uma a uma
PORCENTAGEM
Cálculo Percentual
O cálculo percentual depende dos seguintes elementos:
P Principal.
p porcentagem (ou percentagem).
i taxa percentual ( % ).
Estes elementos satisfazem a relação:
100
P i p
⋅
SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS
Progressões Aritméticas (P.A.)
Definição: Uma Progressão Aritmética é uma sequência de números reais, onde a diferença entre quaisquer dois termos consecutivos é sempre constante.
Exemplo: 2, 5, 8, 11, 14
5 − 2 = 8 − 5 = 11 − 8 = 14 − 11 = 3
Os elementos de uma P. A. são chamados termos e enumerados pela ordem em que aparecem. No exemplo anterior temos:
2 é o primeiro termo, 5 o segundo, 8 o terceiro etc...
Definição: A constante da diferença entre quaisquer dois termos consecutivos de uma P. A. é chamada razão da P. A. e será indicada pela letra r.
Na P. A. 2, 5, 8, 11, 14 temos r = 3. Podemos classificar uma P. A. em:
a) crescente , quando (^) r > 0.
b) constante , quando r = 0.
c) decrescente , quando (^) r < 0.
Termo Geral de uma P. A. O n-ésimo termo de uma P. A. será denotado por an
Na P. A. 2, 5, 8, 11, 14 temos:
a 1 (^) = 2, a 2 (^) = 5, a 3 (^) = 8, a 4 = 11 e a 5 (^) = 14.
Seja a 1 (^) , a 2 (^) , a 3 (^) , a 4 , … , an uma P. A. de razão r , então: an = a 1 (^) + ( n − 1)⋅ r
, onde n^ é a ordem do elemento an na P. A.
Soma dos n primeiros termos de uma P. A.
A soma dos n primeiros termos de uma P. A., indicada por Sn , é dada pela expressão:
( 1 ) 2
n n
a a n S
Progressões Geométricas (P.G.)
Definição: Uma Progressão Geométrica é uma sequência de números reais, onde o quociente entre quaisquer dois termos consecutivos é sempre constante.
Exemplo: 2, 6, 18, 54, 162
6 18 54 162 3 2 6 18 54
= = = =
5
Os elementos de uma P. G. são chamados termos e enumerados pela ordem em que aparecem, no exemplo anterior temos:
2 é o primeiro termo, 6 o segundo, 18 o terceiro etc...
Observação: A constante do quociente entre quaisquer dois termos consecutivos de uma P. G. é chamado razão da P. G. e será indicada pela letra q.
Na P. G. 2, 6, 18, 54 , 162, … temos q = 3.
Termo Geral de uma P. G.
O n-ésimo termo de uma P. G. será denotado por an
Na P. G. 2, 6, 18, 54 , 162, … temos:
a 1 (^) = 2, a 2 (^) = 6, a 3 (^) = 18, a 4 = 54 e a 5 (^) = 162.
Seja a 1 (^) , a 2 (^) , a 3 (^) , a 4 , … , an uma P. G. de razão q , então: 1 1
n an a q = ⋅ −
, onde n é a ordem do elemento an na P. G.
Soma dos n primeiros termos de uma P. G.
Notação: A soma dos n primeiros termos de uma P. G., denotada por S (^) n , é dada pela expressão:
1 (^ 1) 1
n n
a q S q
⋅ −
−
, com q ≠ 1
Observação: Quando q = 1, todos os termos da P. G. são iguais, e neste caso dizemos que a P. G. é constante.
A soma dos termos de uma P. G. constante é dada por:
Sn = a 1 ⋅ n
Soma dos termos de uma P. G. Infinita
A soma dos termos de uma P. G. Infinita, indicada apenas por S , é dada por:
1 1
a S q
= −
, com − 1 < q < 1
NOÇÕES DE ESTATÍSTICA
Introdução à Estatística
Definição: A estatística é a ciência que se ocupa da organização, descrição, análise e interpretação de dados.
População ou Universo: É conjunto (finito ou infinito) formado por todos os indivíduos, objetos ou informações que apresentam, entre si, pelo menos uma característica comum.
Censo: É o levantamento a 100% de uma ou mais características de uma população.
Amostra: É uma parte da população que mantém as características essenciais desta população.
Organização de dados estatísticos
A organização de dados estatísticos denomina-se Série Estatística.
As séries estatísticas classificam-se em:
- Cronológica, Temporal, Evolutiva ou Histórica: Quando os dados são observados segundo a época de ocorrência;
- Geográfica ou de localização: Os dados são observados segundo o local de ocorrência;
- Específica ou Categórica: Os dados são observados segundo a modalidade de ocorrência;
- Conjugada: Quando temos duas séries numa única tabela.
Gráficos Estatísticos
O gráfico estatístico é uma forma de representação dos dados estatísticos, cujo objetivo é o de produzir, no investigador ou no público em geral, uma impressão mais rápida e viva do fenômeno em estudo.
Os princípios de utilidade um gráfico estatístico são simplicidade, clareza e veracidade.
Os principais gráficos estatísticos são:
- Gráfico em linha:
- Gráfico em colunas:
- Gráfico em barras:
- Gráfico em setores (Pizza ou torta):
Utilizaremos a tabela de dados abaixo para exemplificar cada um dos tipos de gráficos estatísticos abordado.
Freqüência acumulada: A freqüência acumulada, indicada por Fac , é a soma das freqüências de todos os valores inferiores ao limite superior do intervalo de uma dada classe.
Freqüência acumulada relativa: A freqüência acumulada relativa, indicada por Fr , é a razão entre a freqüência acumulada e o número de elementos da coleta de dados.
Importante: Se a freqüência acumulada relativa for crescente, então a freqüência acumulada relativa no último intervalo de classe é unitária. Por outro lado, se a freqüência acumulada relativa for decrescente, então a freqüência acumulada relativa no primeiro intervalo de classe é unitária.
Uma distribuição de freqüência pode ser representada graficamente pelo histograma.
- Histograma: O histograma é formado por um conjunto de retângulos justapostos, cujas bases se localizam sobre o eixo horizontal, de tal modo que seus pontos médios coincidam com os pontos médios dos intervalos de classe.
Segue abaixo um exemplo de histograma:
Medidas de Posição
As principais medidas de posição, também chamadas de medidas de tendência central, são a média, a mediana e a moda.
Média
A média aritmética simples, indicada por X , admite as seguintes formas algébricas:
- Para dados não agrupados temos:
X X^ i n
, onde:
∑ X i é a soma dos resultados observados.
n é o tamanho da amostra ou população.
- Para dados agrupados sem intervalo de classes temos:
i i i
X f X f
⋅
, onde:
∑ X^ i ⋅ fi é a soma dos produtos de cada resultado
observado pela sua freqüência absoluta simples.
∑ f i é^ a^ soma^ das^ freqüências^ absolutas
observadas na amostra ou população.
- Para dados agrupados com intervalo de classes temos:
i i i
X f X f
⋅
, onde:
X (^) i é o ponto médio da classe i , ou seja,
2
i i i
l L X
=.
∑ X^ i ⋅ fi é a soma dos produtos de cada ponto
médio pela freqüência absoluta simples de sua respectiva classe.
∑ f i é^ a^ soma^ das^ freqüências^ absolutas
observadas na amostra ou população.
Propriedades da Média
P1 – Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante ( C ) de todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou diminuída) dessa constante, ou seja:
Y i = X (^) i ± C ⇒ Y = X ± C
P2 – Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante ( C ), a média do conjunto fica multiplicada (ou dividida) por essa constante, ou seja:
Y i = X (^) i × C ⇒ Y = X × C ou i i
X X Y Y C C
= ⇒ =
Cálculo simplificado da média
Este método o cálculo da média quando a distribuição tem classes com mesma amplitude h. Tal método se chama cálculo simplificado da média e consta dos seguintes passos:
Passo 1: Escolhe-se o ponto médio de uma classe que esteja próximo do centro da tabela e denota-se por X (^) 0.
Passo 2: Introduz-se a variável Z , dada por (^) i i^0
X X Z h
−
Passo 3: Calcula-se a média parcial Z através da expressão
i i i
Z f Z f
⋅
Passo 4: Encontra-se a média X através da expressão
X = Z ⋅ h + X 0.
Mediana
A mediana de um conjunto de valores em rol é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos onde um contém todos os valores inferiores à mediana e outro contém todos os valores superiores à mediana.
A mediana, indicada por Md , admite as seguintes formas algébricas:
- Para dados não agrupados temos:
1 2
Md = X (^) n + , se n for ímpar ou
2 2 2 2
X (^) n Xn Md
= , se n for par
, onde
n é o tamanho da amostra ou população.
- Para dados agrupados sem intervalo de classes temos:
Md = X i , se (^2) i i
f Fac >
. ou
1 2
Md = X^ i^ + Xi + , se 2
i i
f Fac =
, onde
Fac i é a menor freqüência acumulada maior ou
igual à semi-soma das freqüências absolutas.
- Para dados agrupados com intervalo de classes temos:
2
i ant md md md md
f Fac h Md l f
−
⎡ ⎤ ⎢ −^ ⎥⋅ = +⎣^ ⎦
, onde:
l md é o limite inferior da classe mediana.
Fac ant (^) − md é a freqüência acumulada da classe anterior à classe mediana.
f (^) md é a freqüência absoluta da classe mediana.
h md é a amplitude da classe mediana.
Moda
A moda de um conjunto de valores, quando existe, é o valor que ocorre com maior freqüência.
A moda , indicada por Mo , admite as seguintes formas:
- Para dados não agrupados temos:
Para determinar a moda de um conjunto de dados não agrupados, basta identificar o valor que mais ocorre dentro da série.
Exemplo: Determinar a moda do seguinte conjunto de dados:
7, 8, 9, 10, 10,10, 11, 12, 13, 15.
Neste caso temos Mo = 10 , pois o valor 10 se repete três vezes na série.
- Para dados agrupados sem intervalo de classes temos:
Para determinar a moda de um conjunto de dados agrupados sem intervalo de classe, basta identificar o valor correspondente à maior freqüência absoluta simples.
Exemplo: Determinar a moda da seguinte distribuição de dados:
X (^) i fi 9 1 10 2 14 3 15 4 Solução:
Observando a tabela acima, notamos que a maior freqüência absoluta simples é 4 e sua variável correspondente é 15, portanto Mo = 15.
10
12. TRT 6ª – PE 2006 Certo dia, três auxiliares judiciários protocolaram 153 documentos e, curiosamente, foi observado que as quantidades que cada um havia protocolado eram inversamente proporcionais às suas respectivas idades. Se um deles tinha 24 anos, o outro 30 anos e o terceiro, 32 anos, então o número de documentos protocolados pelo mais velho era: A) 35 B) 42 C) 45 D) 52 E) 60 13. CEF 2004 N-NE Curiosamente, dois técnicos bancários observaram que, durante o expediente de certo dia os números de clientes que haviam atendido eram inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 36 e 48 anos. Se um deles atendeu 4 clientes a mais que o outro, então o total de pessoas atendidas pelo mais velho foi: A) 20 B) 18 C) 16 D) 14 E) 12 14. BB 2010 As estatísticas da Campanha Nacional de Prevenção ao Câncer de Pele, organizada há 11 anos pela Sociedade Brasileira de Dermatologia, revelam que o brasileiro não se protege adequadamente do sol: 70% dos entrevistados afirmaram não usar qualquer tipo de proteção solar, nem mesmo quando vão à praia (adaptado de www.sbd.org.br). Se foram entrevistadas 34430 pessoas, o número delas que usam protetor solar é: A) 24101 B) 15307 C) 13725 D) 12483 E) 10329 15. BB 2010 Pesquisadores descobriram que o uso do fundo preto nas páginas de busca da internet produz um consumo menor de energia em relação à tela branca. Se todas as buscas fossem feitas com tela preta, a economia total em um tempo médio de 10 segundos seria equivalente à energia gasta por 77 milhões de geladeiras ligadas ininterruptamente durante 1 hora. Nessas condições, a economia total em um tempo médio de buscas de 30 minutos seria equivalente à energia gasta por essas geladeiras ligadas ininterruptamente durante: A) 2 dias e meio. B) 3 dias. C) 5 dias. D) 7 dias e meio. E) 8 dias. 16. BB 2006 Em um determinado banco, o funcionário Antônio, trabalhando sozinho, realiza uma tarefa em 10 dias. Dando início ao trabalho e tendo trabalhado sozinho apenas 2 dias, no terceiro dia Antônio junta-se ao funcionário Bernardo e em 3 dias de trabalho concluíram a tarefa. Supondo constante o desempenho desenvolvido por esses funcionários para realizarem seus trabalhos, tem-se que Bernardo, trabalhando sozinho, realizaria toda a tarefa em: A) 10 dias. B) 8 dias. C) 6 dias. D) 5 dias. E) 4 dias. 17. BACEN 2006 Considere que Pedro tem um relógio que atrasa 1 minuto a cada 6 horas e Paulo tem um que adianta 1 minuto a cada 10 horas. Decorridas 15 horas de um instante em que ambos acertam esses seus relógios, a diferença entre os horários que eles estarão marcando será de: A) 4 min. B) 3 min. e 30 seg. C) 3 min. D) 2 min. e 30 seg. E) 2 min. 18. CEF 2004 N-NE Um técnico bancário foi incumbido de digitar as 48 páginas de um texto. Na tabela abaixo, têm-se os tempos que ele leva, em média, para digitar tais páginas.
Número de Páginas Digitadas
Tempo (minutos) 1 12 2 24 3 36 4 48
Nessas condições, mantida a regularidade mostrada na tabela, após 9 horas de digitação desse texto, o esperado é que: A) ainda devam ser digitadas 3 páginas. B) Todas as páginas tenham sido digitadas. C) Ainda devam ser digitadas 9 páginas. D) Ainda devam ser digitadas 8 páginas. E) Ainda devam ser digitadas 5 páginas.
19. CEF 2004 N-NE O gráfico seguinte apresenta a variação de cotação do dólar no Brasil, no período de 7 a 14 de maio de 2004.
Segundo os dados indicados no gráfico, do dia 13 ao dia 14 de maio houve uma variação de – 1,34%. No dia 13 de maio, a cotação do dólar, em reais era: A) 3,129 B) 3,134 C) 3,138 D) 3,145 E) 3,
20. CEF 2000 Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12 horas. Outra pessoa, y, é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas necessárias para que y realize essa tarefa é: A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
11
21. CEF 2000 Em uma agência bancária trabalham 40 homens e 25 mulheres. Se, do total de homens, 80% não são fumantes e, do total de mulheres, 12% são fumantes, então o número de funcionários dessa agência que são homens ou fumantes é: A) 42 B) 43 C) 45 D) 48 E) 49 22. CEF 2000 Em 3 dias, 72000 bombons são embalados, usando-se 2 máquinas embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a fábrica usar 3 máquinas iguais às primeiras, funcionando 6 horas por dia, em quantos dias serão embalados 108000 bombons? A) 3 B) 3,5 C) 4 D) 4,5 E) 5 23. CEF 2000 João e Maria acertaram seus relógios às 14 horas do dia 7 de março. O relógio de João adianta 20 s por dia e o de Maria atrasa 16 s por dia. Dias depois, João e Maria se encontraram e notaram uma diferença de 4 minutos e 30 segundos entre os horários que seus relógios marcavam. Em que dia e hora eles se encontraram? A) Em 12/03 à meia noite. B) Em 13/03 ao meio dia. C) Em 14/03 às 14 h. D) Em 14/03 às 22 h. E) Em 15/03 às 2 h. 24. BB 2006 Três pessoas formaram, na data de hoje, uma sociedade com a soma dos capitais investidos igual a R$ 100.000,00. Após um ano, o lucro auferido de R$ 7.500,00 é dividido entre os sócios em partes diretamente proporcionais aos capitais iniciais investidos. Sabendo-se que o valor da parte do lucro que coube ao sócio que recebeu o menor valor é igual ao módulo da diferença entre os valores que receberam os outros dois, tem-se que o valor do capital inicial do sócio que entrou com maior valor é: A) R$ 75.000,00 B) R$ 60.000,00 C)) R$ 50.000, D) R$ 40.000,00 E) R$ 37.500, 25. CEF 2000 O faxineiro A limpa certo salão em 4 horas. O faxineiro B faz o mesmo serviço em 3 horas. Se A e B trabalharem juntos, em quanto tempo, aproximadamente, espera-se que o serviço seja feito? A) 2 horas e 7 minutos. B) 2 horas e 5 minutos. C) 1 hora e 57 minutos. D) 1 hora e 43 minutos. E) 1 hora e 36 minutos. 26. CEF 2000 Antonio tem 270 reais, Bento tem 450 reais e Carlos nada tem. Antonio e Bento dão parte de seu dinheiro a Carlos, de tal maneira que todos acabam ficando com a mesma quantia. O dinheiro dado por Antonio representa, aproximadamente, quanto por cento do que ele possuía? A)11,1 B)13,2 C)15,2 D)33,3 E)35, 27. Ag. Pol. – MA 2006 O muro de uma delegacia tem 3 m de altura. Uma lesma sai do chão e começa a subir esse muro na vertical. No primeiro dia ela subiu 1 m, mas no segundo dia ela escorregou 50 cm para baixo. No terceiro dia ela novamente subiu 1 m, mas no quarto escorregou 50 cm para baixo. E assim sucedeu nos dias subseqüentes, subindo 1 m em um dia e escorregando 50 cm no dia seguinte. Dessa forma, ela atingiu o topo do muro no: A) 7º dia. B) 8º dia. C) 9º dia. D) 10º dia. E) 11º dia.
Álgebra I
28. BACEN 2006 Para um grupo de funcionários, uma empresa oferece cursos para somente dois tipos de idiomas estrangeiros: inglês e espanhol. Há 105 funcionários que pretendem estudar inglês, 118 que preferem espanhol e 37 que pretendem estudar simultaneamente os dois idiomas. Se 1/7 do total de funcionários desse grupo não pretende estudar qualquer idioma estrangeiro, então o número de elementos do grupo é:
A) 245 B) 238 C) 231 D) 224 E) 217
29 TRT 6ª – PE 2006 Do total de funcionários de certa empresa, sabe-se que: − 60% são do sexo masculino e que, destes, 30% usam óculos; − das mulheres, 20% usam óculos; − os que não usam óculos totalizam 333 unidades. Nessas condições, o total de pessoas que trabalham nessa empresa é: A) 320 B) 350 C) 400 D) 420 E) 450
30. BACEN 2006 Considere a seguinte afirmação: “Hoje, um certo Agente de Documentação digitou 15 vezes mais textos do que ontem.” Chamando X o número de textos que ele digitou hoje e Y o número de textos por ele digitados ontem, a sentença matemática que expressa a afirmação feita é: A) Y = 15 ⋅ X B) X = 15 ⋅ Y C) Y = 15 + X D) X = 15 + Y E) X + Y = 15 31. BB 2006 Seja y = 12,5 x − 2000 uma função descrevendo o lucro mensal y de um comerciante na venda de x unidades de um determinado produto. Se, em um determinado mês, o lucro auferido foi de R$ 20.000,00, significa que a venda realizada foi, em número de unidades, de: A) 1440 B) 1500 C) 1600 D) 1760 E) 2000
13
43. CEF 2000 Seja f a função do 2º grau representada no gráfico abaixo.
Essa função é dada por
A) 2
1 ( ) 4
f x = − x + x B) f ( ) x = − x^2 + 4 x
C) f ( ) x = x^2 + 4 x D) 2
1 ( ) 4
f x = x − x
E) 2
1 ( ) 2 2
f x = x − x
44. BB 2006 Depois de várias observações, um agricultor deduziu que a função que melhor descreve a produção y de
um bem é uma função do segundo grau y = ax^2 + bx + c ,
em que x corresponde à quantidade de adubo utilizada. O gráfico correspondente é dado pela figura abaixo.
Tem-se, então, que:
A) a = − 3 , b = 60 e c c = 375
B) a^ = −^3 , b^ =^75 e c^ =^300
C) a = − 4 , b = 90 e c = 240
D) a = − 4 , b = 105 e c = 180
E) a = − 6 , b = 120 e c = 150
Seqüências Numéricas - P.A & P.G.
45. CEF 2008 Considere a seguinte seqüência:
1 2 1 2
2 3
n n n ,^2
a a a a (^) − a (^) − n
⎧ = ⎪ ⎨ = ⎪ (^) = − ∀ ⎩ > Qual é o 70º termo desta seqüência de números acima definida?
A) 2 B) 1 C) – 1 D) – 2 E) – 3
46. CEF 2008 Quantos números múltiplos de 7 ou de 11 há entre 1 e 1000? A) 90 B) 142 C) 220 D) 229 E) 232 47. BB 2010 Uma pessoa abriu uma caderneta de poupança com um primeiro depósito de R$ 200,00 e, a partir dessa data, fez depósitos mensais nessa conta. Se a cada mês depositou R$ 20,00 a mais do que no mês anterior, ao efetuar o 15º depósito, o total depositado por ela era: A) R$ 5 100,00. B) R$ 5 000,00. C) R$ 4 900,00. D) R$ 4 800,00. E) R$ 4 700,00. 48. BACEN 2006 Considere uma mesa quadrada acomodada por apenas 4 pessoas; juntando duas mesas desse mesmo tipo, acomodam-se 6 pessoas; juntando três dessas mesas, acomodam-se 8 pessoas e, assim por diante, como é mostrado na figura abaixo.
Nessas mesmas condições, juntando-se 16 dessas mesas, o número de pessoas que poderão ser acomodadas é:
A) 32 B) 34 C) 36 D) 38 E) 40
49. CEF 2004 Uma pessoa abriu uma caderneta de poupança com um depósito inicial de R$ 120,00 e, a partir dessa data, fez depósitos mensais nessa conta em cada mês depositando R$ 12,00 a mais do que no mês anterior. Ao efetuar o 19º depósito, o total depositado era de: A) R$ 3.946,00 B) R$ 4.059,00 C) R$ 4.118,
D) R$ 4.277,00 E) R$ 4.332,
Noções de Estatística
50. BB 2006 Os salários dos 40 empregados de uma empresa, em 31 de dezembro de 2005, estavam distribuídos conforme a tabela abaixo:
Salários (R$)
Números de funcionários 400,00 4 550,00 8 1000,00 10 1400,00 16 1800,00 2
Neste caso, tem-se que a média aritmética dos salários dos empregados é: A) R$ 1400, B) R$ 1230, C) R$ 1150, D) R$ 1100, E) R$ 1050,
14
51. BB 2006 O histograma de freqüências absolutas abaixo demonstra o comportamento dos salários dos 160 empregados de uma empresa em dezembro de 2005:
Utilizando as informações nele contidas, calculou-se a média aritmética dos valores dos salários destes empregados, considerando que todos os valores incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio deste intervalo. Escolhendo aleatoriamente um empregado da empresa, a probabilidade dele pertencer ao mesmo intervalo de classe do histograma ao qual pertence a média aritmética calculada é: A) 6,25% B) 12,50% C) 18,75% D) 31,25% E) 32,00%
52. (CMS-MG) A estatura média dos sócios de um clube é 165 cm, sendo a dos homens 172 cm e das mulheres 162 cm. A porcentagem de mulheres no clube é de: A) 62% B) 65% C) 68% D) 70% E) 72% 53. (ANEEL 2004) A tabela abaixo diz respeito à distribuição de freqüências seguinte associada ao atributo de interesse X^. Não existem observações coincidentes com os extremos das classes.
Assinale a opção que dá, aproximadamente, a média amostral de X.
A) 25
B) 17,
C) 18
D) 17,
E) 19
54. PETROBRÁS 2007 A tabela abaixo mostra a distribuição de freqüência dos salários mensais dos 200 empregados da Companhia XYZ.
Salários (R$) Número de Empregados 300 – 500 30 500 – 700 40 700 – 900 50 900 – 1100 40 1100 – 1300 40
Com relação a essa distribuição, é correto afirmar que:
A) a média aritmética dos salários é inferior a R$ 700,00. B) 10% dos empregados ganham acima de R$ 1.100,00. C) mais de 50% dos empregados ganham acima de R$ 900,00. D) 20% dos empregados ganham abaixo de R$ 500,00. E) 35% dos empregados ganham menos de R$ 700,00.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 D D A E C A A E C D 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 D C E E D C A A B E 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 B C E C D A C E E B 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 D A B C B D C C A B 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 A B D A D C A B E E 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 D D D E
