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6. ALETAS
6.1. DEFINIÇÃO
Para um melhor entendimento do papel desempenhado pelas aletas na transferência de calor consideremos um exemplo prático. Quando se quer resfriar ou aquecer um fluido, o modo mais freqüente é fazê-lo trocar calor com outro fluido, separados ambos por uma parede sólida de resistência baixa (metal de pequena espessura). Então, como exemplo, analisemos a transferência calor entre dois fluidos separados por uma parede cilíndrica. O fluxo de calor entre eles pode ser calculado assim :
ln
.
1 2 3 2
i i e e
i e i e
k L h A
r
r
hA
T T
R R R
T T
q
S
( eq. 6.1 )
Analisemos os meios de elevar a transferência de calor através da redução das resistências térmicas
o
o
aumentar necessárioaumentodevelocidadede escoamento
aumentar necessáriomudançadedimensões
1 i
i
i i h
A
hA
R
o
¸o ¹
aumentar necessáriotrocadomaterialda parede
reduzir necessárioreduziraespessuradaparede
ln 2
1
2
1 1 k
r
r
k L
r
r R
S
o
o
aumentar mudançadedimensõesouCOLOCAÇÃODE ALETAS
aumentar necessárioaumentodevelocidadedeescoamento
.
1 e
e
i i A
h
hA
R
O aumento da superfície externa de troca de calor pode ser feito através de expansões metálicas denominadas aletas , como mostra a figura 6.1.
[ figura 6.1 ]
6.2. CÁLCULO DO FLUXO DE CALOR EM ALETAS DE SEÇÃO UNIFORME
Considerando uma aleta em formato de um barra ( pino ) circular, como mostra a figura 6.2, afixada em uma superfície com temperatura Ts e em contato com um fluido com temperatura Tf é possível derivar uma equação para a distribuição de temperatura, fazendo um balanço de energia em um elemento diferencial da aleta. Sob as condições de regime permanente temos:
[ figura 6.2 ]
» ¼
º « ¬
ª » ¼
º « ¬
ª »¼
º « ¬
ª dasuperfícieentrexe ( )
fluxodecalorporconvecção paraforadoelementoem
fluxodecalorporconduçãopara paradentrodoelementoem
fluxodecalorporcondução x x dx x dx
Na forma simbólica esta equação torna-se :
q x q x dx qconv
...... ».. f ¼
dx h Pdx T T dx
dT kA dx
d dx
dT kA dx
dT k At t t ( eq. 6.2 )
Onde P é o perímetro da aleta, At é a área da seção transversal da aleta e (P.dx) a área entre as seções x e (x+dx) em contato com o fluido. Se h e k podem ser considerados constantes a equação 6.2 pode ser simplificada para :
dx dx
dT kA dx
d h PdxT T t ¸ ¹
... f..
2
2
.... dx
dT h PT Tf kAt
2 m T T f dx
d T ( eq. 6.3 )
onde ; m , é o coeficiente da aleta ( )
h P k A
m t
1
Caso (b) o Barra de comprimento finito, com perda de calor pela extremidade desprezível
Neste caso, a segunda condição de contorno requererá que o gradiente de temperatura em x=L seja zero, ou seja, dT dx 0 em x=L. Com estas condições :
C
T T
e
C
T T
e
s m l
s (^1 1 2 2 12) m l
f f
.. e^ .. ( eq. 6.9 )
levando as equações 6.9 na equação 6.4, obtemos :
f f ml
mx ml
mx s (^) e
e e
e T T T T 2 ..
. 2 ..
.
1 1
. ( eq. 6.10 )
Considerando que o coseno hiperbólico é definido como cosh x ex^ ex 2 , a equação 6.
pode ser colocada em uma forma adimensional simplificada :
cosh(. )
cosh m l
ml x T T
T T
s
f
f
A transferência de calor pode ser obtida através da equação 6.7, substituindo o gradiente de temperatura na base :
f (^) f ml ml
ml ml s ml ml s x e e
e e T T m e e
T T m dx
dT
.. .. 2 .. 2 .. 0
T T mtaghm l dx
dT s x
0
(^) f ( eq. 6.11 )
O calor transferido, na unidade de tempo, é então :
q (^) aleta h.P .k.A.Ts Tf.taghm. l ( eq. 6.12 )
Caso (c) o Barra de comprimento finito, com perda de calor por convecção pela extremidade
Neste caso, a álgebra envolvida é algo mais complicado, entretanto o princípio é o mesmo e o fluxo de calor transferido é :
(^) f ml hmk ml
ml hmk ml q (^) aleta hPkA Ts T cosh.. .senh.
senh.. .cosh.
. .... (eq. 6.13 )
6.3. TIPOS DE ALETAS
Vários tipos de aletas estão presentes nas mais diversas aplicações industriais. A seguir veremos alguns dos tipos mais encontrados industrialmente.
x Aletas de Seção Retangular
[ figura 6.3 ]
Na figura 6.3 observamos uma aleta de seção retangular assentada longitudinalmente em uma superfície plana. Considerando que a aleta tem espessura b e largura e ( espessura pequena em relação à largura), o coeficiente da aleta m pode ser calculado assim :
P b e A b e
b
t
u u # u u
m
h P k At
m
h b k b e
u u u u
(^2) m h k e
u u
( eq. 6.14 )
x Aletas de Seção Não-Retangular
[ figura 6.4 ]
Neste caso, temos uma aleta de seção triangular mostrada na figura 6.4. Aletas de seção parabólica, trapezoidal, etc, também são comuns. O cálculo do coeficiente m pode ser feito de modo similar ao caso anterior, considerando uma área transversal média.
m
h P k At
P r At r
u u u
2
m
h r k r
u u u u u
2
m
h k r
u u
( eq. 6.16 )
6.4. EFICIÊNCIA DE UMA ALETA
Consideremos uma superfície base sobre a qual estão fixadas aletas de seção transversal uniforme, como mostra a figura 6.7. As aletas tem espessura e , altura l e largura b. A superfície base está na temperatura Ts maior que a temperatura ambiente Tf.
[ figura 6.7 ]
O fluxo de calor total transferido através da superfície com as aletas é igual ao fluxo transferido pela área exposta das aletas ( AA ) mais o fluxo transferido pela área exposta da superfície base ( AR ) :
f
f
q hA T T
q hA T T
q q q
A A
R R S R A
, onde
( eq. 6.17 )
A diferença de temperatura para a área das aletas (T? -Tf) é desconhecida. A temperatura Ts é da base da aleta, pois à medida que a aleta perde calor, a sua temperatura diminui, ou seja, AA não trabalha com o mesmo potencial térmico em relação ao fluido. Por este motivo , calculado com o potencial (Ts- Tf), deve ser corrigido, multiplicando este
valor pela eficiência da aleta
q A
( K ). A eficiência da aleta pode ser definida assim :
O
calor realmente trocado pela aleta calor que seria trocado se A (^) A estivesse na temperatura TS
Portanto,
hA T T f
q A S
A
..
K
( eq. 6.18 )
Da equação 6.18 obtemos o fluxo de calor trocado pela área das aletas :
q A h.AA.TS Tf. K ( eq. 6.19 )
O fluxo de calor em uma aleta cuja troca de calor pela extremidade é desprezível é obtido através da equação 6.12, obtida anteriormente :
q (^) A h.P .k.At.TsTf.taghm. l
É óbvio que desprezar a transferência de calor pela extremidade da aleta é simplificação para as aletas de uso industrial. Entretanto, como as aletas tem espessura pequena, a área de troca de calor na extremidade é pequena; além disto, a diferença de temperatura entre a aleta e o fluido é menor na extremidade. Portanto, na maioria dos casos, devido à pequena área de troca de calor e ao menor potencial térmico, a transferência de calor pela extremidade da aleta pode ser desprezada
Igualando as duas equações para o fluxo de calor ( eq. 6.19 e eq. 6.12 ), temos :
h. AA .TsTf. K h.P.k.At.TsTf.taghm. l
Isolando a eficiência da aleta, obtemos :
taghm l hA
hPkA
A
t (^).. .
K
( eq. 6.20 )
A área de troca de calor da aleta pode ser aproximada para :
A (^) A P. l ( eq. 6.21 )
Substituindo a equação 6.21 na equação 6.3, obtemos :
l kA
hP
taghml taghml hPl
kA taghml h Pl
h P kA
t
t t
. .
12 1
K
( eq. 6.22 )
O coeficiente da aleta ( m ) pode ser introduzido na eq. 6.22 para dar a expressão final da eficiência da aleta :
m l
taghml
K ( eq. 6.23 )
onde, m ( coeficiente da aleta )
h P k At
e (^) mL mL
mL mL
e e
e e tagh mL..
.. .
A b e m A A n A m
t R S t
u u u u u u
5 2 4 5 5 2
Cálculo de AA ( desprezando as áreas laterais ) :
A n. l.b. 2 12 0 , 01 0 , 006 2 0 , 00144 m^2 A u u u
Cálculo da eficiência da aleta :
m
h k e
m
u u
. 18 , 898 u 0 , 01 0 , 18898 tghml tgh
ml
m l
tghml
K
Cálculo do fluxo de calor :
Desprezando as resistências de contato entre o transistor e o cilindro e do próprio cilindro, a temperatura da base das aletas pode ser considerada como 80 oC.
q h. AR K.AA.TSTf 25 u 6 , 26 u 10 ^5 0 , 9883 u 0 , 00144 u 80 20
q 2 22, W
2 Exercício 6.2. Uma placa plana de alumínio ( k = 175 Kcal/h.m.oC ) de resistência térmica desprezível tem aletas retangulares de 1,5 mm de espessura e 12 mm de altura, espaçadas entre si de 12 mm, ocupando toda a largura da placa. O lado com aletas está em contato com ar a 40 oC e coeficiente de película 25 Kcal/h.m2.oC. No lado sem aletas escoa óleo a 150 oC e coeficiente de película 225 Kcal/h.m2.oC. Calcule por unidade de área da placa : a) Fluxo de calor pela placa aletada desprezando a resistência da película de óleo; b) Idem item anterior levando em conta a resistência a convecção na película de óleo.
Placa m L m e b m e mm m mm m
h Kcal h m C h Kcal h m C T C T C
k Kcal h m C
o
o o o ar
o
o
o
a) Desprezando a resistência da película do óleo ( Ts = 150 oC )
Cálculo do número de aletas :
aletas e
L
L e n n 74 0 , 0015 0 , 012
Cálculo da eficiência da aleta :
m
h k e
u u
m .l , u , ,
. 0 , (^16560) , 1656 0 , 1656 0 , 1641
0 , 1656 0 , 1656
e e
e e taghml tagh
m l
taghml
K
Cálculo da área não aletada :
A A n. A A n.b.e 1 74 1 0 , 0015 0 , 889 m^2 R S t S u u
Cálculo da área das aletas (desprezando as áreas laterais) :
A 2. b.l.n 2 1 0 , 012 74 1 , 776 m^2 A u u u
Cálculo do fluxo de calor :
q h. AR K.AA.TSTf 25 u 0 , 889 0 , 99 u 1 , 776 u 150 40 7279 , 91 Kcal h
b) O novo fluxo pode ser obtido considerando a resistência da película do óleo ( a resistência da placa é desprezível ). Neste caso, a temperatura da base é TSc < Ts
S
o S S o
o S T T
hA
T T
R
T T
q u c
u
c c c c 33750 225
225 1
Este é também o fluxo pela placa aletada :
qc^ h. AR K.AA.TScTf 25 u 0 , 889 0 , 99 u 1 , 776 uTSc 40 66 , 181 uTSc 2647 , 24
Igualando as equações acima obtemos a temperatura da base ( TSc ) :
u TS (^) c , u TS (^) c , TS (^) c ^ oC
Portanto, o fluxo de calor considerando a resistência da película de óleo será :
q c 33750 225 uTSc 33750 225 u 125 5625 Kcal h
A 2. l.b.n 2 0 , 019 1 , 2 20 0 , 912 m^2 A u u u
Cálculo da eficiência da aleta :
u
u (^) m ke
m h
m .l 19 4, u0 019, 0 368, tghm. l tgh 0 , 368 0 , 352
0 , 957 95 , 7 % 0 , 368
m l
tghml
K
Cálculo do fluxo de calor :
Desprezando as resistências a convecção no interior do tubo e a condução no tubo, a temperatura da base das aletas pode ser considerada como 150 oC.
q h. AR K.AA.TSTf 15 u 0 , 143 0 , 957 u 0 , 912 u 150 28
q^ 1859 Kcal h
e) Cálculo do fluxo de calor por radiação pelo tubo com as aletas :
Como a eficiência da aleta é elevada ( 95,7 % ), podemos considerar que praticamente toda a superfície da aleta está na temperatura da base ( TS ). Neste caso, para o cálculo do fluxo de calor por radiação será utilizado o mesmo potencial da base para a área total ( AA + AR ).
q^ r V. AR AA.F 12 .Ts^4 Tf^4 ,onde F 12 H 0 , 86 superf. 1 ¢¢¢ superf. 2
q r 4 , 88 u 10 ^8 u 0 , 143 0 , 912 u 0 , 86 u > 150 2734 28 2734 @ q^ (^) r 1054 Kcal h
Exercício 6.4. Determine a porcentagem de aumento da transferência de calor associada com a colocação de aletas retangulares de alumínio ( k=200 W/m.K ) em uma placa plana de 1m de largura. As aletas tem 50 mm de altura e 0,5 mm de espessura e a densidade de colocação é 250 aletas por unidade de comprimento da placa (as aletas são igualmente espaçadas e ocupam toda a largura da placa). O coeficiente de película do ar sobre a placa sem aletas é 40 W/m2.K, enquanto que o coeficiente de película resultante da colocação de aletas é 30 W/m2.K. (OBS: desprezar as áreas laterais das aletas)
n aletas l mm m e mm m m u m o b m
Consideremos uma placa de : 1 1 1
sem aletas com aletas
o o
h W m K h W m K k (^) aletas W m K
2 2
Cálculo da área não aletada :
2 A (^) R As n.At 1 u 1 250 u 1 u 0 , 0005 0 , 875 m
Cálculo da área das aletas :
A 2. b.l.n 2 1 0 , 05 250 25 m^2 A u u u
Cálculo da eficiência da aleta :
m
h k A
m t
u u
1 , 2245 1 , 2245
1 , 2245 1 , 2245
u
e e
e e tghml
ml
m l
tghml
K
Cálculo do fluxo de calor através da superfície com as aletas :
q h.AR K.AA.TsTf 30 u 0 , 875 0 , 6868 u 25 u'T 541 , 35 u'T W
Cálculo do fluxo de calor através da superfície sem as aletas :
q h.A.Ts Tf 40 u 1 u 1 u'T 40 u'T W
Cálculo da percentagem de aumento do fluxo de calor :
/
/ / u u'
u' u ' u
T
T T
q
q q aumento s a
ca sa
% aumento = 1253 4, %
Exercício 6.5. A parte aletada do motor de uma motocicleta é construída de uma liga de alumínio ( k=186 W/m.K ) e tem formato que pode ser aproximado como um cilindro de 15 cm de altura e 50 mm de diâmetro externo. Existem 5 aletas transversais circulares igualmente espaçadas com espessura de 6 mm e altura de 20 mm. Sob as condições normais de operação a temperatura da superfície externa do cilindro é 500 K e está exposta ao ambiente a 300 K, com coeficiente de película de 50 W/m2.K quando a moto está em movimento. Quando a moto está parada o coeficiente cai para 15 W/m2.K. Qual é a elevação percentual da transferência de calor quando a moto está em movimento. ( OBS : desprezar as áreas laterais)
H cm m mm r m n aletas l mm m e mm m k W m K T K T h W m K h W m K
e e
aleta S m p
K
o
f
M
a temperatura é 300 oC, enquanto que o ambiente está a 20 oC com coeficiente de película de 120 Kcal/h.m2.oC.
Cálculo da eficiência :
m
h k r
m
u u
m .l 23 17, u0 03, 0 6951,
n k Kcal h m C mm m
r m
l mm m T C T C h Kcal h m C
o
S
o o o
f
aletas
.. ,
,
,
0 , 695 0 , 695
e e
e e taghml
m l
taghml
K
Cálculo da área não aletada :
A AS n. At ASn.S.r^2 1 > S u 0 , 00252 @ 0 , 875 m^2
Cálculo da área das aletas ( desprezando as áreas laterais ) :
A A 2. .. .r l n 2 u u 0 0025, u 0 03, u 6400 3 015, m 2
Cálculo do fluxo de calor :
q c / a h.AR K.AA.TSTf 12 u 0 , 875 0 , 8649 u 3 , 015 u 300 20 116926 Kcal h
Antes da colocação das aletas o fluxo é :
q (^) s / a h.AS.TS Tf 120 u 1 u 300 20 33600 Kcal h
/ / /
Aumento
u
u
q q q
c a s a s a
% Aumento 248 %
2 Exercício 6.7. Um tubo de aço ( k = 35 kcal/h.m.oC e H = 0,55 ) com diâmetro externo 5,
cm e 2,2 m de comprimento conduz um fluido a 600 oC, em um ambiente onde o ar está a 35 oC, com coeficiente de película 20 kcal/h.m2.oC. Existem duas opções elevar a transferência de
calor : o tubo pode receber 10 aletas de aço de 5 mm de espessura e 10,2 cm de diâmetro
(aletas circulares) ou ser pintado com uma tinta de emissividade ( H ) igual a 0,83. Determinar :
a) O fluxo de calor por convecção pelo tubo com aletas; b) O fluxo de calor por radiação pelo tubo com aletas; c) O fluxo de calor por convecção pelo tubo pintado com a tinta especial; d) O fluxo de calor por radiação pelo tubo pintado com a tinta especial; e) A opção que produz o maior fluxo de calor ( aletamento ou pintura? ).
n L m cm r cm m cm r cm m e mm m l r r m
h Kcal h m C k Kcal h m C T C T C
e e a a
a e o o
s
o o
f
aletas , , , , , , , , , , , ,
....
H
a) Fluxo de calor por convecção :
m
h k e
m
u u
m .l , u , ,
. (^0) , 385 0 , 385 0 , 367
0 , 385 0 , 385
e e
e e taghml
m l
taghml
K
AS . S. re L. u Su , u , , m
A A n. A A n. 2. .r.e 0 , 352 102 0 , 0255 0 , 005 0 , 344 m^2
R S t S S e u^ Su u
A (^) A 2. >S .ra^2 S.re^2 @. n 2 u>S u 0 , 0512 Su 0 , 02552 @u 10 0 , 1226 m^2
q aconv h. AR K.AA.TSTf 20 u 0 , 344 0 , 9532 u 0 , 1226 u 600 35
q^ ^ conva^ 5207 74, Kcal h
b) Uma elevada eficiência para a aletas significa que sua temperatura é próxima da temperatura da base, Então, podemos considerar para a radiação :
q (^) c 1 1, u q 1 1, u8482 3, 9330 5, Kcal h
a) Cálculo do número de aletas pinos de seção circular ( nc )
Eficiência das aletas pino de seção circular :
m
h k r
m p
u u
m .l 15 49, u0 025, 0 3873, taghm.l tagh 0 , 3873 0 , 369
0 , 9528 95 , 28 % 0 , 3873
m l
taghml K
Cálculo da áreas não aletada e a área das aletas ( desprezando a área do topo ) :
AR AS .r (^) p .nc 3 , 14 0 , 00002 un c
S^2
AA 2. S.rp.l.nc 2 u Su 0 , 0025 u 0 , 025 unc 0 , 0004 un c
Cálculo do número de aletas pino de seção circular :
qc h.AR K.AA.TST f 9330 , 5 12 u > 3 , 14 0 , 00002 unc 0 , 9528 u 0 , 0004 unc@ u 250 25 3 456, 3 14, 0 00036, u nc nc 878 aletas
b) Cálculo do número de aletas pinos de seção quadrada ( nq )
Eficiência das aletas pino de seção quadrada :
1 (^2 400) , 003 20
u
u m kd
h k d
h d kA
hP m t m .l 20 u0 025, 0 5, taghm.l tagh 0 , 5 0 , 4621
0 , 9242 92 , 42 % 0 , 5
m l
taghml K
Cálculo da áreas não aletada e a área das aletas ( desprezando a área do topo ) :
AR AS d .nc 3 , 14 0 , 000009 un c 2
AA l.d. 4 .nc 0 , 025 u 0 , 003 u 4 unc 0 , 0003 un c
Cálculo do número de aletas pino de seção circular :
qc h.AR K.AA.TST f 9330 , 5 12 u > 3 , 14 0 , 000009 unc 0 , 9242 u 0 , 0003 unc@ u 250 25 3 456, 3 14, 0 000268, u nc nc 1179 aletas
EXERCÍCIOS PROPOSTOS :
Exercício 6.9. Numa indústria deseja-se projetar um dissipador de calor para elementos transistores em um local onde o coeficiente de película é 3 Kcal/h.m^2 .oC. A base do dissipador será uma placa plana, de 10 x 10 cm, sobre a qual estarão dispostas 8 aletas, de seção transversal retangular, com espaçamento constante, de 2 mm de espessura e 40 mm de altura. Sob a placa deve ser mantida uma temperatura de 80 oC, com temperatura ambiente de 30 oC. Considerando a condutividade térmica das aletas igual a 35 Kcal/h.m.oC, pede-se :
a) a eficiência da aleta; b) calor dissipado pela placa aletada; c) razão percentual entre os fluxos de calor dissipado pelas aletas e o total.
Exercício 6.10. Um tubo horizontal de diâmetro 4" conduz um produto a 85oC, com coeficiente de película 1230 Kcal/h.m2.oC. O tubo é de aço, de coeficiente de condutibilidade térmica 40 kcal/h.m.oC; tem 0,8 m de comprimento e está mergulhado num tanque de água a 20 oC, com coeficiente de película 485 Kcal/h.m2.oC. O tubo deve ter 1,5 aletas por centímetro de tubo. As aletas, circulares são feitas de chapa de aço, de 1/8 " de espessura e 2 " de altura. Pede-se: a) o fluxo de calor pelo tubo, sem aletas; b) a temperatura da superfície externa do tubo , sem aletas; c) o fluxo de calor pelo tubo aletado, considerando a mesma temperatura calculada anteriormente na superfície externa.
Exercício 6.11. Um tubo de diâmetro 4" e 65 cm de comprimento deve receber aletas transversais , circulares, de 1,5 mm de espessura, separadas de 2 mm uma da outra. As aletas tem 5 cm de altura. No interior do tubo circula um fluido a 135oC. O ar ambiente está a 32 oC, com coeficiente de película 12 kcal/h.m^2 .oC. A condutividade térmica do material da aleta é 38 kcal/hm2 o C. Determinar o fluxo de calor pelo tubo aletado.
Exercício 6.12. No laboratório de uma indústria pretende-se testar um novo tipo de aletas, na forma de prisma reto, de seção transversal triangular (eqüilátera) com 1 cm de lado. Essas aletas tem altura de 5 cm e serão colocadas, durante o teste, sobre placas de 10 cm x 10 cm, submetidas a uma temperatura de 150 oC na base e expostas ao ar a 40 oC. Por razões técnicas, no máximo 30 % da área das placas poderá ser aletada. Sabendo que a condutividade térmica do material do aleta é 130 kcal/hm C e o coeficiente de película do ar é 5 Kcal/h.m^2 .oC, pede-se o fluxo de calor pela placa aletada.
Exercício 6.13. Em uma indústria, deseja-se projetar um dissipador de calor para elementos transístores. O base do dissipador será uma placa plana de 10 x 10 cm , sobre a qual estarão dispostas 8 aletas retangulares ( k = 35 Kcal/h.m.oC ) de 2 mm de espessura e 40 mm de altura, com espaçamento constante. Na superfície da placa deve ser mantida uma temperatura de 80 oC, com temperatura ambiente de 30 oC e coeficiente de película de 3 Kcal/h.m2.oC. Nestas
condições, pede-se : a) a eficiência das aletas; b) o calor dissipado pela placa aletada.
Exercício 6.14. Um tubo de aço de 0,65 m de comprimento e 10 cm de diâmetro, com temperatura de 60 oC na superfície externa, troca calor com o ar ambiente a 20 oC e com coeficiente de película de 5 Kcal/h.m2.oC, a uma razão de 40 kcal/h. Existem 2 propostas para aumentar a dissipação de calor através da colocação de aletas de condutividade térmica 40 Kcal/h.m.oC. A primeira prevê a colocação de 130 aletas longitudinais de 0,057 m de altura e 0,002 m de espessura. A segunda prevê a colocação de 185 aletas circulares de 0,05m de
