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Apostila de estatística experimental
Tipologia: Notas de estudo
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Não perca as partes importantes!
Professores da disciplina em I/
José Ivo Ribeiro Júnior Nerilson Terra Santos Sebastião Martins Filho
OBSERVAÇÃO: O conteúdo desta apostila é o mesmo que
o utilizado nos anos de 2008 e 2009. Por esta razão, o
cabeçalho dos capítulos contém a informação I/2008 ao
invés de I/2010.
UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIÇOSA Departamento de Estatística EST 220 −−−− Estatística Experimental 1 o^ período letivo de 2010
Cap. 1 − Testes de Hipóteses Cap. 2 − Contrastes Cap. 3 − Introdução à Experimentação Cap. 4 − Delineamento Inteiramente Casualizado Cap. 5 − Procedimentos para Comparações Múltiplas Cap. 6 − Delineamento em Blocos Casualizados Cap. 7 − Delineamento em Quadrado Latino Cap. 8 − Experimentos Fatoriais Cap. 9 − Experimentos em Parcelas Subdivididas Cap.10 – Regressão Cap.11 – Correlação
O sistema de avaliação constará de três provas, com pesos iguais. As datas das provas estão apresentadas no planejamento da disciplina em anexo. O assunto pertinente as 1a, 2a^ e 3a^ provas, será divulgado em sala de aula na semana que a prova ocorrerá. Também nesta semana, o professor informará em sala de aula, a distribuição dos estudantes às salas de prova de acordo com o número de matrícula dos estudantes. O estudante que perdeu a 1a^ ou a 2a^ ou a 3a^ prova, por qualquer motivo que seja (viagem de caráter particular, atestado médico, participação em congressos, etc.) , poderá fazer a Prova Substitutiva. Esta prova substitutiva abordará todo o assunto do semestre. Não é necessário apresentar justificativa para fazer a prova substitutiva. A data da prova substitutiva também se encontra no planejamento em anexo. Além de levar documento com foto para fins de fiscalização durante qualquer uma das provas , o estudante deve também levar o seu conjunto de tabelas, pois as mesmas são de uso individual. Estas tabelas não devem conter nenhuma informação adicional. A existência de tais informações adicionais implica o uso de cola , estando o estudante sujeito às penalidades previstas no regimento da Universidade Federal de Viçosa. Os alunos que não obtiverem média final para aprovação, poderão realizar a prova final, cujo assunto é toda a matéria lecionada durante o período letivo.
Divulgação das Notas de Provas
As notas da 1ª e 2ª provas serão divulgadas no máximo, até 3 semanas após a realização de cada uma delas. Já as provas 3a^ e substitutiva terão as notas divulgadas até 3 dias após a realização da prova substitutiva.
Revisão de Prova
O coordenador marcará um período ÚNICO de revisão para cada uma das provas. O estudante deve respeitar este período de revisão, pois não serão abertas exceções para que o estudante faça a revisão de suas provas fora do período de revisão estabelecido. Normalmente as revisões das provas, são realizadas com o monitor, no horário de monitoria na sala 301 B do prédio do CCE , mesmo que a monitoria regular esteja marcada para outro local. Nos horários marcados para revisão o monitor não poderá dar atendimento aos alunos.
EST220 – Planejamento de Aulas – 1º Período Letivo de 2010
Aula Semana Assunto 1 01/03 a 05/03 1ª Apresentação da disciplina 2 2ª Testes de hipóteses: conceitos 3 08/03 a 12/03 1ª Teste t para uma média 4 2ª Teste t para duas médias independentes 5 15/03 a 19/03 1ª Teste t para duas médias dependentes 6 2ª Teste F para duas variâncias. Exercícios 7 22/03 a 26/03 1ª Contrastes: conceitos 8 2ª Métodos para obtenção de contrastes ortogonais 9 29/03 a 02/04 1ª Princípios básicos da experimentação 2ª Recesso – Semana Santa 10 05/04 a 09/04 1ª Exercícios 11 2ª Tira dúvidas 12 3ª 1ª Prova – 07/04 – 4ª feira – 18:20 h 13 12/04 a 16/04 1ª Delineamento inteiramente casualizado (DIC) 14 2ª Pressuposições da ANOVA 15 19/04 a 23/04 1ª Testes de Tukey e Duncan 2ª Feriado – Feriado – Tiradentes Dia do Trabalho 16 26/04 a 30/04 1ª Testes t e de Scheffé 17 2ª Delineamento em blocos casualizados (DBC) 18 03/05 a 07/05 1ª Exercícios do DBC 19 2ª Delineamento em quadrado latino (DQL) 20 10/05 a 14/05 1ª Experimento fatorial (EF) 21 2ª Interação AxB significativa de EF 22 17/05 a 21/05 1ª Exercícios 23 2ª Tira dúvidas 24 3ª 2ª Prova – 24/05 – 2ª feira – 20:30 h 25 24/05 a 28/05 1ª Experimento em parcelas subdivididas (EPS) 26 2ª Interação AxB significativa de EPS 27 31/05 a 04/06 1ª Regressão linear de 1o^ grau 2ª Feriado – Corpus Christi 28 07/06 a 11/06 1ª Regressão linear de 2o^ grau 29 2ª Regressão com repetições 30 14/06 a 18/06 1ª Correlação 31 2ª Exercícios 32 21/06 a 25/06 1ª Tira dúvidas 33 2ª 3ª Prova – 23/06 – 4ª feira – 18:20 h 34 3ª Prova Substitutiva – 24/06 – 5ª Feira – 12:00 h 35 4ª Aula SAS – 25/06 – 12:00 h 36 28/06 a 02/07 1ª Revisão – Prova 3ª e Substitutiva
Cap 1 – Testes de Hipóteses
tendenciosidade, variância mínima, fornecer estimativas que se aproximem do valor paramétrico à medida que o tamanho da amostra aumenta, e etc.. Exemplos de estimadores são a média aritmética amostral, mˆ^ , que é usada para
estimar a média populacional; e a variância amostral, s 2 , que é usada para estimar a
variância populacional. Outras simbologias comuns para a média amostral são μˆ eX, e
para a variância amostral são σˆ 2 eVˆ(X).
Observe que algumas vezes a simbologia usada para representar os parâmetros e seus respectivos estimadores é muito parecida. Por exemplo, podemos representar a média populacional por m e seu estimador por mˆ^ , ou seja, a diferença entre o parâmetro e o seu estimador é o chapéu que existe no símbolo usado para representar o estimador. Isto parece ser uma diferença mínima, mas do ponto de vista estatístico, a diferença conceitual entre parâmetro e estimador é enorme. O parâmetro é sempre um valor constante, pois para a obtenção do mesmo são usados todos os elementos da população. Por outro lado, o estimador representa uma variável aleatória, pois os seus valores mudam de amostra para amostra. Isto acontece porque os elementos que pertencem a uma amostra geralmente não são os mesmos em outras amostras. Conseqüentemente, é possível estabelecer uma distribuição de probabilidades para os valores de um estimador. Para o parâmetro, isto não é possível, pois se assume que ele tem um valor constante. Por isto recomenda-se muito cuidado para usar corretamente a simbologia para o parâmetro e paro o estimador. Conforme mencionado anteriormente, os estimadores podem assumir valores diferentes em amostras diferentes. Estes diferentes valores que um estimador assume são também conhecidos como estimativas.
1.2.3 Hipóteses em um teste estatístico
Para realizar um teste de hipóteses e divulgar as conclusões é necessário seguir um procedimento aceito pela comunidade científica. Neste procedimento, o pesquisador deve deixar claro qual a hipótese que ele deseja testar. Para isto ele precisa escrever em termos estatísticos a sua hipóteses cientifica. A hipótese científica do pesquisador, nada mais é o que o levou a realizar a sua investigação. Por exemplo, suponha que um tecnólogo em laticineos deseja verificar se os sabores de sorvete morango e chocolate apresentam um mesmo valor para o teor médio de glicose. Em termos estatísticos esta hipótese é expressa por mmorango =mchocolate Em que: mmorango : média do teor de glicose do sorvete sabor morango; e mchocolate : média do teor de glicose do sorvete sabor chocolate.
O pesquisador deseja testar esta hipótese porque ele desconfia que o teor médio de glicose não seja o mesmo para os dois sabores de sorvete. Então ele tem que ter uma alternativa para esta hipótese inicial. Nesta alternativa, ele lança a sua desconfiança a respeito do que pode acontecer. Se ele desconfiar que o sabor de morango tem um teor médio de glicose maior do que o de chocolate, então a hipótese alternativa é expressa por m (^) morango >mchocolate Por outro lado, se ele desconfiar que o sabor de chocolate tem um teor de glicose maior do que o de morango, então a hipótese alternativa é expressa por m (^) morango <mchocolate
EST 220 – Estatística Experimental – I/
Uma outra alternativa seria a situação em que ele não tem nenhuma desconfiança de qual sabor teria um teor médio de glicose maior do que o outro. Neste caso, a hipótese alternativa é expressa por m (^) morango ≠mchocolate Neste ponto fica claro que para realizar um teste de hipóteses é necessário que o pesquisador lance duas hipóteses. A primeira que contém um sinal de igualdade é conhecida como hipótese de nulidade, comumente denotada por Ho. É dado este nome, pois ela representa uma nulidade de diferença entre médias. Já a outra hipótese que contém um sinal de desigualdade, é conhecida como hipótese alternativa, comumente designada por Ha ou H1. Como o próprio nome diz, ela é uma alternativa a hipótese de nulidade. Na verdade, quando um pesquisador realiza um experimento, a hipótese de nulidade é construída com o expresso propósito de ser rejeitada. Isto faz sentido porque, quem teria o trabalho de realizar um experimento se achasse que duas médias são iguais? Qualquer um se daria ao trabalho de instalar um experimento, apenas se desconfiar que existe diferença significativa entre as médias de duas populações. No entanto, num teste de hipóteses, até que se prove o contrário, a Ho é considerada como a hipótese verdadeira. Para o exemplo dado, supondo que o pesquisador não desconfie a princípio qual sabor que apresenta maior teor médio de glicose, o par de hipóteses a ser lançado é expresso por
a morango chocolate
0 morango chocolate H : m m
H : m m ≠
Observe que apesar de ser possível existir três possibilidades para Ha, apenas uma possibilidade foi lançada. Outro ponto importante é que as hipóteses foram lançadas em termos dos parâmetros e não em termos dos seus estimadores. Não faz sentido lançar as hipóteses usando os estimadores, pois os mesmos não possuem um valor fixo, ou seja, apresentam valores diferentes para amostras diferentes, enquanto que o parâmetro possui um valor fixo.
1.2.4 Decisão em um teste de hipóteses
Para decidirmos se devemos ou não devemos rejeitar a hipótese de nulidade, baseamos na comparação do valor especificado para o parâmetro com aquele estimado a partir de uma amostra da população. Raramente, o valor estimado será idêntico àquele especificado para o parâmetro. Conforme mencionado anteriormente, um estimador pode assumir valores diferentes para amostras diferentes, sendo que existem intervalos de valores mais prováveis de ocorrer do que outros. Portanto pode-se construir uma distribuição de probabilidades para os valores de um estimador. O valor fornecido pelos estimadores poderá diferir, do ponto de vista matemático, do valor esperado para o parâmetro. Esta diferença matemática nem sempre representa que a hipótese de nulidade deve ser rejeitada, pois como o estimador é uma variável aleatória, é esperado que ele possa assumir valores dentro de um intervalo. O que um teste de hipóteses geralmente faz é comparar duas fontes de variação. A primeira fonte de variação diz respeito a variação entre o valor paramétrico e uma estimativa. A segunda fonte de variação diz respeito a variação existente na população.
Se as duas fontes de variação apresentarem valores semelhantes então o valor do parâmetro não difere do valor especificado na hipótese de nulidade. Neste caso, a variação observada entre o valor paramétrico e sua estimativa é uma variação própria dos dados. Conclui-se portanto que a hipótese H 0 não deve ser rejeitada.
EST 220 – Estatística Experimental – I/
É evidente que a segunda opção é operacionalmente mais fácil, pois o custo e o tempo gasto são muito menores. Para realizar a segunda opção, o pesquisador deve escolher um tamanho de amostra adequado, por exemplo, suponha que para este exemplo o tamanho amostral ideal seja igual a 10 indivíduos. Da população de adolecentes é possível retirar um grande número de diferentes amostras de tamanho 10.
Cada amostra fornece um valor para a média amostral. Pode ser demonstrado que a média de todas as médias amostrais é igual à média da variável original, a variância é igual à variância original dividido pelo tamanho da amostra e que a variável aleatória mˆ também segue distribuição normal, ou seja, mˆ^ ~N( 1 , 5 ; 0 , 025 ). O gráfico da distribuição
das médias amostrais seria
f ( Xb)
Var i avel : Xb
em que Xb = mˆ^ e f(Xb) = f( mˆ^ ).
Como pode ser notado, a distribuição das médias amostrais para a variável estatura, representadas no gráfico por Xb, é mais concentrada em torno da média do que a variável original X. Isto acontece porque a variância das médias amostrais é menor do que a variância da variável original estatura. Deve ficar entendido que é possível retirar um número muito grande de amostras de mesmo tamanho de uma população, principalmente se a população for muito grande. No entanto, numa pesquisa geralmente toma-se decisão usando-se apenas uma única amostra. As hipóteses estatísticas para esta situação seriam:
H : m 1 , 5 metros
H : m 1 , 5 metros a altura
O altura <
Para se entender a lógica dos testes de hipóteses, vamos supor diferentes resultados possíveis para a média amostral obtida a partir de uma amostra de 10 estudantes. Suponha inicialmente que o pesquisador, obtenha uma média amostral, digamos mˆ^ , igual a 1,49 metros. Neste caso, a variação entre o valor observado igual a 1,49 e o valor suposto igual a 1,50 é muito pequena. Poder-se-ia atribuir esta variação ao
Cap 1 – Testes de Hipóteses
acaso, ou seja, esta variação é uma variação própria de uma população que apresente média igual a 1,5 metros. Em termos probabilísticos poderíamos dizer que existe uma grande probabilidade de numa população com média igual a 1,50 metros existir grupos de 10 indivíduos que apresentem uma média de estatura igual ou inferior a 1,49 metros. Justificativa semelhante poderia ser atribuída a médias amostrais que tivessem valores próximos ao valor suposto, tais como: 1,48; 1,47; 1,42; etc. Por outro lado, se a média amostral apresentar um valor muito distante do valor suposto, como por exemplo, 0,60 metros, o pesquisador tem a tendência de rejeitar a hipótese de nulidade, isto porque há um forte indício de que a amostra foi retirada de uma população que apresenta uma média menor do que a suposta de 1,5 metros. Em termos probabilísticos poderia se dizer que a probabilidade de encontrar um grupo de indivíduos com média igual ou inferior a 0,60 metros é muito pequena, em uma população que apresenta uma média igual a 1,5 metros. Veja na figura a seguir
f ( Xb)
Var i avel : Xb
A função densidade de probabilidade da média amostral de uma variável aleatória que tem distribuição normal, no caso, f(Xb), é dada por: 2
n
xm 2
1
e
n
f (Xb)
⎟⎟
⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜
⎜⎜ ⎝
⎛ σ − −
π σ
A área sob a curva abaixo do valor 0,60 m, indica a probabilidade de se encontrar um valor igual ou inferior a 0,60 metros em uma população com média igual a 1,5 metros. Como pode ser notado, esta probabilidade é pequena em relação à área total do gráfico. Com base neste raciocínio é que o pesquisador estabelece um valor crítico que o ajuda a decidir sobre rejeitar ou não-rejeitar a hipótese de nulidade. Este valor crítico pode a princípio ser estabelecido de duas maneiras. A primeira delas seria a situação em que o pesquisador de posse de seu conhecimento prévio no assunto estabeleceria um valor crítico antes de coletar a amostra. Este valor crítico seria um valor para a média amostral tal que acima dele o pesquisador não-rejeitaria a hipótese de nulidade e abaixo dele rejeitaria a hipótese de nulidade. Digamos que neste caso o valor crítico adotado fosse igual a 1,0 metro. O valor para a média igual a 1,0 metro determinaria duas regiões na
Cap 1 – Testes de Hipóteses
medi a 1. 5
f ( Xb)
Var i avel : Xb
er r o al f a
er r o bet a
m<1. 5
m<1. 5 m=1. 5
cur va par a Ho
RRHo RNRHo cur va par a Ha
Nesta figura, pode-se observar duas curvas: a da esquerda quando se assume que a população tem uma média inferior a especificada, isto é a curva para a hipótese alternativa (Ha) com m < 1,5 metros; e a curva da direita para a situação em que a população apresenta média igual à especificada, ou seja, curva para a hipótese de nulidade (Ho) com média m = 1,5 metros. Quando o pesquisador toma a decisão de rejeitar a Ho, ele na verdade acaba por concluir que a população de onde foi retirada a amostra pertence aquela população com média m < 1,5 metros. Observe, valores nesta região podem levar a duas conclusões que a rigor ambas estariam “corretas”, mas a probabilidade de encontrar indivíduos com média inferior ou igual ao valor crítico, no caso 1,0 metro, é bem maior numa população com m < 1,5 metros do que numa população com média m = 1,5 metros. É esta diferença nas probabilidades que leva o pesquisador a rejeitar Ho ao invés de não rejeitá-la. Conforme mencionado anteriormente, a área sob a curva da hipótese Ho que leva a sua rejeição se refere à probabilidade de se rejeitar Ho quando Ho é verdadeira. Isto foi definido anteriormente como erro alfa. Um raciocínio lógico que se tem é tentar fazer este erro ser o menor possível. No entanto, em todo teste de hipóteses existe também um outro erro, conhecido como erro tipo II ou erro beta (β), o qual aumenta o seu valor à medida que se diminui o erro alfa. Este erro se refere à probabilidade não-rejeitar a hipótese Ho quando Ho é falsa (ver figura anterior). No exemplo que estamos trabalhando, este erro beta será tanto maior, quanto menor for o valor crítico. Se por exemplo, fizermos que o valor crítico para a média amostral seja igual a 0,9 m, então a nova proporção entre os erros alfa e beta seria conforme figura a seguir.
EST 220 – Estatística Experimental – I/
medi a 0. 8 1. 5
f ( Xb)
Var i avel : Xb
RRHo RNRHo
er r o bet a
er r o al f a
cur va Ho
cur va Ha
Xbc=0. 9
Nós acabamos de ver a maneira empírica de realizar um teste de hipótese, a qual se baseia no fato do pesquisador estabelecer o valor crítico de rejeição da hipótese Ho com base em seu prévio conhecimento do problema. Este procedimento, embora seu forte apelo prático, traz a desvantagem de não poder estabelecer a princípio qual seria a probabilidade de se cometer o erro tipo I, ou seja, a que nível de significância que o teste de hipóteses será realizado. É de consenso que se publique, que nos trabalhos científicos, a que nível de significância um teste de hipóteses foi realizado. Desta forma, é possível comparar os resultados e conclusões de diferentes trabalhos de pesquisa, pois existe uma tendência que, para determinada área do conhecimento, o nível de significância esteja dentro de uma faixa de valores aceito pela maioria dos pesquisadores. A determinação do nível de significância quando se usa o método empírico é possível, embora computacionalmente não seja uma tarefa fácil, pois envolve a integração de funções complexas tais como exponenciais, gama, beta, e etc.. Devido a todas estas razões, o método não-empírico é o mais usado. O procedimento para um teste de hipóteses usando o método não-empírico é similar ao método empírico. A diferença está basicamente que no método não-empírico, o valor crítico é conhecido a partir do nível de significância estabelecido e o uso de tabelas estatísticas. Existe uma tabela estatística apropriada para cada tipo de teste de hipóteses. Estas tabelas fornecem valores críticos que delimitam regiões de rejeição e de não- rejeição de Ho. O valor obtido de uma ou mais amostras retirada da(s) população(ões) é então usado para calcular o valor de uma estatística que tem distribuição de probabilidades idêntica àquela usada para identificar o valor tabelado. A comparação dos valores calculado e tabelado permite ao pesquisador decidir entre rejeitar ou não-rejeitar Ho. Os próximos itens deste capítulo irão tratar sobre alguns testes de hipóteses que usam este método não-empírico.
EST 220 – Estatística Experimental – I/
As hipóteses num teste t, para uma média populacional, são do seguinte tipo
H 0 : m = m 0 versus Ha : m > m 0 ou Ha : m < m 0 ou Ha : (^) m ≠ m (^0)
Para decidirmos entre Rejeitar ou Não-Rejeitar HO, comparamos o valor de t com o valor tabelado de t obtido por t (^) tab = tα (n − 1 ). A tabela apresentada no final deste livro é
uma tabela elaborada para testes bilaterais. Neste caso, para encontrarmos o valor tabelado basta entrar com o valor de α e o respectivo número de graus de liberdade. Por outro lado, se desejarmos realizar um teste unilateral e usarmos uma tabela bilateral, devemos entrar na tabela com 2 α como nível de significância. Este procedimento garante que realizaremos o teste ao nível de significância α como desejado para testes unilaterais. Depois de obtido o valor calculado e o valor tabelado de t, usamos a seguinte regra decisória:
Exercícios 1.1. Em indivíduos sadios, o consumo renal de oxigênio distribui-se normalmente em torno de 12 cm 3 /min. Deseja-se investigar, com base em cinco indivíduos portadores de certa moléstia, se esta tem influência no consumo renal médio de oxigênio. Os consumos medidos para os cincos pacientes foram: 14,4 12,9 15,0 13,7 13, Qual a conclusão ao nível de 1% de significância?
1.2. Uma amostra de seis elementos, extraída de uma população normal, forneceu
∑ ∑^ (^ ) = =
6
i 1
2 i
6
i 1
Xi 84 , 0 e X mˆ 55 , 0
Deseja-se saber se a média da população pode ser considerada como superior a
O objetivo deste teste é verificar se duas populações, digamos população 1 e população 2 apresentam um mesmo valor médio para uma determinada característica, isto é deseja-se verificar se m 1 = m 2. Com esta finalidade é necessário obter uma
amostra de cada população. Estas duas amostras podem ser relacionadas ou não, ou seja, podem ser dependentes ou independentes uma da outra. Esta distinção no relacionamento das duas amostras gera dois testes distintos.
1.3.1.2.1 Teste de hipóteses para o caso de duas amostras independentes
Duas amostras são ditas serem independentes quando não existe nada que as relacione. Nesta situação, os valores amostrais foram obtidos em conjuntos amostrais distintos, ou seja, os elementos amostrais que originaram os valores de uma amostra são distintos dos elementos amostrais que originaram a segunda amostra.
Cap 1 – Testes de Hipóteses
Conforme mencionado anteriormente, para comparar as médias das duas populações, toma-se uma amostra de cada população. Suponha que as amostras geradas sejam X 11 , X 12 ,... , X1n e X 21 , X 22 , ... , X2m , onde o tamanho das amostras podem ser diferentes, ou seja, n pode ser diferente de m. Para cada amostra, então calcula-se a sua média e variância. Um estimador comum para a variância é obtido tomando-se uma média ponderada das estimativas de variância obtidas para as duas amostras. O tamanho da amostra é utilizado como um peso para o cálculo desta variância média ponderada. A obtenção de um estimador comum para a variância pressupõe que a variância das duas
populações sejam idênticas, ou seja σ 1 2 =σ^22. A fórmula do estimador comum é:
n n 2
n 1 s n 1 s s 1 2
2 2 2
2 2 1 1 c
em que s e 12 s são as variâncias amostrais das populações 1 e 2, respectivamente. A^22
fórmula geral para o cálculo da variância amostral é dada por
n 1
n
s
n^2
i 1 n i
i 1
2 i 2 −
Uma vez obtidas estas estimativas, calcula-se o valor da estatística t dada por:
1 2
2 c
1 2
n
n
s
m m 2 mˆ 1 mˆ t
é usada para testar a hipótese de nulidade H 0 : m 1 = m 2 versus Ha : m 1 > m 2 ou Ha : m 1 < m 2 ou Ha : m 1 ≠ m (^2)
A regra de decisão é idêntica ao caso anterior, ou seja:
Exercício 1.3. Os dados que seguem referem-se a cinco determinações da resistência de dois tipos de concreto. Ao nível de 5% de significância, há evidência de que o concreto 1 seja mais resistente que o concreto 2?
Concreto 1 54 55 58 51 57 Concreto 2 50 54 56 52 53
1.3.1.2.2 Teste de hipóteses para o caso de duas amostras dependentes
Duas amostras de elementos são ditas serem dependentes quando existe algo que as relacione. Por exemplo, se os valores de duas amostras foram obtidos de um mesmo conjunto de elementos amostrais, podemos dizer que as duas amostras de
Cap 1 – Testes de Hipóteses
n 1
n
d d s
n^2
i 1 n i
i 1
2 i 2 −
∑ ∑
Sob Ho , esta estatística t tem distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. A comparação deste valor calculado com o valor de ttab dado por t (^) tab = tα ( n− 1 ).
Depois de obtido os valores calculado e tabelado de t, usamos a seguinte regra decisória:
Exercícios 1.4. Com o objetivo de avaliar se determinado produto químico é eficiente para repelir insetos domésticos, foi realizada uma contagem do número de insetos, antes e após a aplicação deste produto químico, em 7 residências. O número de insetos observado em cada residência foi
Residênca 1 2 3 4 5 6 7 Antes da aplicação 8 6 7 8 9 6 7 Após a aplicação 4 0 3 5 3 4 2 Por meio destes dados e ao nível de 5% de probabilidade, é possível concluir, em termos médios, que o produto utilizado é eficiente para repelir insetos?
1.5. Com a finalidade de testar se determinado método de secagem rápida consegue reduzir significativamente a quantidade média de água de grãos de cereais, uma porção de cada um dos seguintes tipos de cereais: Milho, Cevada, Trigo, Arroz e Sorgo, foi exposta ao referido método de secagem. Os resultados obtidos, para o peso da porção (em g) amostrada por cereal, com a realização do experimento foram:
Milho Cevada Trigo Arroz Sorgo Sem a secagem 30 34 41 25 36 Com a secagem 21 28 33 21 31 É possível concluir ao nível de 5% de significância que o método de secagem proposto, é eficiente para secar os grãos?
1.3.2 Teste F para Comparação de Variâncias de Duas Populações
Este teste é indicado para verificar se duas populações, digamos 1 e 2, apresentam igual valor para o parâmetro variância. Em termos de hipóteses estatísticas teríamos: H 0 : (^) σ 1 2 = 2 σ 2
versus
Ha : (^) σ 1 2 > σ 22 ou Ha : (^) σ 1 2 < σ 22 ou Ha : (^) σ ≠ 12 σ^22
A estatística F usada para decidir entre Rejeitar ou Não-Rejeitar Ho é dada pelo quociente entre as duas estimativas de variância, ou seja:
EST 220 – Estatística Experimental – I/
2 2
2 1 s
s F =
Sob a hipótese de nulidade, este quociente tem distribuição F, de Fisher-Snedecor, com n 1 e n 2 graus de liberdade, ou seja a distribuição de probabilidades da estatística
F depende dos números de graus de liberdade n 1 e n 2. Um gráfico para a distribuição F, para três diferentes pares de graus de liberdade é ilustrado na figura a seguir.
A conclusão do teste é feita mediante a comparação do valor de F com o valor de Ftab = Fα =(n 1 ,n 2 ).
Se F ≥ Ftab⇒ Rejeita-se H 0 ao nível α de probabilidade. Caso contrário Não-
Rejeita-se HO
Exercícios 1.6. Com o intuito de controlar a homogeneidade da produção de certas partes ao longo do tempo, amostras semanais são retiradas da produção corrente. Uma primeira amostra, de dez elementos, forneceu média 284,55 e desvio padrão 0,320, ao passo que, numa segunda amostra, forneceu, nas mesmas unidades, os seguintes valores:
284,6 283,9 284,8 285,2 284,3 283,7 284,
Ao nível de 5% de significância, podemos concluir que a semana 2 apresentou maior variabilidade que a semana 1?
1.7. A qualidade de rebites é tanto melhor quanto maior sua homogeneidade. Seis rebites de duas marcas foram ensaiados ao cisalhamento, tendo-se obtido as seguintes cargas de ruptura:
