Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Os melhores documentos à venda: Trabalhos de alunos formados
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Comunidade
Peça ajuda à comunidade e tire suas dúvidas relacionadas ao estudo
Descubra as melhores universidades em seu país de acordo com os usuários da Docsity
Guias grátis
Baixe gratuitamente nossos guias de estudo, métodos para diminuir a ansiedade, dicas de TCC preparadas pelos professores da Docsity
Relatório sobre Série de Fourier
Tipologia: Notas de estudo
1 / 16
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Este relatório tem como tema “Análise de Fourier”. Segue, na Introdução Teórica, a explicação sobre Série de Fourier, ondas periódicas e não-periódicas. Durante a experiência foi utilizado um software específico: o PSpice, um programa de simulações de circuitos.
Série de Fourier
Em matemática, uma série de Fourier , nomeada em honra de Jean-Baptiste Joseph Fourier (1768-1830), é a representação de uma função periódica (muitas vezes, nos casos mais simples, tidas como tendo período 2π) como uma soma de funções periódicas da forma
que são harmônicas de e i x. De acordo com a fórmula de Euler, as séries podem ser expressas
equivalentemente em termos de funções seno e co-seno. A figura abaixo mostra o familiar gráfico da função sen(x), onde x é um ângulo medido em radianos.
Essa função é PERIÓDICA, isto é, sua forma se repete a cada PERÍODO. No caso dessa figura, a função seno se repete a cada período de 2. O valor máximo da função, chamado de AMPLITUDE, é 1.
A função cosseno também é periódica, com o mesmo período e amplitude que o seno, mas é deslocada de /2 em relação ao seno. Isso é fácil de constatar examinando os gráficos. Tecnicamente, diz-se que as funções seno e cosseno diferem na FASE e a diferença de fase entre elas é de /2.
funções, seno e cosseno com amplitudes, fases e períodos escolhidos convenientemente .”
A figura abaixo mostra a mesma curva da figura acima juntamente com duas funções seno e duas funções cosseno. A curva original é a soma dessas 4 funções. As amplitudes e períodos das ondas componentes são diferentes entre si.
Matematicamente, a decomposição da função f(x) na curva acima é a seguinte:
Em resumo, qualquer função f(x) pode, segundo Fourier, ser escrita na forma da soma de uma série de funções seno e cosseno da seguinte forma geral:
Os pontinhos nessa equação indicam que os termos tipo seno e cosseno podem se estender indefinidamente, se necessário, para melhor representação da função original f(x). Resta achar uma forma de calcular os coeficientes etc, de cada termo da série. Esses coeficientes, como vemos, são as amplitudes de cada onda componente do desenvolvimento em série. Fourier conseguiu achar uma forma simples e elegante de calcular esses coeficientes a 0 , a 1 , a 2 , ... , b 1 , b 2 etc. Vejamos como isso é feito.
Suponha que queremos achar o coeficiente a 3 , por exemplo.
Começamos multiplicando os dois lados da equação que define a série por sen(3x). Obtemos, assim: **f(x)sen(3x) = a 0 sen(3x) + a 1 sen(x) sen(3x) + a 2 sen(2x) sen(3x) + a 3 sen 2 (3x) + ...
A seguir, tomamos as MÉDIAS de cada termo dessa equação: < f(x)sen(3x) > = < a 0 sen(3x) > + < a 1 sen(x) sen(3x) > +< a 2 sen(2x) sen(3x) > + <
a 3 sen 2 (3x) > + ... + < b 1 cos(x) sen(3x) > + ...
E aí surge algo fantástico: todas as médias do lado direito da equação são nulas, menos a média do termo correspondente a a 3! Isto é:
Isso acontece porque cada termo da esquerda (menos o termo de a 3 ) contém a média
de um seno ou um cosseno em um período, que é zero, como vimos antes. Mas, o termo de a (^3)
contém a média de sen 2 (3x), que vale 1/2, como também vimos. Portanto:
Portanto, o coeficiente a 3 é 2 vezes a média do produto de f(x) por sen(3x). Fazendo o mesmo para todos os valores de n em sen(nx) e cos(nx) , verificamos, portanto, que: a 0 = < f(x) > = média de f(x).
an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx). bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx).
Se soubermos calcular essas médias, saberemos achar os coeficientes da série de Fourier. No próximo capítulo veremos um exemplo prático onde esses coeficientes são calculados.
Exemplo: onda quadrada
f(x) = a 0 + a 1 sen(x) +a 2 sen(2x) +a 3 sen(3x)+ ... + b 1 cos(x) + b 2 cos(2x) + ...
Os coeficientes de Fourier a 0 , a 1 , a 2 , ... , b 1 , b 2 etc são dados por:
a 0 = < f(x) > = média de f(x) em um período;
an = 2 < f(x) sen(nx) > = 2 vezes a média de f(x) sen(nx) em um período;
bn = 2 < f(x) cos(nx) > = 2 vezes a média de f(x) cos(nx) em um período.
O coeficiente a 2 é duas vezes a média de f(x) sen(2x) no período. É claro, pela figura,
que esse valor médio é zero. Logo: a 2 = 0.
O coeficiente a 3 é duas vezes a média de f(x) sen(3x). Vemos, na figura, que as partes sombreadas desse produto se anulam e sobra apenas uma onsa cuja área é 2/3. Logo, o valor médio do produto f(x) sen(3x) vale 1/3. E o coeficiente será: a 3 = 2/.
Continuando com esse processo para os demais coeficientes, logo fica claro que o resultado total é o seguinte: a 0 = 1/2; an = 0 - para todo n PAR;
an = 2/n - para todo n ÍMPAR.
Todos os coeficientes dos termos em cos(x), isto é, os b (^) n , são nulos.
Portanto, a série de Fourier para a onda quadrada é: f(x) = 1/2 + (2/) sen(x) + (2/(3)) sen(3x) + (2/(5)) sen(5x) + (2/(7)) sen(7x) + ...
A figura abaixo mostra um gráfico da onda quadrada juntamente com o gráfico da expansão com os primeiros 5 termos da série de Fourier, isto é, com os termos explicitados na equação acima. A outra figura mostra a onda quadrada e sua expansão com os 15 primeiros termos da série de Fourier. Como era de se esperar, quanto maior o número de termos na expansão, melhor a aproximação com a forma da função original.
Fazer a análise de Fourier e a síntese de um sinal em função do tempo com a utilização do programa computacional Pspice. Serão estudados alguns tipos ondas periódicas e não-periódicas.
1) Síntese de um sinal periódico
a) A partir de 4 componentes senoidais será feita a composição de um sinal de onda quadrada. Para a onda quadrada, a série de Fourier com as 4 primeiras componentes espectrais é dada a seguir:
b) Acesse ao “schematics” do programa “Pspice”. c) Monte o circuito mostrado na figura abaixo.
d) As fontes V1, V2, V3 e V4 são geradores de tensão senoidais (VSIN) que representarão a fundamental e as harmônicas do sinal a ser sintetizado.
e) Inicialmente mantenha a amplitude do sinal de todos os geradores em 0 V (VAMPL = 0V e VOFF = 0V).
f) Ajuste a freqüência dos geradores conforme tabela a seguir:
g) No “schematics”, ajuste, em analysis> setup> transient, o print step=20u e final time=5m.
h) Ajuste, no gerador V1, o VAMPL=6.37V e faça a simulação do circuito. No probe escolha a tensão Vsaída para ser mostrada. Observe a onda e faça seus comentários no relatório.
Resposta: Há somente um gerador senoidal, o sinal de saída será o próprio sinal de entrada.
i) Ajuste, no gerador V2, o VAMPL=2.12V e faça a simulação do circuito. No probe escolha a tensão Vsaída para ser mostrada. Este gerador equivale a que componente harmônica do sinal?
Resposta: Este gerador equivale a terceira harmônica.
j) Ajuste, no gerador V3, o VAMPL=1.27V e faça a simulação do circuito. No probe escolha a tensão Vsaída para ser mostrada. Este gerador equivale a que componente harmônica do sinal?
Resposta: Este gerador equivale a quinta harmônica.
k) Ajuste, no gerador V4, o VAMPL=0.91V e faça a simulação do circuito. No probe escolha a tensão Vsaída para ser mostrada. Este gerador equivale a que componente harmônica do sinal?
d) No “schematics”, ajuste, em analysis> setup> transient, o print step=10u e final time=1m.
e) Faça a simulação do circuito. No probe escolha a tensão Vsaída para ser mostrada.
f) Observe a onda e anote a freqüência do sinal e o seu valor eficaz.
Resposta: A onda representa um sinal quadrado e seu valor médio é dado por
A freqüência fundamental é dada por:
g) Faça a análise de Fourier do sinal dentro do probe em trace>Fourier. Observe o espectro de freqüências da onda quadrada. Anote a freqüência e a amplitude das 4 primeiras componentes espectrais.
Resposta: f1=f2=f3=f4=10 kHz A1= 3,2 V A2= 1,2 V A3= 0,7 V A4= 0,45 V
h) Compare a freqüência da fundamental com a freqüência medida no item “f”.
i) Com as amplitudes das 4 primeiras componentes espectrais calcule o valor eficaz total do sinal e compare com o valor obtido no item “f”.
3) Análise de Fourier de um sinal não-periódico
a) Utilizando o mesmo circuito do item 2, altere os seguintes parâmetros do gerador V1:
b) Faça a simulação do circuito. No probe escolha a tensão Vsaída para ser mostrada.
c) Observe o sinal e anote o valor da largura do pulso.
d) Faça a análise de Fourier do sinal dentro do probe em trace>Fourier. Observe a resposta do final em função da freqüência. Verifique se o sinal possui um espectro com componentes espectrais ou um espectro contínuo.
4) Análise de Fourier de um sinal periódico com filtro passa-baixas
a) Retorne aos parâmetros do gerador V1 utilizados no item 2. A partir deste circuito gere o circuito mostrado na figura a seguir:
b) O circuito terá um filtro passa-baixas (LOPASS) e seus parâmetros devem ser ajustados conforme a tabela a seguir:
c) Faça a simulação do circuito. No probe escolha a tensão Vsaída e Ventrada para serem mostradas.
d) Observe os sinais de entrada e saída e a freqüência de cada um deles.
e) Comente o resultado. Porque temos uma onda senoidal na saída do filtro?
