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Podemos tomar uma dessas raízes como sendoU e a outra comoV,
logo, temos Portanto, obtemos precisamente a
solução enunciada por Tartaglia:
Mais explicitamente, substituindoU eV pelos seus respectivos valores, resulta a conhecida fórmula que, nos textos, é chamada defórmula de Cardano oude Tartaglia:
Uma observação final: a equação geral do terceiro grau, que podemos escrever na forma:
x^3 + a 1 x^2 +a 2 x +a 3 = 0 ,
pode-se reduzir ao caso acima, mediante a mudança de variável x =y −(a 1 /3). Aliás, essa redução era conhecida por Tartaglia, mas não por Fior, e foi justamente esse fato que determinou a vitória do primeiro. Isso significa que, na verdade, Tartaglia conhecia um método geral para resolverqualquer equação do terceiro grau.
H á pouco tempo um aluno perguntou-me o
porquê da multiplicação de matrizes ser efetuada do modo como é usual. Este artigo é uma tentativa de responder a essa pergunta. Vamos ver quando e como o produto matricial foi “criado” (“descoberto” ?; “inventado”?). Se alguém, em algum momento da História, começou a multiplicar matrizes, fazendo o produto das linhas pelas colunas, essa pessoa deve ter tido um bom motivo para fazê-lo. Vamos, inicialmente, apresentar um exemplo baseado numa situação concreta.
Exemplo 1 Imaginemos a seguinte situação: Uma empresa compra “matérias-primas”,M 1 eM 2 , óleo e essência, e as utiliza para fabricar dois produtos, sabonetesP 1 eP 2. Vamos indicar numa matrizQ a quantidade de matéria-prima utilizada na produção de cada produto.
Adaptado do artigo de Cláudio Possani
O produto de
matrizes
Vejamos, agora, um exemplo teórico do uso do produtos de matrizes, na notação matricial para sistemas.
Exemplo 2
Um sistema m × n de equações lineares
pode ser denotado, de forma bem mais reduzida, porA × X = B , sendo A,X e B as matrizes:
Sem = n o sistema serádeterminado se, e somente se,A for inversível e sua solução pode ser obtida comoX =A−^1 × B.
Um pouco de História
Tradicionalmente ensinamos Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares nessa ordem, o que é razoável do ponto de vista lógico, mas é bom observar que historicamente as coisas não se passaram assim. Creio não ser exagero dizer que o estudo de sistemas de equações, lineares ou não, se perde na História e é impossível estabelecer um “início” para a teoria. Determinantes foram aparecendo aqui e acolá, inicialmente associados à resolução de sistemas (já na China antiga!).
Cramer publicou um trabalho em 1750, no qual aparece a regra que hoje tem seu nome, embora já fosse conhecida antes.
O nome “determinante” foi utilizado pela primeira vez por Cauchy em 1812, e por essa ocasião determinantes também apareciam na Geometria.
As matrizes já aparecem mais tarde! Até então não se falava em determinante de uma matriz, mas em determinante do sistema de equações. O conceito de matriz aparece em 1858, num trabalho de Cayley sobre transformações do plano, e a operação matricial envolvida é justamente o produto. Cayley considerava transformações (lineares) do planoR^2 em si próprio do tipo
T(x ;y)= (ax + by ;cx + dy). Se não quisermos pensar em transformações, podemos considerar mudanças de variáveis:
Suponhamos duas mudanças de variáveis:
Como podemos expressar r e s em termos dex ey? Substituindo as expressões deT 1 emT 2 obtemos:
Cayley chamou de “matriz deT 1 ” a tabela e observou que
para obtermos a matriz que fornecer es em termos dex ey, bastava colocar as matrizes deT 2 eT 1 lado a lado e “multiplicá-las” da maneira como fazemos até hoje:
Arthur Cayley
O s sistemas de equações lineares constituem
um tópico de grande interesse prático. Seu estudo é acessível aos estudantes, pois não requer o emprego de conceitos sutis ou complicados. Além disso, pode servir como ponto de partida para diversas teorias matemáticas relevantes e atuais. Por estes três motivos, é mais do que justa sua inclusão nos currículos escolares. Esta nota visa dar aos professores que ensinam sistemas lineares algumas sugestões para ilustrar suas aulas e ajudá-los a situar adequadamente a matéria dentro do contexto dos seus conhecimentos.
Um problema O curso de Matemática no semestre passado teve três provas. As questões valiam um ponto cada uma, mas os pesos das provas eram diferentes. Jorge, que acertou 6questões na primeira prova, 5na segunda e 4na terceira, obteve no final um total de 47pontos. Fernando acertou 3, 6e 6,totalizando 54 pontos. Por sua vez, Marcos acertou 2, 7e 5
Adaptado do artigo de Elon Lages Lima
Sobre o ensino de
sistemas lineares
questões, atingindo a soma de 50pontos no final. Já Renato fez 5questões certas na primeira prova, 8 na segunda e 3 na terceira. Qual foi o total de pontos de Renato? Chamando dex, y ez, respectivamente, os pesos da primeira, segunda e terceira provas, as pontuações de Jorge, Fernando e Marcos nos fornecem as equações: 6 x + 5y + 4z = 47 3x + 6y + 6z = 54 2x + 7y + 5z = 50. Com isso, determinamosx, y ez e, a partir daí, a nota final de Renato. Não é difícil imaginar muitas outras situações que conduzem a sistemas de equações lineares como o acima. Os próprios alunos podem ser solicitados a fornecer tais exemplos, sendo então levados a concluir que os sistemas lineares não foram inventados apenas por capricho dos professores.
Observações gerais
No que se segue, faremos referências ao sistema (S) abaixo: a 1 x + b 1 y + c 1 z = d (^1) (S) a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 3 x + b 3 y + c 3 z = d (^3) Umasolução de (S) é um terno ordenado (x, y, z) de números reais que, substituídos no primeiro membro de cada uma das equações acima, torna-o igual ao segundo membro. Por exemplo, (2, 3, 5) é uma solução do sistema do exemplo anterior e escreve-se
x = 2, y = 3, z = 5. O sistema (S) pode ter uma única solução, uma infinidade de soluções, ou nenhuma solução. No primeiro caso, diz-se que o sistema é determinado, no segundo,indeterminado e, no terceiro,impossível.
P = (x, y, z). Sob este ponto de vista, cada uma das equações do sistema é a equação de um plano nesse espaço, e as soluções do sistema são os pontos comuns a esses planos. Mais precisamente, se π 1 , π 2 e π 3 são os planos definidos pelas três equações de (S), então as soluções de (S) são os pontosP = (x,y,z) que pertencem à interseção π 1 ∩ π 2 ∩ π 3 desses planos.
Assim, por exemplo, se pelo menos dois desses planos são paralelos, ou se dois deles intersectam o terceiro segundo retas paralelas, a interseção π 1 ∩ π 2 ∩ π 3 é vazia e o sistema é impossível.
Noutro exemplo, podemos ter uma retar formando uma espécie de eixo, contido simultaneamente nos três planos.
Então π 1 ∩ π 2 ∩ π 3 =r e o sistema é indeterminado: suas soluções são os infinitos pontos der. O sistema é determinado quando os três planos se encontram num só ponto, como duas paredes adjacentes e o teto.
Há ao todo 8 posições relativas possíveis para os planos π 1 , π 2 e π 3. Quatro dessas posições correspondem aos sistemas impossíveis; nas outras quatro, o sistema tem solução. É importante observar que se pode concluir em qual das 8 posições se encontram os planos de (S) examinando os coeficientesa (^) i , bi , c (^) i ed (^) i que nele aparecem. O leitor interessado poderá verificar essa afirmação em textos de Álgebra Linear.
Adaptado do artigo de Maria Cristina Costa Ferreira Maria Laura Magalhães Gomes
Uma experiência
sobre o ensino de
sistemas lineares
O estudo dos sistemas lineares está sempre
presente nos programas de Matemática do ensino médio. Entretanto, seu significado geométrico, tratado no artigoSobre o ensino de sistemas lineares, pelo Prof. Elon Lages Lima, é comumente deixado de lado. Por meio de nossas observações e dos depoimentos de alguns participantes de um curso de aperfeiçoamento de professores, pretendemos mostrar como a interpretação geométrica pode contribuir para uma melhor compreensão do estudo dos sistemas lineares. Procuramos, a seguir, mostrar algumas percepções dos professores durante a experiência do curso, com base nas observações feitas em sala de aula e nos trabalhos por eles apresentados.
A análise feita pelos professores Dois aspectos destacaram-se: a inter- pretação geométrica dos sistemas lineares 3 ×^ 3 e a opção a ser feita entre os métodos de resolução desses sistemas − regra de Cramer ou escalonamento? A seguir comentamos cada um desses aspectos separadamente.
Professor A
“Trabalho com uma turma, do 2o^ ano do ensino médio, muito interessada em estudar. Quando ia introduzir Sistemas Lineares, fiz uma revisão de sistemas do 1o^ grau com duas variáveis vistos na 7a^ série do ensino fundamental. Os alunos fizeram várias perguntas sobre os tipos de solução. Fiz os gráficos das equações e mostrei as retas paralelas, coincidentes e concorrentes para justificar as soluções. Se não tivesse feito esse curso, teria ficado em ‘apuros’ com 3 variáveis e 3 equações. Eles também me perguntaram como representá- los graficamente.”
ProfessorB
“Estou sabendo fazer a interpretação geométrica dos problemas, e isso me deixa mais à vontade. Antigamente, sabia fazer algebricamente, mas ficava uma lacuna, um vazio, faltava a interpretação.”
Os comentários feitos podem ser sistematizados assim: ao associar um plano a cada equação do sistema linear 3 × 3, a abordagem geométrica permite distingüir tipos diferentes de sistemas indeterminados e impossíveis. Analisando as possibilidades para as posições relativas de três planos no espaço, os professores perceberam que:
- No caso dos sistemas indeterminados, as infinitas soluções podem ser os pontos de um plano ou de uma reta.
- No caso dos sistemas impossíveis, a inexistência de soluções pode ocorrer de maneiras distintas: dois ou três planos podem ser paralelos entre si ou os três planos podem se interceptar dois a dois, segundo retas paralelas.
Ilustremos essas situações com alguns exemplos.
Exemplo 1
O sistema x − y +z = 1 (1) 2 x − 2 y + 2z = 2 (2) 3 x − 3 y + 3z = 3 (3)
possui infinitas soluções, pois todos os ternos ordenados de números reais da forma (a, b, 1 −a + b) satisfazem as suas três equações. Vemos imediatamente que cada equação pode ser obtida a partir de qualquer
outra, por meio da multiplicação por uma constante. Portanto, geometricamente, (1), (2) e (3) representam o mesmo plano π, e as infinitas soluções nesse caso são os pontos de π.
π 1 = π 2 = π 3 = π
Exemplo 2
O sistema x + y + z = 1 (1) 2x + 2y + 2z = 2 (2) z = 0 (3)
também possui infinitas soluções, já que os ternos ordenados do tipo (a, 1 − a, 0), em quea é real, satisfazem as três equações. Contudo, a interpretação geométrica é diferente da do exemplo 1.
De fato, (1) e (2) representam o mesmo plano π anterior, mas (3) representa um outro plano, π 3 , que intersecta π , segundo a retar. (No espaço, dois planos não coincidentes e não paralelos têm como interseção uma reta.) Ao fazera variar no conjunto dos números reais, obtemos todos os pontos dessa reta.
π 1 = π 2 = π π ∩ π 3 =r
Os exemplos acima mostram duas possibilidades de “indeterminação”. Vejamos agora dois exemplos distintos de sistemas impossíveis.
em π 3 , temos quer es não se cortam; logo são paralelas, já que ambas estão contidas em π 1. De modo análogo, vemos ques é paralela at.
Portanto, a interpretação geométrica do sistema é que os planos representados por suas equações se intersectam dois a dois segundo três retas paralelas.
π 1 ∩ π 2 =r π 1 ∩ π 3 =s π 2 ∩ π 3 =t r //s //t
Figura 4
2) Regra de Cramer × escalonamento
Os professores também demonstraram interesse na questão da opção pelo método de resolução de sistemas lineares 3 × 3.
A regra de Cramer (Gabriel Cramer, 1704-1752) para resolver sistemas lineares só pode ser aplicada no caso em que o determinante da matriz dos coeficientes das incógnitas do sistema é não nulo. Essa situação corresponde ao caso em que os três planos se intersectam num ponto e o sistema tem solução única. Entretanto vários livros afirmam, erroneamente, que um sistema que possui nulos todos os determinantes da regra de Cramer é indeterminado.
Com relação à discussão sobre a utilização incorreta da regra de Cramer, os professores também se manifestaram. Vários deles citaram livros em que aparece a afirmativa acima e admitiram que já haviam cometido tal erro ao ensinar. A interpretação geométrica dos sistemas lineares possibilitou-lhes perceber claramente a falsidade dessa afirmativa por meio de exemplos que eles mesmos souberam construir. Vejamos um desses exemplos.
Exemplo 5
O sistema x +y +z = 0 (1) x +y +z = 1 (2) x +y +z = 2 (3)
considerado no exemplo 3, claramente não possui solução (os três planos são paralelos). Entretanto, os determinantes utilizados na regra de Cramer são todos nulos, pois as matrizes possuem pelo menos duas colunas iguais.
A partir do curso, os professores passaram a dar mais ênfase ao método de escalonamento, mais geral, tendo adotado essa prática em suas salas de aula, como mostram os seguintes relatos.
ProfessorC
“Este curso me ajudou muito, principalmente na resolução de sistemas lineares 3 x 3, com os quais antes trabalhava, usando determinantes e quando encontrava todos os determinantes iguais a zero, classificava o sistema como indeterminado, cometendo o mesmo erro de alguns autores. Após o curso passei a resolver sistemas com meus alunos, usando o escalonamento. Tenho mais clareza e segurança ao abordar o assunto.”
Professor D
“Apesar de não ter mencionado a resolução de sistemas por Cramer quando Δ = 0, alguns alunos repetentes apresentaram soluções com a teoria errada. A referência ao assunto que vi no curso ajudou-me a perceber e a comentar o erro. Acredito que no próximo ano eu apresentarei esse assunto de forma melhor.”
Capítulo 2
FFFunções FFunçõesunçõesunçõesunções
