Baixe Apostila de Cálculo II - parte 4 - Cálculo Vetorial, Revisão de vetores e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Informática, somente na Docsity!

NB002 – Parte IV

NOTAS DE AULA – IV

12 – Cálculo Vetorial

12.1 – Introdução

Nesta nota de aula começamos a conhecer alguns conceitos sobre álgebra Vetorial que serão de grande utilidade para a engenharia. Nos capítulos anteriores estudamos a idéia de representar um ponto sobre uma reta utilizando um número real e um ponto em plano utilizando um par ordenado de números reais. Podemos ainda localizar um ponto no espaço utilizando uma terna ordenada de números reais. Generalizando pode-se considerar um ponto por uma n-upla de números reais ordenados. Tal sistema é dito ponto n-dimensional ou vetor n-dimensional. Em álgebra linear aprendemos que podemos trabalhar com estes vetores sem estabelecer vínculo com a geometria. Mas no caso de n ≤ 3 , n inteiro, os vetores e as operações vetoriais são suscetíveis de uma interpretação geométrica. Basta que consideremos um sistema de coordenadas e que definamos o que seja vetor geométrico. Assim um segmento orientado é definido como vetor geométrico se considerarmos um par de pontos A e B, onde A é origem e B sua extremidade. Representamos esse segmento orientado como estabelece a figura a seguir:

Figura 1 - Vetor Logo este ente conhecido como vetor possui uma grandeza (comprimento - módulo AB ), direção (reta suporte de AB) e um sentido (de A para B).

12.2 – Expressão analítica de um vetor e decomposição no plano

Vamos fixar a base { i , j }, conforme ilustra a figura 2. Assim ficará estabelecida uma

correspondência biunívoca entre os vetores do plano e os pares ordenados (x,y) de números reais. Nestas condições, a cada vetor v

r do plano pode-se associar um par (x,y) de números reais que são suas componentes na base dada, razão porque define-se: “Vetor no plano é um par ordenado (x,y) de números reais e se representa por”

v = ( x , y )

r

B

A

e, portanto, o número de componentes de um vetor é três. De forma análoga, o plano tem dimensão 2 ou é bidimensional. Fica fácil entender que a reta te dimensão 1 ou é unidimensional.

12.4 – Produto Escalar

12.4.1 – Definição

Dados dois vetores u

r

e v

r

queremos encontrar um número, denotado por u v

r r

. ,

chamado escalar de (^) u

r e (^) v

r , que será obtido multiplicando-se o comprimento de (^) u

r pelo

comprimento de v

r pelo cosseno do ângulo formado entre eles. Considerando:

u

r

• comprimento de u

r

v

r

• comprimento de v

r

θ - ângulo de u

r

e v

r

, temos:

u. v u v cos ( θ )

r r r r

O produto escalar é também definido em função das componentes de u

r

e v

r

, a saber:

Se u =( u 1 , u 2 , u 3 )

r

e v =( v 1 , v 2 , v 3 )

r , então:

u. v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + u 3 v 3

r r

12.4.2 – Interpretação Geométrica do produto escalar

Projetando (^) u

r

na direção de v

r

obtemos um novo vetor cujo comprimento é u cos( θ )

r

conforme ilustra a figura 4:

θ

u

r

v

r

Figura 4 – Interpretação geométrica de um produto escalar

Assim u cos( θ )

r é a projeção escalar de u

r

sobre v

r

12.4.3 – Propriedades de um produto escalar

Para quaisquer u

r

, v

r

, w

r e α ∈ℜ, temos as seguintes propriedades:

P1. u v v u

r r r r

. =.

P2. u ( v w ) v u u w

r r r r r r r

. + =. +.

P3. ( u v ) ( u ) v u ( v )

r r r r r r α. =α. =. α

12.4.4 – Módulo ou comprimento de um vetor geométrico

Representamos o comprimento de u

r por u

r .

Seja OP o representante de posição do vetor u =( u 1 , u 2 , u 3 )

r , conforme a figura 5:

z

y

0

x

u

r

A

B

P

P^ '

u 3

u 2

u 1

Figura 5 - Módulo de um vetor geométrico

Pelo teorema de Pitágoras aplicado ao

2 3

'^2 ' ∆ 0 P P : u = 0 P u

r , logo o módulo será:

2 3

2 2

2 u = u 1 + u + u

r

12.5.2 – Interpretação Geométrica

A área ABCD = u h

r

mas h = vsen ( θ )

A área ABCD = u vsen ( θ )

r r

mas: u vsen ( ) u v

r r r r θ = × ,

logo: u × v =

r r área ABCD

θ

u v

r r ×

A B

D C

u

• r

v

r

h

Figura 6 – Interpretação Geométrica

O vetor u ev

r r tem:

• Direção: perpendicular a u ev

r r

• Grandeza: área do paralelogramo definido por u ev

r r

• Sentido adotando um sistema de eixos coordenados positivo, o sentido de u v

r r × é determinado pela “Regra da mão direita”, isto é, quando u

r roda para v

r segundo o menor ângulo, de modo que os dedos da mão direita (fachada) indiquem o sentido de rotação, então o polegar indica o sentido de u v

r r ×. Supondo que o polegar define uma direção perpendicular aos outros dedos.

12.5.3 – Propriedades do produto vetorial

P1. u v ( v u )

r r r r × =− ×

P2. (^) u × u = 0

r r

P3. ( u v ) ( u ) v

r r r r α × = α ×

P4. u ( v w ) u v u w

r r r r r r r × + = × + ×

P5. u. ( u × v ) = 0

r r r

P6. v. ( u × v ) = 0

r r r

P7. v × u = 0

r r , se e somente se, u ev

r r (não nulos) são paralelos

Exercício.

1. Faça todos os produtos vetoriais a seguir:

a) i i

s r ×

b) i j

s r ×

c) i k

s r ×

d) j i

r r ×

e) k i

r (^) r ×

f) j j

r r ×

g) j k

r r ×

h) k j

r (^) r ×

i) k k

r r ×

12.6.3 – Propriedades do produto misto

P1. (^) u v w v wu w u v

r r r r r r r r r ×. = ×. = ×.

P2. u v w wu v

r r r r r r ×. =. ×

P3. u v w uv w

r r r r r r ×. =. × , que vem da combinação de P1 e P2.

O valor do produto misto depende unicamente da ordem dos fatores u vw

r r r , , e não da

posição dos símbolos. Por isso muitas vezes representamos u v w ( uvw )

r r r rrr

. × por sem

mencionar a posição dos símbolos (.) e (x).