UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
CENTRO DE TECNOLOGIA E RECURSOS NATURAIS
UNIDADE ACADÊMICA DE CIÊNCIAS ATMOSFÉRICAS
Cadernos de
Dinâmica
Vol. I
Prof. Manoel F. Gomes Filho
Campina Grande – Paraíba
Julho de 2008
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Introdução à Dinâmica Atmosférica: Equações de Movimento e Aplicações, Notas de estudo de Meteorologia
Apostila de assuntos referentes a disciplina meteorologia dinamica
Tipologia: Notas de estudo
2022
1 / 68
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UNIDADE ACADÊMICA DE CIÊNCIAS ATMOSFÉRICAS
Cadernos de
Dinâmica
Vol. I
Prof. Manoel F. Gomes Filho
Campina Grande – Paraíba
Julho de 2008
Apresentação
Este trabalho representa uma primeira tentativa de se produzir um texto em
português que venha a servir de guia para as aulas de Meteorologia Dinâmica I tal como
está previsto no elenco de disciplinas do Curso de Graduação em Meteorologia da recém
criada UFCG. Ele foi produzido a partir das notas de aula preparadas pelo autor e está
inteiramente baseado no livro “ An introduction to Dynamic Meteorology “ do autor James
R. Holton. Evidentemente, todas as contribuições para correção do texto são bem vindas e
com isso espera-se que no futuro, após o retorno dos interessados e usuários, sejam estudantes
ou professores que se disponham a usa-lo, talvez transformar o rascunho em um texto final.
CONTEÚDO
Parte 1 - Introdução aos movimentos atmosféricos
Introdução ...................................................................................................................... Sistemas de coordenadas ............................................................................................... Forças que aceleram os fluidos ............................................ ......................................... A força do gradiente da pressão ..................................................................................... A força gravitacional ...................................................................................................... O atrito ou força de viscosidade ...................................................................................... A força centrífuga ............................................................................................................ A força de Coriolis ..........................................................................................................
Parte 2 - As leis básicas de conservação
Introdução ...................................................................................................................... A diferenciação total ...................................................................................................... Diferenciação total de um vetor para um sistema em rotação ......................................... A forma vetorial da equação do momentum em coordenadas girando ........................... As equações componentes em coordenadas esféricas...................................................... Análise de escala das equações do movimento .............................................................. A aproximação geostrófica e o vento geostrófico .......................................................... Equações aproximadas de prognóstico: o número de Rossby ......................................... A equação da continuidade .............................................................................................. A equação da continuidade em coordenadas isobáricas .................................................. O movimento vertical ...................................................................................................... Medida da divergência horizontal ................................................................................... Análise de escala da equação da continuidade ................................................................ A equação da energia termodinâmica .............................................................................. Termodinâmica da atmosfera seca .................................................................................. Temperatura potencial ..................................................................................................... A lapse rate adiabática ..................................................................................................... A estabilidade estática .....................................................................................................
Análise de escala da equação da energia termodinâmica ................................................
Parte 3 - aplicações elementares das equações básicas
Introdução ...................................................................................................................... Movimento horizontal sem atrito .................................................................................... Vento geostrófico em coordenadas isobáricas .............................................................. Escoamento curvilíneo em equilíbrio ............................................................................. Coordenadas naturais ..................................................................................................... Movimento inercial ........................................................................................................ Escoamento ciclostrófico ................................................................................................ Escoamento gradiente .....................................................................................................
Parte 4 - Circulação e vorticidade
Introdução ....................................................................................................................... Vorticidade em coordenadas naturais ............................................................................. Vorticidades absoluta e relativa ...................................................................................... Teorema da circulação ..................................................................................................... Vorticidade potencial ....................................................................................................... Equação da vorticidade .................................................................................................... Análise dos termos da equação da vorticidade................................................................. Análise de escala da equação da vorticidade ................................................................... Simplificações da equação da vorticidade........................................................................
sistema de coordenadas: Se nenhuma força atua sobre o corpo, ele não experimentará aceleração. Vamos supor que temos um sistema inercial composto de um corpo de referência e um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais (x, y, z). Se a posição de um corpo não interagindo com qualquer outro corpo é denotado por x , então deve ser verdade neste sistema inercial que: (^2) " ~ (^2) ~^0
d X X dX
Vamos transformar esse sistema em um outro sistema de coordenadas cartesianas com as relações:
X’ 1 = A 11 X + A 12 Y + A 13 Z X’ 2 = A 21 X + A 22 Y + A 23 Z (1.2) X’ 3 = A 31 X + A 32 Y + A 33 Z
No qual os Aij são todos constantes. Obviamente neste sistema é verdadeiro que:
" '' '' '' X = X ' = Y ' = Z ' = 0 (1.3)
devido a primeira relação. Este novo sistema é também inercial porque a aceleração não ocorre na ausência de forças. Vamos tentar uma outra transformação; esta dada por:
X’ = x cos ωt + y sen ωt Y’ = x sen ωt - y cos ωt (1.4) Z’ = z
Neste caso, o novo sistema de coordenadas gira em torno do eixo z do sistema original
com uma freqüência angular
T
ω = , onde T é o tempo necessário para uma rotação
completa. Agora nós temos:
X ' x cos ω t y sen ω t ω ( xsen ω t y cos ω t )
⋅ ⋅ ⋅ = + − −
Y ' x sen ω t y cos ω t ω ( x cos ω t ysen ω t )
⋅ ⋅ ⋅ = + − − (1.5)
Z z
⋅ ⋅
se diferenciarmos novamente o sistema (1.5) e usarmos as relações (1.1) temos:
X ⋅⋅^ ' = − 2 ω ( x sen ⋅^ ω t − y ⋅ cos ω t ) − ω 2 ( x cos ω t + ysen ω t )
Y ⋅⋅^ ' = 2 ω ( x cos ⋅^ ω t + y en ⋅s ω t ) − ω^2 ( x s en ω t − ycos ω t ) (1.6)
Z 0
⋅⋅
Então, para nossa surpresa, neste sistema, o corpo aparece sendo acelerado mesmo quando não há forças atuando sobre ele. Este sistema, que gira, não é inercial. Há duas espécies de forças “aparentes” que surgem na relação (1.6): as primeiras são aquelas
envolvendo o produto de ω e as velocidades
. x ,
. y e
. z ; são chamadas forças de Coriolis. As segundas, são os produtos das coordenadas de posição e ω^2 e são chamadas de forças Centrífugas. Estas forças são perfeitamente reais e observáveis para um observador girando com um sistema
. X '. Estas são chamadas aparentes, porque não são devidas a interações com outros corpos. Desse modo, para aplicar a Mecânica Newtoniana à atmosfera, devemos encontrar um sistema inercial, tal que, possamos determinar a diferença entre acelerações reais e aquelas que resultam das transformações de coordenadas. Supõe-se geralmente que exista um sistema inercial em algum lugar do espaço, que escolhendo um sistema de referência baseado em estrelas “fixas” dará um sistema inercial. Mesmo fazendo esta suposição, temos que considerar a rotação da Terra, em relação a este sistema inercial, se quisermos estudar os movimentos da atmosfera, em um sistema de coordenadas que usa a Terra como sistema de coordenadas de referência.
3. FORÇAS QUE ACELERAM OS FLUIDOS
Se observarmos, a partir de um sistema inercial, os corpos que estão em movimento acelerado, podemos supor de acordo com a 2a^ Lei do Movimento de Newton, que eles estão interagindo com algum outro corpo. A 2 a^ Lei diz que estas acelerações são produzidas por forças e então constituem uma definição de forças como um fenômeno natural que produz aceleração. Supondo então que descobrimos um sistema inercial, usaremos a 2a^ Lei para escrever:
m. a = F (1.7)
Em meteorologia, é conveniente usar forças específicas que são forças por unidade de massa e então temos:
a = (^) ∑ i fi (1.8)
onde a força total é dada pela soma das forças individuais.
F = m ∑ i fi (1.9)
No estudo da atmosfera nós temos forças devidas ao gradiente de pressão, gravitação e atrito. Existem outras (forças moleculares, eletromagnéticas por exemplo) mas estas três forças são as mais importantes na descrição macroscópica dos movimentos fluidos similares àqueles da baixa Troposfera.
4.FORÇA DO GRADIENTE DE PRESSÃO
Considere um elemento de volume de ar ∂ V^^ =∂ x ∂ y ∂ z , centrado no ponto (xo , yo , zo) como visto na figura abaixo:
A massa elemento diferencial de volume é simplesmente a densidade ρ vezes o volume:
m = ρδxδyδz.
então, a componente x da força devido ao gradiente e pressão por unidade de massa é:
x
p m
F (^) x ∂
=− ∂ ρ
Do mesmo modo, pode ser mostrado que as componentes y e z da força do gradiente de pressão por unidade de massa são:
y
p m
F (^) y ∂
∂ =− ρ
(^1) e z
p m
F (^) z ∂
∂ =− ρ
tal que a força do gradiente de pressão é:
F 1 p m ρ
→ = − ∇ (1.16)
é importante notar que esta força é proporcional ao gradiente da pressão, tem mesma direção e sentido oposto a este.
5. FORÇA GRAVITACIONAL
A lei da gravitação universal de Newton determina que quaisquer dois elementos de massa, no universo, se atraem mutuamente com uma força proporcional a suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância que os separa. Então, se dois elementos
de massa M e m estão separadas por uma distância r r
→ ≡ com o vetor r
→ dirigido na direção
de m , a força exercida pela massa M sobre m devido a gravitação é:
g 2
GMm r F r r
→ → ^ = − ^
na qual G é uma constante universal chamada constante de gravitação ou gravitacional. Se a Terra é designada como a massa M e m é uma massa elementar da atmosfera, então a força por unidade de massa exercida sobre a atmosfera, pela atração gravitacional da Terra é:
2
F g (^) g GMm r m r r
→ (^) → ≡ = − ^
Em Meteorologia Dinâmica é costume usar como uma coordenada vertical a altura acima do nível médio do mar. Se o raio médio da Terra é designado por a, e a distância acima do nível médio do mar é z , então desprezando os pequenos desvios da forma da Terra a partir da esfericidade, r = a + z. Portanto, a expressão anterior pode ser rescrita como:
( )
2 1 za
g g o
*** (^) (1.19)
em que,
(^0 )
GM r g a r
= − ^
É o valor da força gravitacional ao nível médio do mar. Para aplicações meteorológicas, z << a , tal que com erro desprezível nós podemos por g ***** = g ***** o e simplesmente tratar a força
gravitacional como constante.
6. O ATRITO OU FORÇA DE VISCOSIDADE
Muito embora uma discussão completa da força de viscosidade seria mais complicada, o conceito físico básico pode ser ilustrado muito simplesmente. Consideremos uma camada de um fluido incompressível confinada entre duas placas horizontais separadas por uma distância l como mostrado na figura abaixo:
Figura 1.2 – a componente na direção x da tensão de cisalhamento vertical sobre um elemento de fluido
A placa inferior é fixa e a superior está se movendo na direção x a uma velocidade uº Nós encontramos que a força tangencial à placa superior necessária para mantê-la em movimento uniforme é proporcional a distância entre as placas, ou seja,
F Au^ o l
Onde μ é uma constante de proporcionalidade, o coeficiente de viscosidade dinâmica. Esta
força deve ser exatamente igual à força exercida pela placa superior sobre o fluido imediatamente abaixo dela. Para um estado de movimento uniforme, cada camada horizontal do fluido deve exercer a mesma força sobre a camada de fluido imediatamente abaixo. Portanto, tomando o limite à medida que a camada limite tende para zero, nós podemos
dV d r V dt dt r
θ → = ^ −
mas, V ω r
→ = e t
, tal que
dV 2 r
dt
ω
→
conseqüentemente, visto a partir de coordenadas fixas, o movimento é de aceleração uniforme dirigido na direção do eixo de rotação e igual ao quadrado da velocidade angular vezes a distância ao eixo de rotação. Esta aceleração é chamada de aceleração centrípeta. É causada pela força da corda puxando a bola. Agora suponha que observamos o movimento em um sistema de coordenadas girando com a bola. Neste sistema girando. A bola está estacionária mas, existe uma força atuando sobre a bola e puxando-a para fora da corda. Conseqüentemente, para aplicar a 2ª^ Lei de Newton para descrever o movimento relativo a este sistema de coordenadas nós devamos incluir uma força aparente adicional; a força centrífuga, que exatamente equilibra a força da corda sobre a bola. Então a força centrífuga é equivalente a reação inercial da bola sobre a corda e é exatamente igual e oposta a aceleração centrípeta. Resumindo: observada de um sistema fixo a bola girando experimenta uma aceleração centrípeta constante em resposta à força exercida pela corda. Observada de um sistema girando com ela, a bola está estacionária e a força exercida pela corda é equilibrada por uma força centrífuga.
6. FORÇA DE CORIOLIS
Uma Segunda força aparente, necessária para manter válida a 2a^ Lei de Newton para um sistema não Newtoniano é a força de Coriolis. Suponha que um objeto é posto em movimento uniforme com respeito a um sistema inercial de coordenadas. Se o objeto é observado a partir de um sistema girando com eixo de rotação perpendicular ao plano de movimento, o caminho parecerá curvado, como visto na figura abaixo:
Figura 1.4 – movimento inercial como visto a partir de um sistema inercial (linha reta) e de um sistema em rotação (linha curva)
Movimento inercial como visto a partir de um sistema newtoniano (linha reta) e um sistema não- newtoniano (linha curva). Esse procedimento indica que para um alto grau de precisão o campo da pressão está em equilíbrio hidrostático, ou seja, a pressão em qualquer ponto é simplesmente igual ao peso de uma coluna de seção transversal unitária do ar acima daquele ponto.
Parte 2
AS LEIS BÁSICAS DE CONSERVAÇÃO
1. INTRODUÇÃO
Os movimentos atmosféricos são governados por três princípios físicos fundamentais que são: conservação de massa, conservação da quantidade de movimento (momentum) e conservação da energia. As relações matemáticas que expressam estas leis podem ser obtidas por considerações de equilíbrio (balanço) de massa, quantidade de movimento e energia, para um volume de controle infinitesimal dentro do fluido. Dois tipos de volume de controle são normalmente utilizados na dinâmica dos fluidos. No sistema de referência Euleriano o volume
de controle consiste de um paralelepípedo de lados δ x , δ y e , δ z cuja posição é fixa relativa
aos eixos coordenados. Balanços de massa, momentum e energia, dependerão dos fluxos devidos ao escoamento do fluido, através dos contornos do volume de controle. No sistema de referência Lagrangeano, contudo, o volume de controle consiste de uma massa infinitesimal de partículas do fluido, que se movem seguindo o movimento, e sempre contendo as mesmas partículas do fluido. O sistema de referência Lagrangeano, é particularmente usado para se obter as leis de conservação, desde que tais leis, podem ser enunciadas mais simplesmente, em termos de um elemento particular de massa do fluido. O sistema Euleriano é, entretanto, mais conveniente para resolver a maioria dos problemas, porque nesse sistema, os campos das variáveis são relacionados por um conjunto de equações diferenciais parciais, nas quais, as variáveis independentes são coordenadas x, y, z, t. No sistema Lagrangeano, por outro lado, é necessário seguir a evolução no tempo, dos campos para várias parcelas individuais do fluido. Então, as variáveis independentes são x 0 , y 0 , z 0 , e t, onde essas variáveis x 0 , y 0 , z 0 , representam a posição pela qual uma parcela particular passou no tempo de referência t 0.
2. A DIFERENCIAÇÃO TOTAL
As leis de conservação que serão derivadas a partir daqui contém expressões para a taxa de variação por unidade de volume da massa, quantidade de movimento (momentum) e energia termodinâmica, seguindo o movimento de uma parcela particular do fluido. Para que possamos aplicar essas leis no sistema de referência Euleriano é necessário obter uma relação entre a taxa de variação de um campo variável seguindo o movimento e sua taxa de variação em um ponto fixo. A primeira é chamada a derivada substantiva ou total , enquanto a última é chamada derivada loca l; ela é simplesmente uma derivada parcial com respeito ao tempo. Para se obter uma relação entre a derivada total e a derivada local é conveniente nos referirmos a um campo variável em particular, a temperatura, por exemplo. Suponha que a
necessita de uma relação entre a derivada total de um vetor em um sistema inercial e a correspondente derivada total em um sistema que gira. Para derivar esta relação, vamos fazer
A
→ ser um vetor arbitrário cujas componentes cartesianas em um sistema inercial são dadas por
A i A x j Ay k Az
→ → → = + +
e cujas componentes em um sistema com rotação com uma velocidade angular Ω , são :
' '^ ' '^ ' '
A i Ax j Ay k Az
→ → → = + +
fazendo a
d A dt
→ ser a derivada total do vetor A
→ no sistema inercial tal que possamos
escrever
d (^) a A (^) l d A (^) x (^) j d A y k d Az d t d t d t d t
→ → → → = + +
' ' ' ' x^ ' y ' z '^ '^ '^ '^ ' ' x y z
dA dA dA d i d j d k l j k A A A dt dt dt dt dt dt
→ → → → → → = + + = + +
agora, desde que
(^2) g g (^) f 0 e^ V^ k x f 0
φ →^ → φ ζ = ∇ = ∇
é exatamente a derivada total de A
→ como visto no sistema de coordenadas em rotação (que é,
a taxa de variação de A
→ seguindo o movimento relativo). Conseqüentemente, desde que l '
→
pode ser pensado como um vetor posição de módulo unitário,
d j ' dt
→ é a velocidade de l '
→
devido à sua rotação. Então,
d i x i dt
→ → = Ω e de um modo semelhante,
d j x j dt
→ → = Ω e
d k x k dt
→ → = Ω.
Então, juntando as três componentes, teremos,
d (^) aA d A (^) x A dt dt
→ → → = + Ω (2.2)
que é a relação procurada.
4. A FORMA VETORIAL DA EQUAÇÃO DE MOMENTUM EM COORDENADAS EM ROTAÇÃO
Em um sistema de referência inercial, a segunda lei do movimento de Newton pode ser escrita simbolicamente como
d Va a F dt
→ → = (^) ∑ (2.3)
O lado esquerdo dessa equação representa a taxa de variação da velocidade absoluta seguindo o movimento como visto de um sistema inercial. O lado direito, representa a soma das forças reais por unidade de massa que estão atuando. Agora vamos transformar essa expressão para a segunda lei, para o sistema de referência com rotação, para isso teremos que encontrar primeiro uma relação entre a velocidade absoluta e a velocidade relativa ao sistema em
rotação. Esta relação pode ser obtida aplicando-se a expressão (2.2) ao vetor posição r
→ para uma sobre uma terra girando:
d (^) ar d r (^) x r dt dt
→ → → = + Ω (2.4)
convém lembrar que, a a d r d r V e que V dt dt
→ → → → = = ; conseqüentemente (2.4) pode ser
escrita como
V a V x r
→ → → = + Ω (2.5)
a qual determina simplesmente que a velocidade absoluta de um objeto sobre uma terra em rotação é igual a sua velocidade relativa à terra mais a velocidade devida a própria rotação da
terra. Agora devemos aplicar (2.2) ao vetor velocidade absoluta Va
→ para obter
d V a d Va (^) xV dt dt
→ → → = + Ω (2.6)
substituindo a partir de (2.5) no lado direito de (2.6), encontramos que
a ( ) ( ) d V d V xV x V xV dt dt
→ → → → → = + Ω + Ω + Ω
d V (^) 2 xV (^2) R dt
→ → = + Ω − Ω (2.7)
onde Ω é suposto constante. Aqui R é um vetor perpendicular ao eixo de rotação, com magnitude igual à distância a esse eixo, tal que, com a ajuda da identidade vetorial,
Ω x ( Ω x r →^ ) = Ω x ( Ω x R →) ≡ −Ω^2 R
Aqui, r é a distância ao centro da terra, que está relacionada a z por r = a + z , onde a é o raio da terra. Tradicionalmente, a variável r em (2.9) é substituída pela constante a. Esta é uma boa aproximação desde que z << a para regiões de interesse para os meteorologistas. Para simplicidade na notação convenciona-se definir x e y como as distâncias para leste e norte tal que
dx = a cos φ d λ dy = ad φ.
Então, as componentes horizontais da velocidade são respectivamente u ≡ dx/dt e v ≡ dy/dt nas direções leste e norte respectivamente. O sistema de coordenadas (x, y, z) definido desta maneira não é, entretanto, um sistema de coordenadas cartesiano porque as direções de
i , j , k ,
→ → → não são constantes, mas são funções da posição sobre uma terra esférica. Esta
dependência da posição dos vetores unitários deve ser levada em conta quando o vetor aceleração é expandido em suas componentes sobre a esfera. Então, podemos escrever
d V du dv dw d i d j d k i j k u v w dt dt dt dt dt dt dt
→ → → → → → → = + + + + + (2.10)
Para se obter as equações das componentes, é necessário que se avalie primeiro as taxas de
variações dos vetores unitários seguindo o movimento. Consideramos primeiro d i dt
→
Expandindo a derivada total como dado na equação (2.1) e notando que i
→ é uma função somente de x , ou seja, um vetor dirigido para leste que não muda sua orientação mesmo que o movimento esteja dirigido para norte ou vertical, encontramos que
d i i u dt x
→ → ∂ = ∂
a partir da figura 2.1, pode-se ver que
0
lim | | x cos
i i δ x x a
→ →
→
Figura 2.1 dependência longitudinal do vetor unitário i
→
e que o vetor i x
→ ∂ ∂
está dirigido na direção do eixo de rotação. Então, como ilustrado na
figura 2.2 abaixo
1 ( cos ) cos
i j sen k x a
→ ∂ →^ → = − ∂
Figura 2.2 - Resolução de δ i
→ em componentes para norte e vertical.
Conseqüentemente,
( cos ) cos
d i u j sen k dt a
→ → → = − (2.11)
considerando agora
d j dt
→ , vê-se que j
→ é uma função somente de x e y. Então, com a ajuda
de figura 2.3, pode-se notar que para movimentos na direção leste, | | ( / tan )
x j a
→ =. Desde
que o vetor
j x
→ ∂ ∂
está dirigido na direção negativa do eixo dos x , temos então que
j k x a
→ → ∂ = − ∂
então,
d j u tan v i k dt a a
φ
→ → → = − − (2.12)
Finalmente, por argumentos similares pode ser mostrado que