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190 PARTE II – DINÂMICA
(^1) Adotando o Sol como referencial, aponte a alternativa que con-
diz com a 1a^ Lei de Kepler da Gravitação (Lei das órbitas): a) As órbitas planetárias são quaisquer curvas, desde que fechadas. b) As órbitas planetárias são espiraladas. c) As órbitas planetárias não podem ser circulares. d) As órbitas planetárias são elípticas, com o Sol ocupando o centro da elipse. e) As órbitas planetárias são elípticas, com o Sol ocupando um dos focos da elipse.
Resolução: As órbitas planetárias podem ser eventualmente circulares. Isso está de acordo com a 1a^ Lei de Kepler, já que a circunferência é uma elipse de focos coincidentes.
Resposta: e
(^2) Na f igura a seguir, está representada a órbita elíptica de um pla-
neta em torno do Sol:
A 2
R
S
Q
P
A 1
a) Se os arcos de órbita PQ e RS são percorridos em intervalos de tem- po iguais, qual a relação entre as áreas A 1 e A 2? b) Em que lei física você se baseou para responder ao item a?
Resolução: a) Se Δt 1 = Δt 2 ⇒ A 1 = A (^2)
Logo: A^1 A (^2)
b) 2a^ Lei de Kepler
Respostas: a)
A 1
A 2
=1; b) 2a^ Lei de Kepler
(^3) (PUC-MG) A f igura abaixo representa o Sol, três astros celestes e
suas respectivas órbitas em torno do Sol: Urano, Netuno e o objeto na década de 1990, descoberto, de nome 1996 TL 66.
1996 TL (^66)
Urano Netuno
Sol
Analise as af irmativas a seguir: I. Essas órbitas são elípticas, estando o Sol em um dos focos dessas elipses. II. Os três astros representados executam movimento uniforme em torno do Sol, cada um com um valor de velocidade diferente do dos outros. III. Dentre os astros representados, quem gasta menos tempo para completar uma volta em torno do Sol é Urano. Indique: a) se todas as af irmativas são corretas. b) se todas as af irmativas são incorretas. c) se apenas as af irmativas I e II são corretas. d) se apenas as af irmativas II e III são corretas. e) se apenas as af irmativas I e III são corretas.
Resolução: (I) Correta. 1 a^ Lei de Kepler.
(II) Incorreta. Os movimentos são variados.
(III) Correta. Quanto menor for o raio médio de órbita, menor será o período de revolução (3 a^ Lei de Kepler).
Resposta: e
(^4) A 2 a^ Lei de Kepler (Lei das áreas) permite concluir que: a) as áreas varridas pelo vetor-posição de um planeta em relação ao centro do Sol são diretamente proporcionais aos quadrados dos respectivos intervalos de tempo gastos; b) a intensidade da velocidade de um planeta ao longo de sua órbita em torno do Sol é máxima no periélio; c) a intensidade da velocidade de um planeta ao longo de sua órbita em torno do Sol é máxima no afélio; d) o intervalo de tempo gasto pelo planeta em sua translação do afé- lio para o periélio é maior que o intervalo de tempo gasto por ele na translação do periélio para o afélio; e) o movimento de translação de um planeta em torno do Sol é uni- forme, já que sua velocidade areolar é constante.
Resposta: b
(^5) O astrônomo alemão Johannes Kepler apresentou três generali- zações a respeito dos movimentos planetários em torno do Sol, conhe- cidas como Leis de Kepler. Fundamentado nessas leis, analise as proposições a seguir: (01) O quociente do cubo do raio médio da órbita pelo quadrado do período de revolução é constante para qualquer planeta do Siste- ma Solar. (02) Quadruplicando-se o raio médio da órbita, o período de revolu- ção de um planeta em torno do Sol octuplica. (04) Quanto mais próximo do Sol (menor raio médio de órbita) gravi- tar um planeta, maior será seu período de revolução. (08) No Sistema Solar, o período de revolução dos planetas em torno do Sol cresce de Mercúrio para Netuno. (16) Quando a Terra está mais próxima do Sol (região do periélio), a estação predominante no planeta é o verão. Dê como resposta a soma dos números associados às proposições corretas.
Tópico 4
Tópico 4 – Gravitação 191
Resolução: (01) Correta. R 3 T^2 = K^ p^ (^
a (^) Lei de Kepler)
(02) Correta. R (^32) T^22 =^
R 31
T^21 ⇒^ T
2 2 =^
R 2
R 1
3 T^21
T^22 =
4R 1
R 1
3 T^21 ⇒ T 2 = 8 T 1
(04) Incorreta. Quanto menor for o raio médio da órbita, menor será o período de revolução ( 3 a^ Lei de Kepler) (08) Correta. (16) Incorreta. As estações do ano estão relacionadas com a inclinação do eixo da Terra, não com a sua distância em relação ao Sol. Resposta: 11
(^6) (Cesgranrio-RJ) Um satélite de telecomunicações está em sua ór-
bita ao redor da Terra com período T. Uma viagem do Ônibus Espacial fará a instalação de novos equipamentos nesse satélite, o que duplicará sua massa em relação ao valor original. Considerando que permaneça com a mesma órbita, seu novo período T’ será:
a) T’ = 9T. d) T’ = 1 3
T.
b) T’ = 3T. e) T’ = 1 9
T.
c) T’ = T.
Resolução: O período de revolução do referido satélite só depende da massa da Terra.
Resposta: c
(^7) Com relação às Leis de Kepler, podemos af irmar que:
a) não se aplicam ao estudo da gravitação da Lua em torno da Terra; b) só se aplicam ao Sistema Solar a que pertencemos; c) aplicam-se à gravitação de quaisquer corpos em torno de uma grande massa central; d) contrariam a Mecânica de Newton; e) não preveem a possibilidade da existência de órbitas circulares.
Resposta: c
(^8) (Unicamp-SP) A f igura a seguir representa a órbita descrita por
um planeta em torno do Sol. O sentido de percurso está indicado pela seta. Os pontos A e C são colineares com o Sol, o mesmo ocorrendo com os pontos B e D. O ponto A indica o local de maior aproximação do planeta em relação ao Sol e o ponto C, o local de maior afastamento.
A
B
D
C
Planeta
Sol
a) Em que ponto da órbita o planeta tem velocidade de translação com intensidade máxima? E em que ponto sua velocidade de trans- lação tem intensidade mínima? b) Segundo Kepler, a linha imaginária que liga o planeta ao centro do Sol “varre” áreas iguais em intervalos de tempo iguais. Fundamen- tado nessa informação, coloque em ordem crescente os intervalos de tempo necessários para o planeta realizar os seguintes percur- sos: ABC, BCD, CDA e DAB.
Resolução: a) A velocidade de translação tem intensidade máxima no ponto A (periélio) e intensidade mínima no ponto C (afélio). b) Quanto menor for a área “varrida” pela linha imaginária que liga o planeta ao centro do Sol, menor será o correspondente intervalo de tempo gasto na “varredura”. Portanto: Δt (^) DAB < Δt (^) ABC = Δt (^) CDA < Δt (^) BCD
Respostas: a) Máxima no ponto A e mínima no ponto C; b) Δt^ DAB <^ Δt^ ABC =^ Δt^ CDA <^ Δt^ BCD
9 E.R. (^) Considere um planeta hipotético gravitando em órbita circular em torno do Sol. Admita que o raio da órbita desse plane- ta seja o quádruplo do raio da órbita da Terra. Nessas condições, qual o período de translação do citado planeta, expresso em anos terrestres?
Resolução: Sejam: r (^) T : raio da órbita da Terra (rT = R); r (^) H : raio da órbita do planeta hipotético (rH = 4R); TT : período de translação da Terra (ano da Terra); TH : período de translação do planeta hipotético (ano do planeta).
4R
R
Terra
Planeta hipotético
Aplicando a 3 a^ Lei de Kepler (Lei dos períodos) para os dois planetas, temos: r 3 T^2
= K p (constante de Kepler)
Assim:
- para o planeta hipotético:
r (^3) H T^2 H
= K p (I)
r (^3) T T^2 T
= K p (II)
Comparando (I) e (II), segue que: r (^3) H T^2 H
r (^3) T T^2 T
⇒ T^2 H =
r (^) H r (^) T
3 T^2 T
Tópico 4 – Gravitação 193
Resolução:
1 o^ caso: F = G
M m d^2
2 o^ caso: F’ = G
M
M
d 2
2
F’ =^4
G M m d^2
⇒ F’ = F
Resposta: c
16 E.R. (^) Considere uma estrela A e dois planetas B e C alinhados em determinado instante, conforme indica a f igura. A massa de A vale 200 M e as massas de B e C, M e 2M, respectivamente.
5x
A
x
B
C
Sendo dada a distância x e a Constante da Gravitação (G), calcule, no instante da f igura, a intensidade da força resultante das ações gravi- tacionais de A e C sobre B.
Resolução: O planeta B é atraído gravitacionalmente pela estrela A e pelo plane- ta C, recebendo, respectivamente, as forças FAB e FCB , representadas no esquema abaixo:
5x
A C
x
FAB BFCB
As intensidades de FAB e de FCB f icam determinadas pela Lei de Newton da Atração das Massas.
FAB = G
200M · M
(5x)^2
⇒ FAB = 8G
M^2
x 2
FCB = G 2M · M x 2
⇒ FCB = 2G M
2 x 2 A intensidade (F) da força resultante das ações gravitacionais de A e C sobre B é calculada por: F = FAB – FCB ⇒ F = 8G M
2 x 2
– 2G M
2
Donde: x^2
F = 6G M
2 x 2
Nota:
- A força resultante calculada é dirigida para a estrela A.
(^17) Em determinado instante, três corpos celestes A, B e C têm seus
centros de massa alinhados e distanciados, conforme mostra o esque- ma abaixo:
2d
A B
4d
C
Sabendo que as massas de A, B e C valem, respectivamente, 5M, 2M e M, determine a relação entre as intensidades das forças gravitacio- nais que B recebe de A e de C.
Resolução: (I) FAB = G 5 M · 2 M (2d) 2
⇒ FAB = 5
G M
2 d^2
(II) FCB = G 2 M · m (4d)^2
⇒ FCB = 1
G M
2 d^2
(III)
FAB
FCB^ =
Donde:
FAB
FCB
Resposta: 20
(^18) Na situação esquematizada na figura, os corpos P 1 e P 2 estão fixos nas posições indicadas e suas massas valem 8M e 2M, respectivamente. P (^1) A B C D E P (^2)
x x x x x x
Deve-se f ixar no segmento que une P 1 a P 2 um terceiro corpo P 3 , de massa M, de modo que a força resultante das ações gravitacionais dos dois primeiros sobre este último seja nula. Em que posição deve-se f ixar P 3? a) A. b) B. c) C. d) D. e) E.
Resolução: Sendo d a distância entre as posições d e P 1 e P 3 , tem-se: F1,3 = F2, G 8 M · M d^2
= G 2 M · M
( 6x – d)^2 d 6x – d
2 = 4 ⇒ d 6x – d
d = 12x – 2d ⇒ 3d = 12x d = 4 x ( ponto D)
Resposta: d
19 E.R. (^) Um satélite de massa m descreve uma órbita circular de raio R em torno de um planeta de massa M. Sendo G a Constante da Gravitação, responda: a) Qual a velocidade angular ω do satélite? b) O valor de ω depende de m?
Resolução: a)
M
ω
R
m (^) F
194 PARTE II – DINÂMICA
A força gravitacional F desempenha a função de resultante centrí- peta no movimento circular e uniforme do satélite. F = Fcp Sendo F = G M m R 2
e Fcp = m ω^2 R, vem:
G M m R 2
= M ω^2 R ⇒ G M R 3
= ω^2
Donde: ω^ =^ G MR 3
b) O valor de ω independe de m. Nota:
- Satélites diferentes percorrendo uma mesma órbita circular não coli- dem entre si, já que suas velocidades angulares são iguais.
(^20) (UEL-PR) O planeta Vênus descreve uma trajetória pratica-
mente circular de raio 1,0 · 10 11 m ao redor do Sol. Sendo a massa de Vênus igual a 5,0 · 10^24 kg e seu período de translação 224,7 dias (2,0 · 10 7 segundos), pode-se af irmar que a força exercida pelo Sol so- bre Vênus é, em newtons, aproximadamente: a) 5,0 · 10^22. b) 5,0 · 10^20. c) 2,5 · 10^15. d) 5,0 · 10^13. e) 2,5 · 10^11.
Resolução: F = Fcp ⇒ F = Mω^2 R
F = m 2 T
2 R
Sendo m = 5,0 · 10^24 kg, T = 2,0 · 10^7 s, R = 1,0 · 10^11 e adotando-se 3,1, obtém-se:
F = 5,0 · 10 24 2 · 3, 2,0 · 10 7
1,0 · 10^11 (N)
Donde: F= 4,8 · 10^22 N
Resposta: a
(^21) (Fuvest-SP) Um satélite artif icial move-se em órbita circular ao
redor da Terra, f icando permanentemente sobre a cidade de Macapá. a) Qual o período de revolução do satélite em torno da Terra? b) Por que o satélite não cai sobre a cidade?
Resolução: a) Trata-se de um satélite estacionário, por isso, seu período de trans- lação é igual ao período de rotação da Terra: T = 24 h
b) Pelo fato de o satélite estar em movimento ao longo da órbita. Nesse caso, a força gravitacional aplicada pela Terra sobre ele de- sempenha a função de resultante centrípeta, servindo apenas para alterar a direção da velocidade vetorial.
Respostas: a) 24 h; b) Pelo fato de o satélite estar em movimento ao longo da órbita. Nesse caso, a força de atração gravitacional da Terra sobre ele desempenha a função de resultante centrípeta, servindo apenas para alterar a direção da velocidade vetorial.
(^22) Sabemos que a Constante da Gravitação vale, aproximada-
mente, 6,7 · 10 –11^ N · m 2 /kg 2. Nessas condições, qual é a ordem de grandeza, em newtons, da força de atração gravitacional entre dois navios de 200 toneladas de massa cada um, separados por uma dis- tância de 1,0 km? a) 10 –11^. b) 10 –6^. c) 10 –1^. d) 10 5. e) 10 10.
Resolução: Lei de Newton:
F = G
M 1 M 2
d^2 F = 6,7 · 10 –^
(1,0 · 10^3 )^2
(N)
Donde: F 2,7 · 10 –6^ N
Ordem de grandeza (potência de 10 mais proxima do resultado): 10 –
Resposta: b
(^23) “Nasa quer construir base espacial próxima à Lua
Embora a construção da Estação Espacial Internacional (EEI) ainda esteja longe de acabar, a NASA está fazendo de tudo para deixar claro que seu programa espacial tripulado não para por aí. Durante o Con- gresso Espacial Mundial, que começou na última quinta-feira e vai até sábado, em Houston, EUA, a agência espacial norte-americana apre- sentou o próximo item em sua lista de prioridades aeronáuticas: uma nova base no espaço. (...) A base, apelidada de L 1 Gateway, f icaria mais de 800 vezes mais distante da Terra que a EEI. Sua localização seria no primeiro dos cinco pontos de Lagrange do sistema Terra-Lua (daí o “L 1 ” do nome). O ponto de Lagrange, nesse caso, é um local do espaço em que as gravidades da Terra e da Lua se compensam, fazendo com que um objeto ali co- locado f ique mais ou menos no mesmo lugar (com relação à Terra e à Lua) o tempo todo. (...)” (Folha de S.Paulo, 15/10/02) Considere que a massa da Terra seja cerca de 81 vezes a massa da Lua. Sendo D a distância entre os centros de massa desses dois corpos ce- lestes, a distância d entre o local designado para a base L 1 Gateway e o centro da Terra deve corresponder a que porcentagem de D?
Resolução:
d
D
Lua (M)
Terra (81M) L 1 Gateway (m) FT FL
No ponto de equilíbrio gravitacional: FL = FT
G M^ m (D – d)^2
= G 81 M^ m d^2
⇒ d D – d
2 = 81
d D – d
= 9 ⇒ d = 9 D – 9 d ⇒ 10 d = 9 D
d = 0,90 D ⇒ d = 90% D
Resposta: 90% D
24 E.R. (^) Considere um satélite estacionário de massa m = 3,5 · 10 2 kg descrevendo uma órbita circular de centro coinci- dente com o centro da Terra, admitida esférica, com raio R = 6,4 · 10^6 m. Supondo conhecidas a massa do planeta (M = 6,0 · 10 24 kg) e a Cons- tante da Gravitação (G = 6,7 · 10 –11^ N m 2 /kg 2 ), calcule:
196 PARTE II – DINÂMICA
v = G^ DM
v (^) x v (^) T=
G M
Dx G M DT
DT
Dx
v (^) x v (^) T=^
25 ⇒^
v (^) x v (^) T
=^1
Respostas: a) 25 UA; b) 1 5
(^28) (Fuvest-SP) Um anel de Saturno é constituído por partículas gi-
rando em torno do planeta em órbitas circulares. a) Em função da massa M do planeta, da Constante da Gravitação Uni- versal G e do raio de órbita r, calcule a intensidade da velocidade orbital de uma partícula do anel. b) Sejam R (^) i o raio interno e R (^) e o raio externo do anel. Qual a razão entre as velocidades angulares ωi e ωe de duas partículas, uma da borda interna e outra da borda externa do anel?
Resolução:
a) F = Fcp ⇒^ G^ M^ m r 2
= m^ v^
2 r
⇒ (^) v = G^ M r
b)
v (^) i v (^) e
= G^ RM
i
R (^) e G M ⇒^
ωi R (^) i ωe R (^) e=^
R (^) e R (^) i
ωi ωe=^
R (^3) e R (^3) i
ωi ωe=^
R (^) e R (^) i
3 2
Respostas: a) v = G^ r M; b)
ωi ωe=^
R (^) e R (^) i
3 2
(^29) Leia com atenção os quadrinhos abaixo:
© 2006 Paws, Inc. All Rights Reserved/Dist.
by Atlantic Syndication.
Considere as proposições apresentadas a seguir: (01) Num planeta em que a aceleração da gravidade for menor que a da Terra, o gato Garf ield apresentará um peso menor. (02) Num planeta em que a aceleração da gravidade for menor que a da Terra, o gato Garf ield apresentará uma massa menor. (04) Num planeta de massa maior que a da Terra, o gato Garf ield apre- sentará um peso maior. (08) Num planeta de raio maior que o da Terra, o gato Garf ield apre- sentará um peso menor. (16) Num planeta de massa duas vezes maior que a da Terra e de raio duas vezes maior que o terrestre, o gato Garf ield apresentará um peso equivalente à metade do apresentado na Terra. (32) O peso do gato Garf ield será o mesmo, independentemente do planeta para onde ele vá. Dê como resposta a soma dos números associados às proposições corretas.
Resolução: (01) Correta. O peso tem intensidade diretamente proporcional ao módulo da aceleração da gravidade. P = m g (02) Incorreta. A massa de um corpo não se altera quando ele muda de planeta. (04) Incorreta. O módulo da aceleração da gravidade de um planeta depende da sua massa e do seu raio. g 0 = G MR 2 (08) Incorreta. (16) Correta. P P 0
mg
mg 0 =^
G 2 M
(2R)^2
G MR 2
Donde: (^) P =
P 0
(32) Incorreta.
Resposta: 17
30 E.R. (^) Sabe-se que a massa da Terra é cerca de 81 vezes a massa da Lua e que o raio da Terra é aproximadamente 3,7 vezes o da Lua. Desprezando os efeitos ligados à rotação, calcule o módulo da acele- ração da gravidade na superfície da Lua (gL) em função do módulo da aceleração da gravidade na superfície da Terra (gT).
Resolução: Podemos calcular gL por: g (^) L = G
ML
R 2 L
(I)
Podemos calcular gT por:
g (^) T = G
MT
R 2 T
(II)
Dividindo as equações (I) e (II), vem:
g (^) L g (^) T
G
ML
R 2 L
G
MT
R 2 T
g (^) L g (^) T
ML
MT
R T
R L
2
Tópico 4 – Gravitação 197
Sendo MT = 81ML e R (^) T = 3,7RL, vem:
g (^) L g (^) T
=^1
(3,7)^2 ⇒ g (^) L 1 6
g (^) T
Na superfície lunar, o módulo da aceleração da gravidade é aproximadamente um sexto daquele determinado na superfície terrestre.
(^31) Em um planeta X, onde a aceleração da gravidade tem inten-
sidade 4,0 m/s 2 , uma pessoa pesa 240 N. Adotando para a aceleração da gravidade terrestre o valor 10 m/s 2 , responda: qual a massa e qual o peso da pessoa na Terra?
Resolução: Em X: Px = m g (^) x
240 = m 4,0 ⇒ m = 60 kg
Na Terra: PT = m g (^) T
PT = 60 · 10 (N)
PT = 600 N
Respostas: 60 kg e 600 N
(^32) Um planeta hipotético tem massa um décimo da terrestre e
raio um quarto do da Terra. Se a aceleração da gravidade nas proxi- midades da superfície terrestre vale 10 m/s 2 , a aceleração da gravi- dade nas proximidades da superfície do planeta hipotético é de: a) 20 m/s 2 ; d) 6,0 m/s 2 ; b) 16 m/s 2 ; e) 4,0 m/s 2. c) 10 m/s 2 ;
Resolução:
g P = G
MP
R 2 P^ =^ G
MT
R T
2
g P =
10 G^
MT
R (^2) T^ = 1,6 g^ T
g (^) P = 1,6 · 10 (m/s^2 ) ⇒ g (^) P = 16 m/s 2
Resposta: b
(^33) Na Terra, onde a aceleração da gravidade vale 10 m/s 2 , um as-
tronauta vestido com seu traje espacial pesa 2,0 · 10 3 N. Sabendo que o diâmetro de Marte é a metade do da Terra e que a massa de Marte é um décimo da terrestre, determine: a) a massa do conjunto astronauta-traje em Marte; b) o peso do conjunto astronauta-traje em Marte.
Resolução: a) Na Terra: PT = m g (^) T 2,0 · 10^3 = m 10 ⇒ m = 2,0 · 10 2 kg
b) (I) Em Marte: g (^) M =
G
MT
R T
2 =^
10 G^
MT
R 2 T
g (^) M =
10 g^ T^ =^
10 · 10 (m/s^
g (^) M = 4,0 m/s 2
PM = m g (^) M ⇒ PM = 2,0 · 10^2 · 4,0 (N)
PM = 8,0 · 10 2 N
Respostas: a) 2,0 · 10^2 kg; b) 8,0 · 10^2 N
34 E.R. (^) Admita que, na superfície terrestre, desprezados os efei- tos ligados à rotação do planeta, a aceleração da gravidade tenha intensidade g 0. Sendo R o raio da Terra, a que altitude a aceleração da gravidade terá intensidade
g (^0) 16
Resolução:
R
h
M
A
B
No ponto A: g 0 = G M R 2
(I)
No ponto B:
g (^0) 16
= G M
(R + h)^2
(II)
(I) em (I):^1 16
G M
R 2
= G M
(R + h)^2 R + h R
2 = 16 ⇒ R + h = 4R
h = 3 R
(^35) (Ufal) Para que a aceleração da gravidade num ponto tenha in- tensidade de 1,1 m/s 2 (nove vezes menor que na superfície da Terra), a distância desse ponto à superfície terrestre deve ser: a) igual ao raio terrestre. d) o sêxtuplo do raio terrestre. b) o dobro do raio terrestre. e) nove vezes o raio terrestre. c) o triplo do raio terrestre.
Resolução: Na superfície: g 0 = G MR 2 (I)
No ponto considerado: g (^0) g = G^
M
(R + h)^2 ⇒^ g^0 = g^
M
(R + h)^2 (II)
Comparando-se (I) e (II), vem:
G M R 2
= g (^) (R + h)M 2 ⇒ R + hR
2 = g
R + h = 3R ⇒ h = 2 R
Resposta: b
Tópico 4 – Gravitação 199
(^41) Dois planetas esféricos P 1 e P 2 têm raios respectivamente iguais
a R e 5R. Desprezados os efeitos ligados às rotações, verif ica-se que a intensidade da aceleração da gravidade na superfície de P 1 é g 0 e na superfície de P 2 é 10 g 0. Qual a relação entre as densidades absolutas de P 1 e P 2?
Resolução:
μ = MV = 4 M
3 π^ R^
3
M =^43 π μ R^3 (I)
g = G M R 2
(II)
Substituindo (I) em (II), temos:
g = G
3 π^ μ R
3
R 2
Donde: g =^43 π μ R
Planeta P 1 :
g 0 =^43 π G μ 1 R (III)
Planeta P 2 :
10 g 0 =^43 π G μ 2 5 R (IV)
Dividindo-se (III) por (IV), vem:
g (^0) 10 g 0 =
3 π^ G^ μ^1 R 4 3 π^ G^ μ^2 5 R
Da qual:
μ 1 μ 2 =
Resposta: (^12)
42 E.R. (^) (Fuvest-SP) Recentemente Plutão foi “rebaixado”, per- dendo sua classif icação como planeta. Para avaliar os efeitos da gra- vidade em Plutão, considere suas características físicas, comparadas com as da Terra, que estão apresentadas, com valores aproximados, no quadro a seguir.
Massa da Terra (MT) = 500 × Massa de Plutão (MP) Raio da Terra (RT) = 5 × Raio de Plutão (RP)
Note e adote: F = GMm R 2 Peso = mg Intensidade da aceleração da gravidade na Terra: gT = 10 m/s 2
a) Determine o peso, na superfície de Plutão (P (^) P ), de uma massa que na superfície da Terra pesa 40 N (PT = 40 N). b) Estime a altura máxima H, em metros, que uma bola, lançada ver- ticalmente com velocidade V, atingiria em Plutão. Na Terra, essa mesma bola, lançada com a mesma velocidade, atinge uma altura hT = 1,5 m.
Resolução: a) Desprezando-se os efeitos de rotação, temos: P = F ⇒ mg = GMm R 2
Donde: g = G
M
R 2
Em Plutão: g (^) P = G
MP
R 2 P
(I)
Na Terra: g (^) T = G
MT
R 2 T
(II)
Dividindo (I) e (II) membro a membro:
g (^) P g (^) T=
G
MP
R 2 P
G
MT
R 2 T
g (^) P g (^) T=
MP
MT
R T
R P
2 ⇒
g (^) P 10 =^
MP
500 MP
5R P
R P
2
Donde: g (^) P = 0,5 m/s 2
Em Plutão: PP = mg (^) p (III)
Na Terra: PT = mg (^) T (IV) Dividindo-se (III) e (IV) membro a membro: PP PT=
mg (^) P mg (^) T^ ⇒^
PP
P T^ =^
g (^) P g (^) T^ ⇒^
PP
Donde: P (^) P = 2,0 N
b) Movimento uniformemente variado: V^2 = V 02 + 2α Δs Na subida: 0 = V 02 + 2 (–g) H
H =
V 02
2g
Em Plutão: H (^) P =
V 02
2g (^) p
(V)
Na Terra: H (^) T =
V 02
2g (^) T
(VI)
Dividindo-se (V) e (VI) membro a membro:
H P
H T=
V 02
2g (^) P V 02 2g (^) T
H P
H T=
g (^) T g (^) p^ ⇒^
H P
0,5 ⇒^
H (^) P = 30 m
(^43) (IME-RJ) Um astronauta com seu traje espacial e completamente equipado pode dar pulos verticais e atingir, na Terra, alturas máximas de 0,50 m. Determine as alturas máximas que esse mesmo astronau- ta poderá atingir pulando num outro planeta de diâmetro igual a um quarto do da Terra e massa específ ica equivalente a dois terços da ter- restre. Admita que nos dois planetas o astronauta imprima aos saltos a mesma velocidade inicial.
Resolução: (I) g =^43 π G μ R
g (^) P g (^) T=^
μP R (^) P μT R (^) T^ ⇒^
g (^) P g (^) T=
3 μT
4 R^ T
μT R (^) T
⇒ g (^) P =^16 g (^) T
200 PARTE II – DINÂMICA
(II) MUV: v 2 = v 20 + 2 · a · Δs
0 = v 20 + 2 (–g) H ⇒ H =
v (^20) 2 g H (^) P H (^) T=^
v (^20) 2 g (^) P·
2 g (^) T v (^20)
H P
6 gP g (^) P^ ⇒^ H^ P^ = 3,0 m
Resposta: 3,0 m
(^44) Um meteorito adentra o campo gravitacional terrestre e, sob
sua ação exclusiva, passa a se mover de encontro à Terra, em cuja su- perfície a aceleração da gravidade tem módulo 10 m/s^2. Calcule o mó- dulo da aceleração do meteorito quando ele estiver a uma altitude de nove raios terrestres.
Resolução: a = g ⇒ a = G M (R + h)^2
a = G M (R + 9 R)^2
⇒ a = 1001 G M R 2
a = 1001 g 0 ⇒ a = 100 10 (m/s 2 ) ⇒ a = 0,10 m/s^2
Resposta: 0,10 m/s^2
(^45) (Fuvest-SP) O gráf ico da f igura a seguir representa a aceleração
da gravidade g da Terra em função da distância d ao seu centro.
d (10^6 m)
g (m/s^2 )
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
18 16 14 12 10 8 6 4 2
Considere uma situação hipotética em que o valor do raio R (^) T da Terra seja diminuído para R’, sendo R’ = 0,8R (^) T, e em que seja mantida (unifor- memente) sua massa total. Nessas condições, os valores aproximados das acelerações da gravidade g 1 à distância R’ e g 2 a uma distância igual a R (^) T do centro da “Terra hipotética” são, respectivamente:
g 1 (m/s 2 ) g 2 (m/s 2 )
a) 10 10
b) 8 6,
c) 6,4 4,
d) 12,5 10
e) 15,6 10
Resolução:
(I)
g (^1) g (^) T=
G M
(R’) 2
G M
R 2 T
R T
R’
2
g (^1) 10 =^
R T
0,8 RT
2 ⇒ g^1 ^ 15,6 m/s
2
(II) g 2 = g (^) T ⇒ g 2 = 10 m/s 2
Resposta: e
46 E.R. (^) Admita que a aceleração da gravidade nos polos da Terra tenha intensidade 10 m/s^2 e que o raio terrestre valha 6,4 · 10^6 m. Cha- memos de ω 0 a velocidade angular de rotação do planeta nas circuns- tâncias atuais. Se a velocidade angular de rotação da Terra começasse a crescer a partir de ω 0 , estabelecer-se-ia um valor ω para o qual os corpos situados na linha do Equador apresentariam peso nulo. a) Qual o valor de ω? Responda em função de ω 0. b) Qual seria a duração do dia terrestre caso a velocidade angular de rotação do planeta fosse igual a ω?
Resolução: a) O período atual de rotação da Terra é T 0 = 24 h = 86 400 s. Logo:
ω 0 =^2 π T 0
⇒ ω 0 = 2 π 86 400
(rad/s)
ω 0 = π 43 200
(rad/s) (I)
A intensidade (aparente) da aceleração da gravidade na linha do Equador é ge , dada por:
g (^) e = G M R 2
- ω^2 R ou g (^) e = g 0 – ω^2 R
No caso em que ge anula-se, vem:
0 = g 0 – ω^2 R ⇒ ω =
g (^0) R Sendo g 0 = 10 m/s 2 e R = 6,4 · 10^6 m, calculemos ω.
ω = 10 6,4 · 10^6
(rad/s) ⇒ ω = 800 1 (rad/s) (II)
De (I) e (II), temos: ω ω 0
π 43 200
⇒ ω 17 ω 0
b) ω 17 ω 0 ⇒ 2 π T
17 ·^2 Tπ 0
⇒ T
T 0
⇒ T 24 h 17
T 1,4 h 1 h 25 min
(^47) Chamemos de I 1 e I^2 as indicações de um dinamômetro ideal para o peso de um mesmo corpo no Equador e no Polo Sul, respectiva- mente. Nas duas medições, o corpo é dependurado no dinamômetro e o con- junto é mantido em repouso em relação ao solo. Supondo conhecidos o raio da Terra (R), sua velocidade angular de ro- tação (ω) e a massa do corpo (m), calcule o valor da diferença I 2 – I 1.
Resolução: No Equador: m ω^2 R + I 1 = G M^ m R 2
Da qual: (^) I 1 = G M^ m R 2
202 PARTE II – DINÂMICA
madamente 0,04 M e que seu diâmetro é da ordem de 0,4 D, em que M e D são, respectivamente, a massa e o diâmetro da Terra. Desprezando os efeitos ligados à rotação dos planetas, calcule o valor de T.
Resolução:
(I) g = G M R 2 g (^) v g (^) T=
Mv MT
R T
R V
2 ⇒
g (^) v g (^) T=
0,04 MT
MT
R T
0,4 RT
2
g (^) V = 0,25 gT
(II) MUV: h =
g 2 t^
(^2) ⇒ t = 2 h g t (^) V t (^) T
2 hV g (^) V
g (^) T 2 hT
⇒ T
= H
0,25 gT
g (^) T H
Donde: T = 2,0 s
Resposta: 2,0 s
(^54) (Unicamp-SP) A Lua tem sido responsabilizada por vários fenô-
menos na Terra, tais como apressar o parto dos seres humanos e dos demais animais e aumentar o crescimento de cabelos e plantas. Sabe-se que a aceleração gravitacional da Lua em sua própria superfície é prati-
camente^1 6
daquela da Terra (gT = 10 m/s^2 ) e que a distância entre a su-
perfície da Terra e o centro da Lua é da ordem de 200 raios lunares. Para estimar os efeitos gravitacionais da Lua na superfície da Terra, calcule: a) a intensidade da aceleração gravitacional provocada pela Lua em um corpo na superfície da Terra. b) a variação no peso de um bebê de 3,0 kg devido à ação da Lua.
Resolução: a)
Terra
Lua
g‘L gL
200 R (^) L
g = G M R 2
g’L g (^) L
R L
200 RL
2
g’L 10 6
2 ⇒ (^) g’L 4,2 · 10–5^ m/s 2
b) ΔP = m g’L ⇒ ΔP = 3,0 · 4,2 · 10 –5^ (N)
ΔP = 1,25 · 10–4^ N
Respostas: a) 4,2 · 10–5^ m/s 2 ; b) 1,25 · 10–4^ N
(^55) (IME-RJ) Um objeto foi achado por uma sonda espacial durante
a exploração de um planeta distante. Essa sonda possui um braço liga- do a uma mola ideal presa a garras especiais. Ainda naquele planeta, observou-se no equilíbrio uma deformação x (^) P = 8,0 · 10–3^ m na mola,
com o objeto totalmente suspenso. Retornando à Terra, repetiu-se o experimento, observando-se uma deformação xT = 2,0 · 10–2^ m. Ambas as deformações estavam na faixa linear da mola. Determine a razão en- tre o raio do planeta distante e o raio da Terra. Dados:
- a massa do planeta é 10% da massa da Terra;
- módulo da aceleração da gravidade terrestre: 10,0 m/s^2.
Resolução: (I)
Fe
P
No equilíbrio: P = Fe ⇒ m g = k x Donde: g = km^ x
g (^) P g (^) T=
k x (^) p m k xT m
x (^) P x (^) T
g (^) P 10,
= 8,0 · 10^
20 · 10 –^
⇒ g (^) P = 4,0 m/s 2
(II)
g = G M R 2
⇒ R 2 = G^ gM
R P
R T
2
G MP
g (^) P G MT g (^) T
MP
MT
g (^) T g (^) P
R P
R T
2
0,1 MT
MT
Donde:
R P
R T=
Resposta:
R P
R T=
(^56) (Fuvest-SP) Um satélite artif icial em órbita circular em torno da Terra mantém um período que depende de sua altura em relação à superfície terrestre.
Note e adote: Raio da Terra: R (^) T = 6,4 · 10^6 m Intensidade da aceleração da gravidade nas proximidades da Terra: g = 10 m/s 2
Desprezando-se os efeitos da atmosfera e adotando-se π 3, determine:
Tópico 4 – Gravitação 203
a) o período T 0 do satélite, em minutos, quando sua órbita está muito próxima da superfície, ou seja, quando está a uma distância do cen- tro da Terra praticamente igual ao raio do planeta; b) o período T 1 do satélite, também em minutos, quando sua órbita está a uma distância do centro da Terra aproximadamente igual a quatro raios terrestres.
Resolução: a) Fcp = F ⇒ m ω^2 R (^) T = G M^ m R (^2) T
2 π T 0
2 R (^) T = g ⇒ T 0 = 2 π
R T
g
T 0 = 2 · 3
10 (s)^ ⇒^ T^0 = 4^ 800 s = 80 min
b)
R 31
T^21
R 30
T^20
⇒ T^21 =
R 1
R 0
3 T^20
T^21 =
4 R T
R T
3 T^20 ⇒ T^21 = 64 (80)^2
T 1 = 8 · 80 (min) ⇒ T 1 = 640 min
Respostas: T 0 = 80 min e T 1 = 640 min
(^57) Um planeta descreve uma órbita elíptica em torno de uma es-
trela, conforme representa o esquema. Os pontos P 1 e P 2 indicados cor- respondem ao periélio e ao afélio, respectivamente, e, nesses pontos, o planeta apresenta velocidades vetoriais de intensidades v 1 e v 2. Supondo conhecidas as distâncias de P 1 e P 2 ao Sol (d 1 e d 2 ), mostre que d 1 v 1 = d 2 v 2.
Estrela P 2
d (^1) d (^2)
P 1
v 2
v 1
Resolução: Devido à simetria, nos pontos P 1 (periélio) e P 2 (afélio) o raio de curva- tura da elipse é o mesmo (R); logo: Ponto P 1 : Fcp 1 = F 1
m v (^21) R
= G M^ m d^21 (d 1 v 1 )^2 = G M R (I)
Ponto P 2 : Fcp 2
= F 2
m v (^22) R
= G M^ m d^22 (d 2 v 2 )^2 = G M R (II) Comparando (I) e (II), vem: (d 1 v 1 )^2 = (d 2 v 2 )^2
d 1 v 1 = d 2 v (^2)
A conclusão acima está de acordo com a conservação do movimento angular do sistema planeta-estrela.
Resposta: Ver demonstração.
(^58) Considere o planeta Marte com raio R e densidade absoluta média igual a μ. Supondo que o satélite Fobos descreva em torno de Marte uma órbita circular de raio r e representando por G a Constante da Gravitação, calcule o período de revolução de Fobos.
Resolução: (I) F = Fcp ⇒ G M^ m r 2
= m^ v^
2 r
v 2 = G^ M r
⇒ 2 πT^ r
2 = G^ M r 4 π^2 r 2 T^2
= G^ M
r
⇒ T = 4 π
(^2) r 3 G M
1 (^2) (I)
(II) μ = M V
= 4 M
3 π^ R^
3
M =^4 3
π μ R^3 (II) (II) em (I), vem:
T = 4 π
(^2) r 3
G 4 3
π · μ R^3
1 2
Da qual: T = 3 π^ r^
3 G μ R^3
1 2
Resposta: 3 π^ r^
3 G μ R^3
1 2
(^59) Admita que a Terra tenha raio R e densidade absoluta média μμ e descreva em torno do Sol uma órbita circular de raio r, com período de revolução igual a T. Calcule, em função desses dados, a intensidade da força de atração gravitacional que o Sol exerce sobre a Terra.
Resolução: F = Fcp ⇒ F = m^ v^
2 R
F = m r
2 π r T
2 ⇒ F =^4 π
(^2) r m T^2
F =^4 π
(^2) r T^2
m 4 3 π^ R^
3
π R 3
Sendo 4 m 3 π^ R^
3
= μ, temos:
F =^16 π
3 3
· μ^ R
(^3) r T^2
Resposta: 16 π
3 3
μ R^3 r T^2
(^60) Seja G a Constante da Gravitação e T o período de rotação de um planeta imaginário denominado Planton. Sabendo que no equa- dor de Planton um dinamômetro de alta sensibilidade dá indicação nula para o peso de qualquer corpo dependurado na sua extremidade, calcule a densidade média desse planeta.
Resolução: Se no equador de Planton o peso aparente dos corpos é nulo, temos:
F = Fcp ⇒ G M^ m R 2
= m^ v^
2 R
