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Cálculo Numérico

Mauro Noriaki Takeda

Aparecido Edilson Morcelli

Revisada por Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli (janeiro/2013)

APRESENTAÇÃO

É com satisfação que a Unisa Digital oferece a você, aluno(a), esta apostila de Cálculo Numérico, par- te integrante de um conjunto de materiais de pesquisa voltado ao aprendizado dinâmico e autônomo que a educação a distância exige. O principal objetivo desta apostila é propiciar aos(às) alunos(as) uma apresentação do conteúdo básico da disciplina. A Unisa Digital oferece outras formas de solidificar seu aprendizado, por meio de recursos multidis- ciplinares, como chats, fóruns, aulas web, material de apoio e e-mail. Para enriquecer o seu aprendizado, você ainda pode contar com a Biblioteca Virtual: www.unisa.br, a Biblioteca Central da Unisa, juntamente às bibliotecas setoriais, que fornecem acervo digital e impresso, bem como acesso a redes de informação e documentação. Nesse contexto, os recursos disponíveis e necessários para apoiá-lo(a) no seu estudo são o suple- mento que a Unisa Digital oferece, tornando seu aprendizado eficiente e prazeroso, concorrendo para uma formação completa, na qual o conteúdo aprendido influencia sua vida profissional e pessoal.

A Unisa Digital é assim para você: Universidade a qualquer hora e em qualquer lugar!

Unisa Digital

• INTRODUÇÃO...............................................................................................................................................
• 1 NOÇÕES BÁSICAS SOBRE ERROS
  • 1.1 Introdução ..........................................................................................................................................................................
  • 1.2 Erros ......................................................................................................................................................................................
  • 1.3 Definição de Erro Absoluto e Erro Relativo............................................................................................................
  • 1.4 Conversão de Bases ........................................................................................................................................................
  • 1.5 Conversão de Número Decimal para Binário.....................................................................................................
  • 1.6 Erros de Arredondamento ........................................................................................................................................
  • 1.7 Erros de Truncamento.................................................................................................................................................
  • 1.8 Resumo do Capítulo ....................................................................................................................................................
  • 1.9 Atividades Propostas...................................................................................................................................................
• 2 SISTEMAS LINEARES
  • 2.1 Equação Linear ..............................................................................................................................................................
  • 2.2 Solução de uma Equação Linear.............................................................................................................................
  • 2.3 Exercício Resolvido ......................................................................................................................................................
  • 2.4 Sistema de Equações Lineares.................................................................................................................................
  • 2.5 Classificação dos Sistemas Lineares quanto ao Número de Soluções .....................................................
  • 2.6 Sistema Linear Homogêneo .....................................................................................................................................
  • 2.7 Forma Matricial de um Sistema Linear .................................................................................................................
  • 2.8 Método de Gauss..........................................................................................................................................................
  • 2.9 Exercício Resolvido ......................................................................................................................................................
  • 2.10 Cálculo da Matriz Inversa pelo Método de Gauss .........................................................................................
  • 2.11 Exercício Resolvido ....................................................................................................................................................
  • 2.12 Método de Jordan .....................................................................................................................................................
  • 2.13 Exercício Resolvido ....................................................................................................................................................
  • 2.14 Método Iterativo.........................................................................................................................................................
  • 2.15 Método de Jacobi ......................................................................................................................................................
  • 2.16 Exercício Resolvido ....................................................................................................................................................
  • 2.17 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................
  • 2.18 Atividades Propostas ................................................................................................................................................
• 3 ZERO DA FUNÇÃO
  • 3.1 Introdução .......................................................................................................................................................................
  • 3.2 Isolamento de Raízes...................................................................................................................................................
  • 3.3 Método Gráfico..............................................................................................................................................................
  • 3.4 Exercício Resolvido ......................................................................................................................................................
  • 3.5 Refinamento ...................................................................................................................................................................
  • 3.6 Método da Bisseção.....................................................................................................................................................
  • 3.7 Exercício Resolvido ......................................................................................................................................................
  • 3.8 Método de Newton-Raphson ..................................................................................................................................
  • 3.9 Exercício Resolvido ......................................................................................................................................................
  • 3.10 Resumo do Capítulo .................................................................................................................................................
  • 3.11 Atividades Propostas ................................................................................................................................................
• 4 CONSIDERAÇÕES FINAIS
• RESPOSTAS COMENTADAS DAS ATIVIDADES PROPOSTAS
• REFERÊNCIAS

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INTRODUÇÃO

Caro(a) aluno(a), Esta apostila destina-se a estudantes de graduação para os cursos de Engenharia Ambiental, Enge- nharia de Produção ou afins, para o acompanhamento do conteúdo de Cálculo Numérico, nos cursos a distância.

Nela, você lerá a respeito de assuntos referentes a noções básicas sobre erros, zeros reais de equa- ções algébricas e transcendentes, e resolução de sistemas de equações lineares.

Com o intuito de simplificar a exposição dos tópicos abordados, procurou-se, por meio de uma lin- guagem simples, clara e direta, expor o conteúdo de forma sucinta e objetiva. Em todos os capítulos, são apresentadas questões resolvidas, para auxiliar na compreensão do conteúdo teórico e orientar a resolu- ção das atividades propostas. Para complementar a teoria e auxiliar na fixação do conteúdo apresentado, são propostas, ao final de cada tópico abordado, várias atividades com grau de dificuldade crescente.

Espera-se que você tenha facilidade na compreensão do texto apresentado, bem como na realiza- ção das atividades propostas.

Finalmente, desejamos que faça um excelente módulo, estude bastante e aprofunde seu conheci- mento consultando as referências indicadas no final da apostila.

Mauro Noriaki Takeda Aparecido Edilson Morcelli

Mauro Noriaki Takeda e Aparecido Edilson Morcelli

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Ao tentar obter a solução para um problema por meio de um modelo matemático, incorremos em erros na fase de modelagem e de resolução. Na fase de modelagem, geralmente, o erro decor- re da simplificação do fenômeno, que não tem uma descrição completa, ao criar o modelo ma- temático para descrever o fenômeno. Na fase de resolução, decorre da necessidade da utilização de instrumentos de cálculo que necessitam, em algumas situações, de aproximações, como, por

exemplo, o valor de π a ser utilizado: 3,14; 3, ou 3,14159265358979323846264338327. Esses er- ros tendem a se propagar ao longo da resolução do problema e determinam o erro no resultado final obtido. Esse conceito de propagação de erros é muito importante, pois, além de determinar o erro no resultado final obtido, também indica a sensibilidade de um determinado método numé- rico.

1.2 Erros

1.3 Definição de Erro Absoluto e Erro Relativo

Erro Absoluto

É o módulo da diferença entre um valor verdadeiro de um número e seu valor aproximado.

erro absoluto = |valor verdadeiro - valor aproximado|

E (^) A (^) x = xverdadeiro-x aproximado

Representando xverdadeiro = xe xaproximado = x, podemos escrever o erro absoluto como:

E (^) A (^) x = x- x

Erro Relativo

O erro relativo é o erro absoluto dividido pelo valor verdadeiro:

x

E

E x A R (^) x =

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x

x x E (^) Rx

Frequentemente, o erro relativo é expresso também como erro percentual, chamado taxa de erro. Para isso, basta multiplicar o erro relativo por 100:

erro percentual = erro relativo x 100

Erro percentual=ER (^) x ⋅ 100

x

x x Erro percentual ⋅

1.4 Conversão de Bases

No nosso dia a dia, utilizamos o sistema de numeração decimal, que é adotado em todas as operações matemáticas. Esse sistema, como o

nome sugere, é de base 10, podendo todos os múltiplos e submúltiplos ser expressos como uma combinação linear de potências de 10. Exemplos:

125 = 100 + 20 + 5 = 1 10⋅ 2 + 2 10⋅ 1 + 5 10⋅^0

1 0 1 0 1 2 2 2 2

= = ⋅^ +^ ⋅^ = ⋅^ + ⋅ = ⋅ -^ + ⋅ -

5, 2 = 5 + 0, 2 = 5 10⋅ 0 + 2 10⋅ -^1

Apesar de utilizarmos o sistema de numera- ção decimal no cotidiano, esse tipo de representa- ção numérica é inadequado para a representação da informação em calculadoras ou computado- res. Um número é representado, internamente, na

máquina de calcular ou no computador, por meio do sistema binário, ou seja, na base 2, por meio dos algarismos 0 e 1. Uma sequência de impulsos elétricos indica dois estados: desligado – tensão baixa (0) – ou ligado – tensão alta (1).

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Como vimos, nem todos os números reais têm representação no sistema de base 2. Ao utilizar as calculadoras e os computadores, incorremos nos chamados erros de arredondamento.

De maneira geral, podemos representar um número x em qualquer base β por:

1 2 3 exp 2 3

t t

d d d^ d

x β

β β β β

Em que:

ƒ ƒ di são números inteiros contidos no intervalo 0 ≤ di ≤ β - 1, com i = 1, 2, ..., t;

ƒ ƒ exp é o expoente de β e assume valores entre LI ≤ exp ≤ LS, sendo LI e LS os limites inferior e superior, respectivamente, para a variação do expoente;

ƒ ƒ 1 2 3 2 3

t t

d d d d

β β β β

 +^ +^ + 

 é chamada mantissa, sendo a parte do número que representa seus

dígitos significativos;

ƒ ƒ é chamada mantissa, sendo a parte do número que representa seus dígitos significativos;

ƒ ƒ t é o número de dígitos do sistema de representação, também chamado precisão da máquina.

Quando representamos um número dessa forma, a mantissa é um número entre 0 e 1, e dizemos que os números estão normalizados. Por exemplo, no sistema decimal, temos β = 10; desse modo, pode- mos escrever:



3 3 (^10 2 )

1 2 5 125 10 0,125 10 (^10 10 10) mantissa mantissa

  = (^)  + + (^) ⋅ = ⋅  

AtençãoAtenção

Nem todos os números reais na base decimal po- dem ser representados no sistema binário.

Saiba maisSaiba mais Nas calculadoras e nos computadores, quando não é possível representar na base binária o número real inserido, utiliza-se o número real mais próximo que se consegue representar.

1.6 Erros de Arredondamento

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No sistema binário, temos β = 2; desse modo, podemos escrever:

4 4 (^10 2 2 3 )

1 1 0 0 12 1100 0,1100 2 2 2 2 2 2 mantissa

  = = ⋅ = (^)  + + + (^) ⋅  (^) 

1.7 Erros de Truncamento

O erro de truncamento é um erro proveniente da utilização de processos que, na teoria, são infini- tos ou muito grandes para a determinação de um valor, sendo truncados devido ao método de aproxi- mação empregado para o cálculo de uma função exata. Esses processos infinitos aparecem muito em funções matemáticas, como exponenciação, logarit- mos e funções trigonométricas.

A função seno pode ser calculada pela série:

( )

3 5 7 3! 5! 7!

x x x sen x = x - + - +

A função ex^ pode ser calculada pela série: 2 3

0

i x i

x x x

e x

i

∞

= + + + + = (^) ∑

A função ln(1+x) pode ser calculada pela série:

Atenção Atenção

Truncar um número na casa d (^) i é desconsiderar as casas di+j, com (j = 1, 2, ..., ∞).

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O limite para diminuir o erro de truncamento é até chegar à ordem do erro de arredondamento. A partir daí, não tem sentido continuar a diminuir o erro de truncamento, pois o erro de arredondamento será predominante. Os objetos de nosso estudo, neste capítulo, são os erros de arredondamento e de truncamento.

Atenção Atenção

Eliminar os erros na resolução de problemas por meio de métodos numéricos é praticamente im- possível, mas o que pode ser feito é minimizar os efeitos da propagação desses erros.

1.8 Resumo do Capítulo

Caro(a) aluno(a), Neste capítulo, estudamos noções básicas sobre erros, conversão de bases, tipos de erro que ocor- rem e de que maneira eles afetam os resultados numéricos por meio da sua propagação, iniciando pelo tratamento dos erros, definição de erro absoluto e erro relativo, conversão de bases, conversão de nú- mero decimal para binário, erros de arredondamento, erros de truncamento, além de exemplos comen- tados.

1. Converta 59 10 para a base 2.
2. Determine o valor de x na igualdade 0,1875 10 = x 2.
3. Determine o valor de x na igualdade 1100011 2 = x 10.
4. Escreva o número decimal 36,189 como uma combinação linear de potências de 10.
5. Represente o número 31,415 10 na base β = 10.
6. Calcule o valor numérico de 6

sen ^ π

, empregando a série (^ )^

3 5 7 3! 5! 7!

sen x = x -^ x^ + x^ - x + , truncada de 2ª ordem.

1.9 Atividades Propostas

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Caro(a) aluno(a), Você já ouviu falar em equação linear? Toda equação da forma a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a1nxn = b 1 é denominada equação linear, na qual:

ƒ ƒ x 1 , x 2 , x 3 , ..., xn são as incógnitas; ƒ ƒ a 11 , a 12 , a 13 , ..., a1n são os coeficientes; ƒ ƒ b 1 é o termo independente.

Você deve ficar atento(a), pois, numa equação linear, os expoentes das incógnitas são todos iguais a 1 e cada termo da equação tem uma única incógnita, ou seja, equações do tipo:

ƒ ƒ 2x 1 – 3x 2 + 7x 3 = 17; ƒ ƒ 4x – 2y + z + 3t = 9.

Equações que apresentam termos da forma x^21 , x.y, x não são lineares, ou seja, equações do tipo:

ƒ ƒ 2 x 1^2 - 3 x 2 = 10 ƒ ƒ 2x ∙ y + z – t = 3.

2 SISTEMAS LINEARES

2.1 Equação Linear

Saiba maisSaiba mais

Quando o termo independente b 1 é igual a zero, a equação linear é chamada equação linear homogê- nea, ou seja, equações do tipo:

• 3x – 2y = 0;
• 2x 1 + x 2 – 5x 3 = 0.

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Agora, vamos, juntos, definir um sistema de equações lineares.

Denomina-se sistema de equações lineares ou sistema linear um conjunto de duas ou mais equações lineares, ou seja, formado apenas por

2.4 Sistema de Equações Lineares

equações do tipo a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + ... + a1nxn = b 1 , na qual a 11 , a 12 , a 13 , ..., a1n ∈ IRsão os coeficientes e x 1 , x 2 , x 3 , ..., xn são as incógnitas. Um sistema linear de n equações a n incóg- nitas é representado da seguinte maneira:

11 1 12 2 13 3 1 1 21 1 22 2 23 3 2 2 31 1 32 2 33 3 3 3

1 1 2 2 3 3

n n n n n n

n n n nn n n

a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

S a x a x a x a x b

a x a x a x a x b

^ +^ +^ +^ +^ =

 +^ +^ +^ +^ =

Ou:

1

, 1, 2, 3, ,

n ij j i j

S a x b i n

= (^) ∑ ⋅ = = 

Se uma ênupla ordenada de números reais (α 1 , α 2 , α 3 , ..., αn) tornar verdadeiras todas as equa- ções do sistema linear de n incógnitas, ela é uma solução do sistema linear. Professor, agora eu já

sei o que é uma ênupla! Agora entendi! Resolver um sistema linear significa determinar o conjunto de todas as soluções desse sistema.

2.5 Classificação dos Sistemas Lineares quanto ao Número de Soluções

Agora, estamos diante de um grande desa- fio. Como classificar um sistema linear quanto ao número de soluções? Um sistema linear pode ser classificado, quanto ao número de soluções, em compatível (ou possível) e incompatível (ou impos- sível).

Um sistema linear compatível (ou possível), quando tem uma única solução, é chamado siste- ma compatível e determinando (ou sistema possí- vel e determinado). No sistema linear (^3)

1

x y x y

 + =  (^) - = - 

pode-se observar, no gráfico, que há ponto de interseção das retas, que

corresponde a uma única solução do sistema, ou seja, o par ordenado (1, 2). 

Um sistema linear compatível (ou possív

[

\

[±\ 

[\ 

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Um sistema linear compatível (ou possível), quando tem várias soluções, é chamado sistema compatível e indeterminando (ou sistema possível e indeterminado). No sistema linear 3 2 2 6

x y x y

^ +^ =

pode-se observar, no gráfico, que as retas são coincidentes e que há infi- nitos pontos de interseção, que correspondem às várias soluções do sistema.

tema linear compatível (ou possível), quando tem várias soluções, é

compatível e indeterminando (ou sistema possível e indeterminado). No

\ 

\ 

, pode-se observar, no gráfico, que as retas são coincidentes e

ntos de interseção, que correspondem às várias soluções do sistema.

tema linear é incompatível (ou impossível) quando não tem solução, ou

nupla ordenada de números reais (α 1 , α 2 , α 3 , ..., α (^) n ) que torne verdadeiras

s do sistema linear simultaneamente. No sistema linear °¯

[ \ 

[ \ 

no gráfico, que as retas são paralelas entre si; portanto, não há pontos

e elas, ou seja, o sistema linear é incompatível.

[

\

[\  Ł [\  

AtençãoAtenção

Um sistema linear pode ser classificado, quan- to ao número de soluções, em compatível e de- terminando (ou sistema possível e determinado), compatível e indeterminando (ou sistema possível e indeterminado) e incompatível (ou impossível).

Atenção Um sistema linear pode ser classificado, quanto ao determinando (ou sistema possível e determinado), c possível e indeterminado) e incompatível (ou imposs

2.6 Sistema Linear Homogêneo

Você já ouviu falar em sistema linear

homogêneo quando bi = 0, ou seja, os termos ind

iguais a zero.

D [ D [ D [

D [ D [ D [

D [ D [ D [

D [ D [ D [

Q  Q  Q 

     

     

     

Todo sistema linear homogêneo é co

[

\

[\  

[\  

Um sistema linear é incompatível (ou impos- sível) quando não tem solução, ou seja, não há uma ênupla ordenada de números reais (α 1 , α 2 , α 3 , ..., αn) que torne verdadeiras todas as equações do sistema linear simultaneamente. No sistema li- near

3 2

x y x y

^ +^ =  (^) + =  , pode-se observar, no gráfico, que as retas são paralelas entre si; portanto, não há pontos de interseção entre elas, ou seja, o sistema linear é incompatível.

2.6 Sistema Linear Homogêneo

Você já ouviu falar em sistema linear ho- mogêneo? Um sistema linear é dito homogêneo quando bi = 0, ou seja, os termos independentes de todas as equações são iguais a zero.

11 1 12 2 13 3 1 21 1 22 2 23 3 2 31 1 32 2 33 3 3

1 1 2 2 3 3

n n n n n n

n n n nn n

a x a x a x a x

a x a x a x a x

S a x a x a x a x

a x a x a x a x

^ +^ +^ +^ +^ =

 +^ +^ +^ +^ =

 +^ +^ +^ +^ =

Todo sistema linear homogêneo é compa- tível, pois admite como solução a ênupla (0, 0, 0, ..., 0), que é chamada solução trivial. Se o sistema linear homogêneo admitir outra solução na qual as incógnitas não sejam todas nulas, a solução é denominada solução não trivial.

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Você já deve ter estudado vários métodos de resolução de sistemas lineares, como o méto- do da adição, o método da substituição e a regra de Cramer. Dando continuidade a esse assunto, serão abordados outros métodos de resolução de sistema linear normal de n equações a n incógni- tas, com n ≥ 2. Iniciaremos falando do método de triangu- lação de Gauss. Este método consiste em trans- formar o sistema linear original em um sistema linear triangular, com matriz dos coeficientes triangulares superiores que seja equivalente ao sistema dado, isto é, que tenha a mesma solução, mediante permutações e combinações lineares de linhas.

Para transformar o sistema dado num sis- tema triangular equivalente, usam-se operações que não alteram a solução de um sistema linear, tais como:

ƒ ƒ multiplicar ou dividir todos os elemen- tos de uma equação por um número di- ferente de zero; ƒ ƒ permutar duas equações; ƒ ƒ substituir uma equação pela soma al- gébrica dela com um múltiplo de outra qualquer do sistema.

2.8 Método de Gauss

2.9 Exercício Resolvido

1. Resolva, pelo método de Gauss, o sistema linear:

Resolução: Representam-se os elementos da matriz dos coeficientes e da matriz dos termos independentes no dispositivo prático a seguir, que torna mais compacta a triangulação da matriz dos coeficientes. Os coeficientes e o termo independente da equação 1 estão dispostos na linha 1 (L 1 ); os da equação 2, na linha 2 (L 2 ); e os da equação 3, na linha 3 (L 3 ).

Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes L 1 2 3 -1 4 L 2 4 -3 1 2 L 3 1 -1 1 1

x y z

x y z

x y z

^ +^ -^ =

 -^ +^ =

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Escolhe-se o elemento a 11 da matriz dos coeficientes como pivô (2).

Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes L 1 2 3 -1 4 L 2 4 -3 1 2 L 3 1 -1 1 1

Em seguida, calcula-se o multiplicador m 1 , que será m 1 =-. 21 11

a a

, que é utilizado para eliminar a

incógnita x na equação 2, ou seja, tornar o coeficiente de x nulo (igual a zero).

Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes

L 1 2 3 -1 4

L 2 4 -3 1 2 L 3 1 -1 1 1

Para eliminar a incógnita x na equação 2, fazendo o coeficiente de x igual a zero, deve-se substituir

a equação 2 (L 2 ) por outra equação transformada (^ )

' L 2 (^) , obtida por meio da seguinte combinação linear:

multiplica-se m 1 pela equação 1 (linha pivotal) e soma-se a equação 2, ou seja, '

L 2 = m 1 ⋅ L 1 + L 2.

Para obter '

L 2 , deve-se efetuar o seguinte procedimento:

Copia-se a primeira equação L 1 abaixo da última equação do sistema L 3.

Linha Multiplicador Matriz dos coeficientes Termos independentes

L 1 2 3 -1 4

L 2 4 -3 1 2 L 3 1 -1 1 1 L 1 2 3 -1 4

m 1 =- =-

m 1 =- =-