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ANANTTRRAACCIIRR (3(3AAEEEENN))

(A (Annáálliissee ddee TrTraannssiittóórriiooss

EmEm CCiirrccuuiittooss))

P R PR OO FF :: MM AA SS SS II MM OO AA RR GG EE NN TT OO

C AP 1 - P AR ÂM ETROS DE REDES:

Def inir emos aqui as relações existentes entre a tensão e a corrente nos parâmet ros de rede mais ut ilizados na teor ia de circuitos, considerando estes elementos em principio como i deais , e convencionando-os como receptores ; são eles: O Resistor ideal, o Indutor ideal e o Capacitor ideal. Teremos então:

a) RESI STOR IDE AL :

Um Resist or ideal obedece à Lei de Ohm :

R

v (t)=R.i(t) ⇔ i(t)= v(t)

b) INDUTO R IDE AL:

Um Indutor ideal obedece à Lei de Newmann - Faraday :

−∞

t v(t)dt L

i(t)^1 dt

v(t) L.di(t)

c) C AP ACI TO R IDEAL:

Um Capacitor ideal obedece à Lei de Faraday :

−∞

t i(t)dt C

v(t)^1 dt

i(t) C.dv(t)

Note a Dualidade existent e entre o Indutor e o Capacitor ; notemos que certas mudanças ordenadas em elementos, ou leis conhecidas conduzem a outros elementos ou leis ig ualmente válidas. Os termos que se correspondem são cham ados de duais. A dualidade é uma regra bilater al como abaixo indicada:

Tensão ⇔ Corrente Série ⇔ Paralelo Resistência ⇔ Condutância Nó ⇔ Malha Indutância ⇔ Capacitância Circuito Aberto ⇔ Curto-circuito

Exemplo:

−∞

t v (t)dt L

i (t)^1

L L ;^ por dualidade^ :^ ∫

−∞

t i (t)dt C

v (t)^1 C C

i (t) v(t) R

v(t)

i (t)

L

v( t)

i (t )

C

c) 2 5 10,. −^6 < t < 3 0 10,. −^6 ⇒ i (^) c (t) = 10 −^9 ⋅ − 10 7 = − 10 −^2 A = − 10 mA

Nestas Condições podemos já estabelecer o gráf ico da corrente i (^) c (t):

Em termos de respostas ao enunciado ir emos ter:

i (t = 0 , 2 μs) = 10 m A ; i (t = 1 , 5 μs) = 0A ; i (t = 2 , 5 μs) = INDETERMI NADA

i (t = 2 , 7 5 μs) = - 10 mA

3 )- A um Capacitor de 10 0 0 pF aplica-se a corrente dada pelo gráf ico abaixo. Nest as condições elabor e o gráf ico da tensão sobre o capacit or, p/ t > 0 , considerando as

seguintes condições iniciais: a)- tensão inicial V 0 = 0 (Condições iniciais quiescentes) b)- tensão inicial V 0 = 5 0 V

SOLUÇÃO:

Elaborarem os a solução do exercício considerando em principio o capacitor em condições iniciais quiescentes, e a par tir dos result ados obtidos estenderemos o raciocínio para as condições iniciais não quiescentes.

Em qualquer circunstância: v ( t )c = i ( t ) dtc

t 1 C

⋅ ∞

∫

Com C = 1 0-^9 F teremos: 1 C

= 10 9 portanto:

a) 0 < t < 1 μs:

v (^) c t i (^) c t dt i (^) c t dt i t dt dt

C I Q

t c

t ( ) (^) C ( ) (^) C ( ) (^) C ( )

(... )

−∞

−

=

−∞ (^) −

=

∫ ∫ ∫ ∫

(^1 1 1 10) 0 3

0

0

0

0

0

9    0   

OBS.: Para a resolução do item b),considerar íamos o resultado da primeira integral como sendo de 50 V ; prosseguindo com o problema:

v t t t

t v C t s v s

t (^) c c V

⋅ ⋅

− −

10 0 3 3 10

0 0 0 1 1 300

9 0

8 μ μ

b) 1 μs < t < 3 μs:

v (^) c t i (^) c t dt i (^) c t dt i t dt dt

s

V

t c s

s

s

t

C C C

−∞

−∞

−

−

∫ ∫ ∫ ∫ −

(^1 1 1 10) 0 1

1

300

1

1

0

9 1

μ

μ

μ

   μ   

∴ v (^) C = 300 -

t 1 s

8 10 t μ = 300 – 10^8 t + 100 ⇒ v (^) C = -10^8 t + 400

Donde teremos:

t s v s V t s v s V

c c

− −

1 1 300 3 3 100

μ μ μ μ

c) t > 3 μs

v (^) c t i (^) c t dt i (^) c t dt i t dt dt

s

V

t c s

s

s

t

C C C

−∞

−∞ = =

−

−

∫ ∫ ∫ ∫

(^1 1 1 10 )

3

100

3

3

0

9 3 0

μ

μ

μ

   μ      

Donde: v (^) c (t) = 10 0 V ; De posse dos resultados obt idos mostremos então o gráf ico da tensão sobre o capacitor; obser var que a obtenção do gráf ico considerando a condição inicial de 50 V se f ará somando 5 0 V a todos os resultados conseguidos em condições iniciais quiescentes.

5. Para o circuit o a seguir, considerando -se C.I.Q.(Condições iniciais quiescent es) e conhecendo-se a cor rente ig(t) do gerador, pede-se a determinação da tensão v (^) g ( t).

CONCEITOS IMPORTANTES QUE SE DEVEM CONSIDERAR:

a) A condição inicial de um capacitor é a sua tensão ; o capacitor tende sempr e a manter o estado de tensão em que se encontra. Com exceção de certas condições excepcionais, podemos af irmar que a tensão de um capacitor não sofre descontinuidades , mesmo que sua corr ente seja descont inua!

RECIPRO CAMENTE:

b) A condição inicial de um indutor é a sua corrente ; o indutor tende sempre a manter o estado de corrente em que se encontra. Com exceção de certas condições excepcionais, podemos af irmar que a corrente de um indutor não sofre descontinuidades , mesmo que sua tensão seja descont inua!

SOLUÇÃO:

a) 0 < t < 1 ⇒ i (^) g = 3t ; v (^) R = 3t ; v (^) L = L. dt

di (^) = 1. 3 = 3 ;

∫ ∫ ∫ ∫

−

− = = + +

= =

−∞ −∞

t

0

0

0

t 0 C (^) C^3 tdt idt^1 C idt^1 C idt^1 C v^1

0 (C.I.Q.) 0

t

0

2 2

3 t (^) = 3 [ t 2 − 02 ];

∴ v (^) C = 3t^2 ⇒ 

−

t 1 v 3 V

t 0 v 0 C

C (^) ∴ v (^) g = 3t (^2) + 3t + 3 ⇒ 

−

t 1 v 9 V

t 0 v 3 V g

g

Sendo portant o nest e intervalo, a tensão no gerador de cor rente, uma parábola de “boca par a cima ” var iando de 3 a 9V

b) 1 < t < 3 ⇒ i (^) g = -2t + 5 ; v (^) R = -2t + 5 ; v (^) L = L. dt

di (^) = 1. (-2) = -2 ;

∫ ∫ ∫ ∫

−

− = = + + − +

= =

−∞ −∞

t

1

1

1

t^1 C (^) C (^2 t^5 )dt idt^1 C idt^1 C idt^1 C v^1

3 V 0

t

1

2 5 t 2

2 t  

⇒ v (^) C = 3 + 2. [− t 2 + 5 t+ 1 − 5 ] ∴ v (^) C = -2t^2 + 10t -5 ⇒ 

−

t 3 v 7 V

t 1 v 3 V C

C

Ii (t)(A)g

It(s)

3

1

3

i (t)g

1 Ω (^) 1H

1 vg 2 F

v (^) R v (^) L v (^) C

Portanto: v (^) g = - 2t^2 + 8t - 2 ⇒ 

−

t 3 v 4 V

t 1 v 4 V g

g

Sendo portant o nest e intervalo, a tensão no gerador de cor rente, uma parábola de “boca par a baixo ” variando de 4 a 4V

c) 3 < t ⇒ i (^) g = -1 ; v (^) R = -1 ; v (^) L = L. dt

di (^) = 1. (0) = 0 ;

∫ ∫ ∫ ∫

−

− = = + + −

= =

−∞ −∞

t

3

3

3

t^3 C (^) C (^1 )dt idt^1 C

idt^1 C

idt^1 C

v^1

7 V 0

t

3

(− t) = 7 - 2t + 6

∴ v (^) C = -2t + 13 ⇒ v (^) g = -2t + 12 ⇒ 

t 4 v 4 V

t 3 v 6 V g

g

Sendo portanto a partir de t > 3s , a tensão no gerador de corr ente, uma r eta decrescente começando em 6V

Podemos pois visualizar o gráf ico de v (^) g (t) :

6. Para o circuito abaixo considerando-se C.I.Q. (Capacitor descarregado em t = 0), e ainda sabendo-se que a chave ch , f echa no instante t = 0 , pede-se determinar a equação da tensão v (^) R (t) a partir de t > 0

Iv (t)(V)g

It(s)

3

1 2 3 4 5

9

6

4

t = 0 E

C R (^) E

C

R

i(t) vC (t) vR (t)

1ª FOLHA DE EXERCÍCIOS – CAP 1 (PARÂMETROS DE REDE)

ENTREGA LIMITE: SEMANA DE: a / / 2013

O BSERVA ÇÕ ES:

a) Alg uns dos e xer c ícios aba i xo pr op ost os, dependem d o n° de m at r ícul a do al u no. As let r as: A B C , r epr esent am r espect ivam ent e os t r ês últ i m os alg ar ism os dest e núm er o. Exem plo: aluno m at r ícu la nº 1 2. 3 1 4 : A = 3 ; B = 1 e C = 4 ;

b) O sím bolo : I NT [ .. ] r epr esent a o valo r int eir o do r esult ad o; exem plo:

^ Ω 

  = ^ + + + 3 R INT A B C^3 ;^ no nosso caso :^  Ω = Ω 

 +^ + + 3

INT^3143

1°Exercício: A um Capacit or de valor : C = I N T   

   

B (^3) F em C. I.Q. aplica- se a t ensão

v (^) C ( t ) ind icada pe lo g r áf ico abaixo. N est as condições pede- se det er m inar o g r áf ico

da cor r ent e i (^) C ( t ) sobr e o capacit or.

G RÁFI CO DA T ENSÃO SO BRE O CAPACI T O R:

2°Exercício: A um Indut or de valor: L = I NT (^)  

A B C em C. I.Q. (condições

inic iais q uiescent es) aplica- se a t ensão v (^) L ( t ) indicada pel o gr áf ico a seg uir. Nestas condições ped e- se det er m inar o g r áf ico da cor r ent e i (^) L ( t ) sobr e o indut or.

G RÁFI CO DA T ENSÃO SO BRE O I NDUT O R:

1

2 3 4

10 5

v (t)(V)L

-5 t(s)

PARA O S EX ERCÍ CI O S DE Nºs^3 E 4:

R = I NT 

A B C 1 Ω ; L = INT

2 A 1 H ; C = I NT

2 B 2 F

3°Exercício: Par a o cir cuito abaixo, supondo- se C.I .Q. , sendo f or necida a f or ma de onda de v (^) g ( t ) , pede-se det er m inar a f orm a de onda de i (^) g ( t ) :

v (t)g

1 2 3 4 5

10

(V)

t(s)

v (t)g

i (t)g i (t)R i (t)C i (t)L C (^) L

4°Exercício: Par a o cir cuito abaixo, supondo- se C.I.Q. , e sendo f or necida a f orm a de onda de i (^) g ( t ) , pede- se det er m inar a f or m a de onda de v (^) g ( t ) :

i (t)(A)g

1 2 3 4

4

t(s)

v (t)g

v (t)R (^) v (t)C i (t)g (^) v (t)L L

C

5°Exercício: Para o circuito abaixo considerando-se C.I.Q. (Indutor com i = 0, em t = 0), e ainda sabendo-se que a chave ch , fecha no instante t = 0 , pede-se determinar a equação da tensão v (^) R (t) a partir de t > 0

Sugestão: Verif ique o tipo de solução do Ex. 6 da pg 47 desta Apost ila de teoria, e

começando por: E dt R .i(t) + L⋅di(t) =

t = 0 E

L R (^) E

R

i(t) vL (t) vR (t)

L

Em f unção dos conceitos aqui expostos vamos então def inir as duas f unções de excitação mais im portantes no estudo dos circuitos elétricos: A f unção H(t),e a f unção δ(t), com as seguintes caracter íst icas :

a) - Função de Heaviside, ou f unção H(t):

H t

se t INDETERMINADA se t se t

b) - Função de Dirac, ou f unção δ(t):

δ δ δ

( )

: : :

( ) ( ). ( )

t

se t se t e

t dt t dt H t

=

≠ → ∞ =

= =





 



   (^) −

∫ ∫ −∞

+∞

0 0 0

1 0

0

CONSI DERAÇÕES E PROPRI EDADES DAS FUNÇÕES ACI MA:

a) - SOBRE A FUNÇÃO H(t):

1. • Note que a f unção H(t) é indeterminada em t = 0, ou seja: a f unção possui “quase” uma descontinuidade neste instante (que é o limite de um inter valo de tempo tendendo a zero). Assumiremos que a f unção, possui neste instante um valor f inito. ( Mesmo sendo indeterm inado, o seu valor numér ico cer tamente situa-se ent re 0 e 1) OBS.: Este tipo de função pertence à classe das f unções denominadas de f unções seccionalmente cont inuas, (f unções que apresentam um núm ero f inito de pontos de “lim ites de descont inuidade” , e ainda que em nenhum destes pontos tendem ao inf inito)
2. • O produto da f unção H(t), com uma outra f unção qualquer f (t),representa f isicamente um chaveamento na or igem (em t = 0); em outras palavras, executar o produto H(t). f (t) signif ica def inir a existência de f (t) somente a part ir de 0 (^) + .Note de f ato os gráf icos abaixo, onde é mostrado o gráf ico de uma f (t) qualquer, em seqüência o gráf ico de H(t), e f inalment e o gráf ico do produto: H(t).f (t):

H(t)

Uma f orma de visualizarmos f isicament e o que f oi acima m ostrado, consiste num gerador de tensão de valor f (t), associado a uma chave que comuta exatamente no instante t = 0. Nestas condições note que a tensão V (^) A B ser á exat ament e o produto: f (t).H(t) ; Veja f igura abaixo:

b) - SOBRE A FUNÇÃO δ(t):

Assum iremos a f unção δ(t) como sendo a derivada da f unção H(t); assumir emos ainda, que a mesma existe exatamente no instante t = 0, e que o seu valor tende ao inf inito neste instante, entretant o possuindo ár ea unitária, mesmo com seu valor tendendo ao inf inito.

OBSERVAÇÃO I MPORTANTE: Consider ando-se que em t = 0, H(t) é indeterm inada, e ainda que nest e instante: δ(t) tende ao inf inito:

Não se def ine o produto: H(t). δ(t)

f(t)

t H(t)

t

f(t).H(t)

t

t = 0 f(t)

A

B

V AB

= f(t).H(t)

t

V AB

E de f orma mais Generalizada: Não se def ine o produto: H(t - a). δ(t - a)

TEOREMA I MPO RTANTE: f(t). δ(t - a) = f (a). δ(t - a)

De f ato vamos imaginar f isicamente o produto de uma f (t) qualquer ( f (t) ≠ de H(t - a) ) pela f unção δ(t - a). Este produto será nulo qualquer que seja t ≠ a, ou ainda: O produto somente terá sent ido em t = a, porquanto a f unção δ(t - a) somente exist irá em t = a. Nestas condições em t = a, f (t) deixa de ser uma f unção genérica, passando a ser o va lor que f (t) possui no ponto: t = a, ou seja: f (a).Graf icamente ir emos ter:

PORTANTO( T E O R E M A D A A MO S T R A G E M ):

f (t). δ(t - a) = f (a). δ(t - a)

EXERCÍCIOS SOBRE FUNÇÕES DE EXCI TAÇ ÃO :

1 º) - Dados os gráf icos das f unções f (t) a seguir, pede-se par a cada um deles: -Expressar matematicamente f (t) através da utilização de f unções singular es; -De posse do item anter ior determinar matematicamente a derivada de f (t),e construir o seu gráf ico.

t = a f(t)

A

B

V AB

V AB = f(t).H(t -a)

t

f(a)

t = a

SOLUÇÃO:

Gráf ico a): f ( )t = ( 2 t − 1 ) ⋅ (^) [ H t( ) − H t( − 1 ) (^) ] ; portanto teremos:

[ ] [ ]

df t dt

H t H t t t t

= 2 ⋅ ( ) − ( − 1 ) + ( 2 − 1 ) ⋅ δ ( ) − δ( − 1 ) ∴

Analisando soment e as f unções com δs : ( 2t - 1). [ δ ( t)−δ(t− 1 )] =

= ( 2t – 1 ). δ(t) - ( 2t – 1 ). δ( t - 1) = ( 2.0 – 1 ). δ(t) - ( 2.1 – 1 ). δ( t - 1) =

= - δ(t) - δ( t - 1) ; portanto:

[ ]

df t dt H t H t t t

= 2 ⋅ ( ) − ( − 1 ) − δ ( ) − δ( − 1 )

Gráf ico b): f ( )t = 2 ⋅ (^) [ H t( ) − H t( − 2 ) (^) ] + t. H t( − 2 ) ; portanto teremos:

[ ]

df t dt t t H t t t

= 2 ⋅ δ ( ) − δ ( − 2 ) + 1. ( − 2 ) +. δ( − 2 ) = = 1. H t( − 2 ) + 2 .δ ( )t − 2. δ ( t − 2 ) + 2 δ( t − 2 ) ∴

N e s t a s c o n d i ç õ e s m o s t r am o s a ba i xo o s g r áf i c o s d a s df^ t dt

( ) (^) n a m e s m a o r d em q u e

f o r am pr o p o s t os o s g r áf i c o s d a s f u n ç õ es o r ig i n a i s :

2 º) Dado o circuito abaixo, onde é conhecida a f unção v (^) g (t), pede-se:

a)-Expressar v (^) g (t) matematicamente através da ut ilização de f unções singulares; b)-Determinar i (^) g (t) m atematicamente, e esboçar o seu gráf ico a part ir dos resultados obtidos.

SOLUÇÃO:

a) v (^) g ( )t = 2 t. (^) [ H t( ) − H t( − 1 ) (^) ] + ( − 2 t + 4 ). (^) [ H t( − 1 ) − H t( − 2 )]

Sendo: i t

v t R

e i t C

dv t R dt

g C ( ) = ( ) ; : ( ) =. g( ) teremos:

i (^) R ( )t = 2 t. (^) [ H t( ) − H t( − 1 ) (^) ] + ( − 2 t + 4 ). (^) [ H t( − 1 ) − H t( − 2 )] ; e:

i (^) C ( )t = 2. (^) [ H t( ) − H t( − 1 ) (^) ] + 2 t. (^) [ δ ( )t − δ( t − 1 ) (^) ] + ( − 2 ). (^) [ H t( − 1 ) − H t( − 2 )] +

• ( − 2 t + 4 ). (^) [ δ ( t − 1 ) − δ ( t − 2 )] ; Trabalhando somente nos δs :

2 t. (^) [ δ ( )t − δ( t − 1 )] + ( − 2 t + 4 ). (^) [ δ ( t − 1 ) − δ( t − 2 )] =

= 2 t. δ ( )t − 2 t. δ ( t − 1 ) + ( − 2 t + 4 ). δ ( t − 1 ) − ( − 2 t + 4 ). δ( t − 2 ) =

= 2. 0. δ ( )t − 2. 1. δ( t − 1 ) + ( − 2. 1 + 4 ). δ ( t − 1 ) − ( − 2. 2 + 4 ). δ( t − 2 ) =

= 0 − 2 δ ( t − 1 ) + 2 δ( t − 1 ) − 0 = 0 ;

Portanto: i (^) C (t) = 2 .[ H(t) − H(t − 1 )] − 2 .[ H(t − 1 ) − H(t − 2 )]; sendo:

i (^) g (t) = i (^) R (t) + i (^) C (t) teremos:

i (^) g ( )t = 2 t. (^) [ H t( ) − H t( − 1 ) (^) ] + ( − 2 t + 4 ). (^) [ H t( − 1 ) − H t( − 2 )] +

• 2. (^) [ H t( ) − H t( − 1 ) (^) ] − 2. (^) [ H t( − 1 ) − H t( − 2 )]

agrupando “pacotes comuns” de Hs, iremos ter:

b) i (^) g ( )t = ( 2 t + 2 ). (^) [ H t( ) − H t( − 1 ) (^) ] + ( − 2 t + 2 ). (^) [ H t( − 1 ) − H t( − 2 )]

Que irá nos f ornecer o seguinte gráf ico: