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Um aplicativo didático para o dimensionamento de seções transversais retangulares de estruturas de concreto armado, abordando os modelos de tensão no concreto (retangular simplificado e parábola-retângulo) e as mudanças propostas pela última revisão da norma abnt nbr 6118:2014, como a alteração dos limites para a consideração de armadura dupla e a utilização de concretos de resistência acima de 50 mpa e até 90 mpa. O aplicativo desenvolvido auxilia o entendimento do dimensionamento de seções de concreto armado submetidas à flexão normal simples, fornecendo aos alunos os resultados necessários para um bom entendimento da teoria apresentada.
Tipologia: Resumos
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Januário Pellegrino Neto
Luiz Felipe Marchetti do Couto
jneto@maua.br
luiz.couto@maua.br
Instituto Mauá de Tecnologia – Escola de Engenharia Mauá
Praça Mauá, 1, CEP: 09580-900. São Caetano do Sul, SP, Brasil
Resumo. O uso de recursos multimídia no ensino da engenharia de estruturas possibilita me- lhor visualização e interação no dimensionamento das estruturas de concreto. Este trabalho apresenta um aplicativo didático para o dimensionamento de seções transversais retangulares de estruturas de concreto armado. Nesta versão, apenas a flexão normal simples, usuais para as seções de vigas e lajes de edifícios. O aplicativo mostra, didaticamente, as áreas de aço, seja da armadura tracionada, quando da armadura simples, ou das armaduras tracionada e comprimida, quando da armadura dupla, assim como as forças resultantes nas armaduras e no concreto, as deformações, o estado limite último e o momento fletor resistente de cálculo. Também apresenta a utilização dos diagramas de tensões no concreto, parábola-retângulo e re- tangular simplificado. A ferramenta desenvolvida auxilia o entendimento do dimensionamento das seções de concreto armado submetidas à flexão normal simples, atendendo à última revisão da norma de projeto ABNT NBR 6118:2014 – Projeto de estruturas de concreto: Procedimento (2014), que inclui os concretos de resistência mais elevada, objeto também deste trabalho, entre 50 MPa e 90 MPa. No processo de criação e desenvolvimento serão utilizados conhecimentos de programação e de computação gráfica. O presente projeto está vinculado a outros trabalhos em desenvolvimento no LCE – Laboratório Computacional de Estruturas (IMT), que procuram servir ao desenvolvimento e à aplicação de novos métodos no ensino de engenharia.
Palavras-chave: Aplicativo educacional, Flexão Normal Simples, Concreto Armado, Java
CILAMCE 2016 Proceedings of the XXXVII Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering
Aplicativo educacional para o dimensionamento de concreto armado
Este trabalho apresenta um aplicativo didático (Pellegrino Neto, 2016) para o ensino do di- mensionamento de seções retangulares de concreto armado, submetidas à flexão normal simples (FNS), usuais para o dimensionamento de vigas e lajes. O aplicativo atende a última revisão na norma ABNT NBR 6118:2014 - Projeto de Estruturas de Concreto: Procedimento (2014), (ABECE/IBRACON, 2015) alterando-se os limites para a consideração de armadura dupla, per- mitindo a utilização de concretos de resistência acima de 50 MPa e até 90 MPa, e considera-se, além do modelo clássico retangular simplificado para a tensão do concreto, que possibilita uma solução analítica de fácil utilização, o modelo parábola-retângulo do concreto, que requer uma solução numérica, mas que já potencializa formulações posteriores de dimensionamento e veri- ficação, tais como: flexão normal composta, flexão oblíqua e diagramas de interação.
O aplicativo desenvolvido em linguagem de programação Java (CAELUM, 2016), utiliza conhecimentos de programação orientada à objetos (Santos, 2013) e de computação gráfica, que possibilita uma interação com o usuário na entrada dos dados e nos resultados, visualizando o diagrama de deformações e de tensões, assim como as resultantes do concreto e das armadu- ras, de tração e de compressão, importante para o entendimento do mecanismo resistente da seção no Estado Limite Último (ELU). Cabe salientar que, além da utilização didática, é im- portante o engenheiro saber sistematizar os seus procedimentos e, nesse contexto, os recursos computacionais inseridos neste trabalho, facilitam e aperfeiçoam o dimensionamento de seções retangulares de concreto armado, mas é de fundamental importância a verificação e a análise crítica dos seus resultados, a fim de que erros possam ser revisados, seja na entrada de dados ou em procedimentos e métodos utilizados.
Na Seção 2 estabelece-se de forma sucinta as hipóteses básicas para o dimensionamento de seções transversais retangulares de concreto armado submetidas à FNS, os modelos adotados para os materiais, suas deformações limites e tensões, que definem os domínios de deformações, atendendo os concretos até 50 MPa, e de 50 MPa à 90 MPa, conforme definição da norma ABNT NBR 6118:2014.
Na Seção 3 desenvolve-se o dimensionamento de seções retangulares de concreto armado, atendendo as mudanças propostas pela última revisão da norma ABNT NBR 6118:2014 e Car- valho et al. (2014), onde alterou-se o limite para consideração de armadura dupla, x = 0, 45 d para concreto até 50 MPa, e x = 0, 35 d acima de 50 MPa e até 90 MPa. São deduzidas as ex- pressões analíticas, para o modelo do diagrama retangular simplificado de tensões no concreto, assim como o desenvolvimento do modelo parábola-retângulo (Mendes Neto, 2010), mediante integração numérica da resultante das tensões de compressão do concreto e do método numérico das secantes para o cálculo da profundidade da linha neutra, mediante a resolução da equação de equilíbrio de momentos.
Na Seção 4 realizam-se aplicações numéricas que possibilitam aferir a implementação com- putacional, comparando-se os seus resultados, seja com o cálculo manual para o modelo retan- gular simplificado, e deste com o modelo parábola-retângulo, implementado numericamente, para duas classes de concreto, C30 e C60. abaixo e acima de 50 MPa, e esforços que levam a casos de dimensionamento com armaduras simples e dupla.
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Aplicativo educacional para o dimensionamento de concreto armado
fck(MPa)
c 2 (‰) cu(‰) n
Figura 3: Variação dos parâmetros n, εc 2 e εcu.
A Figura 4 descreve o modelo constitutivo adotado para o aço (modelo elasto-plástico perfeito).
Figura 4: Modelos constitutivo do aço.
A hipótese de Navier e a aderência possibilitam estabelecer uma compatibilidade de de- formações entre os materiais concreto e aço, estabelecidos os seus modelos constitutivos, que permite definir as regiões possíveis para as deformações, denominada domínios de deformação, indicada na Figura 5, a partir dos estados limites últimos para o concreto e aço.
Para se garantir um comportamento dúctil da seção, o dimensionamento deverá ocorrer nos domínios 2 ou 3, domínio 2 onde o ELU é caracterizado pelo alongamento plástico excessivo (εsu = 10‰), e o domínio 3 onde o ELU é caracterizado pelo esmagamento do concreto na flexão (εcu) conforme a Figura 2. Nas Figs. 6 e 7 mostram-se os domínios 2 e 3.
É importante salientar que os limites x 23 e x 34 serão alterados, em função de εcu para os concretos mais resistentes, 50 < fck ≤ 90 MPa.
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J. P. Neto, L. F. M. Couto
Figura 5: Domínios de deformação na FNS.
Figura 6: Domínio 2
Figura 7: Domínio 3
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J. P. Neto, L. F. M. Couto
Md, ou seja, o dimensionamento econômico para a condição de segurança Md ≤ Mrd.
Figura 10: Diagrama de tensão retangular simplificada.
Do equilíbrio de momentos, Eq. 1, reduzido à armadura de tração, chega-se a Eq. 2 da profundidade da linha neutra (LN), cuja solução está explicitada na Eq. 3.
Figura 11: Equilíbrio dos esforços resistentes na seção – Armadura simples.
Md = αcfcdbλx
d −
λ 2
x
= αcfcdbλdx − αcbfcd
λ^2 2
x^2 (1)
onde
x^2 −
λ
dx +
2 Md αcλ^2 bfcd
x =
d λ
2 Md αcbd^2 fcd
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Aplicativo educacional para o dimensionamento de concreto armado
A norma ABNT NBR6 118:2014 adota os seguintes limites para armadura simples: x = 0 , 45 d para fck ≤ 50 MPa, e x = 0, 35 d para 50 < fck ≤ 90 MPa. Portanto, para fck ≤ 50 MPa, resulta armadura simples, cuja armadura de tração indica-se na Eq. 4, sendo fyd a resistência de escoamento do aço, pois, na armadura simples, σsd = fyd.
As =
Md fyd
d − λ 2 xLN
onde
x = 1, 25 d
Md 0 , 425 bd^2 fcd
As =
Md fyd (d − 0 , 4 xLN )
Para x > xlim, portanto, armadura dupla, impõe-se o xlim = 0, 45 d para fck ≤ 50 MPa, e xlim = 0, 35 d para 50 < fck ≤ 90 MPa, resultando na Eq. 7, para o momento resistido pelo concreto na armadura dupla, que também representa o momento limite para armadura simples. A Figura 12 mostra as resultantes do equilíbrio para a armadura dupla.
Figura 12: Equilíbrio dos esforços resistentes na seção – Armadura dupla.
Mcd = Rcd
d −
λ 2
xlim
= αcfcdbλx
d −
λ 2
xlim
= αcλkxbd^2 fcd
λ 2
kx
onde
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Aplicativo educacional para o dimensionamento de concreto armado
Figura 14: Equilíbrio dos esforços resistentes na seção – Armadura simples.
Este trabalho utilizou este método para encontrar a profundidade da linha neutra quando utiliza-se o diagrama da parábola-retângulo para o dimensionamento de seções retangulares quando submetidas a Flexão Normal Simples.
Uma forma de aproximar a derivada f’(x) é por meio da seguinte equação:
f ′(xk) =
f (xk) − f (xk− 1 ) xk − xk− 1
onde:
xk+1 =
xk− 1 f (xk) − xkf (xk− 1 ) f (xk) − f (xk− 1 )
A função f (x) é definida como:
f (x) = Md −
A
σcy dA = 0 (12)
A Figura 15 mostra um exemplo de utilização do método iterativo para uma seção trans- versal de 30 x 60 cm, concreto com fck = 30 MPa e Mk = 250kN.m. Pode-se observar que a partir da quinta iteração a profundidade da linha neutra encontra-se com valor dentro do esperado. A Figura 16 mostra o resultado da linha neutra utilizando o aplicativo educacional FNS.
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Figura 15: Exemplo de utilização do método das secantes para encontrar a profundidade da linha neutra com resultados dentro do limite esperado a partir da quinta iteração.
Figura 16: Resultado do método iterativo para encontrar a profundidade da linha neutra utilizando o apli- cativo educacional FNS.
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J. P. Neto, L. F. M. Couto
xLN =
= 16, 98 cm (14)
Verifica-se, posteriormente, em qual domínio de deformação esta peça se encontra:
x 23 =
cu cu + 10, 0 ‰
d =
× 54 ,0 = 0, 259 × 54 ,0 = 13, 99 cm (15)
x 34 =
cu cu + yd
d =
× 54 ,0 = 0, 628 × 54 ,0 = 33, 91 cm (16)
Como x 23 < xLN < x 34 , esta peça se encontra no domínio 3. Logo, utiliza-se armadura simples.
As forças resistentes no concreto e no aço tracionado se dão por:
Rcd =
A
σcddA (17)
Rsd =
∑^ n
i=
σsiAi (18)
Caso utilize-se o diagrama tensão-deformação para o concreto utilizando a simplificação pelo retângulo simplificado, tem-se:
Rcd = αcfcdλxLN b (19)
Ajustando as unidades e substituindo os valores na Eq. 19, tem-se:
Rcd = 0, 85 × 2 , 14 × 0 , 8 × 16 , 98 × 30 ,0 = 741, 28 kN (20)
Para o aço, tem-se:
Rsd = σsdAs (21)
onde
Md = σsdAs
d −
λ 2
xLN
As =
Md σsd
d − λ 2 xLN
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Aplicativo educacional para o dimensionamento de concreto armado
Por pertencer ao domínio 3, a tensão no aço é:
σsd = fyd = fyk/γs = 500, 0 / 1 ,15 = 434, 8 MPa (24)
Ajustando as unidades e substituindo os valores na Eq. 23, tem-se:
As =
) (^) = 17, 05 cm^2 (25)
E portanto:
Rsd = 43, 48 × 17 ,05 = 741, 25 kN (26)
A Figura 17 apresenta os resultados com o aplicativo educacional.
Figura 17: Tela do aplicativo educacional para o Exemplo 1.
Exemplo 2
Os esforços aplicados na peça de concreto armado convencional são apresentados na Ta- bela 3.
Calcula-se primeiro a profundidade da linha neutra a partir da borda mais comprimida da peça:
xLN =
= 30, 77 cm (27)
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Aplicativo educacional para o dimensionamento de concreto armado
Ajustando as unidades e substituindo os valores na Eq. 32, tem-se:
As 1 =
) (^) = 24, 4 cm^2 (34)
A armadura comprimida necessária é:
As 2 =
∆Md σsd (d − d′)
Pelo diagrama tensão-deformação do aço, verifica-se que a armadura comprimida está no patamar de escoamento, portanto:
σ
′ sd =^ fyd^ =^ fyk/γs^ = 500,^0 /^1 ,15 = 434,^8 MPa^ (36)
Ajustando as unidades e substituindo os valores na Eq. 35, tem-se:
As 2 =
= 4, 15 cm^2 = A ′ s (37)
E portanto: R
′ sd = 43,^48 ×^4 ,15 = 180,^44 kN^ (38)
A área total de aço é: As = As 1 + As 2 = 24,4 + 4,15 = 28, 55 cm^2 (39)
E portanto: Rsd = 43, 48 × 24 ,4 = 1060, 91 kN (40)
A Figura 18 apresenta os resultados com o aplicativo educacional.
Os exemplos a serem estudados para o concreto de alto desempenho referem-se a uma peça de concreto armado com as características geométricas iguais à seção anterior, mesmo aço CA50. e concreto classe C60.
Serão apresentados para os exemplos a seguir, 1 e 2, apenas a tela do aplicativo, mostrando os resultados idênticos ao cálculo manual.
Exemplo 1
Considerando o momento característico Mk = 400 kN m, apresenta-se na Figura 19 os resultados com o aplicativo educacional.
Exemplo 2
Considerando o momento característico Mk = 400 kN m, apresenta-se na Figura 20 os resultados com o aplicativo educacional.
Como comparação na utilização dos diagramas retangular simplificado e parábola-retângulo, pode-se observar na Figura 21 uma pequena diferença na área de aço, tanto tracionado quanto comprimido.
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J. P. Neto, L. F. M. Couto
Figura 18: Tela do aplicativo educacional para o Exemplo 2.
Figura 19: Tela do aplicativo educacional para o Exemplo 1.
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J. P. Neto, L. F. M. Couto
Este trabalho apresentou um aplicativo educacional com o intuito de facilitar a aprendiza- gem dos alunos da graduação na disciplina de Concreto Armado. Tem sido utilizado no ensino da disciplina Concreto Armado I na Escola de Engenharia Mauá, complementando as anota- ções em sala de aula, possibilitando uma interação do aluno fora da sala de aula com os exer- cícios solicitados. Este trabalho tem se mostrado um atrativo, tanto na aprendizagem, quanto na motivação para novos desenvolvimento, motivando-os a sistematizarem os seus problemas. Este aplicativo foi desenvolvido com o uso da linguagem de programação Java permitindo ao desenvolvedor estendê-lo com novas funcionalidades, como por exemplo, utilizar o diagrama parábola-retângulo, tornando o problema em uma análise não-linear física, aumentando a gama de aplicações e permitindo o uso profissional desta ferramenta.
Foi apresentado a teoria da flexão normal simples e o novo limite x = 0, 45 d para concreto até 50 MPa, e x = 0, 35 d acima de 50 MPa e até 90 MPa, conforme ABNT NBR 6118:2014, sendo esta uma alteração à norma de 2003, garantindo um aumento da ductilidade.
CILAMCE 2016 Proceedings of the XXXVII Iberian Latin-American Congress on Computational Methods in Engineering
Aplicativo educacional para o dimensionamento de concreto armado
Associação Brasileira de Normas Técnicas, 2014. NBR 6118: Projeto de estruturas de concreto
ABECE/IBRACON, 2015. ABNT NBR 6118:2014: Comentários e Exemplos de Aplicação. 1. Ed. São Paulo: IBRACON.
CAELUM, Acesso em: 20 de Jun de 2016. Java e Orientação a Objetos. Disponível em: https://www.caelum.com.br/apostilas/.
Carvalho, R. C.; Filho, J. R. F., 2014. Cálculo e Detalhamento de Estruturas Usuais de Con- creto Armado: Segundo a NBR 6118:2014. 4. Ed. São Carlos: EdUFSCar.
Mendes Neto, F., 2010. Concreto Estrutural Avançado: Análise de seções transversais sob flexão normal composta. PINI.
Pellegrino Neto, J., 2016. Notas de Aula. São Caetano do Sul: Instituto Mauá de Tecnologia, Escola de Engenharia Mauá.
Santos, R., 2013. Introdução à programação orientada a objetos usando JAVA. 2. Ed. Elsevier / Campus.
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