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Aplicativo educacional para o dimensionamento de concreto armado, Resumos de Engenharia Civil

Um aplicativo didático para o dimensionamento de seções transversais retangulares de estruturas de concreto armado, abordando os modelos de tensão no concreto (retangular simplificado e parábola-retângulo) e as mudanças propostas pela última revisão da norma abnt nbr 6118:2014, como a alteração dos limites para a consideração de armadura dupla e a utilização de concretos de resistência acima de 50 mpa e até 90 mpa. O aplicativo desenvolvido auxilia o entendimento do dimensionamento de seções de concreto armado submetidas à flexão normal simples, fornecendo aos alunos os resultados necessários para um bom entendimento da teoria apresentada.

Tipologia: Resumos

2023

Compartilhado em 06/01/2023

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APLICATIVO EDUCACIONAL PARA O
DIMENSIONAMENTO DE CONCRETO ARMADO
Januário Pellegrino Neto
Luiz Felipe Marchetti do Couto
jneto@maua.br
luiz.couto@maua.br
Instituto Mauá de Tecnologia Escola de Engenharia Mauá
Praça Mauá, 1, CEP: 09580-900. São Caetano do Sul, SP, Brasil
Resumo. O uso de recursos multimídia no ensino da engenharia de estruturas possibilita me-
lhor visualização e interação no dimensionamento das estruturas de concreto. Este trabalho
apresenta um aplicativo didático para o dimensionamento de seções transversais retangulares
de estruturas de concreto armado. Nesta versão, apenas a flexão normal simples, usuais para
as seções de vigas e lajes de edifícios. O aplicativo mostra, didaticamente, as áreas de aço,
seja da armadura tracionada, quando da armadura simples, ou das armaduras tracionada e
comprimida, quando da armadura dupla, assim como as forças resultantes nas armaduras e
no concreto, as deformações, o estado limite último e o momento fletor resistente de cálculo.
Também apresenta a utilização dos diagramas de tensões no concreto, parábola-retângulo e re-
tangular simplificado. A ferramenta desenvolvida auxilia o entendimento do dimensionamento
das seções de concreto armado submetidas à flexão normal simples, atendendo à última revisão
da norma de projeto ABNT NBR 6118:2014 Projeto de estruturas de concreto: Procedimento
(2014), que inclui os concretos de resistência mais elevada, objeto também deste trabalho, entre
50 MPa e 90 MPa. No processo de criação e desenvolvimento serão utilizados conhecimentos
de programação e de computação gráfica. O presente projeto está vinculado a outros trabalhos
em desenvolvimento no LCE Laboratório Computacional de Estruturas (IMT), que procuram
servir ao desenvolvimento e à aplicação de novos métodos no ensino de engenharia.
Palavras-chave: Aplicativo educacional, Flexão Normal Simples, Concreto Armado, Java
CILAMCE 2016
Proceedings of the XXXVII Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering
Suzana Moreira Ávila (Editor), ABMEC, Brasília, DF, Brazil, November 6-9, 2016
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APLICATIVO EDUCACIONAL PARA O

DIMENSIONAMENTO DE CONCRETO ARMADO

Januário Pellegrino Neto

Luiz Felipe Marchetti do Couto

jneto@maua.br

luiz.couto@maua.br

Instituto Mauá de Tecnologia – Escola de Engenharia Mauá

Praça Mauá, 1, CEP: 09580-900. São Caetano do Sul, SP, Brasil

Resumo. O uso de recursos multimídia no ensino da engenharia de estruturas possibilita me- lhor visualização e interação no dimensionamento das estruturas de concreto. Este trabalho apresenta um aplicativo didático para o dimensionamento de seções transversais retangulares de estruturas de concreto armado. Nesta versão, apenas a flexão normal simples, usuais para as seções de vigas e lajes de edifícios. O aplicativo mostra, didaticamente, as áreas de aço, seja da armadura tracionada, quando da armadura simples, ou das armaduras tracionada e comprimida, quando da armadura dupla, assim como as forças resultantes nas armaduras e no concreto, as deformações, o estado limite último e o momento fletor resistente de cálculo. Também apresenta a utilização dos diagramas de tensões no concreto, parábola-retângulo e re- tangular simplificado. A ferramenta desenvolvida auxilia o entendimento do dimensionamento das seções de concreto armado submetidas à flexão normal simples, atendendo à última revisão da norma de projeto ABNT NBR 6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto: Procedimento (2014), que inclui os concretos de resistência mais elevada, objeto também deste trabalho, entre 50 MPa e 90 MPa. No processo de criação e desenvolvimento serão utilizados conhecimentos de programação e de computação gráfica. O presente projeto está vinculado a outros trabalhos em desenvolvimento no LCE – Laboratório Computacional de Estruturas (IMT), que procuram servir ao desenvolvimento e à aplicação de novos métodos no ensino de engenharia.

Palavras-chave: Aplicativo educacional, Flexão Normal Simples, Concreto Armado, Java

CILAMCE 2016 Proceedings of the XXXVII Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering

Aplicativo educacional para o dimensionamento de concreto armado

1 INTRODUÇÃO

Este trabalho apresenta um aplicativo didático (Pellegrino Neto, 2016) para o ensino do di- mensionamento de seções retangulares de concreto armado, submetidas à flexão normal simples (FNS), usuais para o dimensionamento de vigas e lajes. O aplicativo atende a última revisão na norma ABNT NBR 6118:2014 - Projeto de Estruturas de Concreto: Procedimento (2014), (ABECE/IBRACON, 2015) alterando-se os limites para a consideração de armadura dupla, per- mitindo a utilização de concretos de resistência acima de 50 MPa e até 90 MPa, e considera-se, além do modelo clássico retangular simplificado para a tensão do concreto, que possibilita uma solução analítica de fácil utilização, o modelo parábola-retângulo do concreto, que requer uma solução numérica, mas que já potencializa formulações posteriores de dimensionamento e veri- ficação, tais como: flexão normal composta, flexão oblíqua e diagramas de interação.

O aplicativo desenvolvido em linguagem de programação Java (CAELUM, 2016), utiliza conhecimentos de programação orientada à objetos (Santos, 2013) e de computação gráfica, que possibilita uma interação com o usuário na entrada dos dados e nos resultados, visualizando o diagrama de deformações e de tensões, assim como as resultantes do concreto e das armadu- ras, de tração e de compressão, importante para o entendimento do mecanismo resistente da seção no Estado Limite Último (ELU). Cabe salientar que, além da utilização didática, é im- portante o engenheiro saber sistematizar os seus procedimentos e, nesse contexto, os recursos computacionais inseridos neste trabalho, facilitam e aperfeiçoam o dimensionamento de seções retangulares de concreto armado, mas é de fundamental importância a verificação e a análise crítica dos seus resultados, a fim de que erros possam ser revisados, seja na entrada de dados ou em procedimentos e métodos utilizados.

Na Seção 2 estabelece-se de forma sucinta as hipóteses básicas para o dimensionamento de seções transversais retangulares de concreto armado submetidas à FNS, os modelos adotados para os materiais, suas deformações limites e tensões, que definem os domínios de deformações, atendendo os concretos até 50 MPa, e de 50 MPa à 90 MPa, conforme definição da norma ABNT NBR 6118:2014.

Na Seção 3 desenvolve-se o dimensionamento de seções retangulares de concreto armado, atendendo as mudanças propostas pela última revisão da norma ABNT NBR 6118:2014 e Car- valho et al. (2014), onde alterou-se o limite para consideração de armadura dupla, x = 0, 45 d para concreto até 50 MPa, e x = 0, 35 d acima de 50 MPa e até 90 MPa. São deduzidas as ex- pressões analíticas, para o modelo do diagrama retangular simplificado de tensões no concreto, assim como o desenvolvimento do modelo parábola-retângulo (Mendes Neto, 2010), mediante integração numérica da resultante das tensões de compressão do concreto e do método numérico das secantes para o cálculo da profundidade da linha neutra, mediante a resolução da equação de equilíbrio de momentos.

Na Seção 4 realizam-se aplicações numéricas que possibilitam aferir a implementação com- putacional, comparando-se os seus resultados, seja com o cálculo manual para o modelo retan- gular simplificado, e deste com o modelo parábola-retângulo, implementado numericamente, para duas classes de concreto, C30 e C60. abaixo e acima de 50 MPa, e esforços que levam a casos de dimensionamento com armaduras simples e dupla.

CILAMCE 2016 Proceedings of the XXXVII Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering

Aplicativo educacional para o dimensionamento de concreto armado

fck(MPa)

c 2 (‰) cu(‰) n

Figura 3: Variação dos parâmetros n, εc 2 e εcu.

A Figura 4 descreve o modelo constitutivo adotado para o aço (modelo elasto-plástico perfeito).

Figura 4: Modelos constitutivo do aço.

2.2 Domínios de deformação

A hipótese de Navier e a aderência possibilitam estabelecer uma compatibilidade de de- formações entre os materiais concreto e aço, estabelecidos os seus modelos constitutivos, que permite definir as regiões possíveis para as deformações, denominada domínios de deformação, indicada na Figura 5, a partir dos estados limites últimos para o concreto e aço.

Para se garantir um comportamento dúctil da seção, o dimensionamento deverá ocorrer nos domínios 2 ou 3, domínio 2 onde o ELU é caracterizado pelo alongamento plástico excessivo (εsu = 10‰), e o domínio 3 onde o ELU é caracterizado pelo esmagamento do concreto na flexão (εcu) conforme a Figura 2. Nas Figs. 6 e 7 mostram-se os domínios 2 e 3.

É importante salientar que os limites x 23 e x 34 serão alterados, em função de εcu para os concretos mais resistentes, 50 < fck ≤ 90 MPa.

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J. P. Neto, L. F. M. Couto

Figura 5: Domínios de deformação na FNS.

Figura 6: Domínio 2

Figura 7: Domínio 3

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J. P. Neto, L. F. M. Couto

Md, ou seja, o dimensionamento econômico para a condição de segurança Md ≤ Mrd.

Figura 10: Diagrama de tensão retangular simplificada.

Do equilíbrio de momentos, Eq. 1, reduzido à armadura de tração, chega-se a Eq. 2 da profundidade da linha neutra (LN), cuja solução está explicitada na Eq. 3.

Figura 11: Equilíbrio dos esforços resistentes na seção – Armadura simples.

Md = αcfcdbλx

d −

λ 2

x

= αcfcdbλdx − αcbfcd

λ^2 2

x^2 (1)

onde

  • Md: Momento solicitante de cálculo;

x^2 −

λ

dx +

2 Md αcλ^2 bfcd

x =

d λ

2 Md αcbd^2 fcd

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Aplicativo educacional para o dimensionamento de concreto armado

A norma ABNT NBR6 118:2014 adota os seguintes limites para armadura simples: x = 0 , 45 d para fck ≤ 50 MPa, e x = 0, 35 d para 50 < fck ≤ 90 MPa. Portanto, para fck ≤ 50 MPa, resulta armadura simples, cuja armadura de tração indica-se na Eq. 4, sendo fyd a resistência de escoamento do aço, pois, na armadura simples, σsd = fyd.

As =

Md fyd

d − λ 2 xLN

onde

  • As: Área de aço; As Eqs. 3 e 4 resultam, para fck ≤ 50 MPa, nas Eqs. 5 e 6.

x = 1, 25 d

Md 0 , 425 bd^2 fcd

As =

Md fyd (d − 0 , 4 xLN )

Para x > xlim, portanto, armadura dupla, impõe-se o xlim = 0, 45 d para fck ≤ 50 MPa, e xlim = 0, 35 d para 50 < fck ≤ 90 MPa, resultando na Eq. 7, para o momento resistido pelo concreto na armadura dupla, que também representa o momento limite para armadura simples. A Figura 12 mostra as resultantes do equilíbrio para a armadura dupla.

Figura 12: Equilíbrio dos esforços resistentes na seção – Armadura dupla.

Mcd = Rcd

d −

λ 2

xlim

= αcfcdbλx

d −

λ 2

xlim

= αcλkxbd^2 fcd

λ 2

kx

onde

  • kx: é a relação xlim/d;

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Aplicativo educacional para o dimensionamento de concreto armado

Figura 14: Equilíbrio dos esforços resistentes na seção – Armadura simples.

Este trabalho utilizou este método para encontrar a profundidade da linha neutra quando utiliza-se o diagrama da parábola-retângulo para o dimensionamento de seções retangulares quando submetidas a Flexão Normal Simples.

Uma forma de aproximar a derivada f’(x) é por meio da seguinte equação:

f ′(xk) =

f (xk) − f (xk− 1 ) xk − xk− 1

onde:

  • xk e xk− 1 são aproximações para a raiz da função f (xk) e podem ser consideradas como valores iniciais para o processo iterativo. A função de iteração é portanto definida como:

xk+1 =

xk− 1 f (xk) − xkf (xk− 1 ) f (xk) − f (xk− 1 )

A função f (x) é definida como:

f (x) = Md −

A

σcy dA = 0 (12)

A Figura 15 mostra um exemplo de utilização do método iterativo para uma seção trans- versal de 30 x 60 cm, concreto com fck = 30 MPa e Mk = 250kN.m. Pode-se observar que a partir da quinta iteração a profundidade da linha neutra encontra-se com valor dentro do esperado. A Figura 16 mostra o resultado da linha neutra utilizando o aplicativo educacional FNS.

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J. P. Neto, L. F. M. Couto

Figura 15: Exemplo de utilização do método das secantes para encontrar a profundidade da linha neutra com resultados dentro do limite esperado a partir da quinta iteração.

Figura 16: Resultado do método iterativo para encontrar a profundidade da linha neutra utilizando o apli- cativo educacional FNS.

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  • λ = 0, 8
  • αc = 0, 85 Ajustando as unidades e substituindo os valores na Eq. 13, tem-se:

xLN =

2 × 35000 , 0

0 , 85 × 2 , 14 × 30 , 0 × (54,0)^2

= 16, 98 cm (14)

Verifica-se, posteriormente, em qual domínio de deformação esta peça se encontra:

x 23 =

cu cu + 10, 0 ‰

d =

× 54 ,0 = 0, 259 × 54 ,0 = 13, 99 cm (15)

x 34 =

cu cu + yd

d =

× 54 ,0 = 0, 628 × 54 ,0 = 33, 91 cm (16)

Como x 23 < xLN < x 34 , esta peça se encontra no domínio 3. Logo, utiliza-se armadura simples.

As forças resistentes no concreto e no aço tracionado se dão por:

Rcd =

A

σcddA (17)

Rsd =

∑^ n

i=

σsiAi (18)

Caso utilize-se o diagrama tensão-deformação para o concreto utilizando a simplificação pelo retângulo simplificado, tem-se:

Rcd = αcfcdλxLN b (19)

Ajustando as unidades e substituindo os valores na Eq. 19, tem-se:

Rcd = 0, 85 × 2 , 14 × 0 , 8 × 16 , 98 × 30 ,0 = 741, 28 kN (20)

Para o aço, tem-se:

Rsd = σsdAs (21)

onde

  • σsd: Tensão no aço tracionado;
  • As: Área de aço. Calcula-se a área de aço necessária para resistir aos esforços solicitantes:

Md = σsdAs

d −

λ 2

xLN

As =

Md σsd

d − λ 2 xLN

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Aplicativo educacional para o dimensionamento de concreto armado

Por pertencer ao domínio 3, a tensão no aço é:

σsd = fyd = fyk/γs = 500, 0 / 1 ,15 = 434, 8 MPa (24)

Ajustando as unidades e substituindo os valores na Eq. 23, tem-se:

As =

43 , 48 ×

54 , 0 − 02 ,^8 × 16 , 98

) (^) = 17, 05 cm^2 (25)

E portanto:

Rsd = 43, 48 × 17 ,05 = 741, 25 kN (26)

A Figura 17 apresenta os resultados com o aplicativo educacional.

Figura 17: Tela do aplicativo educacional para o Exemplo 1.

Exemplo 2

Os esforços aplicados na peça de concreto armado convencional são apresentados na Ta- bela 3.

Calcula-se primeiro a profundidade da linha neutra a partir da borda mais comprimida da peça:

xLN =

2 × 56000 , 0

0 , 85 × 30 , 0 × (54,0)^2 × 2 , 14

= 30, 77 cm (27)

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Aplicativo educacional para o dimensionamento de concreto armado

Ajustando as unidades e substituindo os valores na Eq. 32, tem-se:

As 1 =

43 , 48 ×

54 , 0 − 02 ,^8 × 24 , 3

) (^) = 24, 4 cm^2 (34)

A armadura comprimida necessária é:

As 2 =

∆Md σsd (d − d′)

Pelo diagrama tensão-deformação do aço, verifica-se que a armadura comprimida está no patamar de escoamento, portanto:

σ

′ sd =^ fyd^ =^ fyk/γs^ = 500,^0 /^1 ,15 = 434,^8 MPa^ (36)

Ajustando as unidades e substituindo os valores na Eq. 35, tem-se:

As 2 =

43 , 48 × (54, 0 − 4 ,0)

= 4, 15 cm^2 = A ′ s (37)

E portanto: R

′ sd = 43,^48 ×^4 ,15 = 180,^44 kN^ (38)

A área total de aço é: As = As 1 + As 2 = 24,4 + 4,15 = 28, 55 cm^2 (39)

E portanto: Rsd = 43, 48 × 24 ,4 = 1060, 91 kN (40)

A Figura 18 apresenta os resultados com o aplicativo educacional.

4.2 Concreto alto desempenho – 50 < fck ≤ 90 MPa

Os exemplos a serem estudados para o concreto de alto desempenho referem-se a uma peça de concreto armado com as características geométricas iguais à seção anterior, mesmo aço CA50. e concreto classe C60.

Serão apresentados para os exemplos a seguir, 1 e 2, apenas a tela do aplicativo, mostrando os resultados idênticos ao cálculo manual.

Exemplo 1

Considerando o momento característico Mk = 400 kN m, apresenta-se na Figura 19 os resultados com o aplicativo educacional.

Exemplo 2

Considerando o momento característico Mk = 400 kN m, apresenta-se na Figura 20 os resultados com o aplicativo educacional.

Como comparação na utilização dos diagramas retangular simplificado e parábola-retângulo, pode-se observar na Figura 21 uma pequena diferença na área de aço, tanto tracionado quanto comprimido.

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J. P. Neto, L. F. M. Couto

Figura 18: Tela do aplicativo educacional para o Exemplo 2.

Figura 19: Tela do aplicativo educacional para o Exemplo 1.

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J. P. Neto, L. F. M. Couto

5 CONCLUSÃO

Este trabalho apresentou um aplicativo educacional com o intuito de facilitar a aprendiza- gem dos alunos da graduação na disciplina de Concreto Armado. Tem sido utilizado no ensino da disciplina Concreto Armado I na Escola de Engenharia Mauá, complementando as anota- ções em sala de aula, possibilitando uma interação do aluno fora da sala de aula com os exer- cícios solicitados. Este trabalho tem se mostrado um atrativo, tanto na aprendizagem, quanto na motivação para novos desenvolvimento, motivando-os a sistematizarem os seus problemas. Este aplicativo foi desenvolvido com o uso da linguagem de programação Java permitindo ao desenvolvedor estendê-lo com novas funcionalidades, como por exemplo, utilizar o diagrama parábola-retângulo, tornando o problema em uma análise não-linear física, aumentando a gama de aplicações e permitindo o uso profissional desta ferramenta.

Foi apresentado a teoria da flexão normal simples e o novo limite x = 0, 45 d para concreto até 50 MPa, e x = 0, 35 d acima de 50 MPa e até 90 MPa, conforme ABNT NBR 6118:2014, sendo esta uma alteração à norma de 2003, garantindo um aumento da ductilidade.

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REFERÊNCIAS

Associação Brasileira de Normas Técnicas, 2014. NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto

  • Procedimento. Rio de Janeiro.

ABECE/IBRACON, 2015. ABNT NBR 6118:2014: Comentários e Exemplos de Aplicação. 1. Ed. São Paulo: IBRACON.

CAELUM, Acesso em: 20 de Jun de 2016. Java e Orientação a Objetos. Disponível em: https://www.caelum.com.br/apostilas/.

Carvalho, R. C.; Filho, J. R. F., 2014. Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Con- creto Armado: Segundo a NBR 6118:2014. 4. Ed. São Carlos: EdUFSCar.

Mendes Neto, F., 2010. Concreto Estrutural Avançado: Análise de seções transversais sob flexão normal composta. PINI.

Pellegrino Neto, J., 2016. Notas de Aula. São Caetano do Sul: Instituto Mauá de Tecnologia, Escola de Engenharia Mauá.

Santos, R., 2013. Introdução à programação orientada a objetos usando JAVA. 2. Ed. Elsevier / Campus.

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