Amostragem por Conglomerados em Um Único Estágio (AC), Esquemas de Ética

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Amostragem por conglomerados em um ´unico

est´agio (AC)

Prof. Caio Azevedo

Prof. Caio Azevedo

A amostragem por conglomerados em um ´unico est´agio (AC) consiste em : Na divis˜ao de uma popula¸c˜ao em grupos (chamados de conglomerados). Esta divis˜ao ´e feita segundo alguma(s) caracter´ıstica(s) conhecida(s) na popula¸c˜ao sob estudo.

Prof. Caio Azevedo

Motiva¸c˜ao: Quando os sistemas de referˆencia n˜ao s˜ao adequados e o custo de atualiz´a-los ´e muito elevado, ou ainda quando a movimenta¸c˜ao para identificar as unidades elementares em campo ´e cara e consome muito tempo. Pode ser mais f´acil e /ou menos dispendioso selecionar grupos de unidades elementares (conglomerados). Exemplos: Amostra de eleitores pode ser obtida pelo sorteio de um n´umero de domic´ılios. Amostra de trabalhadores pode ser obtida pelo sorteio de um n´umero de empresas. Estudantes podem ser selecionados por uma amostra de escolas ou classes. Prof. Caio Azevedo

Exemplo

Considere uma popula¸c˜ao agrupada em 3 conglomerados, como se segue: (^) U = {(1), (2, 3 , 4), (5, 6)} = {C 1 , C 2 , C 3 }

em que C 1 = { 1 }, C 2 = { 2 , 3 , 4 } e C 3 = { 5 , 6 } O plano amostral adotado consiste em sortear dois conglomerados, sem reposi¸c˜ao, e entrevistar todos os elementos do conglomerado. Espa¸co amostral em fun¸c˜ao dos conglomerados: SC (U) = {C 1 C 2 , C 1 C 3 , C 2 C 1 , C 2 C 3 , C 3 C 1 , C 3 C 2 }, assim S(U) = { 1234 , 156 , 2341 , 23456 , 561 , 56234 }, SC (U) = {s 1 , s 2 , s 3 , s 4 , s 5 , s 5 }. Prof. Caio Azevedo

Cont.

UA = {(2, 5), (3, 6), (1, 4)} →

d 1 = (7, 8) μ 1 = 7, 5 s 12 = 0, 5 , d 2 = (9, 10) μ 2 = 9, 5 s 22 = 0, 5 , d 3 = (12, 14) μ 3 = 13, 0 s 32 = 2, 0 ,

UB = {(2, 6), (1, 5), (3, 4)} →

d 1 = (7, 10) μ 1 = 8, 5 s 12 = 4, 5 , d 2 = (12, 8) μ 2 = 10, 0 s 22 = 8, 5 , d 3 = (9, 14) μ 3 = 11, 5 s 32 = 12, 5 ,

UC = {(2, 4), (1, 5), (3, 6)} →

d 1 = (7, 14) μ 1 = 10, 5 s 12 = 24, 5 , d 2 = (12, 8) μ 2 = 10, 0 s 22 = 8, 0 , d 3 = (9, 10) μ 3 = 9, 5 s 32 = 0, 5 , Prof. Caio Azevedo

Plano Amostral

Sorteia-se um ´unico conglomerado segundo AAS e observa-se as duas unidades pertencentes ao mesmo. Nesse caso o tamanho da amostra n˜ao ´e uma vari´avel aleat´oria. Podemos calcular as distribui¸c˜oes amostrais de μ̂, para cada divis˜ao em conglomerados proposta.

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Coment´arios

Note que ̂μ ´e n˜ao viciado sob todas as trˆes divis˜oes mas, para a situa¸c˜ao C, o estimador apresenta a menor variˆancia. Neste caso (C), os conglemaros s˜ao os mais heterogˆeneos, o que pode ser medido atrav´es da variˆancia m´edia dos conglomerados, notadamente: (A) = (0, 5 + 0, 5 + 2)/3 = 1; (B) = (4, 5 + 8 + 12, 5)/ 3 ≈ 8 , 33 ; (C ) = (24, 5 + 8 + 0, 5)/3 = 11. Comparando-se amostragem de elementos (AAS) com a de conglomerados (AC ), esta ´ultima tende a : (i) ter custo de amostragem por elemento menor, (ii) ter maior variˆancia e (iii) maiores problemas para an´alises estat´ısticas. Prof. Caio Azevedo

Nota¸c˜oes e rela¸c˜oes ´uteis

Semelhante `a estratifica¸c˜ao.

U = { 1 , 2 , ..., N}

= {(1, 1), ..., (1, B 1 ), ..., (A, 1), ..., (A, BA)}

= {C 1 , C 2 , ..., CA}

em que

Cα = {(α, 1), ..., (α, i), ..., (α, Bα)} ≡ (conglomerado, elemento dentro de conglomerado) Prof. Caio Azevedo

Cont.

N = ∑A α=1 Bα = AB, B = NA , Bα: tamanho do conglomerado α. τα = ∑B i=1α yαi (total populacional do conglomerado α), τ = ∑A α=1 τα = ∑A α=1^ ∑B i=1α yαi = Aτ , τ = τ A = (^) A^1 ∑A α=1 τα (total populacional).

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Cont.

μα = (^) Bταα = (^) B^1 α^ ∑B i=1α yαi (m´edia populacional do conglomerado α), μ = τ N = (^) N^1 ∑A α^ ∑B i=1α yαi = (^) AB^1 ∑A α=1 τα = (^1) A^ ∑A α^ B Bα μα = τ B (m´edia populacional). μ = (^1) A^ ∑A α μα(m´edia das m´edias dos conglomerados). Note que (μ − μ) = (^1) A^ ∑A α=1^ B Bα μα − (^) A^1 ∑A α μα = (^) A^1 ∑A α

( (^) Bα B −^1

μα (ou seja, nem sempre μ ´e igual `a μ.

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Cont.

σ^2 dc = (^) N^1 ∑A α=1^ ∑B i=1α (yαi − μα)^2 = AB^1 ∑A^ α=1^ B^ Bαα^ ∑B^ i=1α^ (yαi^ −^ μα)^2 =^1 A^ ∑A^ α=1^ B Bα σ^2 α σ^2 ec = (^) N^1 ∑A α=1 Bα (μα − μ)^2 = (^) A^1 ∑A α=1^ B Bα (μα − μ)^2 σ^2 ec [τ ] = (^) A^1 ∑A α=1 (τα − τ )^2 = (^1) A^ ∑A α=1^ (Bαμα − Bμ)^2 = B A^2 ∑A α=1^ (^ Bα B μα^ −^ μ

= B^2 σ ect^2

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Cont.

σ^2 ect = (^1) A^ ∑A α=

( (^) Bα B μα^ −^ μ

σ^2 eq = (^) A^1 ∑A α=

( (^) Bα B

(μα − μ)^2 σ^2 em = (^) A^1 ∑A α=1 (μα − μ)^2 Sob AASs , se necess´ario, utilizaremos as variˆancias populacionais s(^2 .), com mudan¸cas adequadas nos respectivos denominadores,

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Cont.

Quando todos os conglomerados tiverem o mesmo tamanho, isto ´e B 1 = B 2 = ... = BA = B = B, teremos que B Bα = 1, μ = μ e σ^2 ec = σ^2 ect = σ^2 eq = σ^2 em = (^) A^1 ∑A α=1 (μα − μ)^2

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Plano amostral

Ser˜ao sorteados a < A conglomerados, atrav´es de um processo AASc (exerc´ıcio: repetir os desenvolvimentos sob AASs. De cada conglomerado ser˜ao analisados todas as unidades populacionais. Equivale ao procedimento AASc , anteriormente estudado, em que UC = {C 1 , C 2 , ..., Cα, ..., CA}.

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